Исследовательская работа (проект) по математике

Управление образования администрации

Муниципального района «Троицко-Печорский»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«ШКОЛА»

пст.Комсомольск-на-Печоре

Магические квадраты

                                                Выполнил:

                                Зубаков Юрий,

                                             обучающийся 5 класса

                                                         Руководитель:

                                                               Тляубаева Зульфия Исрафиловна,

                                         учитель математики

пст. Комсомольск-на-Печоре

2016

Оглавление

1. Введение.

2. История появления магических квадратов.

Знакомство с легендой о магических квадратах. 

3. Методы составления магических квадратов:

  а) магические квадраты нечетного порядка;

  б) свойства магических квадратов;

  в) магические квадраты Пифагора;

  г) другие головоломки (судоку);

5. Значение магических квадратов и области их  применения.

6. Заключение.

7. Список литературы.

1.Введение

«Далёкое время 
Застыло на камне, 
А мы прикоснулись к нему. 
Попала к нам в руки 
Великая тайна, 
Мы сбросим веков пелену» (слайд 2).

 Я – китайский император Ню, живший 4 тысячи лет назад. Однажды я гулял по берегу реки. И вдруг увидел черепаху. На её панцире был изображён рисунок из белых и чёрных кружков. 
« Да, она священна!», - воскликнул я…

Этот случайно найденный текст в интернете меня заинтриговал...

Что за рисунок был изображен на черепахе?.. Почему она священна?.. 

Эти вопросы  побудили  меня заняться исследовательской работой.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные…

Как только их не называли.

- ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими»” –(слайд 3) писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, напол­ненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажу­щейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представи­тели воображаемого мира чисел (приложение 1).

Гипотеза:  изучение свойств магических квадратов даст возможность построить любому не такой уж непостижимый магический квадрат (слайд 8).

Цели и задачи моей работы: (слайд 9)

изучить историю возникновения магических квадратов;

выяснить способы построения магических квадратов; 

научиться строить магические квадраты разного порядка разными способами;

 опробовать найденные способы заполнения магических квадратов;

выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в науке.

Актуальность: заполнение магических квадратов хорошо развивает навыки устного счета, память, логическое мышление. Но для этого нужно пользоваться не только метод перебора чисел, а знать способы построения магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

2. Из истории развития магических квадратов

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае(слайд 10). Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 л. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (слайд  11).

Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, кото­рую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй ми­фический прародитель китайской цивилизации Фуси (слайд12).  Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя  (слайд 11).

 Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. Бытовало даже такое мнение, что выгравированное на стене магический квадрат защищает от чумы. Поэтому  неудивительно, то они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей.

3.Методы составления магических квадратов

Магический квадрат – квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинаков (слайд 13). 

Как же составить магический квадрат?

Магических квадратов 2х2 не существует (слайд 14,15).

Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные  магические квадраты  3х3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90º или на 180°, таких квадратов 8 (слайд16-18).

Найдем сумму чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

45:3=15

Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34;  сумма угловых чисел(1;4;16;13) тоже равна 34; сумма цифр в каждом квадрате 2х2 равна 34; в каждом столбце имеется два рядом стоящих числа, сумма которых 13 и 21 (слайд 19-20).

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

Это-знаменитый магический квадрат Дюрера. Он изображен на гравюре великого немецкого художника Альберта Дюрера «Меланхолия» (приложение 4).  Этот квадрат, составленный из чисел, записанных арабскими цифрами, выглядит так, как на рисунке. Интересно, что средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры -1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат. А может быть, начав именно с этих чисел, смог найти остальные методом подбора (слайд 21).

Разновидности магических квадратов

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям.

Так, у изображенного на рисунке магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных»      

диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным (слайд 22).

Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным (слайд 23), если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева).

Отметим другое, следующее отсюда свойство (слайд 24): если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5x5, образуют совершенный квадрат.

Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим следующий квадрат 5-го порядка (слайд 25). Что интересного можно заметить и расстановке образующих его чисел?

Во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из его осей симметрии.

Во-вторых, суммы пар чисел, занимающих центрально - симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре.

оставшееся число 13 - непарное и помещается в центре квадрата. Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать все клетки по порядку построчно сверху вниз).

Аналогичными свойствами обладают таблица Ло  Шу и квадрат Дюрера. Вообще квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим (слайд 26). (Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного.) Неверно было бы говорить о том, что именно симметрия строения является основным признаком магического квадрата. Вместе с тем она часто определяет его свойства и широко используется при построении магических квадратов.

Вообще, если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов.

Но как же найти хоть один магический квадрат?

Для квадратов нечетного порядка есть совсем простой способ (слайд 27). Он заключается в следующем. Берем средний столбец и в его верхней клетке пишем число 1. Это же число пишем ниже самой нижней клетки среднего столбца и от него начинаем писать числа 2,3, … идя вверх и вправо. Это делаем до тех пор, пока не дойдем до самого правого столбца. Тогда последнее написанное число записываем в той же строке слева от квадрата и идем от него вправо вверх, записывая числа в порядке возрастания. Когда дойдем до числа, за которым идет ранее написанное число 1, опускаемся на одну клетку вниз, записываем в ней следующее по порядку число и снова пишем числа в порядке возрастания так же, как и раньше. Получился квадрат 5-го порядка.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Несложно написать  и магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку (слайд 28). А теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика:

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

Рассмотрим метод террас (слайд 29), предложенный Баше де Мезириаком и поэтому названный  ещё методом Баше для построения магического квадрата нечетного (третьего, пятого, седьмого,…) порядка.

Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3.

С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх.

 

Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем: магический квадрат 3х3. Сумма  равна  15.

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования (слайд 30).

Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Составлю магический квадрат для себя.

 Возьмем дату рождения 24.04.2004г (слайд 31). Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей): 2+4+4+2+4=16. Далее складываем цифры результата: 1+6=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 16-4=12. И вновь складываем цифры последнего числа: 1+2=3. Получили числа 24.04.2004,16,7,12,3.

         И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим образом.

11	222	3
444	-	6
7	-	-

 Ячейки квадрата означают следующее (слайд 32-37):

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой-то идеи.

      Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

      Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к  постоянному «восстановлению справедливости».

      Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

      Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

     Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающее проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

      Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический  труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

      Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

      Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развито чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам.

      Ячейка 9 – ум, мудрость.

Отсутствие девяток – свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям  открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.

Отметим, что в XVI-XV1I вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды (слайд 38). Даже такие математики и Клод Гаспар Баше, Паскаль Блез, Михаэль Штифель, Паскаль Ферма, Гаусс Карл Фридрих занимались магическими квадратами. В дни моей юности я в свободное время  развлекался тем, что составлял… магические квадраты, писал Бенджамин Франклин. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые предстали, как математическая забава.

За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Так же очень популярна японская головоломка судоку (слайд 39), прародителем которой можно считать магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много  газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Для их успешного решения требуются не только  смекалка и умение подмечать числовые закономерности, но и специальные знания. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».

В IX веке интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45х45,  содержащий числа от 1 до 2025.  Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

Вывод

В условиях отсутствия компьютеров магические квадраты десятки веков приводили людей в неописуемый восторг, когда они как чуду внимали совершенству незатейливых суммирующих закономерностей (слайд 40,41).

Сегодня этим уже никого не удивишь. И то, что раньше казалось таинственным, сегодня таковым не является. Человек научился строить магические квадраты самой разного порядка.

В проекте  рассмотрена  история возникновения  одного из интересных вопросов математики - магических квадратов. Рассмотрены некоторые способы их построения; описаны некоторые их свойства и опробованы найденные способы заполнения магических квадратов.

Однако если полвека  тому назад считалось, что магические квадраты могут рассматриваться только в качестве задач из математических курьезов, то сегодня уже известно об их применение в новейших цифровых технологиях, в программировании.

Математики всегда опережали время, в котором живут. Они смотрели дальше, в будущее. Многие открытия в прошлом веке не были признаны. Изучение магических квадратов всегда будет занятием интересным и актуальным. Поэтому считать, что  данный проект совершенный было бы преждевременным.

Приложение 1.

 

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

Список литературы

1.Глейзер Г.И. «История математики в школе 4-6 классы», Москва, Просвещение , 1964 год.

2.Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики: Пособие   для учащихся 5-6 кл. сред. шк./– М.: Просвещение, 1989

3.Дорофеев Г.В., Шалыгин И.Ф., Суворова С.Б.  и др. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/. – М.: Просвещение: Дрофа, 2006

4.Леман И. « Увлекательная математика», Москва, Знание, 1985 год.

5.Спивак А.В. « Тысяча и одна задача по математике», Москва,Просвещение, 2002 год.

6. Интернет -ресурсы

cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

http://www.domsovetof.ru/publ/raznye_sovety/sovety_psihologija_otnoshenij/numerologija_chisel_kvadrat_pifagora_po_date_rozhdenija_kvadrat_cudby_po_sisteme_pifagora/65-1-0-1650