Исследовательская работа ученика 10 класса. Методы решения сложных задач по геометрии при итоговой аттестации.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Гимназия №8

Советского района г. Казани

Исследовательская работа

«Методы решения сложных задач по геометрии при итоговой аттестации»

Автор: Полинчук Илья,

учащийся 10В класса

Руководитель: Полинчук А.В.,

учитель математики 1-ой квалификационной категории

Казань

2017

Содержание

Введение

1. Методы решения геометрических задач

1. 1. Наиболее часто допускаемые ошибки при решении задач

   2. Этапы решения геометрических задач

   3. Методы решения геометрических задач

2. Понятия, используемые при решении задач № 26

   1. Частота использования понятий геометрии

   2. Теоретический справочник

3. Задачи № 26 с решениями

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 1

Введение

В работе рассмотрена проблема решения 26-ой задачи ОГЭ. Данная проблема на сегодняшний день является актуальной. Идет бурный процесс подготовки старшеклассников к сдачи Основного Государственного Экзамена. Как правило, учащиеся обходят стороной 26-ю задачу ввиду повышенной сложности. А те, кто принимаются за решение данной задачи, испытываю большие трудности при решении, и, как правило, процент справившихся с этой задачей на экзамене составляет 1,3-2%. Если говорит в количественном выражении, то это 1 ученик из 75. Данные были получены в результате анализа сдачи ОГЭ за последние 3 года.

Также в рамках исследовательской работы был проведен социологический опрос учащихся 9 классов гимназии №8, в ходе которого был выведен процент учеников, пробующих решить 26-ю задачу, он составил 5,7%. 9ти-классники отметили, что им не хватает систематизированного способов подготовки к решению задач такого типа.

Целью исследовательской работы является выявить алгоритм решения 26й задачи ОГЭ.

Задача исследовательской работы: показать весь спектр наиболее часто встречаемых типов задач под 26-м номером, а также наглядно показать методы решения задачи каждого типа.

Наиболее часто допускаемые ошибки при решении задач.

1. Не внимательное чтение условия задачи.

2. Халатное построение чертежа (от руки, без чертежных инструментов).

3. Неправильный перенос данных задачи на чертеж (либо по незнанию, либо по небрежности).

4. Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины, возможность нахождения которых вытекает прямо из условия задачи.

5. Неумение применять формулы и теоремы к решению задач.

6. Несоблюдение этапов решения задачи.

Этапы решения геометрических задач.

1. 1. Чтение условия задачи.

   2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.

   3. Краткая запись условия задачи.

   4. Перенос данных на чертеж.

   5. Анализ данных задачи.

   6. Составление цепочки действий.

   7. Запись решения задачи.

   8. Запись ответа.

Если вы хотите научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.

научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа.

Методы решения геометрических задач

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; 

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; 

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим.

Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей

скрывается приключение мысли.

Решить задачу – это значит пережить

приключение.

Вячеслав Викторович Произволов.

Методы решения геометрических задач

Удвоение медианы

Следствие из свойства медианы к гипотенузе

Использование введения буквенных обозначений величин

Метод вспомогательных построений

Применение свойства медианы к гипотенузе

Свойства площади треугольника

Использование осевой симметрии

Построение вспомогательных отрезков в трапеции

Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе

Переход к равновеликой вспомогательной фигуре

Метод удвоения медианы, Переход к равновеликой фигуре

Метод площадей

Свойство деления сторон треугольника окружностью, вписанной в него

Введение вспомогательной окружности

Метод решения: Удвоение медианы

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

При удвоении медианы, получаем прямоугольник, если исходный треугольник ̶ прямоугольный, в остальных случаях – параллелограмм.

Метод решения: Удвоение медианы

Опорная задача:

Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 30, BC = 26 и длина медианы BM равна 14.

Решение:

Удвоим медиану BM

ABCD – параллелограмм

BD = 2BM =28, AD = BC

По формуле Герона находим площадь треугольника ABD:

S_ABD336

По свойству диагоналей параллелограмма

S_ABСD=2S_ABD

S_ABС =S_ABCD=336

Ответ: 336

Метод: Использование свойств медианы

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

S_ABМ=S_СBМS_ABС

Метод: Использование свойств медианы

Опорная задача:

Медиана ВН треугольника АВС пересекается с его биссектрисой АМ в точке К и делится этой точкой на два равных отрезка. Найдите площадь этого треугольника, если ВН=16, АМ=20.

