Исследовательская работа учащегося «Великая и загадочная теорема Ферма»

Исследовательская работа на тему:

«Великая и загадочная теорема Ферма»

Работа: ученицы 7 «Б» класса

МБОУ «Лицей» 

 г. Арзамаса

Кусакиной Кристины Учитель:

Путанова С.В.

Вступление.

На первый взгляд теорема Ферма кажется, очень простой. Те, кто

сталкиваются с ней впервые, обычно

недоумевают: почему на протяжении

380 с лишним лет математики не могли её доказать? Однако вскоре подобные иллюзии рассеиваются, и становится понятно: теорема Ферма – одна из

сложнейших математических задач всех

времён. Эта теорема заинтересовала и меня…

1 глава  «Создатель».

Рассказывая о великой теореме необходимо начать с её создателя – Пьера де Ферма.

Он родился 17 августа 1601 года, в городе Бомон-деЛомань на юге Франции.  При жизни Пьер де Ферма имел юридическое образование и был обычным городским адвокатом, но в душе он был страстным любителем математики и

совершил множество удивительных открытий.  Получив образование, Ферма переехал в Бордо, там он работал адвокатом и вступил в местное математическое сообщество. Бордо был одним из центров научной жизни, где находили поддержку талант и творчество.

В Бордо Ферма познакомился со многими учеными,  обменивался с ними своими идеями и расширял кругозор, в Бордо были изданы первые работы Ферма. Именно там зародились многие его идеи, в частности идея переиздания книги Аполлония «Плоские места», там же он открыл метод нахождения минимумов и максимумов функций, а также провел некоторые исследования, посвященные магическим квадратам.

2 глава «Происхождение последней теоремы»

Великая теорема ферма звучит так: «Для любого натурального числа n>2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений x, y и z.» 

Сам Ферма говорил: «Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.»

Множество ученых пытались доказать эту теорему, например, Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n=3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n=5, Ламе — для n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100. Сам Ферма утверждал, что вывел весьма простое и лаконичное доказательство своей теории, однако до сих пор не найдено никаких документальных свидетельств этого факта. Поэтому сейчас считается, что сам Ферма так и не смог найти общего решения своей теоремы, хотя из-под его пера вышло частное доказательство для n = 4. но были и те кто пытались не доказать, а опровергнуть эту теорему, найдя какое-нибудь решение для данного уравнения. Например, для n=3 в уравнении xⁿ+yⁿ=zⁿ существуют «почти» решения. Не трудно видеть, что  6³+8³=9³-1.

Кажется невероятным, что мы так близко подошли к решению, но, тем не менее, не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!

Интересные факты о теореме:

В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире, в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая равенство 1782¹²+1841¹²=1922¹². Это выражение является «почти» решением с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 3987 ¹²+4365 ¹²=4472 ¹² — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака. Так же об этой теореме есть еще один интересный факт. В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку.

Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества, которое в том же году объявило о проведении конкурса на получение премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ничего

3 глава «Доказательство теоремы»

Прошло уже столько лет, множество ученых боролись с теоремой, и все потерпели поражение, и кажется, что Великая теорема уже никогда не будет доказана, но это не так. Теорему Ферма смог доказать некий человек по имени Эндрю Уайлс. Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в

Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Френк Уайлс, преподавал богословие. Эндрю узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики, но  разумеется ему, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь. Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Риберт доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе бурю эмоций. «В тот момент я понял, что вся моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно все лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», - вспоминал он позже. 

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. У него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточится на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами, так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США. Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было не похоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, - одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история, как бы то ни было, в 1986 году Риберт доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

Эндрю Уайлс потратил очень много времени на доказательство теоремы, на это у него ушло около семи лет, и всё это время он искал возможность доказать великую теорему. Его доказательство основывалось на гипотезе Таниямы — Симуры, которая была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В этой гипотезе устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми и модулярными формами. Уайлс доказал некоторую часть этой гипотезы, ту что была ему необходима, чтобы достичь другой, но не менее важной цели.

Позднее выяснилось, что не только Уайлс работал над доказательством последней теоремы Ферма, Иоичи Мияока тоже пытался доказать теорему, но привел ошибочное доказательство, оно базировалось на так называемой философии параллелизма. Эксперты, которые занимались проверкой доказательства, обнаружили ошибку в рассуждениях японского математика. Несмотря на отчаянные усилия Мияоки, исправить ошибку так и не удалось, но это в свою очередь только подбодрило Эндрю Уайлса. 23 июня 1993 года в Кембридже на кафедре Принстонского университета Уайлс рассказал всем о своём доказательстве. Сказать, что все были удивлены, значит ничего не сказать.  

После Эндрю Уайлс получил большую популярность и попал в список журнала People 25 интригующих людей года. Но снова эксперты, проверяющие доказательство обнаружили ошибку, она казалась не значительной, и Уайлс решил ее исправить, но на это ушло больше времени чем, он думал, хотя всё  же 19 сентября 1994 года он смог исправить ошибку, и теорема считалась полностью доказанной.

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Вывод:

Теорема была доказана совсем не давно, и ее доказательство поймет не каждый профессиональный математик, поэтому Великая теорема Ферма пока не нашла применения, в решениях задач или в быту человека

 Но существует и другая теорема, Малая теорема ферма, она была выведена и доказана очень давно и имеет множество применений в олимпиадных задачах.

Малая теорема Ферма и ее применение.

Ма лая теоре ма Ферма  — теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то  a^(p-1)-1 делится на p, то есть a^(p-1)   ≡1 (mod p) .

Другими словами:

a^(p-1) при делении нацело на p даёт в остатке 1. К примеру, если a = 2; p = 7, то 2⁶ = 64, и 64-1 = 63 = 7 * 9.

С помощью этой теоремы можно решать множество олимпиадных задач. 

Например:

Пример: Найти остаток от деления 3 ²⁸ на 7.

3 =3       =(3 ) *3 =3 =81≡4(mod7)

Ответ: остаток равен 4

Пример: Доказать, что 73¹² -1 делится на 105.

Решение. Имеем: 105=3 *5 *7, НОД(73,3)=(73,5)=(73,7)=1. По теореме Ферма:

73² ≡1(mod 3) 

1(mod 5)  73  ≡1(mod 7)

Перемножая, получаем: 73 ¹² ≡1(mod 3),(mod 5),(mod 7), 73 ¹² -1≡0(mod 105), Ч.Т.Д.

Пример: Доказать, что 1¹⁸+2¹⁸ +3¹⁸ +4¹⁸+5¹⁸ +6¹⁸ ≡    ≡7-1(mod 7)

Решение: Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 взаимно просты с 7. По теореме Ферма имеем:

 

Возведем эти сравнения в куб и сложим:

1 ¹⁸ +2 ¹⁸ +3 ¹⁸ +4 ¹⁸ +5 ¹⁸ +6 ¹⁸ ≡ 6(mod 7) ≡7-1(mod 7) Ч.Т.Д.

Пример. Найти остаток от деления 7 ⁴⁰² на 101 . Решение. Число 101 – простое, НОД(7, 101)=1, следовательно, по теореме Ферма: 7 ¹⁰⁰ ≡1(mod 101). Возведем это сравнение в четвертую степень: 7 ⁴⁰⁰ ≡1(mod 101), домножим его на очевидное сравнение 7² ≡49(mod 101), получим: 7 ⁴⁰² ≡49(mod 101). 

Ответ:  остаток от деления 7 ⁴⁰² на 101 равен 49.

Краткое описание документа:

«Великая и загадочная теорема Ферма» .На первый взгляд теорема Ферма кажется, очень простой. Те, кто сталкиваются с ней впервые, обычно недоумевают: почему на протяжении 380 с лишним лет математики не могли её доказать? Однако вскоре подобные иллюзии рассеиваются, и становится понятно: теорема Ферма – одна из сложнейших математических задач всех времён. Заинтересовала она и мою ученицу. И хотя используется теорема при изучении теории делимости в 8 классе с углубленным изучением математики , расскажет нам о ней ученица 7 класса.