Исследовательская работа " Загадка чисел Фибоначчи"

МУНИЦИПАЛЬНАЯ

НАУЧНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ПЕРВЫЙ ШАГ В НАУКУ»

Тема:  «Загадка чисел

Фибоначчи»

                                                                         Выполнил: 

                                                                         Ежов Александр

                                                                         ученик  9-Б класса

 МКОУ Нижнекарачанской СОШ

                                       Руководитель:

                                                                          Мячина Елена Константиновна

                                                                          учитель математики

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
НИЖНЕКАРАЧАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
ГРИБАНОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

2015

                                                        Содержание

Введение. …………… ……………………………………………………………………........   4

История чисел Фибоначчи…………....……………………………………………………......   5

Числа Фибоначчи в живой природе…………..........……. …………………………………...   7

Спираль Фибоначчи……………………….......................................................…………….....   9 Наши исследования…………….…………………………………………………………........ 13

Заключение……….. ……………..…………………………………………………………...... 17

Список используемой литературы и сайтов Интернета…………………………………....... 18

• Объект  исследования:  

  человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека,   окружающий растительный  и животный  мир.

• Предмет  исследования:

форма и строение исследуемых предметов и явлений.

• Цель исследования:

изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения   в строении живых и неживых объектов,

найти примеры использования чисел Фибоначчи.

• Задачи работы:    

Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи.

Увидеть математические закономерности,  в строении человека, растительного мира и неживой природы  с точки зрения феномена Золотого сечения.  

• Новизна  исследования:

Открытие чисел Фибоначчи    в окружающей нас  действительности.

·         Практическая  значимость:

Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов.   

                                                     Введение

        «Числа управляют миром!  Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние  пифагорейцы. Актуальна  ли в наши дни эта основа учения Пифагора?   

      Математику называют «царицей всех наук». Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика будет оставаться для нас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки. Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики. Изучая в школе науку чисел, нам  хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям,   найти  эту невидимую  связь между математикой и жизнью! 

                                                   Неужели в каждом цветочке,

И в молекуле, и в галактике,

                                                   Числовые закономерности

          Этой строгой «сухой» математики?

       Участвуя в заочной всероссийской олимпиаде по математике, мне встретился вопрос о последовательности чисел, которая была названа числами Фибоначчи. Я к сожалению о них почти ничего не знал.   Пришлось обратиться  к современному источнику информации – к Интернету, к энциклопедии и прочитал о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в  подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого   сердца  и в музыкальных ритмах...

     Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире?

     Я захотел узнать  о  тайнах   чисел Фибоначчи.  Результатом моей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Гипотеза:

• в окружающей нас действительности всё  построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.
• Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

История ряда Фибоначчи.

       Удивительные числа были открыты итальянским математиком      средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи.   Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики,  способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов – десятичную систему счисления.

О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.

Кролики – не только ценный мех

     Однажды, Леонардо ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность  размножения кроликов.

          Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.

      Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.

       Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.

          В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.

          Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).

        Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.

Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов

    Таким образом, получаем числовую последовательность, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

1.                              1 + 1 = 2

2.                              2 + 1 = 3

3.                              3 + 2 = 5

4.                              5 + 3 = 8

5.                              8 + 5 = 13

6.                              13 + 8 = 21

7.                              21 + 13 = 34

8.                              34 + 21 = 55

9.                              55 + 34 = 89

10.                          89 + 55 = 144

11.                          144 + 89 = 233

12.                          233+ 144 = 377 …

Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ….  Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.

Ответ в задаче:  377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.            

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

       Числа, образующие  данную последовательность  называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

«Ну и что?» - скажете вы, -   «Мало ли мы сами можем придумать подобных числовых рядов, нарастающих по заданной прогрессии?» Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!

       Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его.  Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой  ряд.

      В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618.  Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне  именуется как золотое сечение  или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

                               Итак,               φ = 1,618

          233 / 144   = 1,618                          

377 / 233   = 1,618    

610 / 377   = 1,618

987 / 610   = 1,618

1597 / 987  = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим

 1, 618.   А если сделаем наоборот, то есть  разделим  меньшее  число  на большее, то получим    0, 618, это число, обратное к 1, 618,    тоже называется золотой пропорцией.

Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом  Вселенной.

Рассмотрим примеры, где встречаются числа Фибоначчи в живой и неживой природе.

Числа Фибоначчи в живой природе.

       Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле  проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и   закон золотого сечения.

Эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений.  Например,   черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями:  полного оборота - у орешника,  - у дуба,  - у тополя и груши,  - у ивы.

 Семена подсолнечника, эхинацеи  пурпурной и  многих других растений,  расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления -  числа Фибоначчи.

               

Подсолнечник, 21 и 34 спирали.                         Эхинацея, 34 и 55 спиралей.

   Чёткая, симметричная форма цветов  также   подчинена строгому закону.

У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например:

                                                 

ирис, 3леп.                                         лютик, 5 леп.                                дельфиниум,13 леп.                                                                                                             

                       

цикорий,21леп.                           астра, 34 леп.                         маргаритки,55леп.

       Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.
     Рука человека. Достаточно лишь приблизить ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, то сразу же можно увидеть в нем формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.

        Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек,  хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

              

Так вот 21 и 34 - это числа, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
        Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до

0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно – было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что  порой кажется: только ими Вселенная и  может быть объяснена.

Спираль Фибоначчи.

   В математике нет  иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами, как спираль, потому, что  в основе строения спирали лежит   правило Золотого сечения!

  Чтобы понять математическое построение спирали, повторим, что такое Золотое сечение.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей,  или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

То есть                (a+b) /a = a / b

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.
 Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника,

мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.

     

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.

Например, спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника,  в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и так далее.

 

Нас удивляет и восхищает спиральное строение ракушек.

     У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме  спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о  спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.
     Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет спиральная  форма ракушки?
  Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим:

                        

Также,  во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и  сотворена в форме улитки, имеющей  в себе золотые пропорции.

         

Спирали есть на наших ладошках и пальцах:

 

В животном мире мы  также можем найти множество примеров спиралей.

В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев

 

Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса:

       

В океанских и морских волнах спираль можно математически отразить на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.

 

Такую «бытовую»  и «прозаическую» спираль тоже все узнают.

Ведь  вода убегает из ванной по спирали:

                                          

Да и живём мы с вами в спирали, ведь галактика – это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения!

Итак, мы  выяснили, что если взять Золотой прямоугольник и разбить его на более мелкие прямоугольники  в точной последовательности Фибоначчи, а потом каждый из них разделить в таких пропорциях еще и еще, то получится система, которая называется спираль Фибоначчи.

Эту спираль мы обнаружили  в самых неожиданных предметах и явлениях. Теперь понятно, почему спираль называют ещё «кривой жизни».
Спираль стала  символом эволюции, ведь и  развивается  всё именно  по спирали.

Наши исследования.

Мы продолжили  наши наблюдения, и  изучили  строение

• Сосновой шишки
• тысячелистника
• комара
• человека 

И убедились, что в таких  разных на первый взгляд объектах,   присутствуют   те самые числа  последовательности Фибоначчи.  

                                       Шаг 1.

Возьмём сосновую шишку и рассмотрим ее поближе.

             

Замечаем две серии   спиралей  Фибоначчи: одна -  по часовой стрелки, другая -  против, их число 8 и 13.

                                                Шаг 2.

Тысячелистник:

                                                       

Внимательно рассмотрим строение стеблей и цветов:

                  

Заметим, что каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, мы  нашли число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости.

Шаг 3.

А проявляются ли числа Фибоначчи в морфологии различных организмов? Рассмотрим всем известного комара:

     

 Видим:   3 пары ног, на голове 5 усиков – антенн,   брюшко делится на 8 сегментов.

Шаг 4.

Найдём пропорции различных частей нашего тела, и убедимся, что они действительно  составляют число, очень близкое к золотому сечению.

Занесём данные измерений и вычислений в таблицу.

                       

                                                                    

№	t/s	Наши измерения (в см.)
1.	расстояние от кончиков пальцев до запястья / от запястья до локтя	47 / 28 ≈ 1,62 ≈ 1,618
2.	расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей	29  / 18 ≈  1,61 ≈ 1,618
3.	длина головы / ширина головы	24  / 15 ≈ 1,62 ≈ 1,618
4.	От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча	63 / 29 ≈ 1,63 ≈ 1, 618
5.	От макушки головы до плеча/ длина головы	29 / 24 ≈ 1,61 ≈ 1, 618
6.	От бровей до середины губ/ от  бровей до основания носа	9 / 6 ≈ 1, 6 ≈ 1, 618

Видим, что пропорция "фи", которая равна отношению соседних чисел из ряда Фибоначчи, проявляется и в человеческом теле.

Вывод:

   В наших исследованиях мы увидели, что в  окружающих  нас растениях, живых организмах  и даже в строении  человека  проявляют себя числа  из последовательности  Фибоначчи,   что отражает  гармоничность их строения.

Сосновая шишка, тысячелистник, комар,   человек  устроены  с математической точностью.

       Мы искали ответ на  вопрос:  как проявляет себя ряд Фибоначчи в окружающей нас действительности?  Но, отвечая на него,  получали новые и новые  вопросы.

 Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Спираль скручивается или раскручивается?

Как удивительно человек познаёт этот мир!!!

   Найдя ответ на один вопрос, получает  следующий. Разгадает его, получает  два новых. Разберётся  с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведётся пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55... Узнаёте? 

                                                        Заключение.

      Мы изучили и проанализировали  проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также мы узнали,  что закономерности этого числового ряда, в том числе и закономерности «Золотой» симметрии, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

     Мы  обнаружили   удивительную  математическую связь между  числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и  числами в последовательности  Фибоначчи. Мы  увидели, как морфология различных организмов  тоже подчиняется  этому таинственному закону. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа,  дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.  

Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, рога животных, облака циклона и галактики – все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается.

Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618! Возможно,  это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.   

    Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается.

Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

    Мы убедились, что  у Природы  есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика – это очень важный инструмент для познания тайн природы.

Самим творцом во все объекты

Заложен уникальный код,

И тот, кто дружен с математикой,

Его познает и поймёт!

Литература

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984.
2. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.
3. Кашницкий  С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и

    жизнь.      – 1982.– № 10.
4 Стахов А. П. Коды золотой пропорции. – М., 1984.

5. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три

     взгляда     на природу гармонии.-М., 1990.

1.http://www.chydesa-sveta.ru/en/chisla_fibonachchi.html

2.http://zagadkamozga.ru/node/630

3.http://magov.net/blog/3621.html

4.http://greenword.ru/2009/06/fibonacci-sequence.html

5.http://esopedia.ru/ChislaFibonachchi

6.http://reflection.org.ua/vselennaya/zagadka-chisel-fibonachi.html