Доказать:АВН – равнобедренный, значит АКВН

1. BК BH = 8, S_ABМ ВК*АМ = 80

2. Доказать АВМ = АНМ

3. S_ABМ = S_AНМ

4. Проведем отрезок МН

5. Т.к. МН – медиана АМС

6. S_AМН = S_СМН

7. S_АВС = 3S_АВМ = 240

Ответ: 240

Метод: использование свойства деления сторон треугольника вписанной в него окружностью.

АМ = АЕ

BN = BЕ

CN = CM

Окружность и прямоугольный треугольник.

Радиус вписанной окружности:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен

– половине гипотенузы

– медиане, проведённой к гипотенузе

Опорная задача:

Площадь прямоугольного треугольника равна 60, а его периметр равен 40. Найдите катеты треугольника.

1. R

a + b - c = 2r =6

3. Sab

4. аb = 2S = 120

Метод: Построение вспомогательных отрезков в трапеции

Прямую, параллельную одной из диагоналей трапеции

Прямую, параллельную одной из боковых сторон трапеции

Прямые, параллельные обеим боковым сторонам трапеции

Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре

Площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ.

CE ║ BD

АЕ = AD + DE =AD + ВС

Опорная задача:

Опорная задача:

Задача №26 (Лысенко ОГЭ 2015, вариант 18,)

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее большего основания, если периметр трапеции равен 68, а площадь равна 255.

Решение:

1. АВ+CD = BC+AD34

2. AB=CD=34:2=17

4. Из ∆СDН:

5. Проведем CKBD,∆АСК – равнобедр., АН=НК=17, АD=17+8=25

6. ∆АСК~ ∆АOD:

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Галилео Галилей

1564 — 1642

Понятия, используемые при решении задач №26

• Теорема Пифагора

• Свойства углов, связанных с окружностью

• Теорема Фалеса

• Площадь трапеции через стороны

• Свойства биссектрисы треугольника

• Внешний угол треугольника

• Формула Герона

• Формулы тригонометрии

• Подобие

• Площадь треугольника через R

• Теорема косинусов

• 2R= a/sin(a)

• Свойства медианы треугольника

• Теорема о касательной и секущей

• Свойство высоты треугольника

• Теорема синусов

• Площадь треугольника через синус

• Движение

• Равенство треугольников

• Свойства Ромба

• Площадь треугольника через r

• Параллельные прямые и их свойства

• Свойству равнобедренного треугольника

Частота использования понятий геометрии

Теоретический справочник

Задачи и методы решения

• Задача №1

• Задача №2

• Задача №3

• Задача №4

• Задача №5

• Задача №6

• Задача №7

• Задача №8

• Задача №9

• Задача №10

• Задача №11

• Задача №12

• Задача №13

• Задача №14

• Задача №15

• Задача №16

Заключение

Было рассмотрено 20 задач под 26-м номером разного типа. Выявлен алгоритм решения каждого типа задач. А также было создано наглядное пособие для подготовки учащихся 9 классов по 26-ой задаче ОГЭ. Печатное пособие представлено в Приложении 1 и является вспомогательным материалом при подготовке.

В заключение считаю необходимым подчеркнуть, что не существует «не решаемых задач». Главное, при подготовке к экзамену еще раз повторить теоретический материал по учебникам 7-9 классов по геометрии, восполнить пробелы. А также правильно расставить приоритеты и составить план подготовки сдачи Основного Государственного Экзамена по математике.

Список использованной литературы

1. Математика ОГЭ Лаппо, Попов, Практикум реальные тесты 2015

2. Математика Ященко, Шестаков, Трепалин, Семенов, Захаров, ОГЭ 2015 Типовые тестовые задания

3. Математика ОГЭ-2016 под редакцией Ященко. 20 вариантов

4. Математика ОГЭ-2016 под редакцией Ященко. 30 вариантов

5. Математика ОГЭ-2015, Репетиционные варианты. ФИПИ. Семенов, Ященко. 12 вариантов

6. Математика ГИА-2014, ФИПИ. Бунимович, Кузнецов 10 вариантов

7. Математика ГИА-2014, ФИПИ. Семенов, Ященко. 30 вариантов

8. Математика ОГЭ-2016 60 тестов под редакцией Д.А. Мальцева

9. Математика ЕГЭ-2012 Р.К. Гордин Решение задач С4

10. Учимся решать задачи по геометрии В.Б. Полонский, Е.М Рабинович, М.С Якир

11. Решение задач по планиметрии О.П. Зеленяк

12. Задачи на вырост В.В Произволов

13. http://www.otvet-gotov.ru

14. http://www.reshuoge.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Задача №1

В-1 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 2,3 и 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-2 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны3,7 и 8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-3 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 2,3 и 4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольника.

Ответ:

В-4 (Л ПР 2015)

В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 найдите радиус окружности , вписанной в треугольник ABC.

Ответ:

В-5 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 5,6 и 9. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-6 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 3,7 и 8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-7 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 3,5 и 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-8 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 5,6 и 7. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

В-9 (Л ПР 2015)

В треугольнике ABC стороны 3,5 и 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ:

Задача №2

В-2 (Рв СЯ 2015)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:21, 42, 63.

В-7 (Я Ш 2015)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:15, 30, 45.

В-1 (Я 20 2016)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:26, 52, 78.

В-11 (Я 20 2016)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 160. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:40, 80, 120.

В-1 (Я 30 2016)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 1680. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:42, 84, 126.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:52, 104, 156.

В-3 (Пробник 19.03.16)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:

Задача №567 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 66BA84

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 192. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=192/2=96.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(192*96)/2=96*96=9216
S_ABE=(BE*AO)/2=(192*96)/2=9216
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=9216
Тогда, S_ABС=3*9216=27648
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(192*BO)/2=27648/2
BO=27648/192=144
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=144²+96²
AB²=20736+9216=29952
AB=√29952= √16*1872=√16*16*9*13=4*4*3√13=48√13
BC=2AB=2*48√13=96√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=192-144=48
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=96²+48²=9216+2304=11520
AE=√11520=√16*16*9*5=4*4*3*√5=48√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
96√13/48√13=CE/(48√5)
2=CE/(48√5)
CE=96√5
AC=AE+CE=48√5+96√5=144√5
Ответ: AB=48√13, BC=96√13, AC=144√5

Задача №3

В-1 (Я Ш 2015)

Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки АМ=15 и МВ=16. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Ответ:240

Задача №413 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 00ECB0

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение задачи:

Рассмотрим треугольники ADC и CBD.
∠DCA=∠CBA (т.к. ∠DCA равен половине градусной меры дуги CA по четвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме).
∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, попризнаку подобия, треугольники ADC и CBD - подобны.
Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:
CD/BD=AC/BC=AD/CD
AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы).
Из этих равенств выписываем:
AD=CD*10/18 BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28)
AD+28=CD*18/10 CD*10/18+28=CD*18/10
28=CD*18/10-CD*10/18
28=(18*18*CD-10*10*CD)/180
28*180=CD(324-100)
CD=28*180/224=180/8=22,5
Ответ: CD=22,5

Задача №4

В-2 (Я Ш 2015)

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ:99

В-8 (Я 20 2016) В-2 (Я Ш 2015)

В-18 (Я 20 2016)

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ:112

В-3 (Я 30 2016)

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ:15

В-4 (Я 30 2016)

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ: 80

В-10 (Я 30 2016)

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ: 120

В-24 (Я 30 2016)

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ: 30

В-10 (Я 30 2016)

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Ответ: 120

Задача №456 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1456C2

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение задачи:

Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (посвойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(90+45)²=(O₂K)²+(90-45)²
18225=(O₂K)²+2025
(O₂K)²=16200
O₂K=10√162=AC 
Рассмотрим треугольники OAO₂ и OCO₁ (cм. Рис.1).
∠AOO₂ - общий
∠OAO₂=∠OCO₁=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
90/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
2*OA=OA+10√162
OA=10√162
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O₁0/O₂O
R/r=(O₂O+R+r)/O₂O
90/45=(O₂O+90+45)/O₂O
2(O₂O)=O₂O+135
O₂O=135
Обозначим угол ∠AOO₂ как α
cosα=OA/OO₂=10√162/135
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=10√162*10√162/135=120
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(10√162+10√162)*10√162/135=20√162*10√162/135=200*162/135=240
EF=OF-OE=240-120=120
Ответ: EF=120

Задача №5

В-5 (Я Ш 2015)

Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке D и радиусом DА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ=9, АР=8, АМ=6.

Ответ:12

В-6 (Я Ш 2015)

Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке D и радиусом DА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ=40, АР=20, АМ=32.

Ответ:25

Задача №6

В-3 (Я Ш 2015)

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=10:9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Ответ:54:133

Задача №7

В-4 (Я Ш 2015)

Середина диагонали АС выпуклого четырехугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 12. Найдите площадь четырехугольника, если ВD=26.

Ответ:811,2

Задача №8

В-8 (Я Ш 2015)

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ:1320

В-3 (Я 20 2016)

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ:168

В-13 (Я 20 2016)

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ: 1320

Задача №476 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - FF9799

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение задачи:

По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательнойAC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO²=AF²+OF²
25²=AF²+7²
625=AF²+49
AF²=576
AF=24=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+8=15
S_ABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: S_ABCD=2*S_ABC
И в тоже время S_ABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y)
(48+2x+2y)*7=15*(x+y)
336+7(2x+2y)=15*(x+y)
336+14(x+y)=15*(x+y)
336=x+y
x+y=BC=AD
S_ABCD=EH*AD=15*336=5040
Ответ: S_ABCD=5040

Задача №9

В-9 (Я Ш 2015)

Площадь ромба АВСD равна 18. В треугольник АВD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС.

Ответ:

Дан ромб ABCD

AC, BD -диагонали

т. О - пересечение диагоналей

через т. К проведена прямая, которая пересекает BC в т. L, тогда по условию задачи площадь ΔKBL=1

Пусть KL пересекает BD в т. R, тогда ΔKBR=ΔBRL и площадь ΔKBR=1/2=0,5

Поскольку ΔDAB - равнобедренный, то центр ее вписанной окружности лежит на высоте AO

KB=BO, как касательные, выходящие с одной точки(B)

Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника, в нашем случае площадь одного такого треугольника равна 18/4=4,5

То есть площадь ΔABO=4,5

ΔABO и ΔKRB подобные и их площади относятся как квадраты подобных сторон

Пусть OB=x, тогда и KB=x, тогда

   Sabo/Skbr = (AB)^2/(KB)^2

   4,5/0,5=(ab)^2/x^2

     9x^2=(AB)^2

      AB=3x

sin(BAC)=sin(BAD)=BO/AB=x/3x=1/3

Задача №10

В-10 (Я Ш 2015)

Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС. В каком отношении точка касания делит катет АС, считая от вершины А?

Ответ:3:1

Решение

Пусть M — середина гипотенузы AB, N — середина катета BC, K — точка касания данной окружности с прямой AC, P — середина средней линии MN треугольника ABC. Перпендикуляр к AC, проведённый через точку K, проходит через центр окружности и делит пополам перпендикулярную ему хорду MN, т.е. проходит также через точку P. Тогда

CK = NP = MN =   ^.  AC =   AC.

Следовательно, АK : СK = 3 : 1.

Задача №11

В-2 (Я 20 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 10 и 26, а основание ВС равно 1. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции

Ответ:130

В-12 (Я 20 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 290

В-5 (Я 30 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 24 и 25, а основание ВС равно 9. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 300

В-11 (Я 30 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 40 и 41, а основание ВС равно 16. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 820

В-17 (Я 30 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 16 и 34, а основание ВС равно 2. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

В-25 (Я 30 2016)

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 12 и 13, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 78

Задача №543 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 05E365

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение задачи:

Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF - средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE - биссектриса).
Значит треугольник EFD - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по определению).
EF=FD=CD/2=25/2=12,5
EF=(BC+AD)/2=12,5
(5+AD)/2=12,5
5+AD=25
AD=20
Дальше площадь трапеции можно найти разными способами:
1) Вычислить высоту трапеции. И вычислить площадь через высоту
2) Вычислить площадь через стороны трапеции.
Первый вариант
Проведем высоты как показано на рисунке.
MN=BC=5 (т.к. BCNM - прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
20=x+5+ND
ND=15-x
Для треугольника ABM запишем теорему Пифагора:
AB²=h²+x²
20²=h²+x²
h²=400-x²
Для треугольника CDN запишем теорему Пифагора:
CD²=h²+ND²
25²=h²+(15-x)²
625=h²+(15-x)²
Подставляем вместо h² значение из первого уравнения:
625=400-x²+(15-x)²
625-400=-x²+15²-2*15*x-x²
225=15²-2*15*x
225=225-30x
30x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=20(20+5)/2=10*25=250

Второй вариант
Площадь трапеции можно найти по формуле.




Ответ: 250

Задача №12

В-28 (Я 30 2016)

Углы при одном из оснований трапеции равны 86⁰ и 4⁰, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.

Ответ: 5;3

В-4 (БК 2014)

Углы при одном из оснований трапеции равны 44⁰ и 46⁰, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 и 46. Найдите основания трапеции.

Ответ: 90,2

Углы при одном из оснований трапеции равны 44⁰ и 46⁰, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 6. Найдите основания трапеции.

Задача №13

В-5 (Я 20 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=34 и СD=22 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке к, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ: 2

В-15 (Я 20 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=11 и СD=41 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:

В-5 (М 60 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=40 и СD=10 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АQВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:

В-9 (Я 30 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=15 и СD=18 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке Q, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:

В-13 (Я 30 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=5 и СD=17 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:

В-16 (Я 30 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=39 и СD=6 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:

В-27 (Я 30 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=39 и СD=6 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ: .

В-29 (Я 30 2016)

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=11 и СD=41 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60⁰. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Ответ:.

Задача №14

В-6 (Я 20 2016)

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если АD=8, ВС=4.

Ответ: 4

В-7 (Я 20 2016)

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если АD=14 ВС=7.

Ответ: 4

В-16 (Я 20 2016)

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если АD=6, ВС=5.

Ответ:

В-17 (Я 20 2016)

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если АD=8, ВС=4.

Ответ:

Задача №424 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - A00346

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=16, BC=15.
Решение задачи:

По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BC (т.к. ABKC - прямоугольник).
KD=AD-AK=16-15=1
По определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=1/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
∠CTB=∠DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
∠TBC=∠CKD=90°
Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Тогда, BC/KD=TC/CD
15/1=TC/CD
TC=15CD
По теореме о касательно и секущей:
TE²=TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD²
TE=CD√240=4CD√15
Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
∠CTB - общий
∠EFT=∠TAD=90°
Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT.
Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT.
EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=TE/CD=4CD√15/CD=4√15
Ответ: EF=4√15

Задача №15

В-7 (Рв СЯ 2015)

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 12 и 13, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Ответ: 156,25

Задача №430 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 03D0F6

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение задачи:

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
42/39=(AH+R+r)/AH
42AH=39(AH+81)
42AH-39AH=3159
AH=1053
sin∠EAH=EH/AH=39/1053=1/27
AK=AH+r=1053+39=1092
AK перпендикулярен BC, т.к. AK - это продолжение большого и малого радиусов, а BC - касательная к малой окружности ( свойство касательной). AK делит хорду BC (BC - хорда для большой окружности) пополам (по второму свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1092
sinα=1/27
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB²=AK²+BK²
AB²=AK²+(AB*sinα)²
AB²-AB²*sin²α=1092²
AB²(1-1/27²)=1092²
AB²(27²-1)=27²*1092²
AB²=27²*1092²/(27²-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/27
По теореме Пифагора:
AO²=ON²+AN²
AO²=AO²/27²+(AB/2)²
AO²((27²-1)/27²)=27²*1092²/(27²-1)
Закончив все вычисления, получаем, что AO=546,75
Ответ: Радиус описанной окружности равен 546,75.

Задача №16

В-1 (Рв СЯ 2015)

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найдите АD, если АС=15, ВС=18 и СD=10.

Ответ: 15

В-4 (Рв СЯ 2015)

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найдите АD, если АС=20, ВС=10 и СD=8.

Ответ: 21

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точки A , C и D , касается прямой BC . Найдите AD , если AC=40 , BC=45 и CD=24 .

Решение

Сделаем рисунок. 
Треугольник АВC тупоугольный - длина сторон предполагает это.  
Сторона ВС -  касательная, 
ДС - хорда. 
Согласно теореме об угле между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, 
∠ ВСД равен половине дуги ДС, на которую опирается центральный угол ДОС, и равен половине этого центрального.
Вписанный угол ДАС опирается на ту же дугу и тоже равен половине угла ДОС. 
∠ВСД=∠ВАС.
Рассмотрим треугольники АВС и ДВС. 
Они имеют по два равных угла:
∠В - общий
∠ВСД=∠ВАС из доказанного выше.
 Найдем коэффициент подобия этих треугольников.
Соответственные стороны подобных треугольников лежат против равных углов. 
АС:ДС=40:24=5:3
k=5/3
АВ:ВС=5:3
3АВ=5*45
3АВ=225
АВ=75 
ВС:ВД=5/3
5ВД=3*45=135
ВД=135:5=27
АД=АВ-ВД=75-27=48

Задача №17

В-10 (Я 20 2016)

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча АВ, если =.

Ответ: 8

В-20 (Я 20 2016)

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча АВ, если =.

Ответ:13,5

Задача №658 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 345EF5

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√11/6.

Вариант №1 
Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD²=AM*AN (по теореме о касательно и секущей для точки А).
AD²=9*11=99
AD=√99=√9*11=√9*√11=3√11
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник прямоугольный (по свойству касательной).
cos∠BAC=AD/AE (по определению).
AE=AD/cos∠BAC=3√11/(√11/6)=3√11*6/√11=3*6=18
По теореме Пифагора:
AE²=DE²+AD²
18²=DE²+(3√11)² 324=DE²+9*11
DE²=324-99=225 DE=15
EN*EM=EF*DE (по теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54 R=5,4
Ответ: 5,4

Вариант №2.
Дополнительно обозначим ключевые точки и проведем отрезки, как показано на рисунке.
По теореме о касательной и секущей найдем AD.
AD²=AM*AN=9*11=99 AD=√99
Рассмотрим треугольник ADM.
По теореме косинусов найдем DM:
DM²=AD²+AM²-2*AD*AM*cos∠BAC=(√99)²+9²-2*√99*9*√11/6=99+81-18*3√11*√11/6=180-3*3*11=180-99=81
DM=9
Так как DM=AM=9, значит треугольник ADM - равнобедренный.
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника ∠BAM=∠ADM
По четвертому свойству углов, связанных с окружностью ∠ADM равен половине градусной меры дуги DM.
∠DOM - центральный угол, следовательно равен градусной мере дуги DM, т.е. вдвое больше, чем ∠ADM.
Рассмотрим треугольник DOM.
Так как OD=OM=R, то данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту OE, как показано на рисунке.
По свойству равнобедренного треугольника: высота OE является так же и биссектрисой, и медианой.
Следовательно, ∠DOE=∠DOM/2=∠ADM=∠BAC
Получаем, что cos∠DOE=cos∠BAC=√11/6
sin∠DOE=√1-cos²∠DOE=√1-(√11/6)²=√1-11/36=√25/36=5/6 ( основная тригонометрическая формула)
DE=DM/2=9/2=4,5 (т.к. OE - медиана).
sin∠DOE=DE/DO (по определению).
5/6=4,5/DO DO=4,5/(5/6)=4,5*6/5=5,4=R
Ответ: R=5,4

Задача №18

№ 314847 (СДАМГИА.РФ)

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник  — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике  имеем:  Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому

 

Поскольку кроме этого  имеем:

  

Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, имеют общий катет и  равно следовательно, эти треугольники равны, а значит, .

Точка  отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка  — центр окружности, описанной около треугольника . Радиус описанной окружности 

Ответ: 2.

Задача №19

В-18 (Я 30 2016)

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от вершины В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=20.

Ответ: 26

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=6.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от вершины В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

(https://oge.sdamgia.ru)

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 8.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. В треугольнике ABH, AK — биссектриса. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, то есть   

Найдём косинус угла:

Следовательно, синус угла BAC равен:

Из теоремы синусов найдём радиус описанной окружности:

Ответ: 5.

Задача №20

В-21 (Я 30 2016)

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Ответ: 3,2

В-22 (Я 30 2016)

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Ответ: 8,8

Задача №441 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 08E95E

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение задачи:

S_ABCD=EF*(AD+BC)/2=2000
P_ABCD=AB+BC+CD+AD=200
AB=CD (так как трапеция равнобедренная). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е.
AD+BC=AB+CD
AD+BC=2AB (т.к. AB=CD)
Тогда: P_ABCD=AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200
AB=50
Значит, AD+BC=2*50=100
S_ABCD=EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=2000
EF=40
Проведем высоту BH, как показано на рисунке.
BH=EF=40, так как BEFH - прямоугольник.
AH=(AD-BC)/2
По теореме Пифагора:
AB²=BH²+AH²
50²=40²+AH²
2500=1600+AH²
900=AH²
30=AH=(AD-BC)/2
60=AD-BC, вспомним, что AD+BC=100
60=AD-(100-AD)
60=AD-100+AD
160=2AD
AD=80
Тогда BC=100-80=20
Рассмотрим треугольники AKF и CKE
AF=AD/2=40
CE=BC/2=10
∠AFK=∠CEK=90°
∠AKF=∠CKE (т.к. они вертикальные)
По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда, AF/CE=KF/KE
40/10=KF/KE
4=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=40)
4KE=40-KE
5KE=40
KE=8
Ответ: KE=8

49