Исследовательская работа Трапеция известная и неизвестная

Министерство  образования  Республики   Беларусь

Отдел по образованию Новополоцкого  горисполкома

                                                            Государственное учреждение  образования

                                                             «Средняя школа №4  г.Новополоцка»

Трапеция известная и неизвестная

Учащиеся  8 «Б» класса

Литвин Василина, Сафонова Эрика,

Петкевич Марк, Прянник Ярослав

Научный руководитель:

Пискунова Оксана Иосифовна,

учитель математики высшей категории

Новополоцк, 2024

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………… 3

1.  Экскурс в историю: происхождение  термина …………………………  4

2.  Трапеция из учебника: известные факты о трапеции …………………  5

3.  Дополнительные свойства трапеции……………………………………  8

4. Методы решения задач с трапециями………………………………… .. 13

5. Три  способа решения одной задачи…………………………………… .15 

6.  Задачи на трапецию в экзаменационном  сборнике……………………17 

7. Задачи на трапецию из   ЦТ……………………..………………………  18

Заключение…………………………………………………………………. 19

Список использованных источников …………………………………….. 20 

Приложения …………………………………………………………………21

ВВЕДЕНИЕ

Слово «трапеция» встречалось нам еще в детском саду в развивающих играх, мы слышали его дома от мамы, которая примеряла юбку трапецией, от бабушки, которая сожалела о том, что пальто «трапеция» вышло из моды, от дедушки и папы, которые мастерили на даче стол в виде трапеции, чтобы за ним разместилась  большая семья.  Слово «трапеция» звучало из уст тренера в спортивной передаче и от медика. Получив учебник геометрии в 8 классе, мы увидели, что будем изучать трапецию на уроках математики.

Приходя в кабинет математики после уроков у старшеклассников, мы слышали, что во многих задачах 10 и 11 класса надо применять свойства трапеции не только основные, которые доказаны в учебнике 8 класса, но и другие свойства, которые получаются при решении задач на доказательство.

Нам показалось интересным изучить трапецию всесторонне. Мы выдвинули гипотезу: владение полной информацией о трапеции, знание не только основных свойств, но и свойств, полученных при решении задач на доказательство, поможет в выборе рациональных методов на пути к верному ответу и сэкономит время на решение.

Цель работы: разработка «шпаргалки – подсказки»  по теме «Трапеция», включающая свойства трапеции и приемы, применяемые при решении задач на трапецию.

Нами были  поставлены следующие задачи:

Ø изучить  тему «Трапеция, площадь трапеции» в школьном учебнике геометрии;

Ø изучить дополнительную литературу  из разных источников, найти  свойства, которых нет в учебнике;

Ø рассмотреть все методы, которые применяются при решении задач на трапецию;

Ø проанализировать «Сборник заданий для выпускного экзамена по учебному предмету «Математика» за период обучения и воспитания на 2 ступени общего среднего образования», решить  все задачи на трапецию и составить рекомендации к их решению;

Ø составить  подборку  задач на применение свойств трапеции из заданий централизованного тестирования последних лет;

Ø составить «Шпаргалку-подсказку» по теме «Трапеция».

Методы исследования: наблюдения, изучение литературных данных анализ, синтез, сравнение, практический метод (составление рекомендаций к решению задач, составление краткой «шпаргалки»).

Объект исследования: трапеция как геометрическая фигура.

Предмет исследования: свойства и формулы, необходимые для оптимального выбора пути решения задачи.

1. ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ:  ПРОИСХОЖДЕНИЕ ТЕРМИНА

Трапе́ция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны [1].

Однако термин "трапеция" встречается не только в математике. Википедия нам подсказывает, что «Трапе́ция — гимнастический снаряд, представляющий собой горизонтальную деревянную или металлическую перекладину, закреплённую на длинных вертикальных тросах». Знакомо это слово и  цирковым артистам.  Начиная с 19 века, в цирке применяется воздушная трапеция. Она изобретена французским артистом Джулиусом Леотардом для упражнений гимнастов или акробатов под куполом.

Слово «трапеция» известно спортсменам, которые занимаются тяжелой атлетикой или являются поклонниками бодибилдинга. Такое называние носит определенная группа мышц, при накачивании которых создается красивый рельеф тела.

Известна трапеция и в архитектуре. Своды в виде трапеции встречаются в самых древних архитектурных сооружениях. Простые и логические линии трапеции  придают помещению торжественность и возвышенность. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, в храмах.  

Найти трапецию можно и в космосе. В созвездии Ориона имеется яркое звёздное скопление под именем Трапеции Ориона. В верховьях ледника Октябрьский высится пик Трапеция (6050 м). Гора Альпамайо, напоминающая по форме трапецию,  расположена на горной цепи Кордильера Бланка, Анды, Перу. Гора Альпамайо считается самой красивой горой в мире.  На Большом Кавказе известно одно озеро — Самурское.  Оно имеет вид неправильной трапеции.

Любой, кто работает в индустрии моды, скажет, что трапеция – декоративный силуэт, линии которого расходятся к низу, отвлекая внимание от естественных форм фигуры и помогая её скорректировать. Юбка, платье или пальто,  имеющие  форму трапеции не теряют своей актуальности  с 1947 года. Именно тогда французский модельер Кристиан Диор, на показе мод, представил юбку в форме трапеции [2].

         Таким образом,  является очевидным, что объединяет все эти области именно геометрическая составляющая.

         Само слово «трапеция» появилось в древней Греции. Впервые оно встречается у греческого математика Посидония (1 в).  По-гречески «trapedza» значило «стол», «trapezion» — «столик». Из второго слова создалось наше «трапеция» — известная математическая фигура с двумя равными и двумя параллельными сторонами: именно такой формы столы бывали в Греции. Первое слово — по тем столам, за которыми вкушали пищу монахи византийских монастырей, — начало обозначать и самый этот процесс, еду, — «трапезу» [2].

2. ТРАПЕЦИЯ ИЗ УЧЕБНИКА: ИЗВЕСТНЫЕ ФАКТЫ О ТРАПЕЦИИ

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны,  а две другие – нет (рис 1).                   

Рисунок 1. - Трапеция

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

Рисунок 2. - Название сторон трапеции

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

Рисунок 3. - Высота трапеции

На рис.3 отрезки DM, ON, QP являются высотами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

Рисунок 4. - Средняя линия трапеции

На рисунке рис.4 MN  является средней линией    трапеции ABCD, причем AM=MD,BN=NC.

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (рис.6).

Трапеция называется прямоугольной (рис.5), если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.

Трапеция называется разносторонней (рис.7), если длины всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоугольная и не равнобедренная).

Рисунок 7. - Разносторонняя трапеция

Общие свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Свойства равнобедренной трапеции

Свойство 1. В равнобедренной  трапеции углы при любом  основании равны.

Свойство 2. В равнобедренной  трапеции диагонали равны.

Свойство 3. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

                    .              

Свойства прямоугольной трапеции:

·                   Углы при меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции являются прямыми углами (равны 90).

·                   Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.

·                   Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

·                   Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

·                    Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Признаки равнобедренной трапеции

1.                           Если углы при некотором основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

2.                            Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S =. Где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

Или

Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту.

S =, где m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции [3].

3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ

3.1 Вторая средняя линия трапеции

Определение.

Вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции (рис.8).                  

                          Рисунок 8. - Вторая средняя линия трапеции

ТК – вторая средняя линия трапеции АВСD.

Свойства второй средней линии трапеции

1) В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам;

2)  Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке;

3) Средняя линия и вторая средняя линия  равнобедренной трапеции перпендикулярны;

4) Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой. [4]

3.2. Свойство четырех точек

Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой (рис.9).

