Исследовательская работа в 9 классе по теме " Свойства биссектрис параллелограмма"

Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект I. Введение. 1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках? Изучая тему "Четырехугольники", мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала. №425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян) Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. Цель работы: Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: 1.      Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма 2.       Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма 3.      Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ 4.      Составление тестовой работы по теме 1.2 Немного из истории... Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам. В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида. "ТРАПЕЦИЯ" - слово греческое, означавшее в древности "столик" (по-гречески "трапедзион" означает столик, обеденный столик). В "Началах" термин "трапеция" применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). "Трапеция" в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл. Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского. Термин "КВАДРАТ" происходит от латинского "квадратум" ("Квадрате" - сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат. Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1) применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым. В своих "Началах" Евклид не употреблял слово "площадь", так как он под самим словом "фигура" понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой. Слово "РОМБ", как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В "Началах" Евклида термин "ромб" встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным. В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма. II. Основная часть 2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма Я попытался подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводил в них биссектрисы, анализировал рисунки и пытался сделать выводы. Так же я использовал бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира. Я сформулировал  и доказал свойства биссектрис параллелограмма и оформил их в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация). Свойства биссектрис параллелограмма. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна,  я увидел, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство. А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи. Формулировки некоторых из этих свойств я встретил позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе. В книге И.Шарыгина "Математика для поступающих в ВУЗы" я познакомился еще с одним свойством и его доказательством (стр.176): Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом γ , равна 1/2 (a-b)2sin γ. III. Практическая часть. При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратился к учителю математики Сербинович Е.В. Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов, свойств из разных разделов курса. Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна,  можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявление 1 свойства: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Аналогичная задача приведена в учебнике под редакцией А.В. Погорелова. На формулировку 2 свойства в учебнике под ред. Л.С. Атанасяна приведена задача на доказательство: в параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. В учебнике под редакцией А.В. Погорелова не приводятся задачи на применение этого свойства. Аналогичная ситуация складывается и при подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе. Задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы. Учитывая эти слова, я сделал следующее: составил ряд несложных заданий для устного решения, которые предложил ученикам 9 б класса; самостоятельно составил тестовую работу по теме "Биссектрисы параллелограмма"; сделал подборку задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий; Далее я провел эксперимент. Предложила ряд задач ученикам 9 класса. В основном они затруднились в решении их, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для меня теперь свойства. Были получены следующие результаты выполнения заданий: 1 задание -80%, 2 задание – 64%, 3 задание – 0%, 4 и 5 задание -15%, 6 задание – 37%.После этого  я познакомил учеников с содержанием теоретической части моей работы и несколько задач мы решили вместе. Затем я предложил им выполнить ту же самую  тестовую работу, которую составила сама. Результаты ее выполнения следующие: выполнили полностью правильно - 8 чел. (30%) сделали 1 задание  - 19 чел. (90%) сделали 2 задание  - 17 чел. (81%) сделали 3 задание  - 16 чел. (76%) сделали 4 задание  - 10 чел. (48%) сделали 5 задание  - 10 чел. (48%) сделали 6 задание  - 13 чел. (62%) .Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике. IV. Заключение. Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидел необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сам сформулировал, доказал свойства, но и попытался применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим мне при подготовке к экзамену по математике. Буду рада, если другие ребята воспользуются им. Задачи: 1)      В параллелограмме площади S проведены биссектрисы его  внутренних углов. Площадь четырехугольника, получившегося при их пересечении равна Q. Найти отношение сторон параллелограмма 2)      В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону СD в точке T и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника ABM, если BC = 15, BT = 18, MT = 12. 3)       Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см. 4)       Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 2:1, считая от вершины тупого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см. 5)       ЗАДАЧА В ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ ABCD BK- ,БИССЕКТРИСА УГЛА В.НАЙДИТЕ УГЛЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ABCD ЕСЛИ УГОЛ АКD 75 ГРАДУСОВ. 6)        Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении                                                    образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма. Решение: Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D — в точке Q, внешних углов при вершинах A и D — в точке R, внешних углов при вершинах A и B — в точке S. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS — прямоугольник. Пусть M — середина BC. Тогда PM — медиана прямоугольного треугольника BPC, поэтому PM = MC. Значит, где K — точка на продолжении стороны DC за точку C. Следовательно , PM || CD. Аналогично докажем, что если N — середина AD, то RN = ND и RN || CD. Кроме того , MN || CD и MN = CD. Следовательно, точки M и N лежат на диагонали PR прямоугольника PQRS и PR = PM + MN + NR = MC + CD + ND = BC + CD. 7)       Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма. Решение: Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N, углов при вершинах A и D — в точке K, углов при вершинах A и B — в точке L. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник. Предположим, что AB > BC. Если луч BM пересекает прямую CD в точке T, то  Значит, треугольник BCT — равнобедренный. Поэтому CT = BC < AB = CD. Следовательно, точка T лежит на стороне CD и DT = CD - CT = AB - BC. Поскольку CM — высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то M — середина BT. Аналогично докажем, что если S — точка пересечения луча DK со стороной AB, то K — середина DS. Точки M и K — середины противоположных сторон параллелограмма BTDS. Следовательно, MK = DT = AB - BC Поскольку диагонали прямоугольника равны, то LN = MK = AB - BC. Список литературы: Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 Учебник для общеобразоват.учреждений М..2002. Безрукова Г.К. Геометрия. Тематические тренировочные задания ГИА 2009 М.,2009. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983. Денищева Л.О. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся М.2009. Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ - 2009 Изд-во "Легион" 2009. Свечников А. Путешествие в историю математики М., 1995. Шарыгин И. Математика для поступающих в ВУЗы 1995. Сборники олимпиадных заданий.

Исследовательская работа

по геометрии по теме

«Биссектрисы параллелограмма»

                                                                                              Выполнил ученик

                                                                               8 б класса

                                                                                             Привалов Артем.

                                                                                      Руководитель

                                                                                               учитель математики

                                                                                           Сербинович Е. В.

МОУ-СОШ №8

город Клинцы