Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге"

Выбранный для просмотра документ Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.doc

библиотека
материалов


Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Урдомская СОШ»












Тема исследования:


«Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге»














Автор: Девятериков Илья Сергеевич,

7 класс

Научный руководитель: Тончихина Анна Степановна,

учитель математики.















2013-2014 учебный год



Оhello_html_4a80c773.gifглавление



Введение………………………………………………………

3

Результаты исследования ……………………………………

5

Заключение……………………………………………………

13

Литература……………………………………………………

14







































Введение

"Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

делать его немного занимательным"

Б. ПАСКАЛЬ


Впервые с проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении задачи, суть которой сводилась к тому, что требовалось разделить квадрат на пять частей так, чтобы площадь пяти фигур имела общую вершину, одинаковую площадь и равную длину по периметру. Решение требовало наглядный чертёж. Так как решение выполнялось в тетради, то меня заинтересовало: можно ли рассчитать площадь, сосчитав клетки внутри фигуры. Как, оказалось, существует формула, которая позволяет сосчитать площадь, но только не по клеткам, а по их узлам – формула Пика. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади на клетчатой бумаге.

Я выдвинул гипотезу: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

  1. Изучить литературу по исследуемой теме.

  2. Отобрать интересную и понятную информацию для исследования.

  3. Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.

  4. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

  5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

Объект исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: способы вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Методы и исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, анализ и классификация информации.

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии, в частности название «геометрия» (т.е. «землемерие») связывают именно с измерением площадей. Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Например, каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна двадцати квадратным метрам. Меня интересует площадь многоугольника – величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Об этом свойстве площади говорил ещё Евклид.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Многоугольник на клетчатой бумаге является одним из видов произвольного n-угольника.

Я приступил к изучению вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге, и оказалось, задачи достаточно разнообразны и занимательны. Они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Результаты исследования

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами:

  • первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки;

  • второй способ – состоит в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников и(или) прямоугольников;

  • третий способ – вычисление площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги по формуле Пика;

  • четвёртый способ – подсчет площади фигуры, введя систему координат.

Пhello_html_668bfb9a.pngервый способ - разбиение

Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

  1. Разделим четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника (рис.1).

  2. Н

    Рис.1

    айдём площадь первого треугольника – S1=½*4*2=4
  3. Н

    Рис.1

    айдём площадь второго треугольника – S2=½*1*2=1
  4. Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*2=3

  5. Найдём площадь четвертого треугольника – S4=½*3*3=4,5

  6. Найдём площадь четырёхугольника – S=S1+S2+S3+S4=4+1+3+4,5=12,5

Ответ: 12,5

Вhello_html_5cb72bdd.pngторой способ – дополнение до прямоугольника

Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а затем вычитание лишних частей.

1

Рис.2

.Достроим до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника. Получили квадрат со стороной 5 (рис.2).

2.Найдём площадь квадрата Sкв=52=25

3.Найдём площадь первого треугольника – S1=½*4*2=4

4.Найдём площадь второго треугольника – S2=½*1*2=1

5.Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*2=3

6.Найдём площадь четвертого треугольника – S4=½*3*3=4,5

7. Найдём площадь четырёхугольника

S = Sкв - (S1+S2+S3+S4) = 25-(4+1+3+4,5) =12,5

Ответ: 12,5

Тhello_html_m7e190e45.pngретий способ - формула Пика

Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис.3).

О

Рис.3

бозначим через a количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через b – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из а узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из b узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

Shello_html_m5b3d275e.png = a + (b – 4): 2 + 4 · 1/4 = a + b/2 - 1.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Э

Рис.4

то соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Рассчитаем площадь нашего четырёхугольника по формуле Пика (рис.4):

количество узлов, лежащих внутри - а =10,

количество узлов на границе - b =7,

S=10+7/2-1=12,5

Ответ: 12,5

Четвёртый способ - нахождение площади по координатам вершин

Вhello_html_7735599d.png основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665), позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади треугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат:

B(x1; y1);

F(x2; y2);

D(x3; y3)

Sфигуры = SABDC+SCDEF-SABEF =

(

Рис.5

AB+CD)/2*AC+ (CD+EF)/2*CE-

-hello_html_m27f1119a.gif(AB+EF)/2*AE =

= (y1+y3)/2*(x3-x1) + (y3+y2)/2*(x2-x3)-(y1+y2)/2*(x2-x1) =

=½(y1x3-y1x1+y3x3-y3x1+y3x2- -y3x3+y2x2-y2x3-y1x2+y1x1-y2x2+y2x1) =

=

Рис.6

½(y1x3-y3x1+y3x2-y2x3-y1x2+y2x1)= =½((xy+xy+xy)-(xy+xy+xy))

Хотя формула и выведена для треугольника, нетрудно показать, что она пригодна для вычисления площади любого n - угольника. Чтобы рассчитать площадь многоугольника данным способом необходимо действовать по следующему алгоритму:

1.Используя наш четырехугольник ABCD (рис.6), как пример, запишем координаты по осям X и Y каждой вершины многоугольника в направлении чтения против часовой стрелки, продублировав координаты первой вершины внизу списка

Таблица 1


Таблица 2

Х

Y


Х

Y

4hello_html_544a7241.gif

1


4hello_html_69eb47e6.gif

1

7hello_html_544a7241.gif

4


7hello_html_69eb47e6.gif

4

6hello_html_544a7241.gif

6


6hello_html_69eb47e6.gif

6

2hello_html_544a7241.gif

4


2hello_html_69eb47e6.gif

4

4

1


4

1



2.Умножим значение координаты “X” каждой вершины на значение “Y” следующей вершины (таблица №1). Сложим полученные произведения: 4*4+7*6+6*4+2*1= 84

3.Умножим значение координаты “Y” каждой вершины на значение “X” следующей вершины (таблица №2). Сложим полученные произведения:

1*7 + 4*6 + 6*2 + 4*4 = 59

4. Вычитаем сумму, полученную в шаге 3 из результата, полученного в шаге 2: (84) - (59) = 25

5. Разделим эту разницу на 2, чтобы получить площадь четырехугольника: S=25/2 = 12,5 .

Ответ: 12,5

Все рассмотренные способы нахождения площади данной фигуры привели нас к одному и тому же результату.



Вычисление площади невыпуклого многоугольника

Пhello_html_4e25ebf6.pngервый способ не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.


Второй способ

    1. Дополним фигуру до прямоугольника

со сторонами 7 и 11. (рис.7)

    1. Найдём площадь прямоугольника – Sпр=7*11=77

3.Найдём площадь первого треугольника – S1=½*4*4=8

4

Рис.7

hello_html_m1274d3fd.png.Найдём площадь второго треугольника – S2=½*3*11=16,5

5.Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*1=1,5

6.Найдём площадь прямоугольника – S4=3*6=18

7.Найдём площадь первого треугольника – S5=½*4*6=12

8.Найдём площадь искомого четырёхугольника –

S=Sпр - (S1+S2+S3+S4+S5) =77-

-(8+16,5+1,5+18+12)=21

О

Рис.8

твет: 21



Третий способ

количество узлов, лежащих внутри - а =18, количество узлов на границе - b =8 (рис.8),

S=a+b/2-1, S=18+8/2-1=21

Ответ: 21

Четвёртый способ

S=½((xy+xy+xy4+x4y1)-(xy+xy+x4y+x1y4))

S=½((1*1+5*12+8*6+4*5)-(5*5+8*1+4*12+1*6)) =21

И опять мы получили один и тот же результат.

Сравнительный анализ способов нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге


Разбиение


Дополнение до прямоугольника

Формула Пика

По координатам вершин

Плюсы

(+)

Простота подсчёта площади фигур, которые разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.


Простота подсчёта площади при небольшом количестве фигур, площадь которых необходимо отнять

Вычисление площади многоугольников с необычной формой.

Небольшое количество вершин, и фигура не разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Краткость формулы:

S=a+b/2-1

Небольшое количество вершин, и фигура с большим количеством узлов и наличие спорных узлов.


Простота алгоритма

Минусы

(-)

Множество действий.

Сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы.

Большое количество фигур, площадь которых необходимо отнять

Фигуры с большим количеством узлов.

Подсчёт площади фигур с большим количеством вершин.

Невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.


«Спорные» узлы:

Узлы, лежащие близко к стороне многоугольника.

Заключение

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника.

Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие.

Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен.

Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника.

Цели и задачи, поставленные в начале работы, были выполнены. Хочу отметить, что любой из рассмотренных мною способов применим для решения задач.

Считаю, с данной работой следует познакомить одноклассников, так как это поможет им при подготовке к экзаменам.

Литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9, учебник. – М.Просвещение,2009

  2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

  3. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

Интернет ресурсы:

  1. Аналитический способ определения площади участков. http://www.pppa.ru/additional/01geodesy/06/02topo.php

  2. Как найти площадь многоугольника http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

  3. Площадь многоугольников. http://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65635b3bd68b4c43b89521306d27_0.html






Выбранный для просмотра документ Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.ppt

библиотека
материалов
Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге Выполнена учеником 7 «б...
если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь мож...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум...
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча...
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча...
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча...
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча...
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча...
Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоуг...
Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а за...
S = a + b/2 – 1 Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг...
В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран...
В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран...
В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран...
В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран...
Первый способ не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямо...
Третий способ Количество узлов, лежащих внутри - а =18, количество узлов на г...
Плюсы (+)	Простота подсчёта площади фигур, которые разбиваются на прямоугольн...
Плюсы (+)	Простота подсчёта площади при небольшом количестве фигур, площадь к...
Плюсы (+)	Вычисление площади многоугольников с необычной формой. Краткость фо...
Плюсы (+)	Небольшое количество вершин, и фигура не разбивается на прямоугольн...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум...
33 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге Выполнена учеником 7 «б
Описание слайда:

Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге Выполнена учеником 7 «б» класса муниципального бюджетного образовательного учреждения «Урдомская СОШ» Ленского района Девятериковым Ильёй Сергеевичем  

№ слайда 2 если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь мож
Описание слайда:

если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.

№ слайда 3 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге.

№ слайда 4 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

№ слайда 5 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: Изучить литературу по исследуемой теме;

№ слайда 6 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: Изучить литературу по исследуемой теме; Отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

№ слайда 7 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: Изучить литературу по исследуемой теме; Отобрать интересную и понятную информацию для исследования; Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге;

№ слайда 8 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: Изучить литературу по исследуемой теме; Отобрать интересную и понятную информацию для исследования; Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге; Проанализировать и систематизировать полученную информацию;

№ слайда 9 Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бум
Описание слайда:

Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: Изучить литературу по исследуемой теме; Отобрать интересную и понятную информацию для исследования; Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге; Проанализировать и систематизировать полученную информацию; Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

№ слайда 10 В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча
Описание слайда:

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами:

№ слайда 11 В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча
Описание слайда:

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами: первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки;

№ слайда 12 В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча
Описание слайда:

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами: первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки; второй способ – состоит в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников и(или) прямоугольников;

№ слайда 13 В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча
Описание слайда:

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами: первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки; второй способ – состоит в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников и(или) прямоугольников; третий способ – вычисление площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги по формуле Пика;

№ слайда 14 В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетча
Описание слайда:

В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами: первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки; второй способ – состоит в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников и(или) прямоугольников; третий способ – вычисление площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги по формуле Пика; четвёртый способ – подсчет площади фигуры, введя прямоугольную систему координат.

№ слайда 15 Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоуг
Описание слайда:

Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. 1.Разделим четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника. 2.Найдём площадь первого треугольника – S1=½*4*2=4 3.Найдём площадь второго треугольника – S2=½*1*2=1 4.Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*2=3 5.Найдём площадь четвертого треугольника – S4=½*3*3=4,5 6.Найдём площадь четырёхугольника – S=S1+S2+S3+S4=4+1+3+4,5=12,5 Ответ: 12,5

№ слайда 16 Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а за
Описание слайда:

Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а затем вычитание лишних частей. 1.Достроим до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника. Получили квадрат со стороной 5. 2.Найдём площадь квадрата Sкв=52=25 3.Найдём площадь первого треугольника – S1=½*4*2=4 4.Найдём площадь второго треугольника – S2=½*1*2=1 5.Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*2=3 6.Найдём площадь четвертого треугольника – S4=½*3*3=4,5 7. Найдём площадь четырёхугольника – S = Sкв - (S1+S2+S3+S4) = 25-(4+1+3+4,5) =12,5 Ответ: 12,5

№ слайда 17 S = a + b/2 – 1 Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг
Описание слайда:

S = a + b/2 – 1 Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г. Расcчитаем площадь нашего четырёхугольника по формуле Пика: количество узлов, лежащих внутри - а =10, количество узлов на границе - b =7, S=10+7/2-1=12,5 Ответ: 12,5

№ слайда 18 В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран
Описание слайда:

В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665). 4*4+7*6+6*4+2*1= 84 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1

№ слайда 19 В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран
Описание слайда:

В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665).   4*4+7*6+6*4+2*1= 84 1*7 + 4*6 + 6*2 + 4*4 = 59 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1

№ слайда 20 В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран
Описание слайда:

В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665).   4*4+7*6+6*4+2*1= 84 1*7 + 4*6 + 6*2 + 4*4 = 59 (84) - (59) = 25 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1

№ слайда 21 В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке фран
Описание слайда:

В основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665).   4*4+7*6+6*4+2*1= 84 1*7 + 4*6 + 6*2 + 4*4 = 59 (84) - (59) = 25 Чтобы получить площадь четырехугольника: S=25/2 = 12,5 . Ответ: 12,5 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1 X Y 4 1 7 4 6 6 2 4 4 1

№ слайда 22 Первый способ не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямо
Описание слайда:

Первый способ не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. Второй способ 1.Дополним фигуру до прямоугольника со сторонами 7 и 11. 2.Найдём площадь прямоугольника – Sпр=7*11=77 3.Найдём площадь первого треугольника – S1=½*4*4=8 4.Найдём площадь второго треугольника – S2=½*3*11=16,5 5.Найдём площадь третьего треугольника – S3=½*3*1=1,5 6.Найдём площадь прямоугольника – S4=3*6=18 7.Найдём площадь четвёртого треугольника – S5=½*4*6=12 8.Найдём площадь искомого четырёхугольника – S=Sпр - (S1+S2+S3+S4+S5) =77-(8+16,5+1,5+18+12)=21 Ответ: 21.

№ слайда 23 Третий способ Количество узлов, лежащих внутри - а =18, количество узлов на г
Описание слайда:

Третий способ Количество узлов, лежащих внутри - а =18, количество узлов на границе - b =8, S=a+b/2-1, S=18+8/2-1=21 Ответ: 21 Четвёртый способ S=½((x₁y₂+x₂y₃+x₃y4+x4y1)- -(x₂y₁+x₃y₂+x4y₃+x1y4)) S=½((1*1+5*12+8*6+4*5)- -(5*5+8*1+4*12+1*6))=21 Ответ: 21

№ слайда 24 Плюсы (+)	Простота подсчёта площади фигур, которые разбиваются на прямоугольн
Описание слайда:

Плюсы (+) Простота подсчёта площади фигур, которые разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. Минусы (-) Множество действий. Невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

№ слайда 25 Плюсы (+)	Простота подсчёта площади при небольшом количестве фигур, площадь к
Описание слайда:

Плюсы (+) Простота подсчёта площади при небольшом количестве фигур, площадь которых необходимо отнять. Минусы (-) Сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы. Большое количество фигур, площадь которых необходимо отнять.

№ слайда 26 Плюсы (+)	Вычисление площади многоугольников с необычной формой. Краткость фо
Описание слайда:

Плюсы (+) Вычисление площади многоугольников с необычной формой. Краткость формулы: S=a+b/2-1. Минусы (-) Фигуры с большим количеством узлов. «Спорные» узлы: Узлы, лежащие близко к стороне многоугольника.

№ слайда 27 Плюсы (+)	Небольшое количество вершин, и фигура не разбивается на прямоугольн
Описание слайда:

Плюсы (+) Небольшое количество вершин, и фигура не разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. Небольшое количество вершин, и фигура с большим количеством узлов и наличие спорных узлов. Простота алгоритма. Минусы (-) Подсчёт площади фигур с большим количеством вершин.

№ слайда 28 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника.

№ слайда 29 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие.

№ слайда 30 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие. Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен.

№ слайда 31 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие. Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен. Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника.

№ слайда 32 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие. Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен. Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника. Цели и задачи, поставленные в начале работы, были выполнены. Хочу отметить, что любой из рассмотренных мною способов применим для решения задач.

№ слайда 33 В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бум
Описание слайда:

В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие. Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен. Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника. Цели и задачи, поставленные в начале работы, были выполнены. Хочу отметить, что любой из рассмотренных мною способов применим для решения задач. Считаю с данной работой следует познакомить одноклассников, так как это поможет им при подготовке к экзаменам.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1672
Номер материала ДВ-484244
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх