Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Исследовательская работа "Степень" (5 класс)

Исследовательская работа "Степень" (5 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_64b8aa6b.gifhello_html_4013b9c8.gifhello_html_m20cb2f0b.gifhello_html_m38c92f6a.gifhello_html_4118f1f1.gifhello_html_m5a7630ca.gifhello_html_m3d7d0bc7.gifhello_html_m3c1f0002.gifПортфолио проекта

Паспорт проекта

Проект: Степень

Разработчик: Сильман Денис

Класс: 5

Название, номер учебного учреждения, где выполнялся проект: муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Гимназия № 10», Центральный округ

Предметная область: математика

Время разработки: сентябрь 2014г - февраль 2015г

Проблема проекта: есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? Существуют ли быстрые приемы вычисления степени? Как узнать, не прибегая к калькулятору, является ли число точным квадратом?

Цель проекта: найти ответы на заданные вопросы

Задачи: научиться применять быстрые способы вычисления степени; создать опорную таблицу «Последняя цифра степени».

Тип проекта (по виду деятельности): исследовательский

Используемые технологии: мультимедиа.

Форма продукта проекта: опорная таблица.

Содержание: мы очень часто сталкиваемся со степенью в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. 

Исследование: выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа

Область применения результата проекта:

- учебная (уроки математики);

- внеклассная работа (кружковая работа, элективный курс).

Результативность: повышение интереса к математике

Содержание

Паспорт проекта

Описание работы над проектом

Введение

  1. Степень числа

  2. Быстрые способы возведения в квадрат двузначных чисел

  3. Возведение в куб двузначных чисел

  4. Точные квадраты

  5. Последняя цифра степени

Заключение

Список используемых источников и литературы




















Описание работы над проектом

Введение

Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы с начальной школы, пришло время познакомиться с пятым действием: возведение в степень.Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. 

Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? Существуют ли быстрые приемы вычисления степени? Как узнать, не прибегая к калькулятору, является ли число точным квадратом?

Целью моей работы – найти ответы на заданные вопросы

Задачи:

- научиться применять быстрые способы вычисления степени;

- создать опорную таблицу «Последняя цифра степени».

Методы исследования:

- изучение литературы;

- анализ;

- сравнение.

Планирование работы над проектом

  1. Изучение литературы по теме.

  2. Выявление быстрых способов вычисления степени.

  3. Решение задач повышенной трудности.

  4. Формулирование итогов и выводов.



1. Степень числа

Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью: а ааа = а4.

Читают: «а в степени 4» (или просто «а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

Степенью числаа с натуральным показателем n (n1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

аn = а аа …  а, n1.

n раз

а1

а2 – «а в квадрате»

а3 - «а в кубе»

2. Быстрые способы возведения в квадрат двузначных чисел

1) Рассмотрим возведения двузначного числа оканчивающегося на 5, в квадрат.

3

252 = 25  25 = 625


Существует очень простой приём для устного возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее число и к произведению приписать 25.


Вычислим:

15  15 = 225

35  35 = 1225

45  45 = 2025

55  55 = 3025

65  65 = 4225

75  75 = 5625

85  85 = 7225

95  95 = 9025

А трехзначные числа, содержащие в числе десятков 0 и оканчивающиеся на 5 возвести в квадрат еще легче. Сотни возводим в квадрат и пишем слева, к полученному произведению приписываем первые две цифры данного трехзначного числа, а затем приписываем 25.

Например, 105 сотни возводим в квадрат и пишем слева (1), к полученному произведению приписываем первые две цифры данного трехзначного числа (110), а затем приписываем 25 (11025).

7052 = 497025

8052 = 648025

6052 =366025

5052=255025

4052=164025

3052=93025

2052=42025

2) Рассмотрим прием возведения в квадрат произвольного двузначного числа.

-3

10

+3

132 16  10 + 32 = 169

16

282 = 20  36 + 82 = 720 + 64 = 784, другой вариант 282 = 30  26 + 22 = 780+4= 784.

Вывод: если возводимое число в квадрат оканчивается на 1, 2, 3, 4 округляем в меньшую сторону, если оканчивается на 6, 7, 8, 9 – округляем в большую сторону.

732 = 70·76+32=5320+9=5329

372 =40·34+32=1360+9=1369

892 =90·88+12=7920+1=7921

422 = 40·44+22=1760+4=1764

962 =100·92+42=9200+16=9216

642 =60·68+42=4080+16=4096

782 =80·76+22=6080+4=6084

512 =50·52+12=2600+1=2601

Будет ли работать данный способ для трехзначных чисел?

1032 = 100·106+32= 10600+9=10609

2082 = 200·216+82=43200+64=43264

1122 = 100  124+122= 12400+1014+22 = 12400+140+4=12544

3462 = 300·392+462=117600+50·42+42=117600+2100+16=119716

7812 = 800·762+192= 69600+20·18+12= 69600+360+1=69961

3. Возведение в куб двузначных чисел

Воспользуемся способом возведения в квадрат.

Т.к. 133 = 132 13, то 133 = ((13 – 3)  (13 + 3) + 32) 13 =10  16 13 +

+ 9  13 = 130  4  4 + 117 = 2080 + 117 = 2197

Метод основан на алгебраическом наблюдении, которое выявило, что А3 = (А – d)А(А+d) + d2А.

Возведем

123 = (12-2)(12+2)·12+22·12=10·14·12+48=1680+48=1728

173 = (17-3)(17+3)·17+32·17=14·20·17+9·17=4760+153=4913

213 = 20·22·21+1·21=840·11+21=9240+21=9261












4. Точные квадраты

Существует и обратная операция степени. С помощью одного алгоритма мы научились определять, является ли число точным квадратом, т. е. существует ли такое число в квадрате, которое давало бы искомое.

Например. Надо выяснить является ли 86436 – точным квадратом, т.е. существует ли х2 = 86436.

Разбиваем данное число справа налево по две цифры. У нас получилось три группы чисел (8'64'36), первое из которых однозначное число 8. Первая цифра искомого числа должна быть наибольшей, квадрат которой не превышает 8. Это цифра 2, так как 22 = 4 < 8. Квадрат её, число 4, подпишем под числом 8 и вычитаем из восьми число четыре. Сносим следующие две цифры 6 и 4. Слева от полученного числа 464 проводим вертикальную черту. Первую найденную цифру 2 удваиваем и подписываем слева от черты, оставляя место для одной цифры между четвёркой и чертой. Эту цифру подбираем так, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту найденную цифру не превышало число 464. Этой цифрой является 9. Действительно, 49 ∙ 9 = 441 < 464. Найденная цифра 9 является второй цифрой искомого числа. Вычитаем из числа 464 число 441 и сносим последнюю пару цифр 3 и 6. Образовалось число 2336. Снова удваиваем уже число 29 и также слева от черты пишем число 58, оставляя для следующей цифры место между числом 58 и чертой.

Подбираем эту цифру так, чтобы произведение этого трёхзначного числа на эту цифру было наибольшим, но не превышало числа 2336. Найденная цифра 4 является последней цифрой искомого результата, то есть квадратный корень числа 86436 будет равен 294.

8 64 36 = 2942http://balashiha-school11.narod.ru/Pic1.jpg



Рассмотрим несколько примеров.

C:\Users\ольга\Downloads\IMG_0219 (1).JPG C:\Users\ольга\Downloads\IMG_0218 (3).JPG

5. Последняя цифра степени

Выполняя различные задания по теме, я встретил следующее задание: Какой цифрой оканчивается число 4100?

41=4, 42=16, 43=64, 44=256

Если n-четное, то степень оканчивается на 6;если n-нечетное, то степень оканчивается на 4. Ответ. 6

Мы решили составить таблицу - помощник для быстрого выполнения таких заданий.

Вычислим.

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 256

29 = 512

210 = 1024

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81

35 = 243

36 = 729

37 = 2187

38 = 6561

39 = 19683

310 = 59049

41 = 4

42 = 16

43 = 64

44 = 256

45 = 1024

46 = 4096

47 = 16384

48 = 65536

49 = 262144

410 = 1048576

51 = 5

52 = 25

53 = 125

54 = 625

55 = 3125

56 = 15625

57 = 78125

58 = 390625

59 = 1953125

510 = 9765625

61 = 6

62 = 36

63 = 216

64 = 1296

65 = 7776

66 = 46656

67 = 279936

68 = 1679616

69 = 10077696

610 = 60466176


71 = 7

72 = 49

73 = 343

74 = 2401

75 = 16807

76 = 117649

77 = 823543

78 = 5764801

79 = 40353607

710 = 282475249


81 = 8

82 = 64

83 = 512

84 = 4096

85 = 32768

86 = 262144

87 = 2097152

88 = 16777216

89 = 134217728

810 = 1073741824


91 = 9

92 = 81

93 = 729

94 = 6561

95 = 59049

96 = 531441

97 = 4782969

98 = 43046721

99 = 387420489

910= 3486784401


Заполним таблицу – помощник.

аn, а-основание степени; n – показатель степени

а n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Вывод

2

2

4

8

..6

..2

..4

..8

..6

..2

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

3

3

9

..7

..1

..3

..9

..7

..1

..3

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

4

4

..6

..4

..6

..4

..6

..4

..6

..4

Если n-четное, то степень оканчивается на 6;если n-нечетное, то степень оканчивается на 4

5

5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

Всегда оканчивается на 5

6

6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

Всегда оканчивается на 6

7

7

..9

..3

..1

..7

...9

..3

..1

..7

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

8

8

..4

..2

..6

..8

..4

..2

..6

..8

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

9

9

..1

..9

..1

..9

..1

..9

..1

..9

Если n-четное, то степень оканчивается на 1; если n-нечетное, то степень оканчивается 9


Пример 1. На какую цифру оканчивается число 22015?

Вывод. Через четыре шага будет повторяться последняя цифра (см. в таблицу).

2015 : 4 = 53 (ост. 3)

Ответ. 8

Пример 2. На какую цифру оканчивается число 51979?

Вывод. Всегда оканчивается на 5

Ответ. 5

Пример 3. На какую цифру оканчивается число 37 + 73?

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

37 – оканчивается 7 (т.к. 7 : 4 = 1 (ост.3))

73 – оканчивается 3

Значит, ответ будет 0.






Заключение

Работая над проектом, мы выяснили, что существуют быстрые приёмы вычисления степени, научились их применять для выполнения различных заданий. Познакомились с понятием - точный квадрат числа. Исследовали изменения последней цифры степени натурального числа. Составили опорную таблицу для быстрого решения заданий повышенной трудности.

Каждый знает, как высока операционная скорость компьютеров. Если нужно провести расчеты, им нет равных, и где человеку тягаться с такими сложными машинами! Но даже лучший инженер в мире – природа – не создала более совершенного, чем человеческий мозг. Недаром один мудрец, когда его спросили, что быстрее всего на свете, ответил: «Человеческая мысль».























Список используемых источников и литературы

1. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г.

2. Кузьмин О.В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения. Соросовский образовательный журнал, том 6, № 5, 2000

3. Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы — М.: Мир, 1974. — 456 с.

4. Успенский В. А.. Треугольник Паскаля. - 2 - е изд. – М.:Наука, 1979. – 48с.


















Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров427
Номер материала ДВ-520260
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх