МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 108» г. Перми

«Сравнения аналитического и графического способа решения задач с параметром»

Выполнил - ученик 10 «А» класса

МАОУ «СОШ № 108»

Юлдошев Амир

Руководитель -

учитель математики

МАОУ «СОШ № 108»

Пушкарёва Елена Юрьевна

г. Пермь, 2017

Содержание

Обоснование выбора 3

Цели и задачи 3

Введение 4

Глава 1. Решение задач с параметром 5

1.1. С помощью аналитического способа 5

1.2. С помощью графического способа 7

Глава 2. Сравнение аналитического и графического способа 10

Заключение 12

Список использованных источников информации 13

Приложения 14

Обоснование выбора

Все ученики, достигшие конца 11 класса, сдают Единый Государственный Экзамен (далее ЕГЭ), который определит их уровень знаний за все 11 лет обучения и поможет при поступлении в Высшие Учебные Заведения, но готовиться к этому непростому экзамену нужно заранее. В особенности, нужно готовиться к экзамену по математике, потому что математика в современном мире повсюду, она - царица всех наук, фундамент, на котором строится человечество.

В начале 10 класса мой учитель сказал мне, что в ЕГЭ существуют задания, которые не входят в программу обучения в обычных школах, поэтому я решил изучить эту тему с помощью моего учителя математики и написать исследовательскую работу на эту тему.

Цели и задачи

Цели:

Сравнить два способа решения задач с параметром: графический и аналитический, и выявить такой способ, с помощью которого можно бы было решать практически все задачи, представленные на ЕГЭ в задании 18, легко и быстро, для того чтобы оставалось намного больше времени на другие задания.

Задачи:

1. Изучить способы решения задач с параметром.

2. Сравнить способы решения задач с параметром.

3. Выявить наиболее рациональный способ решения задач с параметром.

Введение

Для начала нужно определить, что же такое задачи с параметром? Задачи называют параметрическими (с параметром) только в тех случаях, когда некоторые коэффициенты заданы не конкретным числом, а обозначены буквами. Способов решения таких задач существует несколько: аналитический и графический. Чем же отличаются эти способы решения? Аналитический способ - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра, а в графическом способе рассматриваются графики или в координатной плоскости , или в координатной плоскости .

Существуют 4 основных типа задач с параметрами:

1 тип. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

2 тип. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

3 тип. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.

4 тип. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Ни один из способов решения задач с параметром не является универсальным для всех типов задач, но все же среди этих двух способов есть один способ, который будет являться наиболее рациональным для решения 18 задания ЕГЭ.

Глава 1 Решение задач с параметром

Для того чтобы узнать, какой способ решения задач с параметром более рационален, нужно решить типовые задачи этими способами.

Чтобы показать график, полученный при решении задач с параметром, я использовал кроссплатформенное приложение GeoGebra, у которой имеются богатые возможности работы с функциями.

1.1. Аналитический способ

Решим несколько задач с параметром с помощью аналитического способа решения. С самого начала решим задачу первого типа, в которой нужно решить уравнение для всех значений параметра.

1) При

При

2)

Теперь, когда мы рассмотрели все а от до и решили уравнения для всех а, мы можем записать ответ.

Ответ: При

При

При

Решим еще одну задачу, которая взята из январского варианта сайта РешуЕГЭ.

При каких значениях уравнение имеет единственное решение.

Заметим, что если является решением уравнения, то и число также является решением этого уравнения. Значит, ссли уравнение имеет единственное решение, то это решение . При уравнение принимает вид

При и исходное уравнение принимает вид . При правая часть уравнения . При левая часть уравнения не меньше 4 , причем равенство достигается только при . При правая часть уравнения . Значит, исходное уравнение имеет единственное решение .

При исходное уравнение принимает вид . Числа -2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет исходное решение при и .

Ответ: , .

Решив несколько задач с помощью аналитического способа, становится понятно, что этот способ очень сложный для понимания, так как можно запутаться, не увидеть чего-нибудь. Этот способ является одной из сложнейших вещей, которые я видел и пытался понять. Поэтому лучше перейти к наглядному способу решения задач с параметром - графическому.

1.2. Графический способ

Решим еще несколько заданий из ЕГЭ только уже графическим способом решения задач с параметром.

Для первой задачи нужно найти, при каких значениях а график пересекает в 3 точках.

Этот график является окружностью с центром в точке (4;4) и радиусом 3.

А: график пересекает график в трех точках

- не подходит

B: график пересекает в трех точках при .

С: график пересекает в трех точках при

- не подходит

Мы нашли все случаи, при которых график пересекал в трех точках.

Ответ:

Для второй задачи нужно найти все а, при которых пересекалось бы с ровно в 1 точке:

Графиком данной функции является две окружности, которые симметричны относительно оси oY с центрами в точках (3;4) и (-3;4) и радиусами 2.

- прямая; при получается .

Ответ:

Глава 2. Сравнение аналитического и графического способа

Теперь приступим к решению одной задачи двумя разными способами, что поможет сравнить эти способы.

Для этой задачи нужно найти такие а, при которых пересекает график хотя бы в одной точке:

1 способ - графический:

– прямая.

- окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

С помощью графического способа решения задач можно, глядя на график, решить задачу .

Найдем гипотенузу получившегося прямоугольного треугольника:

Так как радиус окружности , то . При этом график пересекает график , следовательно, и есть решение этой задачи.

2 способ - аналитический:

Мы также получаем тот же ответ, но для этого мы проделали путь труднее, так как без просмотра графика функции всегда сложнее понять, что требуется от человека.

Заключение

Когда я начинал эту работу, я думал, что в выводе напишу о том, что графический способ более рационален для решения задач с параметром, но после того как я посмотрел множество заданий, которые представлены на ЕГЭ, понял, что бывают такие задания, которые будет сложно решить графическим способом, но есть и задания, которые сложно решить аналитическим способом, но очень легко графическим. Поэтому после такого столкновения этих двух способов, можно сказать, что ни один из этих способов не является универсальным инструментом для решения задач с параметром.

Для того чтобы быть уверенным, что задание №18 ЕГЭ решено верно, нужно, как я выяснил, уметь решать задачи с параметром двумя способами: графическими и аналитическим, так как это поможет сохранить время на ЕГЭ, потому что есть такие задания, которые решаются одним способом легко, а другим очень сложно.

При подготовке к НПК я смог научиться решать задачи с параметром средней и легкой степени сложности графическим способом и только легкие задачи с параметром аналитическим способом. Но я продолжу изучать эту тему и дальше, чтобы постичь и овладеть этой темой полностью, чтобы знать, что я смогу решить это задание, когда прибудут экзамены.

Список использованных источников информации

Библиографический список:

1. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. — М.: Научный мир, 2011 — 316 с.: 262 ил. ISBN 978-5-91522-257-0

2. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. ISBN 978-5-94057-270-1

3. Программа элективного курса «Графический способ решения заданий с параметрами». Составитель Пушкарѐва Елена Юрьевна, учитель математики

Интернет ресурс:

1. GeoGebra — https://geogebra.org/

2. Методы решения задач с параметром — http://festival.1september.ru/articles/631690/

Приложения

Приложения №1

Приложение №2

Приложение №3

Приложение №4