Исследовательская работа Простые числа

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНО ШКОЛЫ С УГЛУБЛЕНННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ С. ТЕРБУНЫ

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Исследовательская работа по математике

Автор:

ученик 6 «Б» класса

Волков Владимир Викторович

Руководитель:

учитель математики

Болгова Нелля Васильевна

Тербуны

2013

Содержание:

1. Обоснование выбора темы………………………………………..

4

2. Основная часть

1) Теоретические сведения…………………………………..

5

2) Решето Эратосфена……………………………………….

6

3) Теорема Евклида………………………………………….

8

9) Простые числа-близнецы…………………………………

10

10) Числа-триплеты………………………………………….

11

11) Работа с таблицей простых чисел……………………...

12

4) Скатерть (спираль) Улама………………………………...

14

5) Числа Мерсенна…………………………………………...

16

6) Этапы развития теории простых чисел в средние века...

17

7)Повелитель простых чисел………………………………...

18

8) Современные исследования……………………………...

19

3. Заключение………………………………………………………….

20

4. Выводы………………………………………………………………

21

5. Список использованных источников……………………………...

22

«Простые числа не так просты,

как это кажется с первого взгляда!»

Фома Евграфович Топорищев,

писатель-философ

Цель:

• исследование множества простых чисел.

Задачи:

• выяснить, существует ли математическая формула для их отыскания.

• выяснить, существует ли самое большое простое число?

• исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: если простые числа так просты, как это кажется, то математики давно их изучили, и тогда про них должно быть все известно.

Методы исследования:

• работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

• метод «решето Эратосфена».

• наблюдение, сравнение, анализ

Объект исследования: простые числа.

Обоснование выбора темы

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Меня заинтересовало понятие «простые числа», и я решил изучить историю возникновения простых чисел.

Основная часть

Из школьного учебника математики 6 класса я узнал следующие определения:

Простое число - это натуральное число, которое имеет только два делителя (единицу и само это число).

Примеры: 3 – делители 3 и 1

5 – делители 5 и 1

Составное число - это натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Примеры: 21 – делители 1, 3, 7 и 21

24- делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным числам, ни к простым.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

• Решето Эратосфена

Древнегреческий математик Эратосфен, живший более чем за 200 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством

Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, который придумал именно Эратосфен.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем (красным цветом – см. рис.1). Ближайшим не зачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем (зеленым цветом – см. рис.1). При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее не зачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем (желтым цветом – см. рис.1). Теперь берем семерку, а остальные числа, кратные 7,зачеркиваем (синим цветом – см. рис.1). Повторяя эту процедуру снова и снова, и, в конце концов, добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа (на рис. 1 они обведены в кружок) – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа – “решето Эратосфена”. Анализируя решето Эратосфена видно, что все простые числа либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6.

рис.1

Следующий заинтересовавший математиков вопрос был о количестве простых чисел.

• Евклид

Простыми числами занимался и древнегреческий математик Евклид (IIIв. до н.э.). В своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, он доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Теорема Евклида: «Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их».

Вот доказательство этой теоремы:

Предположим, что существует некое наибольшее простое число p. Тогда перемножим все простые числа, начиная с числа 2 и заканчивая числом p, и увеличим полученное произведение на единицу. Результат этих действий обозначим M.

2*3*5*…*P+ 1=M

Если число M составное, то оно должно иметь по крайне мере один простой делитель, кроме самого себя и единицы. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, … p. Поскольку при делении M на каждое из них получаем в остатке один. Следовательно, число M либо само простое, либо делится на простое число большее p. Значит предположение, что существует наибольшее простое число p, неверно и множество простых чисел бесконечно.

Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа.

Так две с лишним тысячи лет назад Евклид лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.

Много ученых пытались найти общую формулу для записи простых чисел, но все их попытки не увенчались успехом.

• Простые числа-близнецы

Простые числа-близнецы - это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Самые большие известные числа-близнецы

1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Нет пока ответа на вопрос о том, существует ли самая большая пара чисел-близнецов.

• Простые числа-триплеты

Простые числа-триплеты - это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести.

Например:

11,13,17 разница между 17 и 11 равна 6

или:

193, 197, 199 разница между 193 и 199 равна 6

• Работа с таблицей простых чисел.

Мы с ребятами в классе работали с простыми числами. Мы разбились на группы, и каждая группа считала свои числа. Кто-то считал простые числа от 1 до 100, кто-то от 101 до 200 и т.д.

В итоге мы выяснили, что количество простых чисел до 1000 равно 168.

Простые числа от 1 до 100:  25 чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа от 101 до 200: 21 число

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,  173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Простые числа от 201 до 300:  16 чисел

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293

Простые числа от 301 до 400: 16 чисел

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

Простые  числа от 401 до 500: 17 чисел

401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499

Простые числа от 501 до 600: 14 чисел

503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599

Простые числа от 601 до 700: 16 чисел

601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел

701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел

809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887   

Простые  числа от 900 до 1000:  14 чисел

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Еще мы посчитали количество пар чисел-близнецов до 1000: 35 пар.

Числа - близнецы до 500:   3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241;  269-271;  281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463.  (24 пары.)

Числа - близнецы от 500 до 1000:  521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883.  (11 пар.)

И мы сделали вывод: количество простых чисел постепенно уменьшается.

Скатерть (спираль) С. Улама.

Станслав Мартин Улам (1909-1984) – известный американский математик, поляк по происхождению. Суть и цель его метода заключается в выявлении простых чисел из натуральных.

Это великолепная находка математика, который, в отличие от обычных людей, прекрасно ЧУВСТВОВАЛ цифры и числа. Именно это и позволило ему уловить неожиданный геометрический феномен простых чисел.

Скатерть Улама (рис. 2) была открыта случайно — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых линий!

Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют “скатерть Улама”), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Рис. 2

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, простые числа выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 (рис. 3).

57

56

55

54

53

58

45

44

43

52

59

46

41

42

51

60

47

48

49

50

61

62

63

64

65

Рис. 3.

• Марен Марсенн

Марен Мерсенн (1588 - 1648) - французский математик, физик, философ. На протяжении первой половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени

Числа вида

М_p =2^p-1,

где р – простое число, называются числами Мерсенна, впервые заметившего, что среди таких чисел много простых.

Если вычислять по этой формуле, получим:

М₂ = 2² – 1 =3 – простое;

М₃ = 2³  - 1 =7 -  простое;

…………………………...

М₇ = 2⁷  - 1 =127  - простое

……………………………

М₁₁ = 2¹¹ – 1 =2047- составное

Среди чисел Мерсенна есть простые: 3, 7, 31, 127.

Однако, среди них есть и составные.

Например, при р = 11, это число 2047 = 23∙89 – составное.

• Этапы развития теории простых чисел в средние века

Остановимся на некоторых этапах развития теории простых чисел.

В 1603 г. итальянский математик Пьетро Антонио Катальди составил таблицу простых чисел от 2 до 743.

В 1770 году Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

В 1845 году французский математик Жозедо Бертран, исследуя таблицу простых чисел, в промежутке от 1 до 6 000 000 обнаружил, что между числами n и 2n-2 , n>3, содержится по крайне мере одно простое число. Например:

если n=4 получаем число 2*4-2=6. Между числами 4 и 6 действительно одно простое число 5.

Если n=7, то 2*7-2=12. Между 7 и 12 простое число 11.

В дальнейшем это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому ученому не удалось его доказать.

• Победитель простых чисел

За свои гениальные открытия в области теории  простых чисел профессор Петербургского университета П.Л.Чебышев (1821-1894) вошел в историю математики под именем «победителя простых чисел».

Проблема распределения простых чисел в натуральном ряду стояла недоступной крепостью в течение двух тысячелетий. Первый большой шаг в разрешение этой проблемы сделал Пафнутий Львович Чебышев. Он доказал теорему: «Между любым натуральным числом, не равным единице, и его удвоением находится хотя бы одно простое число».

На самом деле, между 2 и 4  находится простое число 3, между 3 и 6 - 5, между 4 и 8  - 5 и 7  и т.д.

• Современные исследования.

Вернемся в наше время. Современным исследователем данного вопроса является Алексей Алексеевич Корнеев, который метод Улама назвал «Методом числового вмещения».

А.А.Корнеев утверждает, что при анализе этого метода не было сделано должных выводов и обобщений в отношении смысла этого феномена.

Корнеев предлагает провести практические исследования в сфере астрономии для обнаружения особых геометрических феноменов и особых объектов, подобных расположению простых чисел на скатерти С. Улама. Кроме этого, Корнеев утверждает, что и сами числа изучены недостаточно, у них есть скрытые качества! Не зря ряд чисел удивительным образом встраивается во все природные явления

Заключение

Математикам всего мира до сих пор хочется найти формулу, позволяющую хотя бы указать точное число простых чисел на любом интервале числовой оси, но, сколько ни бились математики, им так и не удалось найти желанную формулу. Существуют миллионы простых чисел, имеющих ровно 100 цифр, но пока ни одно такое число не обнаружено. Долгое время рекордно большим среди известных простых чисел являлось число 2¹¹²³¹-1. Запись его содержит около 3376 цифр, а обнаружил его в 1963 году с помощью ЭВМ Дональд Б. Джиллис. До того, как были изобретены современные компьютеры, проверка даже шести - или семизначных чисел требовала нескольких недель утомительных вычислений. Эйлер как-то заявил, будто число 1 000 009 - простое, но позднее обнаружил, что оно является произведением двух чисел 393 и 3413..

1 000 009= 393*3413

Итак, в наше время изучение простых чисел продолжается…Современные компьютеры помогают находить большие простые числа, но их возможности тоже ограничены, так как множество простых чисел бесконечно.

С помощью ЭВМ найдено самое большое простое число Мерсенна

2 ^р -1 при р = 216091.

Выводы:

• Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы кирпичики, из которых строятся все остальные числа.

• Для простых чисел не существует формулы, по которой их можно вычислить.

• Не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна.

• Многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение темы «Простые числа»

• В настоящее время исследование темы продолжается, ученые делают и будут делать новые открытия!

• В работе «Простые числа» я изучил историю, закономерности и свойства простых чисел. Убедился, что указать самое большое простое число невозможно, т.к. они бесконечны.

• Мир чисел велик, но не все еще в этом мире изучено. Может быть, именно нам суждено найти, например, самую большую пару чисел-близнецов.

Казалось бы, простые числа – чего уж может быть проще. А, оказывается, можно сделать еще столько открытий, и столько проблем ждут своего доказательства.

Список использованных источников

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика 6 класс», М.: «Мнемозина», 2012

2. Википедия — свободная энциклопедия, Интернет https://ru.wikipedia.org

3. Гарднер М. «Математические досуги» перевод с английского Ю.А. Данилова. Под ред. Я.А. Смородинского. М.: «Оникс», 1995.

4. Корнеев А.А. «Познание чисел – «вмещением». Глобальный принцип Улама & Ко (гипотеза)» М. 2007-2008.

5. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы» – М.: Просвещение, 1990.

6. «Энциклопедический словарь юного математика» Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.