                        Рисунок 9. - Свойство четырёх точек

3.3 Свойства биссектрис углов трапеции

1) Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º (Доказательство представлено в Приложении 1).

2) Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

3) Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции (Доказательство представлено в Приложении 1).

4) Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

5) Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3.4 Свойства отрезков, параллельных основаниям

1) Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой, называемой средней линией трапеции или среднем арифметическим оснований.  Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований (рис.10).

 

                                                                           Рисунок 10. - Свойства отрезков, параллельных основаниям

2) Отрезок, параллельный основаниям и разбивающий трапецию на две равновеликие трапеции, равен среднему квадратичному оснований (рис.11).

 ЕF =

  

               Рисунок 11. - Свойства отрезков, параллельных основаниям

3)  Отрезок, параллельный основаниям,  имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований (рис. 12).

LK =

                                                               Рисунок 12. - Свойства отрезков, параллельных основаниям

4) Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен среднему гармоническому оснований.

                                      YХ =

                                                                  Рисунок 13. Свойства отрезков, параллельных основаниям

3.5  Свойства диагоналей трапеции

1) Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.

2) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме  оснований.          

3) Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции.

4) Во всякой трапеции треугoльники, которые образуются отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции , являются равновеликими.

5) Во всякой трапеции треугoльники , которые образуются отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

3.6 Связь между основаниями и диагональю

В трапеции с пересекающимися основаниями и диагональю существуют определенные связи между этими элементами.

Одна из таких связей – сумма оснований и диагональ равна дважды большему основанию:   a + b + d = 2c .   Где:  a – длина меньшего основания,  b – длина большего основания,  c – длина диагонали , d — разность оснований (d = |a — b|) [5].

3.6 Формулы и свойства площади трапеции

1) Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату суммы оснований, деленному на 4.

          S=  , где a и b – основания трапеции.

2) Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты данной трапеции.

          S= h² ,  где h – высота трапеции.

3) Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними.

S=⋅sinα,  где  диагонали трапеции, α – угол между ними.

4)  S =  ·h,  где P — периметр трапеции;

с и d — боковые стороны трапеции;     h — высота трапеции;

5. S=  

a,b — основания трапеции;  с,d — боковые стороны трапеции;

6) Площадь трапеции через синус угла, среднюю линию и боковую сторону:

S=ld⋅sinα

l — средняя линия равнобедренной трапеции;

d — боковая сторона равнобедренной трапеции;

α — угол при боковой стороне d равнобедренной трапеции;

7) Площадь трапеции через диагонали и синус угла:

S= · sin α

d — диагональ равнобедренной трапеции;

α — угол между двумя диагоналями в равнобедренной трапеции;

8.  Площадь равнобедренной  трапеции через основания, если ее диагонали взаимно перпендикулярны S= ( )², где a,b — основания трапеции (рис. 14).

Рисунок 14. Площадь равнобедренной трапеции

S=   ·  .

9. Площадь трапеции через площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и оснований, отрезками диагоналей и боковыми сторонами [8].

Рисунок 15. - Площадь трапеции

 S = ( +  )²;      S₀=;     S = 

4. МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ТРАПЕЦИЯМИ ПУТЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТРОЕНИЙ

1) Продолжить боковые стороны трапеции до взаимного пересечения (рис. 16).

Рисунок 16. Дополнительные построения

Данный прием используется в случаях, если известны углы при основании, сумма углов при основании, отношение оснований, отношение боковых сторон.

2)  Провести через вершину верхнего основания (например В) прямую, параллельную боковой стороне (ВК || СD)  (рис.17).

Рисунок 17. - Дополнительные построения

Данное построение поможет в случае, если известны боковые стороны, углы при основании, сумма углов при основании или разность оснований.

3) Провести через вершину верхнего основания трапеции (например С) прямую, параллельную диагонали ВD(СE || ВD) (рис. 18).

