ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПРОПОРЦИИ. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Новоусманская средняя общеобразовательная школа №3»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ПРОПОРЦИИ. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ.

Работу выполнила:

                  Ахмедова Альфия,

                  учащаяся 6 Е класса.

             Руководитель:

                   Максимова Любовь Николаевна

с. Новая Усмань, 2020г

                                  Содержание

Введение

Основная часть

История возникновения пропорций

Пропорции и их свойства

Золотое сечение

Применение пропорций в жизни

Практическая часть

Заключение

Введение

    Математика увлекательная наука. Сначала мы познакомились с числами, научились производить с ними арифметические действия, потом узнали таблицу умножения, задачи на проценты. Казалось, мы раскрыли секрет математики. Но в этом году мы изучили пропорции и можем с их помощью решать более сложные математические задачи. Многие говорят: «Зачем нужны эти пропорции? Только на уроках математики их решаем. Придём домой, и забыли про них». А так ли это?

    Мне стало очень интересно, только ли в математике мы сталкиваемся с пропорциями? И для чего они нужны в жизни? Чтобы ответить на эти вопросы, я решила глубже изучить эту тему.

Я поставила цель: выяснить, где в реальной жизни мы можем встретиться с        пропорциями.

Определила задачи:

v Изучить  историю возникновения пропорции.

v Рассмотреть применение пропорций в жизни.

v Познакомиться с «Золотой пропорцией».

У меня возникли гипотезы:

v Пропорции используются во всех сферах человеческой жизни, а также в живой природе.

v Золотое сечение – критерий красоты и гармонии.

Основная часть

1.История пропорций

«Ничто не нравиться, кроме

красоты,

в красоте – ничто, кроме

форм,

в формах – ничто, кроме

пропорций,

в пропорциях – ничто, кроме

числа».

Аврелий Августин

        Слово «пропорция» (от латинского proportion) означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой». Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Справедлива и другая пропорция, которая показывает, что отношения точек оригинала такие же, как и отношения расстояний соответствующих точек модели.

        Учение о пропорции особенно успешно развивалось в IV веке до н.э. в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорцией связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.  Понятие пропорции как равенства двух отношений чисел для целых чисел было дано в глубокой древности. Еще древние вавилоняне из рассмотрения подобных треугольников пришли к понятию пропорциональности сторон, выраженных в целых числах.

        Первыми арифметическую теорию пропорций для соизмеримых величин разработали древнегреческий ученый Пифагор (около 580-500 гг до н.э.) и его ученики. Характерной особенностью пифагорейского мышления было не просто стремление все измерять, постигая вещи при помощи чисел, но и соизмерять, т. е. сравнивать измеренные величины и тем самым раскрывать внутренние связи между ними. Дробь как число для пифагорейцев не существовала, поскольку единица («числовой атом») считалась ими неделимой. Поэтому дробь  понималась не как доля единицы — , а как отношение двух целых чисел  .Они рассматривали три вида пропорций:

Арифметическую:    а-в = с-d

Геометрическую:     a: b = c: d

Гармоническую:       

       В 4 веке до н.э.  древнегреческий ученый Евдокс (около 408 – 355 гг. до н.э.) дал систематическое учение о  пропорции, составленной из величин любой природы. Интересно отметить, Евдокс был энциклопедистом своего времени. Он владел многими профессиями, был астрономом и механиком, математиком и авторитетным врачом.

    Строгая теория пропорций была построена в 3 веке до н.э. древнегреческим геометром Евклидом в его знаменитых «Началах», состоящих из 13 книг. Этой теории он посвящает 5 книгу. В основу своей теории Евклид положил учение Евдокса.  Пропорцию Евклид формулирует так: четыре числа a, b, c и  d определяют пропорцию   = , если при любых целых числах m  и n при наличии ma ≤, ≥ nb имеем также mc ≥≤ nd. В настоящее время теория пропорций мало отличается от теории Евдокса – Евклида.

 2.Пропорции и их свойства

        Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. 

       В современной математике применяют различные СВОЙСТВА ПРОПОРЦИЙ.

Основное свойство пропорции.      Если a : b = c : d, то a∙d = b∙c

Обращение пропорции.                   Если a : b = c : d, то b : a = d : c

Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то

 a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции),

d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции.    Если a : b = c : d, то

(a + b) : b = (c + d) : d (увеличение пропорции),

(a – b) : b = (c – d) : d (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием.  Если a : b = c : d, то

(a + с) : (b + d) = a : b = c : d (составление пропорции сложением),

(a – с) : (b – d) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием)

3.Золотое сечение

«Математика владеет

не только истиной, но

и высшей красотой»

          Бертран Рассел

     Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – говорил А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Я познакомилась с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота. Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все.

     Впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи, назвав эту пропорцию «Золотым сечением».  

     Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a : b = b : c или с : b = b : а.

     Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Эта пропорция равна:

  φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544…

Вычислили, что отношение большего к меньшему = 1,61803398875…, а меньшего к большему =0,618…

Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности. Сейчас ряд Фибоначчи это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

4.«Золотая пропорция» в математике

     «Золотой прямоугольник» - прямоугольник с «золотым» отношением сторон.  Он обладает интересными свойствами: если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Рис 1.

Формула 1.1.

    «Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется  1.618   (рис.2  

Возможны два типа золотых треугольников (рис. 2.а, б):

в первом случае , а во втором .

     Есть и «золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются «золотыми треугольниками» (рис.3.). Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Рис. 3.

    Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом жизни и здоровья.

     Последовательно отсекая от «золотых прямоугольников» квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, можно получить довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит – «спираль Архимеда». (рис.4)

Рис. 4

Гете называл спираль «кривой жизни».

5.Пропорции в жизни

      Вокруг нас бесконечно много пропорций, они окружают нас каждый день и каждую минуту. Мы ощущаем пропорции шкафа или холодильника, соизмеряя их высоту и ширину. Мы ощущаем величину всего предмета по отношению к среде, в которой он находится, например, высоту светильника к высоте стены. С глубокой древности люди используют пропорцию в повседневной жизни. Начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как, скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.

 

     Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге. Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно. Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей.

     В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. 

      На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку пропорционально размеру.

       В химии точные пропорции разных веществ при соединении дают возможность получения нового вещества. Если пропорции не соблюдать, то химическая реакция может выйти из-под контроля, и получится Ба-Бах!

    В искусстве также используют пропорцию – «Золотое сечение». Например, в архитектуре: храм Василия Блаженного, Собор Парижской Богоматери, Тадж-Махал. Во всех зданиях присутствует золотая пропорция, это создаёт чувство гармонии и покоя.

     В музыке это этюды Шопена и музыкальные произведения Бетховена, Моцарта, Чайковского – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, которые наполнены чудесной гармонией, в основе которой лежит удивительное Золотое Сечение. Если «измерять» музыкальное произведение по времени его исполнения, то точка золотого сечения служит ориентиром формообразования, часто на нее приходится кульминация. Это может быть также самый яркий или самый тихий момент, самое плотное по фактуре место или самое звуковысотное. Но случается и так, что в точке золотого сечения появляется новая музыкальная тема. По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений, в 1338 сочинениях наблюдалось хотя бы одно золотое сечение. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

   Рис 4.«Мона Лиза» (Джоконда) Леонардо да Винчи

    В живописи это непревзойденная «Мона Лиза» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля и Микеланджело, знаменитого пейзажиста Ивана Шишкина и талантливого русского художника Константина Васильева. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Все говорили о том глубоком знании Леонардо да Винчи о строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту загадочную улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.   Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому для того, чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

       В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

      У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

      В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62/38.

Рис. 5. Ящерица живородящая

Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис.7 . Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

    "Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали.

   Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

 

  

Золотая пропорция присутствует и в строении тела человека. Важнейшей линией нашей фигуры является линия талии или пупка, который делит нашу фигуру на две неравные части, а именно, по Золотому сечению. Соотношение расстояния от кончиков пальца до локтя и от запястья до локтя; соотношение расстояния от уровня плеча до макушки головы и высоты головы; соотношение расстояния от точки пупка до макушки головы и от уровня плеча и до макушки головы; соотношение расстояния от точки пупка до коленей и от коленей до ступней равны соотношению 1/ 1,618.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения, за исключением большого пальца.

.

 6. Практическая часть

Задача №1.  На 4 порции творожной запеканки требуется 600 грамм творога. Сколько творога потребуется для приготовления 11 порций творожной запеканки?

Решение:

                4 порции – 600 грамм

                11 порций – Х грамм

Х= 11*600 ÷ 4= 1кг 650гр

Ответ: 1кг 650 грамм.

Задача №2.    Банк  даёт кредит под 14% годовых. Дядя Фёдор получил кредит – 250 000 рублей. Какую сумму он должен вернуть банку через 3 года?

Решение:

Пусть Х рублей составят проценты за год.

250 000 руб. – 100%

Х руб.- 14%               

Х=250 000*14:100

Х=35 000 руб.

3*35 000=105 000 руб.

250 000+105 000=355 000 руб.

Ответ: 355 000 рублей нужно вернуть банку через 3 года.

Задача №3.  За 1 день три швеи сошьют 17 платьев. За какое время справятся с этой работой 8 швей?

Решение:

                    3 швеи  -  24 часа

                    8 швей  -   Х часов

Х=3*24:8=9ч.

Ответ: 9 часов.

Эксперимент

В ходе работы я провела эксперимент, чтобы выяснить, действительно ли золотая пропорция помогает выстроить композицию картины так, чтобы показать главные элементы картины.  Я нарисовала 3 рисунка.

 

               Рис.1                                             Рис.2

                Рис.3

На первом рисунке по золотому сечению расположен один объект – цветок, на втором – оба объекта, а на третьем объекты расположены случайным образом. Предлагалось выбрать:

1.      Рисунок, который  вам более приятен.

2.     Указать объект, который привлёк ваше внимание в этом рисунке?

В результате, большинство ребят считают рис.№2 наиболее гармоничным.

А те ребята, которые выбрали рисунки под другими номерами, отметили в них объекты, расположенные по золотому сечению. (Рис.1 – цветок, рис.3 – небо).

   Таким образом, математические закономерности помогают выстраивать картину так, чтобы она выглядела гармонично и красиво, а зритель сразу обращал внимание на главное.

Заключение

      Моя исследовательская работа показала, что пропорция – очень важная математическая модель. Человек применяет пропорцию в своей деятельности, и сам является продуктом природы, отвечающим закону пропорции.

     Мои гипотезы подтвердились.

Пропорции сопровождают нас повсюду и являются неотъемлемой частью нашей жизни. Золотое сечение помогает видеть гармонию и красоту окружающих нас творений природы и человека. И вполне обоснованно золотую пропорцию называют божественной мерой красоты, сутью гармонии и равновесия в мире.