Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Исследовательская работа учащихся 10 кл
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа учащихся 10 кл

библиотека
материалов

16

Содержание

2.1. Теорема о бабочке в математике

5

2.2 Бабочки в треугольнике

8

2.3. Концепция «бабочки треугольника» №1

8

2.3. Концепция «бабочки треугольника» №2

13

3. Выводы

17

4. Список источников информации

18

5. Приложения




1.Введение

Актуальность исследования

Многие считают, что математика-это скучный набор формул, графиков, различных теорем и законов. И мы не всегда видим, что всё прекрасное, что нас окружает в живой природе, подчиняется законам математики.

Например, бабочки одни из самых красивых живых существ на Земле! Они похожи на оживленные цветы, причудливость и яркость окраски их крыльев поистине сказочные, благодаря этому о них сложено множество легенд и сказок. При всем этом разнообразии цветов и красок – форм (конструкция) бабочки неизменна.

Изучая литературу о бабочках, в природе, я нашел, что в математике существует теорема о бабочке, авторство которой приписывают английскому математику У.Д. Горстеру (1786-1837).На геометрическом чертеже см. рис.(1) при некотором воображении можно увидеть “крылья бабочки”- два треугольника, стороны которых располагаются на общих прямых. Это весьма отдаленное сходство послужило источником задачи, хотя истинную популярность ей снискало богатство способов её решения на окружности. Основываясь на данную теорему, можно сделать вывод, что в окружности всегда можно построить «бабочку» и она будет обладать одинаковыми свойствами. В треугольнике тоже можно построить «бабочку». Очевидно учёные не нашли общих свойств, которыми обладают данные «бабочки», поэтому наверное сегодня не существует теоремы о «бабочке» в треугольнике, т.е. с одной стороны найдена «бабочка» в окружности, а с другой стороны не найдена в других геометрических фигурах. Исходя из данного противоречия между установленными свойствами «бабочки» в окружности и не изученностью «бабочки» в треугольнике возникла проблема.

Проблема исследования:

Всегда ли можно выбрать точку в треугольнике, чтобы получить теорему о «бабочке» в самой распространенной геометрической фигуре-треугольнике?

Предмет исследования:

Вид «бабочки» и свойства, которыми обладает «бабочка» в треугольнике.

Цель исследования:

Создание конструкции модели «бабочки треугольника» и исследование ей свойств.

Задачи исследования:

1.Изучить теорему о математической «бабочке» в треугольнике, провести исследование её свойств.

2.Провести исследования построения «бабочки треугольника».

3. Освоить чертёжную программу AutoCAD.

4.Исследовать свойства многообразия математических «бабочек треугольника».

5. Найти свойства математической «бабочки треугольника» и доказать их.

6.Сравнить свойства «бабочки треугольника» со свойствами «бабочки окружности».

7.Сформулировать концепцию «бабочки треугольника»

В процессе работы у меня возникла гипотеза:

Если математическая бабочка существует в треугольнике, то её форма и свойства должны зависеть от вида треугольника и выбранной точки «отсчета».

Этапы исследования.

Первый этап (октябрь 2013г.): Подготовительный. (создание проблемной ситуации, выбор темы проекта, постановка цели.)

Второй этап (ноябрь 2013 - январь 2014г.): Практический. (сбор информации по выбранной теме, систематизация материалов, подготовка и оформление результатов работы.)

Третий этап (февраль-март 2014г.): Заключительный. (защита и презентация проекта.)

Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, рефлексивное осмысление результатов исследования и формулирование исследованных свойств.

Достоверность работы: обеспечивается моим личным участием, начиная с изучения литературы, экспериментальных и практических построений и полученных выводов.


2. Основная часть

2.1 Теорема о бабочке в математике.

В математике популярна теорема о бабочках, было найдено много доказательств этой теоремы различной длины и трудности. Самое короткое доказательство использует проективную геометрию. В приложении №1 приведены несколько доказательств, которые мне понятны. Доказательство, представленное здесь, хотя и не очень короткое, но довольно простое и легкое для запоминания.


hello_html_4d1ffb45.jpg

Теорема 1. Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды AB и CD. Хорды AD и BC пересекают отрезок PQ в точках X и Y. Тогда точка М является серединой отрезка X и Y.



Рис.1



Сначала опустим перпендикуляры x1 и у1 из точек Х и У на прямую АВ, затем перпендикуляры х2 и у2 их точек Х и У на прямую CD. Обозначая для удобства а=|РМ|=|MQ|, х=|ХМ|, у=|МУ|, мы замечаем, что из рассмотреных пар подобных треугольников Мх11 и Му1, Мх2 и Му2, Ах1 и Су2, Dx2 и By1 вытекает, что , , , , откуда =1, х=у, что мы и хотели доказать. [1].

Рисовальные исследования проводились с помощью компьютера в программе AutoCAD. Это самая распространённая в мире программа для автоматизации проектных работ, которая может выполнять чертежи любой конструкции и выдавать размеры с точностью до миллионных долей миллиметра.




Цель исследований с №1-5: выявление свойств «бабочки окружности».


Исследование №1hello_html_m74d4bcbe.jpg

РAMСBDM ≈109,6 (мм.) и С ≈157(мм)

SAMС+SBDM ≈214,2 (мм2) и Sкр. ≈157490.6(мм2)

Рис.2(а)

Исследование №2hello_html_34380ecf.jpg


РAMDBCM ≈226,8(мм) и С ≈219,8(мм)

SAMD+SBCM ≈1055,4 (мм2) и S ≈1228,14(мм2)


Рис.2(б)


Исследование №3hello_html_7ebd89b1.jpg

РAMDBCM ≈171,3 (мм) и С ≈188.4(мм)

SAMD+SBCM ≈ 581,2(мм2) и S ≈2896(мм2)


Рис.2(в)

Исследование №4hello_html_bc48000.jpg

РAMDBCM ≈249,2(мм) и С ≈251,2(мм)

SAMD+SBCM 1119,9(мм2) и S ≈3203,14(мм2)




Рис.2(г)

Исследование №5hello_html_m59ed545a.jpg


РAMСMDВ ≈310,1 (мм) и С ≈282,6(мм)

SAMС+SBDM ≈ 1405(мм2) и Sкр. ≈6358,5(мм2)





РИС.2(д)

Вывод по исследованиям с №1-5:

1. Треугольники, эмитирующие крылья бабочки, во всех рассмотренных случаях (независимо от выбора расположения хорд), подобны, это видно из полученных отношений сторон, периметров и площадей. Доказательство проводится аналогично для всех случаев. Треугольники подобны по двум парам равных, вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

2. В данной задаче выполняется теорема о свойстве отрезков, пересекающихся хорд.

3. Сравнение длины окружности с периметрами полученных треугольников, а также площади круга с площадями полученных треугольников, не дали ни каких результатов.

2.2 Бабочки в треугольнике

Для проведения исследований необходимо создать математическую модель «бабочки», а для этого примем так называемую «концепцию бабочки». Сопоставим отдельные части бабочки с геометрическими фигурами.

Природа

Математика

крыло

треугольник

хвостик

отрезок

глаз

точка

Продолжением исследования явилось рассмотрение различных бабочек, полученных в треугольниках с помощью рисовальных экспериментов в программе AutoCAD. Выбор построения конструкций основан на идеях, взятых из книги А.В. Акопяна «Геометрия в картинках». [2].

Сама конструкция «бабочки» определяется выбором построения. Например «крылья» это пересечения отрезков, прямых, или полупрямых.

2.3 Концепция «бабочки треугольника» №1

Для проведения исследования используются размеры больших треугольников, построенных в приложениях.

Цель исследований с №6-8: выявление зависимости конструкции и свойств «бабочки треугольника» от вида треугольника и выбора положения точки.

Исследование № 6. Остроугольный треугольник

Построим остроугольный треугольник АВС и выбираем любую точку Р, находящуюся внутри треугольника. Затем найдем точки А', В', С' – образы точки Р соответственно при осевых симметриях относительно прямых, содержащих стороны треугольника ВС, АС, АВ. Стороны треугольника А'В'С' пересекают стороны исходного треугольника соответственно в точках А1, А2, В1, В2, С1, С2, образуя треугольники РА1А2, РВ1В2, РС1С2, которые условно назовем «крыльями возникшей бабочки». Итак, построена «бабочка треугольника» с тремя крыльями. Выбор использования осевой симметрии при построении, обусловлен симметричностью бабочки.

hello_html_23c414df.jpg

Рис.3 Приложение №2

Получившиеся треугольники имеют одинаковый вид (остроугольные), тем не менее они не подобны. Это видно из отношения сторон, периметров и площадей.

Исследование № 7. Тупоугольный треугольник.

Рассмотрим различные позиции точки Р. Выбирая позицию точки Р в тупоугольном треугольнике АВС можно получить различные разновидности бабочек.

  1. Точка Р внутри ∆АВС, «бабочка» имеет два крыла.

hello_html_5ac9d038.jpg

Рис. 4. Приложение №3

Получившиеся треугольники имеют одинаковый вид (тупоугольные), тем не менее они не подобны. Это видно из отношения сторон, периметров и площадей.

2. Точка Р также внутри ∆АВС, «бабочка» имеет в данном случае крыло и ножку.

hello_html_29a4cedf.jpg

Рис. 5. Приложение №3

3.Во время рисовальных экспериментов не всегда можно найти общие точки отрезка (например А'В') со сторонами треугольника (например, АС и ВС (рис.6), если точка Р – является вершиной острого угла в тупоугольном треугольника и точки Р,А12 совпали, тогда получаем одну точку ( появляются так называемые «глазки»).hello_html_6d0ef608.jpg










Рис.6 Приложение №4

Исследование № 8. Прямоугольный треугольник

Точка Р внутри ∆АВС. Точки А1 и А2 совпадают с вершиной А (прямого угла), то точка Р и А1 с А2 задают отрезок. Согласно конструкции «бабочки треугольника» получаем ножку.

hello_html_25a035b2.jpg












Рис.7 Приложение №5

Получившиеся треугольники не подобны. Это следует из отношения их сторон, периметров и площадей.

Исходя из проведенных рисовальных экспериментов, можно сделать вывод, что конструкция «треугольной бабочки», зависит от вида треугольника и выбора положения точки Р.

Вывод по исследованиям с №6-8:

Если Р будет точкой внутренней области угла АОВ, а точки Р1 и Р2 будут образами точки Р соответственно при осевых симметриях по отношению к прямым, которые содержат стороны угла, тогда возможны случаи:

1. Если угол АОВ является острым, то отрезок Р1Р2 имеет две различные точки общие со сторонами угла АОВ.

hello_html_4e52c660.jpg

Рис. 8

Значит «треугольная бабочка» в остроугольном треугольнике будет иметь три крылышка всегда.

2. Если угол АОВ является прямым, то отрезок Р1Р2 имеет лишь одну точку общую (точка О) со сторонами угла АОВ.

hello_html_1c42bba0.jpg

Рис.9

Значит «треугольная бабочка» в прямоугольном треугольнике будет иметь еще и хвостик.

3. Если угол АОВ является тупым, то отрезок Р1Р2 не имеет общих точек с углом АОВ и тогда появляются так называемые «глазки» у «треугольной бабочки».

hello_html_m67ab89d9.jpg

Рис. 10

Итог исследований с 6 по 8: «треугольная бабочка» в отличии от «бабочки окружности», может иметь разную конструкцию в зависимости от вида треугольника и положения выбранной точки и не имеет подобных треугольников, т.к. рассматриваемые треугольники не являются правильными т.е. не являются симметричными фигурами.

2.4 Концепция «бабочки треугольника» №2

Цель исследования №9: выявление зависимости конструкции и свойств «бабочки треугольника» от вида треугольника.

Исследование № 4. Рассмотрим ещё один подход к построению «треугольной бабочки». В остроугольном треугольнике АВС рассмотрим точку Р, которая принадлежит внутренней области треугольника. Через точку Р проведём прямые, параллельные к сторонам треугольника АВС, определяющие три треугольника : РА1А2, РВ1В2, РС1С2. Получилась «бабочка треугольника» с тремя крыльями.

hello_html_f9c264a.jpg

Рис. 11. Приложение5

Проведём аналогичные исследования.

1.Аналогично «бабочке окружности», получили «бабочку треугольника» у которой полученные треугольники (крылышки) подобны между собой и подобны данному треугольнику.

2. 10,6 + 17,2 + 10.6= 38,4, Р∆АВС

=7,9

Рассматривая эту же конструкцию бабочки в прямоугольном треугольнике получили аналогичные выводы.

hello_html_m48187afd.jpg












Рис. 12. Приложение 6

2. 16,2 + 8,8 + 9,7 = 34,8, Р∆АВС

=6,7

Если рассмотреть ту же конструкцию бабочки в тупоугольном треугольнике, то данная «бабочка» обладает выше перечисленными свойствами.


hello_html_m4b810c48.jpg

Рис. 13. Приложение6

2. 21,2 + 8,6 + 8,8 = 38,7, Р∆АВС

=6,7

Вывод. «Треугольная бабочка» концепции №2 обладает следующими свойствами:

  1. Полученные треугольники подобны между собой и подобны данному.

Доказательство

А1РА2 ~ ∆С1РС2 ~ ∆ В1РВ2 ~∆ АВС, по первому признаку.

  1. А = РВ1В2 (как соответственные при параллельных прямых АС и В1А2 и секущей АВ)

РВ1В2 = А2РА1 (как соответственные при параллельных прямых АВ и А1С2 и секущей А2В2)

А2РА1 = РС2С1 (как соответственные при параллельных прямых АС и В1А2 и секущей А1С2)

Значит А = РВ1В2 = А2РА1 = РС2С1.

  1. Аналогично В = В1В2Р (как соответственные при параллельных прямых ВС и В2С1 и секущей АВ)

В1В2Р = С1РС2 (как соответственные при параллельных прямых АВ и А1С2 и секущей В2С1)

С1РС2 = А2А1Р (как соответственные при параллельных прямых ВС и В2С1 и секущей А1С2)

Значит В = В1В2Р = С1РС2 =А2А1Р.

  1. Сумма периметров малых треугольников равна периметру треугольника АВС.

Доказательство

1) Так как АВ1РС2, В2РА1В и СС1РА2 – параллелограммы по построению, то АВ1=РС2, В2В=РА1, ВА1=РВ2, А2С=РС1, СС1=РА2, АС2=РВ1.

2) Найдем периметр треугольника АВС

Р∆АВС=АВ+ВС+АС=АВ11В22В+ВА11А22С+СС11С22А

Учитываю предыдущие равенства получим:

Р∆АВС=АВ+ВС+АС= РС2 + В1В2 + РА1 + РВ2 + А1А2 + РС1 + РА2 + С1С2+ РВ1 = (РС2 + РС1 + С1С2) + (РВ2 + РВ1 В1В2) + (РА1 + РА21А2) = , что и требовалось доказать.

  1. Сумма квадратных корней из площади малых треугольников равна квадратному корню из площади треугольника АВС. ().

Доказательство

1) Т. к. ∆ АВС ~ ∆А1РА2 ~ ∆С1РС2 ~ ∆ В1РВ2 то , то есть или ; отсюда

2) Аналогично

, то есть или ; отсюда

3) Аналогично

, то есть или ; отсюда

4) Найдем сумму отрезков


Т.к. то получим:



.

«Треугольная бабочка» концепции №2 по конструкции всегда имеет три крыла не зависимо от вида треугольника, точка Р находится всегда внутри треугольника.

  1. ВЫВОДЫ

«Бабочка в математике» очень интересная фигура. Она дала возможность посмотреть на природу глазами геометрии, перевести язык красоты природы на язык геометрии, связать законы математики с законами окружающего мира.

В результате проведённой работы:

  1. Изучена теорема о «математической бабочке» в окружности, найдено несколько интересных доказательств данной теоремы

  2. В результате исследования «бабочки окружности» сделан вывод, что «бабочка окружности» всегда имеет два крыла, которые образуют подобные треугольники.

  3. Созданы две концепции «бабочки треугольника» и исследованы их свойства.

  4. Все проведен рисовальные исследования проведены в программе AutoCAD.

  5. Самостоятельно доказаны найденные интересные свойства «бабочки треугольника» концепции №2.

Таким образом, выдвинутая рабочая гипотеза о зависимости форм и свойств «бабочки треугольника» от вида треугольника и выбранной точки «отсчета» доказана. Цель достигнута.

Доказательство проблемы, сформулированной в работе, представлено в сравнительной таблице полученных мною результатов.

Сравнение полученных бабочек

1.По конструкции бабочка имеет всегда два крыла.

2. «Крылья бабочки» образуют подобные треугольники.

3. «Крылья бабочки» образованы пересекающимися прямыми.

4. В данной задаче выполняется теорема о свойстве отрезков, пересекающихся хорд.

1.По конструкции бабочка может иметь три крыла, просто два крыла, два крыла с ножкой или глазок в зависимости от вида треугольника и положения

выбранной точки Р.

2.«Крылья бабочки» образованы отрезками, которые не лежат на пересекающихся прямых.


1. По конструкции бабочка имеет три крыла не зависимо от вида треугольника.

2. «Крылья бабочки» образуют подобные треугольники, каждый из которых подобен первоначальному.

3. «Крылья бабочки» образованы пересекающимися прямыми.

4. Сумма периметров малых треугольников равна периметру первоначального

треугольника .

5.Сумма квадратных корней из площади малых треугольников равна квадратному корню из площади первоначального треугольника

Практическая значимость. Результаты исследования, проведённые в данной работе, можно использовать на уроках геометрии при изучении таких тем, как осевая симметрия, подобие треугольников, свойство хорд в окружности.


Список источников информации

1. Кокстер Г.С.М., Гретцер С.Л. Новые встречи с геометрией, М. 1978 г. «Наука», стр.59-60.

2. Акопян А.В. Геометрия в картинках, М. 2012 г, 128с:ил.

3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: учеб. пособие. – 6-е издание., - М., МЦНМО, 2007, - 640 с.

4. Хан Д.И. Еще два решения «задачи о бабочке». Математика в школе №1. 2012, с. 70.

5. Викидепия – свободная энциклопедия. Интернет http://ru.wikipedia.org




1 Обозначение Мх1 означает треугольник с вершиной М и противолежащей ей стороной х1; аналогично и дальше.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров284
Номер материала ДБ-037578
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх