Исследовательская работа учащихся 10 кл

Содержание

1. Введение	3
2. Основная часть	5
2.1. Теорема о бабочке в математике	5
2.2 Бабочки в треугольнике	8
2.3. Концепция «бабочки треугольника» №1	8
2.3. Концепция «бабочки треугольника» №2	13
3. Выводы	17
4. Список источников информации	18
5. Приложения

1.Введение

Актуальность исследования

Многие считают, что математика-это скучный набор формул, графиков, различных теорем и законов. И мы не всегда видим, что всё прекрасное, что нас окружает в живой природе, подчиняется законам математики.

Например, бабочки одни из самых красивых живых существ на Земле! Они похожи на оживленные цветы, причудливость и яркость окраски их крыльев поистине сказочные, благодаря этому о них сложено множество легенд и сказок. При всем этом разнообразии цветов и красок – форм (конструкция) бабочки неизменна.

Изучая литературу о бабочках, в природе, я нашел, что в математике существует теорема о бабочке, авторство которой приписывают английскому математику У.Д. Горстеру (1786-1837).На геометрическом чертеже  см. рис.(1) при некотором воображении можно увидеть “крылья бабочки”- два треугольника, стороны которых располагаются на общих прямых. Это весьма отдаленное сходство послужило источником задачи, хотя истинную популярность ей снискало богатство способов её решения на окружности. Основываясь на данную теорему, можно сделать вывод, что в окружности всегда можно построить «бабочку» и она будет обладать одинаковыми свойствами. В треугольнике тоже можно построить «бабочку». Очевидно учёные не нашли общих свойств, которыми обладают данные «бабочки», поэтому наверное сегодня не существует теоремы о «бабочке» в треугольнике, т.е. с одной стороны найдена «бабочка» в окружности, а с другой стороны не найдена в других геометрических фигурах. Исходя из данного противоречия между установленными свойствами «бабочки» в окружности и не изученностью «бабочки» в треугольнике возникла проблема.

Проблема исследования:

Всегда ли можно выбрать точку в треугольнике, чтобы получить теорему о  «бабочке» в самой распространенной геометрической фигуре-треугольнике?

Предмет исследования:

Вид «бабочки» и свойства, которыми обладает «бабочка» в треугольнике.

Цель исследования:

Создание конструкции модели «бабочки треугольника» и исследование ей свойств.

Задачи исследования:

1.Изучить теорему о математической «бабочке» в треугольнике, провести исследование её свойств.

2.Провести исследования построения «бабочки треугольника».

3. Освоить чертёжную программу AutoCAD.

4.Исследовать свойства многообразия математических «бабочек треугольника».

5. Найти свойства математической «бабочки треугольника» и доказать их.

6.Сравнить свойства «бабочки треугольника» со свойствами «бабочки окружности».

7.Сформулировать концепцию «бабочки треугольника»

 В процессе работы у меня возникла гипотеза:

Если математическая бабочка существует в треугольнике, то её форма и свойства должны зависеть от вида треугольника и выбранной точки «отсчета».

Этапы исследования.

Первый этап (октябрь 2013г.): Подготовительный. (создание проблемной ситуации, выбор темы проекта, постановка цели.)

Второй этап (ноябрь 2013 - январь 2014г.): Практический. (сбор информации по выбранной теме, систематизация материалов, подготовка и оформление результатов работы.)

Третий этап (февраль-март 2014г.): Заключительный. (защита и презентация проекта.)

Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, рефлексивное осмысление  результатов исследования и формулирование исследованных свойств.

Достоверность работы: обеспечивается моим личным участием, начиная с изучения литературы, экспериментальных и практических построений и полученных выводов.

2. Основная часть

2.1 Теорема о бабочке в математике.

В математике популярна теорема о бабочках, было найдено много доказательств этой теоремы различной длины и трудности. Самое короткое доказательство использует проективную геометрию. В приложении №1 приведены несколько доказательств, которые мне понятны. Доказательство, представленное здесь, хотя и не очень короткое, но довольно простое и легкое для запоминания.

Теорема 1. Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды AB и CD. Хорды AD и BC пересекают отрезок PQ в точках X и Y. Тогда точка М является серединой отрезка X и Y.

Рис.1

Сначала опустим перпендикуляры x₁ и у₁ из точек Х и У на прямую АВ, затем перпендикуляры х₂ и у₂ их точек Х и У на прямую CD. Обозначая для удобства а=|РМ|=|MQ|, х=|ХМ|, у=|МУ|, мы замечаем, что из рассмотреных пар подобных треугольников Мх₁[1] и Му₁, Мх₂ и Му₂, Ах₁ и Су₂, Dx₂ и By₁ вытекает, что  , , , , откуда    =1, х=у, что мы и хотели доказать. [1].

 Рисовальные исследования проводились с помощью компьютера в программе AutoCAD. Это самая распространённая в мире программа для автоматизации проектных работ, которая может выполнять чертежи любой конструкции и выдавать размеры с точностью до миллионных долей миллиметра.

Цель исследований с №1-5: выявление свойств «бабочки окружности».

Исследование №1

Опыт № 1
R	25	MB	24	PAМС	56,3
AM	16,7	AB	440,7	PMDB	53,3
DM	15,8	CD	40,9	SАМС	113,1
CM	25,3	C	157	SMDB	101,1

Р_∆AMС+Р_∆BDM ≈109,6 (мм.) и С ≈157(мм)

S_∆AMС+S_∆BDM ≈214,2 (мм²) и Sкр. ≈157490.6(мм²)

Рис.2(а)

Исследование №2

Опыт № 2
R	35	MB	37,4	PADM	125,9
AM	27,7	AB	65,1	PMCB	100,9
DM	46,7	CD	68,9	SАМD	642,4
CM	22,2	C	219,8	SMCB	413,0

Р_∆AMD+Р_∆BCM ≈226,8(мм) и С ≈219,8(мм)

S_∆AMD+S_∆BCM ≈1055,4 (мм²) и S ≈1228,14(мм²)

Рис.2(б)

Исследование №3

Опыт № 3
R	30	MB	40,4	PADM	73,6
AM	15,1	AB	55,6	PMCB	97,7
DM	30,5	CD	50,5	SАМD	210,8
CM	20,0	C	188,4	SMCB	370,4

Р_∆AMD+Р_∆BCM ≈171,3 (мм) и С ≈188.4(мм)

S_∆AMD+S_∆BCM ≈ 581,2(мм²) и S ≈2896(мм²)

Рис.2(в)

Исследование №4

Опыт № 4
R	40	MB	63,1	PADM	92,3
AM	15,8	AB	78,9	PMCB	156,9
DM	38,3	CD	64,3	SАМD	301,6
CM	26,0	C	251,2	SMCB	818,3

Р_∆AMD+Р_∆BCM ≈249,2(мм) и С ≈251,2(мм)

S_∆AMD+S_∆BCM 1119,9(мм²) и S ≈3203,14(мм²)

Рис.2(г)

Исследование №5

Опыт № 5
R	45	MB	26,8	PAМС	172,5
AM	63,5	AB	89,3	PMDB	137,6
DM	50,2	CD	83,5	SАМС	1046,0
CM	33,4	C	282,6	SMDB	359

Р_∆AMС+Р_∆MDВ ≈310,1 (мм) и С ≈282,6(мм)

S_∆AMС+S_∆BDM ≈ 1405(мм²) и Sкр. ≈6358,5(мм²)

РИС.2(д)

Вывод по исследованиям с №1-5:

1. Треугольники, эмитирующие крылья бабочки, во всех рассмотренных случаях (независимо от выбора расположения хорд), подобны, это видно из полученных отношений сторон, периметров и площадей. Доказательство проводится аналогично для всех случаев. Треугольники подобны по двум парам равных, вписанных углов, опирающихся на одну  и ту же дугу.

2. В данной задаче выполняется  теорема о свойстве отрезков, пересекающихся хорд.

3. Сравнение длины окружности с периметрами полученных треугольников, а также площади круга с площадями полученных треугольников, не дали ни каких результатов.

2.2 Бабочки в треугольнике

Для проведения исследований необходимо создать математическую модель «бабочки», а для этого примем так называемую «концепцию бабочки». Сопоставим отдельные части бабочки с геометрическими фигурами.

Природа	Математика
крыло	треугольник
хвостик	отрезок
глаз	точка

Продолжением исследования явилось рассмотрение различных бабочек, полученных в треугольниках с помощью рисовальных экспериментов в программе AutoCAD. Выбор построения конструкций основан на идеях, взятых из книги А.В. Акопяна «Геометрия в картинках». [2].

Сама конструкция «бабочки» определяется выбором построения. Например «крылья» это пересечения отрезков, прямых, или полупрямых.

2.3 Концепция «бабочки треугольника» №1

Для проведения исследования используются размеры больших треугольников, построенных в приложениях.

 Цель исследований с №6-8: выявление зависимости конструкции и свойств «бабочки треугольника» от вида треугольника и выбора положения точки.

Исследование № 6. Остроугольный треугольник

Построим остроугольный треугольник АВС и выбираем любую точку Р, находящуюся внутри треугольника. Затем найдем точки А', В', С' – образы точки Р соответственно при осевых симметриях относительно прямых, содержащих  стороны треугольника ВС, АС, АВ. Стороны треугольника А'В'С' пересекают стороны исходного треугольника соответственно в точках А₁, А₂, В₁, В₂, С₁, С₂, образуя треугольники РА₁А₂, РВ₁В₂, РС₁С₂, которые условно назовем «крыльями возникшей бабочки». Итак, построена «бабочка треугольника» с тремя крыльями. Выбор использования осевой симметрии при построении, обусловлен симметричностью бабочки.

Рис.3 Приложение №2

Треугольник	Стороны(см)	Периметр (см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=12,7;BC=12,2;AC=15,2	40,1	77,47
∆A1A2P	A1A2=5,9;A1P=3,3;A2P=5,9	15,1	9,44
∆B1B2P	B1B2=1,7;B1P=3,3;B2P=3,3	8,3	2,72
∆С1C2P	C1P=3,3;C2P=5,9;C1C2=5,9	15,1	9,44

Получившиеся треугольники имеют одинаковый вид (остроугольные), тем не менее они не подобны. Это видно из отношения сторон, периметров и площадей.

Исследование № 7. Тупоугольный треугольник.

Рассмотрим различные позиции точки Р. Выбирая позицию точки Р в тупоугольном треугольнике АВС можно получить различные разновидности бабочек.

1.      Точка Р внутри ∆АВС, «бабочка» имеет два крыла.

Рис. 4. Приложение №3

Треугольник	Стороны(см)	Периметр (см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=7,2;BC=12,2;AC=17,3	36,7	42,09
∆A1A2P	A1A2=3,9;A1P=2,4;A2P=2,5	8,8	1,95
∆C1C2P	C1P=2;C2P=2,5;C1C2=4,3	8,8	1,89

Получившиеся треугольники имеют одинаковый вид (тупоугольные), тем не менее они не подобны. Это видно из отношения сторон, периметров и площадей.

2. Точка Р также внутри ∆АВС, «бабочка» имеет в данном случае крыло и ножку.

Рис. 5. Приложение №3

Треугольник	Стороны(см)	Периметр (см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=7,6;BC=12,2;AC=17,2	37	42,09
∆A1A2P	A1A2=2,5;A1P=0,9;A2P=2,1	5,5	1
∆C1C2P	C1P=3,3;	2,1	-

3.Во время рисовальных экспериментов не всегда можно найти общие точки отрезка (например А'В') со сторонами треугольника (например, АС и ВС (рис.6), если точка Р – является вершиной острого угла в тупоугольном треугольника и точки Р,А₁,А₂ совпали, тогда получаем одну точку ( появляются так называемые «глазки»).

Рис.6 Приложение №4

Исследование № 8. Прямоугольный треугольник

Точка Р внутри ∆АВС. Точки А₁ и А₂ совпадают с вершиной А (прямого угла), то точка Р и А₁ с А₂ задают отрезок. Согласно конструкции «бабочки треугольника» получаем ножку.

Рис.7 Приложение №5

Треугольник	Стороны(см)	Периметр (см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=11,1;BC=13,2;AC=7,2	31,5	79,92
∆A1A2P	A1A2=A1P=A2P=3,7	11,1	5,93
∆B1B2P	B1B2=3,6;B1P=0,9;B2P=3	7,5	1,8
∆C1C2P	C1P=4;C2P=3,5;C1C2=4,1	11,6	6,355

Получившиеся треугольники не подобны. Это следует из отношения их сторон, периметров и площадей.

Исходя из проведенных рисовальных экспериментов, можно сделать вывод, что конструкция «треугольной бабочки», зависит от вида треугольника и выбора положения точки Р.

Вывод по исследованиям с №6-8:

Если Р будет точкой внутренней области угла АОВ, а точки Р₁ и Р₂ будут образами точки Р соответственно при осевых симметриях по отношению к прямым, которые содержат стороны угла, тогда возможны случаи:

1. Если угол АОВ является острым, то отрезок Р₁Р₂ имеет две различные точки общие со сторонами угла АОВ.

Рис. 8

Значит «треугольная бабочка» в остроугольном треугольнике будет иметь три крылышка всегда.

2. Если угол АОВ является прямым, то отрезок Р₁Р₂ имеет лишь одну точку общую (точка О) со сторонами угла АОВ.

Рис.9

Значит «треугольная бабочка» в прямоугольном треугольнике будет иметь еще и хвостик.

3. Если угол АОВ является тупым, то отрезок Р₁Р₂ не имеет общих точек с углом АОВ и тогда появляются так называемые «глазки» у «треугольной бабочки».

Рис. 10

Итог исследований с 6 по 8: «треугольная бабочка» в отличии от «бабочки окружности», может иметь разную конструкцию в зависимости от вида треугольника и положения выбранной точки и не имеет подобных треугольников, т.к. рассматриваемые треугольники не являются правильными т.е. не являются симметричными фигурами.

2.4 Концепция «бабочки треугольника» №2

Цель исследования №9: выявление зависимости конструкции и свойств «бабочки треугольника» от вида треугольника.

Исследование № 4. Рассмотрим ещё один подход к построению «треугольной бабочки». В остроугольном треугольнике АВС рассмотрим точку Р, которая принадлежит  внутренней области треугольника. Через точку Р проведём прямые, параллельные к сторонам треугольника АВС, определяющие три треугольника : РА₁А₂, РВ₁В₂, РС₁С₂. Получилась «бабочка треугольника» с тремя крыльями.

Рис. 11. Приложение5

Проведём аналогичные исследования.

Треугольник	Стороны (см)	Периметр (см)	Площадь (см2)
∆ABC	AB=14,9;BC=8,9;AC=14,6	38,4	62,58
∆ A1A2P	A1A2=2,4;A1P=4,1;A2P=4,1;	10,6	4,8
∆ B1B2P	B1B2=6,5;B1P=6,7;B2P=4	17,2	12,35
∆ C1C2P	C1P=2,4;C2P=4,1;C1C2=4,1	10,6	4,715

1.Аналогично «бабочке окружности», получили «бабочку треугольника» у которой полученные треугольники (крылышки) подобны между собой и подобны данному треугольнику.

2.  10,6 + 17,2 + 10.6= 38,4,  Р_∆АВС

 

 =7,9

Рассматривая эту же конструкцию бабочки в прямоугольном треугольнике получили аналогичные выводы.

 

Рис. 12. Приложение 6

Треугольник	Стороны(см)	Периметр(см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=12,8;BC=14,8;AC=7,2	34,8	45,44
∆ A1A2P	A1A2=6,8;A1P=3,3;A2P=6,0;	16,2	9,9
∆ B1B2P	B1B2=1,8;B1P=3,3;B2P=3,7	8,8	2,97
∆ C1C2P	C1P=4,1;C2P=2,0;C1C2=3,6	9,7	3,6

2.  16,2 + 8,8 + 9,7 = 34,8,  Р_∆АВС

 

=6,7

Если рассмотреть ту же конструкцию бабочки в тупоугольном треугольнике, то данная «бабочка» обладает выше перечисленными свойствами.

 

Рис. 13. Приложение6

Треугольник	Стороны(см)	Периметр(см)	Площадь(см2)
∆ABC	AB=10,9;BC=17,9;AC=9,9	38,8	45,76
∆ A1A2P	A1A2=9,8;A1P=5,5;A2P=5,9;	21,2	13,87
∆ B1B2P	B1B2=2,2;B1P=2,4;B2P=4,0	8,6	2,1
∆ C1C2P	C1P=4,1;C2P=2,2;C1C2=2,5	8,8	2,4

2.  21,2 + 8,6 + 8,8 = 38,7,  Р_∆АВС

 

=6,7

Вывод. «Треугольная бабочка» концепции №2 обладает следующими свойствами:

1.      Полученные треугольники подобны между собой и подобны данному.

Доказательство

∆А₁РА₂ ~ ∆С₁РС₂ ~ ∆ В₁РВ₂ ~∆ АВС, по первому признаку.

1)                       ∠А = ∠РВ₁В₂ (как соответственные при параллельных прямых АС и В₁А₂ и секущей АВ)

∠РВ₁В₂ = ∠А₂РА₁ (как соответственные при параллельных прямых АВ и А₁С₂ и секущей А₂В₂)

∠А₂РА₁ = ∠РС₂С₁ (как соответственные при параллельных прямых АС и В₁А₂ и секущей А₁С₂)

Значит ∠А = ∠РВ₁В₂ = ∠ А₂РА₁ = ∠ РС₂С₁.

2) Аналогично ∠ В = ∠ В₁В₂Р (как соответственные при параллельных прямых ВС и В₂С₁ и секущей АВ)

∠В₁В₂Р = ∠С₁РС₂ (как соответственные при параллельных прямых АВ и А₁С₂ и секущей В₂С₁)

∠С₁РС₂ = ∠А₂А₁Р (как соответственные при параллельных прямых ВС и В₂С₁ и секущей А₁С₂)

Значит ∠В = ∠В₁В₂Р = ∠С₁РС₂ =∠А₂А₁Р.

2.      Сумма периметров малых треугольников равна периметру треугольника АВС.

Доказательство

1) Так как АВ₁РС₂, В₂РА₁В и СС₁РА₂ – параллелограммы по построению, то АВ₁=РС₂, В₂В=РА₁, ВА₁=РВ₂, А₂С=РС₁, СС₁=РА₂, АС₂=РВ₁.

2) Найдем периметр треугольника АВС

Р_∆АВС=АВ+ВС+АС=АВ₁+В₁В₂+В₂В+ВА₁+А₁А₂+А₂С+СС₁+С₁С₂+С₂А

Учитываю предыдущие равенства получим:

Р_∆АВС=АВ+ВС+АС= РС₂ + В₁В₂ + РА₁ + РВ₂ + А₁А₂ + РС₁ + РА₂ + С₁С₂+ РВ₁ = (РС₂ + РС₁ + С₁С₂) + (РВ₂ + РВ₁ В₁В₂) + (РА₁ + РА₂ +А₁А₂) = , что и требовалось доказать.

3.      Сумма квадратных корней из площади малых треугольников равна квадратному корню из площади треугольника АВС. ().

Доказательство

1) Т. к. ∆ АВС ~  ∆А₁РА₂ ~ ∆С₁РС₂ ~ ∆ В₁РВ₂ то , то есть  или ; отсюда

2) Аналогично

, то есть  или ; отсюда

3) Аналогично

, то есть  или ; отсюда

4) Найдем сумму отрезков

Т.к.  то получим:

.

«Треугольная бабочка» концепции №2 по конструкции всегда имеет три крыла не зависимо от вида треугольника, точка Р находится всегда внутри треугольника.

4.      ВЫВОДЫ

«Бабочка в математике» очень интересная фигура. Она дала возможность посмотреть на природу глазами геометрии, перевести язык красоты природы на язык геометрии, связать законы математики с законами окружающего мира.

В результате проведённой работы:

1.                      Изучена теорема о «математической бабочке» в окружности, найдено несколько интересных доказательств данной теоремы

2.                      В результате исследования «бабочки окружности» сделан вывод, что «бабочка окружности» всегда имеет два крыла, которые  образуют подобные треугольники.

3.                      Созданы две концепции «бабочки треугольника» и исследованы их свойства.

4.                      Все проведен рисовальные исследования проведены в программе AutoCAD.

5.                      Самостоятельно доказаны найденные интересные свойства «бабочки  треугольника» концепции №2.

Таким образом, выдвинутая рабочая гипотеза о зависимости форм и свойств «бабочки  треугольника» от вида треугольника и выбранной точки «отсчета» доказана. Цель достигнута.

Доказательство проблемы, сформулированной в работе, представлено в сравнительной таблице полученных мною результатов.

Сравнение полученных бабочек

Бабочка окружности	Бабочка  треугольника (1 концепция)	Бабочка треугольника (2 концепция)
1.По конструкции бабочка имеет всегда два крыла. 2. «Крылья бабочки» образуют подобные треугольники. 3. «Крылья бабочки» образованы пересекающимися прямыми. 4. В данной задаче выполняется  теорема о свойстве отрезков, пересекающихся хорд.	1.По конструкции бабочка может иметь три крыла, просто два крыла, два крыла с ножкой или глазок в зависимости от вида треугольника и положения выбранной точки Р. 2.«Крылья бабочки» образованы отрезками, которые не лежат на пересекающихся прямых.	1. По конструкции бабочка  имеет три крыла  не зависимо от вида треугольника. 2. «Крылья бабочки» образуют подобные треугольники, каждый из которых подобен первоначальному. 3. «Крылья бабочки» образованы пересекающимися прямыми. 4. Сумма периметров малых треугольников равна периметру первоначального  треугольника . 5.Сумма квадратных корней из площади малых треугольников равна квадратному корню из площади первоначального треугольника

Практическая значимость. Результаты исследования, проведённые в данной работе, можно использовать на уроках геометрии при изучении таких тем, как осевая симметрия, подобие треугольников, свойство хорд в окружности.

Список источников информации

1. Кокстер Г.С.М., Гретцер С.Л. Новые встречи с геометрией, М. 1978 г. «Наука», стр.59-60.

2. Акопян А.В. Геометрия в картинках, М. 2012 г, 128с:ил.

3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: учеб. пособие. – 6-е издание., - М., МЦНМО, 2007, - 640 с.

4. Хан Д.И. Еще два решения «задачи о бабочке». Математика в школе №1. 2012, с. 70.

     5. Викидепия – свободная энциклопедия. Интернет http://ru.wikipedia.org

---

[1] Обозначение Мх₁ означает треугольник с вершиной М и противолежащей ей стороной х1; аналогично и дальше.