Рисунок 18.- Дополнительные построения

Данное построение целесообразно выполнять, если известны угол между диагоналями, длины диагоналей, углы между основанием и диагоналями, сумма оснований/средняя линия. [13]

4) Провести высоты  в трапеции (рис. 19).

Рисунок 19. - Дополнительные построения

Данное построение выполняем, когда   известна высота и к этому дополнительно известны боковая сторона/стороны, углы/, угол при основаниях, меньшее основание [8,9].

5. ТРИ СПОСОБА РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Диагонали  АС и ВD трапеции  пересекаются в точке О. Площади треугольников ОВС и ОАD равны соответственно 3 и 27.Найти площадь трапеции (рис. 20).

Решение. (Способ 1)

Рисунок 20. - Рисунок к решению задачи тремя способами

S =

1) Треугольники ОВС и ОDА подобны по двум углам, так как углы ВОС и АОD равны, как вертикальные, а углы СВО и АDО  равны как внутренние накрестлежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей ВD.

2) По свойству подобных треугольников  = к². Отсюда  к =  .

3) Значит ОС : АО = к =  . Отсюда АО = 3·ОС.

Проведем высоту h из вершины В к АО.АО будет высотой треугольника АОВ и высотой треугольника СОВ.

 АО ·h ;   ОС ·h. Из второй формулы ОС ·h = 6. Тогда  ·3·ОС ·h = 3·3 = 9.

S = 3+27+9+9 = 48

Ответ: 48.

Решение  (Способ 2)

 S = ( +  )²;  S = ( +  )² = 3+27+  = 30 + 18 = 48.

Ответ: 48.

Решение  (Способ 3)

S =        ;

 =

S = 3+ 27 + 18 = 48.

Ответ: 48.

Вывод. Знание формул нахождения площади трапеции через площади треугольников, образованных  отрезками ее диагоналей и основаниями, а также формул для площадей треугольников, образованных отрезками диагоналей и боковой стороны,   позволяет значительно экономить время решения задачи.

6. ЗАДАЧИ НА ТРАПЕЦИЮ В ЭКЗАМЕНАЦИОННОМ СБОРНИКЕ

В5  №7  В трапеции ABCD основание ВС = 7 см, основание AD = = 14 см. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, причем ОС = 3 см. Найдите АС.

В6  №7. В трапеции ABCD основание ВС = 9 см, основание AD = = 18 см. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, причем ОД = 8 см. Найдите BD.

В11 № 7 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой основания равны 17 см и 9 см, а большая боковая сторона равна 10 см.

В 12  №7  Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой основания равны 6 см и 18 см, а большая боковая сторона равна 15 см.

В 13  № 6 Высота трапеции равна 7 см, одно из оснований в 5 раз больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 84 см².

В 14  №6 Высота трапеции равна 9 см, одно из оснований в 3 раза больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 72 см².

В15№10 Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 см и 15 см.

В 16№10  Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 7 см и 13 см.

В 23 № 10  Большее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении 3:13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 24 см.

 В 24 № 10  Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении 5:11. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 20 см.

В 41 № 10 В трапеции ABCD AD и ВС - основания, О - точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника АОВ равна 12 см², BC: AD=3:4. Найдите площадь трапеции.

В 41 № 10. В трапеции ABCD AD и ВС - основания, о - точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника COD равна 15 см³, BC: AD=3: 5. Найдите площадь трапеции.

В 45 № 10  В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 90°, средняя линия трапеции равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

В 46 № 10 . В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 90°, средняя линия трапеции равна 8 см. Найдите площадь трапеции.

В 63 № 9  ABCD - трапеция с основаниями ВС и AD, О - точка пересечения ее диагоналей. Докажите, что треугольники АОВ и DOC равновелики.

В 64 № 9  . ABCD - трапеция с основаниями ВС и AD, CK | BD, где К є AD. Докажите, что треугольник АСК и трапеция ABCD равновелики [6].

 (Рекомендации к решению в Приложении 2)

7. ЗАДАЧИ НА ТРАПЕЦИЮ ИЗ   ЦТ, ЕГЭ

1. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

2. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

3. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.

4. В трапеции большее основание равно 10. Диагонали трапеции, равные 8, перпендикулярны боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

5.Основания трапеции 32 и 18. Найти длину отрезка, который соединяет середины диагоналей трапеции.

6. В трапеции длины оснований 5 и 15, а длины диагоналей 12 и 16. Найти площадь трапеции. 

7. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 46. Найдите ее среднюю линию.

8. Основания трапеции равны 5 и 7. Найдите отрезок, соединяющий середины

диагоналей трапеции.

9. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 16 и 19, а боковые стороны 5 и 4.

10.Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длиной 20см и 30см, считая от меньшего основания, которое равно 6см. Найти площадь трапеции [7].

Рекомендации представлены  в Приложении 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе нашей работы над темой «Трапеция известная и неизвестная» мы рассмотрели различные источники, в которых был представлен материал на данную тему, нашли свойства и формулы, которых нет в учебнике или они присутствуют там неявно, только в задачах. Мы проанализировали «Сборник заданий для выпускного экзамена по учебному предмету «Математика» за период обучения и воспитания на 2 ступени общего среднего образования», решили все задачи на тему «Трапеция, площадь трапеции» и составили рекомендации по решению задач.

Мы создали “ШПАРГАЛКУ-ПОДСКАЗКУ”, в которую включили все дополнительные формулы и свойства, которые помогают решать задачи с трапецией (Приложение 4).

Работая над данной темой, мы проанализировали задания ЦТ прошлых лет, а также некоторые задания ЕГЭ, мы спросили одиннадцатиклассников, какие задачи на трапецию приходится решать, работая над задачами по стереометрии.

В итоге мы пришли к выводу, что владение полной информацией о трапеции, знание не только основных свойств, но и свойств, полученных при решении задач на доказательство, поможет в выборе рациональных методов на пути к верному ответу и сэкономит время на решение.

Значит, наша гипотеза подтверждается.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1.Википедия. Трапеция. Режим доступа:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F Дата доступа: 29.03.2024

2. Википедия. История слова. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki; Дата доступа: 29.03.2024.

3. Казаков В.В. Геометрия, учебное пособие для 8-го класса общеобразовательной школы. Минск:  Народная асвета, 2018.- 199 с.

4. Кушнир И. А. «Вторая средняя линия трапеции»., журнал «Математика в школе» № 2, 1993.;

5. Сайт Заочной физико-технической школы МФТИ Режим доступа: https://zftsh.online/articles/5259; Дата доступа: 29.03.2024

6. Сборник заданий для выпускного экзамена по учебному предмету «Математика» за период обучения и воспитания на 2 ступени общего среднего образования – Минск Национальный институт образования, 2023.-96 с.;

7. Сборник тестов по математике разных лет.

8. Сайт «Colibrus: углы треугольника и всё о них»: Режим доступа: https://colibrus.ruhttps://colibrus.ru/ploschad-trapetsii Дата доступа: 29.03.2024г.

9. Шлыков В.В.  Геометрия, учебное пособие для 8-го класса общеобразовательной школы 3-е издание – Народная асвета, 2011.-166с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1.Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

       

Доказательство.

1)                 Треугольник ABS – равнобедренный треугольник с основанием BS, т.к. угол CBS=ABS=ASB.

2)                 Значит? его биссектриса AK является и медианой, т.е. точка K – середина BS.

3)                 Если M и N середины боковых сторон, то MN – средняя линия трапеции  и MN|| AS.

4)                 Т.к. M и K середины сторон AB и BS, то MK – средняя линия треугольника  ABS и MK||AS.

5)                 Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

                                       Ч.Т.Д.

2. Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

Доказательство

1) Т.к. AH, DH биссектрисы равнобедренной трапеции, то BAH ; HAD; CDH ; .HDA равны AH=DH значит ABH = HCD (По 1-му признаку)

2) Т.к ВС || AD (по определению), тоHAD = AHB (как внутренние накрест лежащие при AD || BC и секущей AH), HDA = DHC (как внутренние накрест лежащие при AD || BC и секущей DH)

3) Т.к. HAB = AHB, то тр.ABH равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника),

DHC= HDC, то тр.HCD равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). Тогда AB=BH=HC=CD.

                 Ч.Т.Д.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рекомендации по решению задач из сборника

В5 №7

1) Рассмотреть треугольники AOD и BOC,  и  доказать,  что они подобны.

 2) Найти коэффициент подобия.                                                                 

 3) Найти отрезок АО, использовав соотношение соответствующих сторон подобных треугольников.

4) Найти АС, использовав аксиому измерения отрезков.

Ответ: 9 см.

В6 №7

 1) Рассмотреть треугольники AOD и BOC,  и  доказать,  что они подобны.

 2) Найти коэффициент подобия.                                                                 

 3) Найти отрезок ВО, использовав соотношение соответствующих сторон подобных треугольников.

4) Найти ВD, использовав аксиому измерения отрезков.

Ответ:12 см.

В11 №7 

  1) Провести высоту  из тупого угла С.                                     

  2) Найти отрезок, отсекаемый высотой на большем основании,  использовав свойства прямоугольной трапеции:  высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

  3) Найти высоту из получившегося прямоугольного треугольника , использовав свойство прямоугольной трапеции:  высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и  теорему Пифагора.

  4) Найти площадь по формуле S =. ,где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

Ответ: 78 см².

  В12 №7

  1) Провести высоту  из тупого угла С.                                     

  2) Найти отрезок, отсекаемый высотой на большем основании,  использовав свойства прямоугольной трапеции:  высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

  3) Найти высоту из получившегося прямоугольного треугольника , использовав свойство прямоугольной трапеции:  высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и  теорему Пифагора.

  4) Найти площадь по формуле S =. ,где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

Ответ: 108 см².

  В13 №7

 1) Обозначить меньшее основание как  х и выразить большее основание через   x.

 2) Использовать формулу  S =. ,где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

3) Найти основания.

Ответ: 4 см и 20 см.

 В14 №6

1) Обозначить меньшее основание как  х и выразить большее основание через   x.

 2) Использовать формулу  S =. ,где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

3) Найти основания.

Ответ: 4 см и 12 см.

В15 №10

Воспользуемся формулой  для нахождения площади равнобедренной  трапеции через основания, если ее диагонали взаимно перпендикулярны S= ( )², где a,b — основания трапеции.

Ответ: 100 см^2.

 В16 №10

Воспользуемся формулой  для нахождения площади равнобедренной  трапеции через основания, если ее диагонали взаимно перпендикулярны S= ( )², где a,b — основания трапеции.

Ответ: 100 см^2.

В23 №10

1)    Докажем что ∆BOC ~∆ DОА и запишем отношения соответствующих сторон.

Находим отношение меньшего основания к большему. Оно равно   . Значит BC=3x, А D = 13 х.

2)     Проведём высоты BК и CМ. По свойству равнобедренной трапеции, делаем вывод, АК= М D =  = 5х; КМ = 3х.

3)    Используя теорему Пифагора для треугольника АВК, составляем уравнение и находим х = 2.

4)    Находим АС и В D.

5)  Находим площадь трапеции по формуле  S =. ,где a, b –основания трапеции; h – высота трапеции.

Ответ: 384 см².

В24 №10

1)    Докажем что ∆BOC ~∆ DОА и запишем отношения соответствующих сторон.

Находим отношение меньшего основания к большему. Оно равно   . Значит BC=5x, А D = 11 х.

2)     Проведём высоты BК и CМ. По свойству равнобедренной трапеции, делаем вывод, АК= М D =  = 3х; КМ = 5х.

3)    Используя теорему Пифагора для треугольника АВК, составляем уравнение и находим х = 5.

4)    Находим АС и В D.

5)   Находим площадь по формуле S= ( )², где a,b — основания трапеции.

Ответ: 800 см².

  В41 №10

 1) Доказать что треугольники BOC и DОА подобны.

2) Записать отношение соответствующих сторон и найти коэффициент подобия к

к = 3:4.

3) Записать формулы площадей треугольников АВО и СВО через стороны АО, СО и общую высоту

4) Найти отношение данных площадей. Получаем, что оно равно 3:4. Отсюда находим площадь треугольника ВОС.

3) Использовать свойство площадей подобных треугольников и найти площадь треугольника DОА.

4) Найти площадь трапеции по формуле S =.

Ответ: 49см².

  В42 №10

1) Доказать что треугольники BOC и DОА подобны.

2) Записать отношение соответствующих сторон и найти коэффициент подобия к

к = 3:5.

3) Записать формулы площадей треугольников СОВ и СDО через стороны ВО, DО и общую высоту

4) Найти отношение данных площадей. Получаем, что оно равно 3:5. Отсюда находим площадь треугольника ВОС.

3) Использовать свойство площадей подобных треугольников и найти площадь треугольника DОА.

4) Найти площадь трапеции по формуле S =.

Ответ: 64 см².

 В45 № 10

1)                Используем свойство равнобедренной трапеции :  Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции.

2)                Находим высоту: h = 6 см.

Находим площадь трапеции по формуле          S= h² ,  где h – высота трапеции.

Ответ: 36 см².

В46 №10

1)    Используем свойство равнобедренной трапеции :  Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции.

2)    Находим высоту: h = 8 см.

Находим площадь трапеции по формуле          S= h² ,  где h – высота трапеции.

Ответ: 64 см².

 В 63 № 9 

1)    Из вершин трапеции В и С опустить высоты на основание АD.

2)    Доказать, что площади  ∆ABD и ∆DCA  равны.

3)     Использовать аксиомы площадей треугольников.

4)    Сделать вывод о равенстве площадей треугольников АОВ и DОС.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Рекомендации по решению задач из ЦТ, ЕГЭ

1. Схема решения.

1) Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

2)Так как сумма углов при основании трапеции равна 90, то , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно. Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. FG = 5 – 3 = 2

Ответ: 2.

2.Схема решения.

1) Записать формулу периметра треугольника.

2) Записать формулу периметра трапеции, учитывая свойство противоположных сторон параллелограмма.

Ответ: 23.

3.Схема решения.

1) Пусть M и K — середины оснований BC и AD трапеции ABCD. Через вершину меньшего основания трапеции С  проведите прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P и прямую, параллельную MK, до пересечения с прямой AD в точке Q.

2) AQ = AK + KQ = AK + MC = AD + BC = (AD + BC) = (AD + DP).

3) Поэтому CQ — медиана треугольника ACP, CQ = MK , CP = BD , S_ABCD = S_ACP.

На продолжении медианы CQ за точку Q отложим отрезок QF, равный CQ.

 4) Треугольник CFP прямоугольный, т.к. ( CP² = CF² + PF²). Поэтому

S_ABCD = S_ACP = S_CFP = 6.

Ответ: 6.

4. Схема решения.

Длины диагоналей равны и перпендикулярны боковым сторонам. Имеем равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе: ABD = ACD, поэтому трапеция равнобедренная, т.е. АВ = СD.

Применим теорему Пифагора для определения боковой стороны трапеции.

Высоту трапеции определим из равенства площадей.

Длину средней линии в равнобокой трапеции можно определять как разность большего основания и проекции боковой стороны на основание.   Площадь трапеции находим как площадь прямоугольника АМСК, который получим, если достроим трапецию.

Ответ: 30,72.

5. Схема решения.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований

Ответ:7.

6. Схема решения.

1)                Проведем в трапеции ABCD из вершины С прямую, параллельную диагонали ВD, до пересечения с продолжением большего основания в точке Е .

2)                Площадь трапеции равна площади треугольника АСЕ.  Найдем ее, учитывая , что треугольник прямоугольный.

Ответ: 96.

7. Схема решения.

1)Треугольники АВО и СDО  – равнобедренные, прямоугольные.

2) Высоты ОЕ и ОF в этих треугольниках – медианы.

3) Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы,

Так как ЕF – и есть высота трапеции, то  средняя линия равна 46,

Ответ: 46.

8. Схема решения.

         1) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

          2) (7 – 5) : 2 = 1

        Ответ : 1.

9. Схема решения.

S= 

a=16 , b=19, c=5, d=4

Ответ: 70.

10.

Схема решения.

1)Докажем, что треугольник АВN равнобедренный.  

2) AB =BN = 50 см, CN = BN – BC = 50 – 6 = 44 см

3)Δ AMD ~ Δ NCM

4) AD : 44 = 30 : 20

AD : CN = DM : СM

20 AD = 1320

   AD = 66 cм

5)S =  ( AD + ВС) ∙ ВЕ

6)АЕ =  ( AD - ВС) = 30 см

7)Δ АЕВ – прямоугольный

ВЕ² = АВ² – АЕ²

ВЕ = 40

8)S =  ( 66 + 6 ) ∙ 40 = 1440 ( см²)

Ответ: 1440 см²

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Трапеция
Разносторонняя Определение: DC ∥ AB; AD ∦ CB; AB ≠ CD отрезки DM, ON, QP являются высотами трапеции ABCD. Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы. (MN является средней линией). Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°. Свойство 3. Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой.	Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной. Свойства равнобедренной трапеции: Свойство 1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. Свойство 2. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Свойство 3. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.
Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции. Свойства прямоугольной трапеции: 1) Углы при меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции являются прямыми углами (равны 900). 2) Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне. 3) Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. 4) Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания. 5) Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.	Дополнительные свойства трапеции Вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Свойства второй средней линии трапеции: 1) В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам; 2) Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке; 3) Средняя линия и вторая средняя линия равнобедренной трапеции перпендикулярны; 4) Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой. Свойства биссектрис углов трапеции: 1) Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º. (Доказательство Приложение 1). 2) Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. 3) Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. 4) Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. 5) Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ТРАПЕЦИЯМИ ПУТЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТРОЕНИЙ 1) Продолжить боковые стороны трапеции до взаимного пересечения; Данный прием используется в случаях, если известны углы при основании, сумма углов при основании, отношение оснований, отношение боковых сторон. 2) Провести через вершину верхнего основания (например, В) прямую, параллельную боковой стороне (ВК || СD) Данное построение поможет в случае, если известны боковые стороны, углы при основании, сумма углов при основании или разность оснований. 3) Провести через вершину верхнего основания трапеции (например С) прямую, параллельную диагонали ВD (СE || ВD) Данное построение целесообразно выполнять, если известны угол между диагоналями, длины диагоналей, углы между основанием и диагоналями, сумма оснований/средняя линия. 4) Провести высоты в трапеции Данное построение выполняем, когда известна высота и к этому дополнительно известны боковая сторона/стороны, углы/угол при основаниях, меньшее основание.

Формулы и свойства площади трапеции 1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. , где a, b – основания трапеции; h – высота трапеции 2) Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату суммы оснований, деленному на 4.  , где a и b – основания трапеции 3) Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты данной трапеции. , где h – высота трапеции 4) Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними. , где  диагонали трапеции,   – угол между ними. 5), где a и b — основания трапеции; с, d — боковые стороны трапеции 6) Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и синус угла: 7) Площадь трапеции через площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и оснований, отрезками диагоналей и боковыми сторонами.