Исследовательская работа «Закономерности ряда Фибоначчи , «золотое сечение» - в православной архитектуре Свято -Троицкого собора г. Рузаевка»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Левженская средняя общеобразовательная школа»

Рузаевского муниципального района

              Муниципальная  научно -практическая конференция школьников

 «МОЛОДЕЖЬ И НАУКА – ШАГ В БУДУЩЕЕ»

секция « В мире чисел и формул»      

Исследовательская работа

       «Закономерности ряда Фибоначчи ,

 «золотое сечение» -  в православной архитектуре 

Свято -Троицкого собора  г. Рузаевка»

                                                          Автор работы:

                                                           ученица 9  класса

                                                           Михайлова Анастасия Александровна

                                                          Руководитель:

                                                          учитель математики и информатики

                                                          МБОУ «Левженская СОШ» 

                                                          Сумина Елена Васильевна

                                                      Рузаевка 2017г

Оглавление.                        

                                                                                                                               с.

Введение............................................................................................................3

Глава 1. Методика исследования……………………………………………….4

Глава 2. Рекуррентная формула ряда Фибоначчи. …....................................5

2.1 Исторические сведения об итальянском математике

Леонардо Пизанским, удивительные числа Фибоначчи. …............................5

2.2 «Золотой» ортогональный прямоугольник. «Спираль Фибоначчи» .......5

Глава 3. Сущность архитектуры как отрасли инженерных знаний и искусства.

3.1 Инженерная и художественная состав­ляющие архитектуры…….............5

3.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве…………...........5

3.3 Геометрический  в древнерусских постройках ..........................................7

Глава 4. Исследование «математического каркаса» собора г. Рузаевка  4.1Архитектура Свято-Троицкого собора………………………………………...7

4.2 Закономерности ряда Фибоначчи, «золотое сечение»-в

православной архитектуре Свято -Троицкого собора  г. Рузаевка. …………8

4.4 Исследование пропорций колокольни…………………..………................

4.5 Исследование математического каркаса собора…………………..…… 10

Заключение ………………………...…………………………………………..12

Список литературы…………………………………………………………    13

Приложение…………………………………………………………………    14

Введение.

Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта,

 должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.             Дж. Х. Харди

   Архитектура - это соединение искусства, науки и производства. Архитектуру метко называют дочерью геометрии. Практика поколений строителей, опыт, передавшийся по наследству, способствовали сложению определенных правил, устойчивых приемов выполнения геометрических очертаний зданий.

  Актуальность исследования обусловлена интересом к духовному наследию русского народа, возможностью глубже понять такое направление в архитектуре как православное зодчество, а также интересом к последовательности чисел Фибоначчи и «золотому сечению» в православной архитектуре.

  Православные храмы удивляют своей красотой и совершенством благодаря точным пропорциям, образующим своеобразный «математический каркас» церкви. Именно, сочетание красоты, духовности и целесообразности рождает гармонию. В ходе анализа литературы, современной практики строительства храмов возникает вопрос: не утрачены ли традиции старых мастеров, создавших шедевры мирового зодчества? В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: заложены ли пропорции «золотого сечения» в «математическом каркасе» собора Святой -Троици   г. Рузаевка .

  Цель работы: установить закономерность рада Фибоначчи, исследовать его интересные свойства, выявить гармоничность постройки собора с точки зрения «золотого сечения».

Задачи:

1)Рассмотреть рекуррентную формулу ряда Фибоначчи

2)Найти связь с золотым сечение

3)Осуществить поиск и подбор научной литературы, подобрать информацию из различных   интернет-источников, о православном соборе;

4) Подготовить коллекцию фотографий собора Святой Троицы г. Рузаевка;

    5) Исследовать пропорции в архитектуре собора. Рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, их практическом применении при проектировании и постройке храмовых сооружений, провести математические расчеты в вычислении пропорций «золотого сечения»;

    7) обобщить полученные результаты.

   Объект исследования: архитектурное здание г. Рузаевка.

    Предмет исследования: закономерности ряда Фибоначчи, отражение «золотого сечения» в архитектуре г. Рузаевка..

   Новизна работы состоит в том, что в ней впервые исследуется культовое зодчество Рузаевского муниципального района с точки зрения гармоничности его пропорций, рассматриваются региональные и художественно – стилистические особенности православной архитектуры.

     Научные методы исследования:

·  теоретические (анализ, синтез, аналогия, формализация);

·  эмпирические (измерение, работа с чертежами, фотографиями, наблюдения,     сравнение,   математические  расчеты).

Основная часть.

 Глава 1.  Методика исследования.

   В ходе исследования мы провели необходимые методологические мероприятия, которые можно разбить на несколько этапов.

   Первый этап – подготовительный. На данном этапе определены цели и задачи исследования. После этого проведён сбор и анализ информации по выбранной теме: изучены исторические книги, книги по архитектуре и прикладной геометрии, исторические сведения собора.

  Второй этап – основной. Данный этап включает в себя систематизацию полученных сведений, методы, определения технических характеристик зданий.

 Работа с фотографиями собора.

Третий этап–итоговый, заключается в вычерчивании чертежей, вычисление отношений, сравнение полученных результатов с пропорциями «золотого сечения» и оформление выводов через учебно–исследовательскую работу

Глава 2. Рекуррентная формула ряда Фибоначчи.

2.1 Исторические сведения об итальянском математике Леонардо Пизанским, удивительные числа Фибоначчи.

    Как вы думаете, что общего между древнеегипетскими пирамидами, полотном Леонардо да Винчи «Святой Иероним», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека. (Приложение1, слайд №3, №4)

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты Итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским. Более известным под именем Фибоначчи. Он открыл последовательность чисел, которые представляют собой крайне интересную систему, последовательность имеет следующий вид...(Приложение №1, слайд №5)

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584, 4181, 6765...

Каждое следующее число получается путем суммирования двух предыдущих

0+1=1    1+1=2    2+1=3

  В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности, на число стоящее перед ним, результатом будет всегда величина 1,618

233/144=1.618          377 /233 = 1.618

И так «Золотая пропорция» равна соотношению единицы к 1,618 (Приложение1)

2.2 «Золотой» ортогональный прямоугольник. «Спираль Фибоначчи»

  Прямоугольник с шириной и высотой равными двум соседним числам последовательности представляет собой так называемый-ортогональный «Золотой прямоугольник», идеальный прямоугольник. (Приложение1, слайд№8)

«Золотой прямоугольник» можно разбить на более мелкие с размерами, соответствующими соседним числом Фибоначчи. Если мы возьмем этот золотой прямоугольник и разобьём его на более мелкие в соответствии с последовательностью Фибоначчи и разделим каждый из них дугой система начнет приобретать некую форму. Мы увидим так называемую «Спираль Фибоначчи».

  Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее. Лежащая в основе строения спирали правило «золотого сечения» встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях.

  Сама спираль не представляет ничего особенного, важно то, где мы ее можем увидеть и в расположении подсолнуха, и в шишках сосны, в строениях лепестков роз.

Глава 3 Сущность архитектуры как отрасли инженерных знаний и искусства. Роль геометрии в архитектуре.

             "Необходимо прекрасному зданию быть построенным     

              подобно хорошо сложенному человеку " (Павел Флоренский)

3.1 Инженерная и художественная состав­ляющие архитектуры.

Архитектура: искусство и наука проектирования и строительства зданий и других объектов .  Самая ранняя известная обзорная письменная работа по архитектуре - написанный римским архитектором Витрувием в начале I в до н.э. трактат «Десять книг об архитектуре». Согласно постулатам Витрувия, изложенным в этом трактате, постройка должна удовлетворять трем принципам.(Приложение №1)

§  прочность - постройка должна быть крепкой и со временем оставаться в хорошем состоянии

§  польза - постройка должна удовлетворять потребности людей в соответствии со своим назначением

§  красота - постройка должна восхищать своим видом

  Согласно Витрувию, архитектура должна служить удовлетворению каждого из этих требований.

3.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве.

         Золотое сечение – понятие математическое, но оно является критерием гармонии и красоты в искусстве. В энциклопедическом словаре изобразительного искусства дано такое определение «золотого сечения»:

  «Золотое сечение, или божественная пропорция (лат. Sectio aurea; Sectio Divina; см. золото; пропорционирование) - идеальное соотношение величин, наилучшая и единственная пропорция, уравновешивающая отношения частей какой-либо формы между собой и каждой части с целым, основа гармонии».

Там же дана «формула красоты»: (А + В) : А = А : В.  «Эстетический смысл этой формулы состоит в том, что, данная пропорция является единственно возможной, тем идеальным случаем, когда уравниваются отношения частей какой-либо величины между собой и каждой из этих частей с целым. Все прочие гармонические отношения связывают только отдельные части формы, а Золотая пропорция связывает части и целое.  (Приложение 1 , Слайд №10)

3.3 Геометрия в древнерусских постройках.

  В научной литературе по исследованию памятников архитектуры Древней Руси выявлены общепризнанные образцы гармонического единства, лучшие создания человеческого гения: церковь Вознесения села Коломенского под Москвой (построена в 1532 г); церковь Покрова на Нерли (1165 - 1167 гг.). Среди памятников древней Руси,  кроме указанных, к шедеврам архитектуры относятся: Успенская церковь Печорского монастыря в Киеве, Успенская церковь Елецкого монастыря в Чернигове.

Глава 4. Исследование «математического каркаса»  собора г.Рузаевка

4.1Архитектура Свято-Троицкого собора

Свято-Троицкий собор стал самым большим храмом в городе железнодорожников.  Огромный кирпичный храм эклектичной архитектуры, заложенный в 2009г. и строившийся к празднованию 1000-летия единения мордовского народа с народами Российского государства.  Освящен 19.12.2012. Значимость открытия в Рузаевке нового собора подчеркивалась тем, что на богослужении присутствовал Глава Республики Мордовия Владимир Дмитриевич Волков, заместитель Председателя Правительства РМ Михаил Сезганов,

Архитектурный проект был утвержден Владыкой Варсонофием, который дал благословение на начало строительства и освятил закладной камень.

   «Весь наш путь человеческий должен проходить через храм Божий», – сказал Владыка, – и если дороги ведут к храму, значит это истинные дороги».

  По благословению митрополита Саранского и Мордовского Варсонофия, директором института «Мордовгражданпромстрой» Владимиром Васильевичем Годуновым, был разработан уникальный проект храмового архитектурного ансамбля, состоящего из двух зданий. Первое – собственно храм – с трех сторон окружено аркадой и увенчано одной большой, четырьмя средними и восемью малыми главами, расположенными в три яруса. На некотором удалении от западной стены храма стоит здание, над которым возвышаются две главы с куполами и четырехъярусная колокольня с шатровым завершением.

   Можно без малейшего преувеличения сказать, что это если не самый красивый, то один их красивейших храмов Мордовской митрополии.

4.2 Закономерности ряда Фибоначчи, «золотое сечение» -  в православной архитектуре  Свято -Троицкого собора  г. Рузаевка.

Множество архитектурных шедевров русского зодчества построено по пропорции Золотого сечения. 

Возникает вопрос: существует ли закономерность рада Фибоначчи, его интересные свойства- в православной архитектуре Свято-Троицкого собора г. Рузаевка.

Храм – с трех сторон окружен аркадой и увенчан одной большой, четырьмя средними и восемью малыми главами, расположенными в три яруса. Всего глав в архитектуре храма-13. Диаметр Большого купола равен трем метрам.

Все числа входят в ряд Фибоначчи.    

4.3 Исследование пропорций купол храма.

  Купол православного храма символизирует небо. «Луковичная» форма (см. Приложени1) купола выбирается не случайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают верующие во время обращения к Богу. Такая форма купола символизирует духовный подъем и стремление к совершенству. Конечно, люди не религиозные могут не согласиться с описанной трактовкой формы купола, ведь она просто не дает скапливаться снегу и влаге. По – своему они правы, поскольку красота и духовность всегда идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию.

План построения эскиза купола «луковичной» формы (Приложение 2).

1.Проведем перпендикуляр О₁К к стороне ВС.

2.На высоте СО₁ отмечают точку М так, чтобы СМ=О₁ В, и через точку М проводят прямую, перпендикулярную прямой СО₁ , которая  пересекает отрезок  О ₁К в точке О ₂.

3.Проводят окружность с центром в точке О₂ и радиусом О₂К.

4.Делим отрезок О₁В точкой S пополам и через неё проводят прямую  SP, перпендикулярную  АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проводят прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью СО Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО₁ получается точка Е.

5.На прямой СЕ от точки С откладывают отрезок CG =2е. Из точки О ₁ как из центра  проводят окружность , радиусом  О₁G, которая пересекает предыдущую окружность в точке N, и окружность  радиусом  О₁К, пересекающую  высоту  СO₁  в точке F.

6.Из точек С И N как из центров проводят окружности радиусом СN. О₃ - точка пересечения окружностей.

7.Затем из О₃ проводят дугу радиусом О₃ N до её пересечения с точкой С.

 Выбираем единицу измерения - отрезок е. Строим равнобедренный треугольник АВС, у которого основание АВ = 8е, а высота О ₁С = 5е. АВ и О₁С составляют золотую пропорцию. Треугольник АВС служит основой эскиза купола православной церкви.

4.3 Исследование пропорций колокольни.

  Рассмотрим главные вертикали колокольни, определяющие её силуэт. Взгляд на колокольню с западной стороны позволяет проследить её деление на основные части (см. Приложение 3). Работаем с фотографиями храма- уменьшенная модель копии храма в 130 раз. (Не исключаем погрешность, сохранения пропорций фотографии) Действительная высота храма около 40 метров. Всю работу рассчитываем в мм.

 Фасад нижней части колокольни – прямоугольник, разделённый поясом карниза.

     Высота до карниза = 54, фасад нижней части колокольни=82. Отношение приближенно равно:  54/82=0,659

Высота до барабана с колоколами =126, вся высота колокольни =191. Отношение равно 126/191=0,659

Архитектор использовал свою гармоничную систему пропорционирования, приближенно равную «золотой пропорции»

   Средняя часть колокольни, поделена на 3 части: 34, 7,23, Здесь мы также можем наблюдать гармоничную пропорцию :

                                    23/34+7 ≈0,561                    34/64≈0,531   

  Венчает колокольню, восьмигранный шатёр и купол луковичной формы.

Отношение всей верхней части колокольни с к её высоте колокольни до креста:( 34+7+23+19)/126+23+17≈0,602 близка к «Золотому « сечению

Верхняя часть колокольни относится к средней части :

(19+17+7)/(34+7+23)=0,671

Отношение высоты бокового купола с крестом к нижней части до карниза: (34+13)/69=0,681                                           

  Как видим, в главной вертикали колокольни, описывающей её силуэт, заложена система пропорций, близких к «золотому сечению».

4.4 Исследование математического каркаса собора

Храм имеет крестово-купольное строение. Основа храма  - прямоугольный параллелепипед.( Приложение 4).

  Высоту храма определили по фотографиям, где пропорции сохраняются (уменьшенная копия обора) (Приложение 4,).

1.Определили высоту основной части храма и обозначим её АВ: АВ= 118                 

Найдем отношение ширины храмовой части к ее высоте: 117/184=0,635                                                            

2.Определили высоту храма с куполом и обозначим её АС: АС=168                            

3.Определили высоту храма до верхней точки креста купола и обозначим её АD: АД=184                          BD=67

4.Найдём отношение основной части храма AB к высоте всего храма AD, и отношение BD к АВ:

  АВ/АД=118/184= 0,641                 

5.Видно, что это отношение приближенно является «золотой пропорцией».

ВД/АВ=67/118= 0,567

6.Найдем отношение нижней части храма до карниза АК  к высоте до второго карниза АК^: АК/АК^=46/81=0,576  

Это отношение не является золотым, но повторяется не раз в архитектурном строе, следовательно, входит в систему пропорций данного храма.

7.Высота купола МС = 26, а высота креста СD=16

Найдем отношение МC / СD=16/26=0,615 является функцией «золотого» сечения 

8. Отношение Высота шатра с куполом к высоте  купола с крестом NN^/ВД=41/67=0,612 близка к «золотой» пропорции.

9. Найдем отношение диаметра «Луковице» к ее высоте 23/37=0,621 близка к «золотой» пропорции

  Заметим, что пропорции всего храма и верхней части совпадают, хотя и не являются «золотыми», именно это и придаёт храму неповторимую архитектурную гармонию, так же заложена система пропорций, в которой встречаются функции «Золотого сечения»

Заключение.

 Согласно цели исследовательской работы я познакомилась с числами Фибоначчи.

     Числа Фибоначчи – это красиво, серьёзно, актуально

Числа Фибоначчи имеют различное проявление в природе, архитектуре.

При выполнении работы мы убедились, что природа сама творит красоту по законам  математики

    Исследовала систему пропорций в архитектуре и выявили гармоничность постройки собора Святой -Троицы в г. Рузаевка

  В ходе исследовательской работы, я осуществила поиск и отбор информации о «золотом сечении» и его свойствах, имеющих значение в архитектуре, православном зодчестве. На основании полученных фактов сделали вывод: что в архитектуре православного собора заложена гармоничная система пропорций, соответствующая «золотому сечению». 

   Почему православные храмы так притягательны для верующих и неверующих? Храмы на Руси всегда выходили за рамки только культового назначения. Храм - это прежде всего общественное место, нередко праздничное, предмет постоянной заботы и гордости местных жителей. Его архитектура выражает идеал красоты, в ее образах воплощается духовное совершенство. Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православных храмов, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости. Созерцая храмы – эти творения русской души, соединяешься с ними в едином порыве к красоте и духовному свету 

   Список литературы.

1.          Макарычев Ю.М., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учеб.для шк. и кл.с углуб. изуч. математики. Алгебра 9 класс, М.: Мнемоза ,2004г.-439

2.          Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В. А. Володин. – М.: Аванта+, 2003. – 668 с. 

3.          Шевелев И. Ш.. Геометрическая гармония. Опыт исследования пропорций в архитектуре; - Кострома: Полиграфиздат, 1963 г. -109с.

4.     Плужников В.И. Термины российского архитектурного наследия: Словарь-глоссарий; — М.: «Искусство», 1995. – 159 с.

5.          Раппорт П.А. Древнерусская архитектура: науч. изд.- СПб.: Строй – издат. С.-Петербургское отд-ние, 1993.-287 с.

6.     http://decopedia.homeideas.ru/архитектура

7.     http://nauka.relis.ru/52/0306/52306082.htm   Математические досуги. Золотая пропорция. Новый взгляд.

8.     Перельман Я. И.Занимательная геометрия / Я. И. Перельман. Под  ред. и с доп. Б. А. Кордемского. - Изд. 7 – е  перераб.– М.:Государственное издательство технико – теоретической литературы,  1986. – 308

9.     WWW.sarep.ru Саранская епархия. Мордовской Митрополии.

10. WWW.ruzblagoch.ru Русская православная Церковь Рузаевка Православная.

11.  http://youtube.com/watch «Числа и формула Фибоначчи». «Золотое сечение».

Приложение 2.   Эскиз купола луковичной формы.

Приложение 3.    Исследование колокольни.

Приложение 4.  Исследование математического каркаса храма

Краткое описание документа:

Актуальность исследования обусловлена интересом к духовному наследию русского народа, возможностью глубже понять такое направление в архитектуре как православное зодчество, а также интересом к последовательности чисел Фибоначчи и «золотому сечению» в православной архитектуре.

Православные храмы удивляют своей красотой и совершенством благодаря точным пропорциям, образующим своеобразный «математический каркас» церкви. Именно, сочетание красоты, духовности и целесообразности рождает гармонию. В ходе анализа литературы, современной практики строительства храмов возникает вопрос: не утрачены ли традиции старых мастеров, создавших шедевры мирового зодчества? В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: заложены ли пропорции «золотого сечения» в «математическом каркасе» собора Святой -Троици г. Рузаевка .

Цель работы: установить закономерность рада Фибоначчи, исследовать его интересные свойства, выявить гармоничность постройки собора с точки зрения «золотого сечения».