Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Исследовательская работа "Вычисления без калькулятора"

Исследовательская работа "Вычисления без калькулятора"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Содержание












Введение

Сельская школа XIX века. Идет урок арифметики. У фигуры учителя есть реальный прототип — Сергей Александрович Рачинский, ботаник и математик, профессор Московского университета. Сельские школьники решают очень интересный пример. Видно, что он дается им непросто. На картине над задачей думают 11 учеников, но похоже, что только один мальчик догадался, как решать этот пример в уме, и тихо говорит свой ответ на ухо педагогу. Полное название знаменитой картины: «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Это картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского была написана в 1895 году, а сейчас висит в Третьяковской галерее. Николай Петрович посвятил эту картину своему школьному учителю Сергею Александровичу Рачинскому, который и изображен на ней в компании своих учеников. Богданов-Бельский очень хорошо знал героев своей картины, так как когда-то сам был в их ситуации. Ему посчастливилось попасть в школу известного русского педагога профессора С.А. Рачинского, который заметил талант мальчика и помог ему получить художественное образование. (Приложение 1)

Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, не смотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без гаджетов и в нужный момент решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Кроме того, приемы устного счета позволят вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях.

В школе каждый человек учит таблицу умножения, затем постигает азы умножения столбиком на бумаге. Самые сообразительные и способные могут считать в уме, перемножая многозначные числа. Но признайтесь честно, кто сейчас сможет умножить двести сорок один на сто двадцать пять? 

Доступность техники расслабляет наш мозг, и заставить его шевелиться является большой проблемой у большинства обычных людей.

Мы хотим поделиться с вами интересными методами быстрого умножения и деления многозначных чисел на бумаге без использования калькулятора.
Предмет исследования: Алгоритмы счета.

Объект исследования: Процесс вычисления.

Цель работы: Изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.

Задачи:

1)Систематизировать известные приемы устного счета;

2)Изучить историю возникновения счета;

4)Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Гипотеза: Если использовать нестандартные приемы вычислений, то скорость вычислений увеличивается, а количество ошибок уменьшается

Методы исследования:

1)Поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

2)Практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

3)Анкетирование;

4)Анализ полученных в ходе исследования данных.










Глава 1.Теоретические аспекты исследования

1.1. Зачем и когда возникла необходимость считать

Трудно сказать, кто и когда изобрел счет. Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Начало счета и измерений ученые находят уже у первобытных народов. Очевидно то, что счет возник из практических потребностей, ведь на очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи, урожая, поголовья и стоимость стада, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Древнейшие меры измерений связаны с человеческим телом: шаг, локоть, фут (ступня). Сначала люди научились использовать для счета пальцы рук, так зародилась, используемая и ныне, десятичная система счисления, в основу которой лег десяток (количество пальцев рук), и измерять длину. А так как измерение предполагает умение считать, то возникла необходимость возникновения приемов вычислений.

Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава "торговой миссии" не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.

С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. "Счетной машиной" неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки - шел искать потерю.

Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: "один", "пара" и "много".

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или другое решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой, и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Таким образом, счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений.

1.2."Компьютер" каменного века

Абак - это греческое слово, переводится оно, как счетная доска. Простейшая форма абака действительно представляла собой доску. На ней острой палочкой проводились линии, и какие-нибудь предметы, например камешки или палочки, размещались в получившихся колонках по позиционному принципу, а чтобы они не скатывались, доска посыпалась слоем песка или пыли. В V в. до н. э. абак получил широкое распространение в Греции и Египте. В древнем Риме употреблялся такой же абак, как в Греции, а иногда применялись и более усовершенствованные его виды. Римский абак представляет собой металлическую доску с девятью желобками. Вдоль них могут передвигаться жетоны, которые играют роль камешков, употреблявшихся в греческом абаке. С давних времен в Китае использовался счетный прибор Суан-пан (китайская разновидность абака), по конструкции напоминающий современные русские торговые счеты. Он состоит из укрепленных на доске параллельных веревок, на каждой из которых надето пять косточек, причем последняя имеет другой цвет и означает 5 единиц. Японский соробон происходит от китайского Суан-пана, который был завезен в Японию в XV-XVI в. в. Русские счеты появились на рубеже XVI- XVII в. в. В средневековой Европе получили распространение два типа абака. Один из них описал в своей книге французский ученый монах Герберт. Другой тип абака начал использоваться с конца XVв. под названием счет на линиях.

Вывод: Современные вычислительные устройства имеют малые размеры и широкий набор операций в отличие от абака.

1.3.Приемы быстрого счета: магия, доступная всем

1.3.1.Умножение на пальцах

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10.(Приложение 2) Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно). Например, Для начала положим свои руки на стол и мысленно пронумеруем пальчики слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить действие умножения, допустим 9 х 3 = ?, загибаем третий слева пальчик. Всё! Ответ готов: оставшиеся не загнутыми пальчики слева образуют количество десятков в ответе, а не загнутые справа — количество единиц. Считаем, и говорим ответ: 27! (Приложение 3)

Каждый вспомнит, как трудно заучивать наизусть таблицу умножения. Между тем эту работу можно существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом вычисления на пальцах. Вот как описывает его Магницкий на примере вычисления умножения семь на семь: Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в дано примере 4 десятка и 9 единиц). Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больших, чем 5.

Вывод: Способы умножения на пальцах просты и удобны для вычислений, так как пальцы всегда при нас.


1.3.2. Умножение с помощью формул сокращенного умножения

Часто в вычислительных примерах используются формулы сокращённого умножения и деления. Поэтому очень важно знать эти формулы, уметь читать их как слева направо, так и справа налево, видеть их в математических выражениях.

(квадрат суммы);

(квадрат разности);

(куб суммы);

(куб разности);

(разность квадратов);

(сумма кубов);

(разность кубов).


Пример 1. Вычислить, применяя формулу

а)

б)

в)

Пример 2. Вычислить, применяя формулу

а)

б)

в)

Вывод: Рассмотренные способы хорошо работают на тех, кто знает формулы сокращенного умножения.

1.3.3. Различные способы умножения и деления

Изучив литературу по данной теме, нами был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, мы выбрали приемы умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы мы и включил в памятку, которая будет полезна для учеников 5-11-х классов.

Правило

Пример

Умножение и деление числа на 4.


Чтобы умножить (разделить) число на 4, нужно его дважды умножить (разделить) на 2.


417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

324:4=(324:2):2=162:2=81.



Умножение и деление числа на 5.


Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить на 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.


Умножение числа на 1,5.


Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину

146·1,5=146+73=219.



Умножение числа на 9.


Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

72·9=720-72=648,

96·9=960-96=864.


Умножение двузначного числа на 11


Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

17∙11=187,

49∙11=539,


Умножение трехзначного числа на 11


Чтобы умножить трёхзначное число на 11, нужно число сотен и единиц оставить на своих местах, приписать сумму сотен и десятков множимого, приписать сумму десятков и единиц.

143∙11=1573,

278∙11=3058.


Умножение двузначного числа на 111.

Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

13∙111=1443,

56∙111=6216.


Умножение двузначного числа на 101 и 1001

Чтобы легко умножить число на 101 или на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.


37∙101=3737,

87∙1001=87087,

978∙1001=978978.


Умножение на 25 числа, делящегося на 4.


Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.


124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.


Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.

352=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.


Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.


Для возведения в квадрат двузначного числа начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.


522= 2704, т.к. 25+2=28 и 22=04;
58
2= 3364, т.к. 25+8=33 и 82=64.


Умножение чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10


Число десятков первого числа на число десятков второго числа, увеличенного на 1, помножим  на 100. Перемножим вторые цифры данных чисел. Результаты сложить.


83∙87=8∙(8+1)∙100+3∙7=7200+21=7221 или (8∙9)(3∙7)=7221

204∙206=20∙(20+1)∙100+4∙6=42024 или (20∙21)(4∙6)=42024


Умножение и деление на степень пятёрки


Так как , то справедливы формулы

и .

Что же касается умножения и деления на 125, то здесь аналогично получаем формулы и .




Умножение и деление на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 с помощью обыкновенных дробей


Учитывая равенства мы можем умножение произвольного числа а на 2,5 заменить делением удесятерённого числа на 4, умножение на 1,25 – прибавлением четверти числа или делением удесятерённого числа на 8, умножением на 1,5 – прибавлением половины числа, умножение на 0,75 – вычитанием четверти числа. Следовательно, справедливы формулы:



Умножение на 15 и на 75

Так как и то справедливы формулы: и


Способ удвоения

При умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:


139 · 32=278 · 16=556 · 8=

=1112 · 4=2224 · 2 4448


Деление на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75.


7:2,5= 28:10=2,8

43:2,5=172:10=17,2

9:1,25=72:10=7,2

13:1,25=104:10=104



Вывод: Среди рассмотренных нами способов умножения и деления есть очень простые, которые помогут нам на уроках, но есть и такие, использование которых сопровождается запоминанием дополнительных формул, что не облегчает счет, а, наоборот, его усложняет.

1.4.Основные составляющие навыка устного счета

Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «переплюнуть» даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.



























Глава 2. Практические аспекты исследования

2.1 Анкетирование

Мы провели анкетирование в 8 «Б» классе нашей школы. В опросе приняли участие 20 человек. Проанализировав результаты, мы сделали вывод, что  большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать (Результаты анкетирования отражены в таблице).

Результаты анкетирования:

Вопрос

Количество положительных ответов


да

1)Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?


16

2)Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?


20

3)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?


10

4)А хотели бы узнать?

15



По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

2.2. Исследование навыка счета учащихся 8 «Б» класса

1)Для того, чтобы выяснить актуальность вычислений без калькулятора мы провели тестирование в 8 «Б» классе нашей школы. В нём приняли участие 15 человек.

Тест 1
1) 1711=187

2) 13∙111=1443

3) 37∙101=3737

4) 67∙25=1675

5) 97∙94=9118

Первичное тестирование показало такие результаты:

1)В первом примере допустил ошибку лишь один человек.(14/15)

2)Со вторым примером справились 12 человек.(12/15)

3) В третьем примере допустили ошибки 3 человека.(12/15)

4)С четвёртым примером справились 13 человек.(13/15)

5)В пятом примере было допущено 3 ошибки.(12/15)


Таким образом, всего допущено 12 ошибок, полностью работу закончили 14 человек за 4 минуты.

2)После знакомства учащихся с некоторыми приемами устного счета проведено повторное исследование. Результаты исследования:

Тест 2

1)65*101=6565

2)936:4=234
3)562*1,5=843

4)32*11=352
5)253*5=1265

Вторичное тестирование показало такие результаты:

1)В первом примере не было допущено ошибок.(15/15)

2)Во втором примере допущена лишь одна ошибка.(14/15)

3)С третьим примером справились 13 человек.(13/15)

4)В четвёртом примере допустили 1 ошибку.(14/15)

5)С пятым примером не справились 3 человека.(12/15)


Таким образом, всего допущено 7 ошибок, полностью закончили работу за 3 минуты, 2 человека справились с заданием за 1 минуту.

Исходя из этого, тема «вычисление без калькулятора» популярна на сегодняшний день.

Заключение

Работая над проектом, мы изучили новые для нас приемы быстрого счета. Используя  упрощенные приёмы устных вычислений, мы можем  производить наиболее трудоёмкие  арифметические действия  без применения калькулятора и компьютера. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает  память и помогает нам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда учащийся не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора. Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется постоянно, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Научившись считать всеми представленными способами, мы пришли к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны. Самым простым нам показался метод умножения двузначного числа на 11.Мы его используем при умножении или делении сложных двузначных чисел.

Выдвинутая в начале работы гипотеза подтвердилась: знание приемов устного счета помогает избежать ошибок при вычислениях и сократить время вычислений.

Когда мы искали различные способы счета, то просмотрели много литературы. Узнали много интересного о зарождении и развитии математики, о том, как произошли числа, как люди научились считать.




Литература

1.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие ля учащихся 5-6 кл. сред.шк.-М.: Просвещение, 1989.- 287 с.: ил.

2. Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18.- С. 9-14.

3. Филиппов Г. Устный счет – гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27. 

4. https://otvet.mail.ru/question/15000000

5.http://f.10-bal.ru/informatika/7762/index.html

6.http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/11/07/issledovatelskaya-rabota-po-matematike

7.http://moeobrazovanie.ru/edu/library/issledovatelskaya_rabota_po_matematike_tema_kak_v__203023.html

8.http://www.calculator888.ru/blog/matematika/ustnyi-schet.html

9.https://4brain.ru/schitat-v-ume/

10. http://anisim.org/articles/priemy-bystrogo-scheta-bez-kalkulyatora/

11.https://ru.wikipedia.org/wiki/

12. http://www.calculator888.ru/blog/matematika/ustnyi-schet.html













Приложения

Приложение 1


 «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского


Приложение 2








Приложение 3



Приложение 4.

Тренажёр.

Решите самостоятельно

32∙11=

78∙11=

115∙11=

641∙11=


25∙111=

1294∙111=


32∙101=

48∙101=

56∙101=

324∙1001=

648∙1001=

999∙1001=


68∙5=

17∙50=

138∙5=

24∙25=

37∙25=

348∙25=

42∙125=

348∙125=

98∙97=

95∙89=

93∙87=

987∙983=


Приложение 5

Интересные результаты:

1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321


1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111
123456789 х 9 + 10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 98765432


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 04.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров358
Номер материала ДБ-151240
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх