Исследовательская работа учащихся по теме "История квадратного уравнения"

• 1 слайд

  Тема
  История квадратных уравнений
  Выполнили:
  ученица 8 А класса
  Ларина Кристина
  Филатова Ирина
  
  

• 2 слайд

  Нас заинтересовал вопрос: какие методы решения квадратных уравнений существовали в древности?
  

• 3 слайд

  Гипотеза
  Если в древности решали квадратные уравнения, то они пользовались такими же методами, как и мы
  

• 4 слайд

  Что мы исследуем?
  Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне;
  Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения;
  Квадратные уравнения в Индии;
  Квадратные уравнения у аль-Хорезми
  
  

• 5 слайд

  Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. В их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, полные квадратные уравнения:
  
  x2+x=0,75
  X2-x=14,5
  

• 7 слайд

  Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Не смотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений
  

• 8 слайд

  КАК составлял и решал Диофант квадратные уравнения
  В «Арифметике» Диофанта содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.
  «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение-96».
  
  

• 9 слайд

  Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е. 10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
  (10+х)(10-х)=96,
  или же 100-х2=96,
  х2-4=0
  Отсюда х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х =-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
  

• 10 слайд

  Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения у(20-У)=96,
  у2-20у+ 96=0.
  Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
  

• 11 слайд

  
  
  Квадратные уравнения в Индии
  Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттой», составленном в 449 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (7 в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
  ах2+bx=c, > 0
  В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
  

• 12 слайд

  В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: « Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.»
  Задачи часто облекались в стихотворную форму.
  

• 13 слайд

  Вот одна из задач знаменитого индийского математика Бхаскары
  «Обезьянок резвых стая
  Всласть поевши, развлекалась.
  Их в квадрате часть восьмая
  На поляне забавлялась.
  А двенадцать по лианам…
  Стали прыгать, повисая…
  Сколько ж было обезьянок,
  Ты скажи мне, в этой стае?»
  

• 14 слайд

  Соответствующее задаче уравнение
  (х/8)2+12=х
  Бхаскара пишет под видом
  Х2-64х=-768
  и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
  х2-64х+1024=-768+1024
  (х-32)2=256
  Х-32= 16
  Х1=16, х2=48
  Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
  

• 15 слайд

  
  
  Квадратные уравнения у
  аль-Хорезми
  
  В алгебраическом тракте ал- Хорезме даёт классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
  1)”Квадраты равны корням”, т.е. ax2=bx
  2)’’Квадраты равны числу’’, т.е. ax2=c
  3)’’Корни равны числу’’, т.е. ax=c
  4)’’Квадраты и числа равны корням’’,т.е. ах2+с= bx
  5)’’Квадраты и корни равны числу’’,т.е. ax2+bx=c
  6)’’Корни и числа равны квадратам”,т.е. bx + c=ax2
  
  
  

• 16 слайд

  Для ал- Хорезме, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые .При этом заведомо не берутся во внимание уравнения , у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал- джабр и ал- мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении не полного квадратного уравнения
  

• 17 слайд

  первого вида aл- Хорезме, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал -Хорезме на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
  
  
  Задача.’’Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень’’(подразумевается корень уравненияx x2+21=10x).
  Решения автора гласит примерно так : раздели пополам число корней, получишь 5,умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2 . Отними 2 от 5, получишь 3, это будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
  Трактат ал- Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
  

• 18 слайд

  В данном проекте мы исследовали методы решения квадратных уравнений Древнего Вавилона, Индии, Греции, методы аль-Хорезма.
  Установили, что современные решения уравнений опирается на методы древних математиков.
  Выявили, что современные методы доступнее и точнее, так как математики древности не находили отрицательные корни уравнений.
  
  
  ВЫВОД:
  
  
  

• 19 слайд

  
  
  ЛИТЕРАТУРА
  
  1. Г.И Грейзер. История математики в школе. Москва «Просвещение, 1981»
  2. Луговок Л.М. Математика на досуге. Москва «Просвещение 1981»
  3. Кордемский Б. А. Увлечения школьников математикой. Москва «Просвещение 1981»