Исследовательская работа "Вероятность наступления события".

СОДЕРЖАНИЕ:

 Введение......................................................................................................3

1. История возникновения и развития теории вероятностей …………….5

2. Основные понятия теории вероятностей. ……………………………….5

2.1. Элементы теории вероятностей. События. ……………………………6

2.2.Классическая формула вероятности. …………………………………..8

2.3. Действия над событиями.  Сложение вероятностей………………...10

2.4. Формула Бернулли…………………………………………………….11

3. Практическая часть……………………………………………………..  12

3.1. Монета в теории вероятностей……………………………………… .12

3.1.ЦТ как пример использования теории вероятностей жизни………  14

3.2. Экспериментальная часть………………………………………...  … 16

4.Возможности применения теории вероятности в моей жизни………  16

Заключение………………………………………..…………………………16

Список источников……………………………………………………….…17

Приложение1. Диаграмма. Вероятность сдачи ЦТ путём угадывания ..18

Приложение 2. Задачи по теории вероятности. …………………………  19

      Мы,  не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”. Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

    Я считаю эту тему актуальной по ряду причин:

1.   Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка.  Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая? Но  наука обнаружила интересные закономерности. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

2.   Теория вероятностей используется в области социально-экономических явлений, а так же   необходима при решении многих технических задач.

3.    Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника основной школы –  сдача централизованного тестирования успешная его сдача - это  дело случая? Или….

   Цель моего  исследования заключалась в следующем:

1)  Знакомство с понятием теория вероятности, общими формулами и правилами; применении ее в различных сферах жизнедеятельности человека.

2)Изучение истории опыта с монетой, проведение опыта  с монетой.

3)  Исследование вероятности успешной сдачи централизованного тестирования по математике.

Для реализации целей я  поставил перед собой задачи:

1)собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации; разбор задач по теории вероятностей.

2)  рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) провести опыт с монетой

4) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ЦТ путем угадывания правильного ответа.

Гипотеза исследования: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования –теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

Методы  исследования: 1)сбор информации, 2)работа с печатными материалами 3)наблюдение в игре; 4)исследование при помощи простейших экспериментов;5)анкетирование 6)анализ результатов

Введение.

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь о теории вероятностей. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения?
У каждого 'случайного' события есть четкая вероятность его наступления. Например, посмотрите официальную статистику пожаров. Вас ничего не удивляет? Данные из года в год стабильные. Задумайтесь, пожар — событие случайное.  Можно с большой точностью предсказать сколько погибнет людей в пожаре в следующем году. В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из год в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете — это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8 000 000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21 000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей... косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом..., но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете. От падения кокосов погибает ~ 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма "Кокос-убийца" пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая. В своей исследовательской работе я попробую проверить, действительно ли теория вероятности действует и как её можно применить в жизни. Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим,  иногда очень полезно.
1. История возникновения и развития теории вероятностей

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде.  Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения.

2. Основные понятия теории вероятностей.

2.1. Элементы теории вероятностей. События

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный». Например, «к вечеру, вероятно, пойдёт дождь», «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает». При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступает чаще, чем другое. В этом случае говорят, что оно более возможно, т.е. его наступление более вероятно. Естественно. При такой оценке человеку помогает здравый смысл и жизненный опыт.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений. Все события можно разделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

     Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

    Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Два события А и В, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно,-несовместными.

Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.

Событие   называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А.

Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места» противоположным является событие «хотя бы один из спортсменов команды не занял призовое место».

Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, то выпадение пятерки — событие.

2.2.Классическая формула вероятности

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.     ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ     ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение М/N, где N – число всех возможных исходов эксперимента, а М – число всех благоприятных исходов: Р(А)= М/N.

Такое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим.

Для нахождения вероятности событий А при проведении некоторого испытания следует:

1.     Найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2.     Найти количество M тех исходов испытания, в которых наступает событие А;

3.     Найти частное М /N; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А),тогда формула для вычисления  вероятности  записывается так:

где М ≤N

N – число всех исходов испытания

М – число исходов благоприятствующих событию А

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событию А, к числу исходов N всех исходов испытания. Вероятность события А всегда больше или равна 0 меньше или равна 1

0≤Р(А) ≤1

Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие  исследуемому испытанию исходы.

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?

N=10;  М=6;   А- Извлечение белого шара

 

N=10;  М=4;   А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый

 

N=10;               M=2

 

N=10;               M=4

 

N=10;               M=4

 

N=10;               M=0

Схема решения задач:

1.                 Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.

2.                 Найти общее число элементарных событий (N)

3.                 Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число М.

4.                 Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя.

Решение:    Случайный эксперимент – бросание жребия.

                  Элементарное событие – участник, который выиграл жребий.

Число элементарных событий:  N=4

Событие А = {жребий выиграл Петя}, М=1

 

Ответ: 25

Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4.

Решение:     Случайный эксперимент – бросание кубика.

                     Элементарное событие – число на выпавшей грани

Всего граней:                Элементарные события:1, 2, 3, 4, 5, 6.      М=2

Ответ: 1/3.

Задача 3. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

Решение: Обозначим событие, вероятность которого надо найти, буквой А. Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске не играет роли, поэтому N=. Найдём теперь число М благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девочек из 18. Оно равно

. По определению вероятности  .

2.3. Действия над событиями.  Сложение вероятностей

Суммой двух случайных событий А и В называют новое случайное событие А+В, которое происходит, если происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно. Событию А+В соответствует объединение (сумма) множеств исходов, соответствующих событиям А и В.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

 

Пример 1.

В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Решение:

Умножение вероятностей.

Произведением двух случайных событий А и В называется новое случайное событие А·В, которое происходит только тогда, когда происходят события А и В одновременно. Событию А·В соответствует пересечение множеств исходов, соответствующих событиям А и В.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1.Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания  монеты трудно определить, равновозможны ли ее падения на «орёл» или на «решка». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W(A)– отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытанийN) при большом числе испытаний.

2.4.Формула Бернулли.

Также я познакомился с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли,  выведшего формулу:

 

р – вероятность успеха,

q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

§  найти   общее количество  исходов  этой ситуации;

§  найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

§  найти ,какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

3. Практическая часть

3.1. Эксперимент 1. Монета в теории вероятностей. Монета сточки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи.

Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Тем не менее, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросали, бросаем и будем бросать обычную монету.

Монета часто помогала людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись на судьбу. В пьесе А.Н. Островского «Бесприданница» есть эпизод, когда купцы Кнуров и Вожеватов с помощью игры в орлянку решают, кому достанется Лариса.

И до сих пор монета часто используется как средство решения споров.

Оказывается, что при многократном  повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.

Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх – гербом или цифрой. Здесь результат действия – броска монеты – не определен однозначно. Может показаться, что в подобных задачах вообще ничего определенного сказать нельзя. Однако даже обычная игровая практика показывает обратное: при большом числе бросков примерно в половине случаев выпадет герб, а в половине – цифра. И это уже некоторая закономерность. Именно такие закономерности и изучаются в теории вероятностей.

Проведём опыт. Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие,то есть возможный исход нашего испытания. Проведя 100 испытаний орел выпал - 45, решка - 55.Вероятность выпадения орла в данном случае-0,45; решки – 0,55. Таким образом, я показал, что теория вероятности в данном случае имеет место быть.

Число экспериментов	10	20	30	50	100
Число падение «Орёл»(частота)	5	9	14	22	45
Относительная частота падения «Орёл»	0,5	0,45	0,47	0,44	0,45

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

 Шаг первый - выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже n=8( они находятся по формуле n=2^k, где k - число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет m=3. Тогда вероятность события P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375.

Пример 2: Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадает от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый - выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться n=2⁴=16 штук! Вот они: 
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза:OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,их будет m=10. Тогда вероятность равна P=m/n=10/16=5/8.

Для вычисления вероятности события  можно применить формулу Бернулли.

Пусть бросается монета n раз. Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности k раз.

Так как броски монет - события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна p=1/2=0.5p), то

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос "какова вероятность того, что герб появится в точности k раз из n.

Пример 2: Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадает от 2 до 3 раз.

Подставляем n=4,k=2 и k=3, получаем

3.2.          ЦТ как пример использования теории вероятностей жизни

Я сегодня обучаюсь в 9 классе, а через два года мне предстоит сдавать централизованное тестирование.

Централизованное тестирование по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них, в том числе и по математике  в части А даны задания с выбором ответа. Среди нерадивых учеников возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом набрать необходимое количество баллов для поступления в ВУЗ»

Для этого с учащимися 11 класса было проведено анкетирование. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1.Можно ли сдать ЦТ без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А? То есть можно ли практически угадать 8 заданий из 18, т.е. сдать ЦТ по математике без подготовки. Результаты такие: 13,2% учащихся считают, что смогут сдать ЦТ указанным выше способом. Я решил проверить, правы ли они?

Эксперимент 2.

 Своим одноклассникам и одноклассницам предложил угадать ответ в демонстрационном варианте теста по математике за 2015год. И вот, что у меня получилось. (Приложение 1)

 Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей .Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене поможет нам формула Бернулли:

    Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из пяти предложенных в одном задании первой части.

   Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 5). Тогда p=P(A)= и  q=P(Ā)=1-p=.

Вероятность получения положительной оценки:

В результате проведенного эксперимента и применяя формулу Бернулли, я доказал, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к сдаче ЦТ и успешно поступить в ВУЗ.

4.     Возможности применения теории вероятности в моей жизни.

   Я хочу иметь отличную фигуру! Для того чтобы быть физически здоровым  мне необходимо делать ряд упражнений. Ежедневные тренировки приведут меня к физическому успеху. Если я провожу 2 тренировки в 7 дней, то получается Р(А)=2/7=0,29   (или 29% из 100% возможных). Это малая вероятность того, что мое тело приобретет нужную форму в нужное время. Для этого оптимальный вариант заниматься ежедневно, т.е. 7 тренировок за 7 дней  m=n; 7=7; Р(А)=7/7=1        (100%) Следовательно данное событие приобретает достоверную форму. Если  мы не тренируемся и m=0, то о какой фигуре может идти речь, при m=0  событие не достоверно.

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добился реализации поставленных перед собой задач:

во-первых, понял, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и  изучить его   в один заход невозможно;

во-вторых, перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я понял, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

В-третьих, я понял, что теория вероятностей - это целая наука, которой,  казалось бы, нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая?  Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности.

В-четвёртых, исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 11 классов ЦТ я пришёл к выводу, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к сдаче ЦТ. Таким образом,  выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории  вероятностей я доказал, что к ЦТ надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

На примере моей работы можно сделать и более общие выводы:  подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Список источников:

1.                 Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебн. Пособие/ Л.С.Клентак. -Самара: Издательство СГАУ. 2013

2.                 Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Бородин А.Л.  – СПб.: Лань, 2004.

3. Примеры по теории вероятности. Режим доступа: http://www.matburo.ru/ex_subject.php?p=tv

4. Теория вероятностей. Базовые термины и понятия. [Электронный ресурс]-Режим доступа: http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html

5. Вероятность события. [Электронный ресурс]// grandars  Режим доступа: http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html

6. [Электронный ресурс] http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph1/theory.html

7. Теоря вероятности в нашей жизни. Режим доступа:  http://www.yugzone.ru/subscribe/85.htm

Приложение 1. Вероятность угадывания ответа на ЦТ.

Приложение 2

Задача1. В киоске 25 пакетов апельсинового сока, из них в 20 пакетах сок высшего сорта; 20 пакетов виноградного сока, из них 18-высшего сорта и 35 пакетов яблочного сока, среди которых 30-высшего сорта. Найти вероятность того ,что во взятом наугад пакете окажется сок высшего сорта. 
Решение. Определим общее число возможных вариантов события. Оно будет равно общему числу пакетов с соком. 
25 + 20 + 35 = 80 
Теперь определим общее число благоприятных вариантов события. Оно будет равно общему числу пакетов с соком высшего сорта. 
20 + 18 + 30 = 68 
Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит 
68 / 80 = 0,85 
Ответ: 0,85 

Задача2. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность что среди 1000 единиц окажется больше половины белого хлопка. 

Решение. Общее число вариантов события - 1000. Теперь определим общее число благоприятных вариантов. Благоприятные варианты будут в том случае, когда количество белых единиц больше половины, то есть 501, 502 и так до 1000. То есть 499 благоприятных вариантов. 

Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит 
499 / 1000 = 0,499 

Задача 3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором  выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение. Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25      N=25  

A= {последний из Швеции}    N(А)=9

 

Ответ: 0,36

Задача 4. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

N= 1000    A= {аккумулятор исправен}

N(A)= 1000 – 6 = 994

 

Ответ: 0,994

Задача5. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Задача6. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

Решение: Обозначим событие, вероятность которого надо найти, буквой А. Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске не играет роли, поэтому N=. Найдём теперь число М благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девочек из 18. Оно равно . По определению вероятности  .

Задача 7.  В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, . 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
.