Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Золотое сечение"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "Золотое сечение"

библиотека
материалов

Золотое сечение


«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер


В этой работе мы рассмотрели вопросы, связанные с самой интересной в мире пропорцией – гармонической пропорцией золотого сечения.          Многие из нас даже не задумываются над тем, что золотое сечение дарит нам столько прекрасного, что именно эта пропорция подарила миру скрипки Страдивари, знаменитые картины Сандро Ботичелли , многие памятники архитектуры и культуры.

Именно поэтому мы хотим рассмотреть золотое сечение в различных аспектах: в математике, в философии, в религии, в искусстве, в музыке, поэзии, в природе.         

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались многие ученые. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.


Окружающий нас мир многообразен…

Все предметы и явления, которым свойственна мера,

целесообразность и гармония воспринимаются как

красивое и вызывают у нас чувство восхищения,

радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие
неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам.

Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул,

но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Давайте познакомимся с одним из таких математических соотношений,
там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.


Рассмотрим отрезок АВ.

Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством

способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ,

если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине
большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

hello_html_e14c35d.gif


Деление отрезка в золотом отношении


Д а н о:

отрезок АВ.

П о с т р о и т ь:

золотое сечение отрезка АВ, т.е.

точку С так, чтобы


hello_html_m7dcb4017.gif

Построим прямоугольный треугольник,

у которого один катет в два раза

больше другого.

Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нём отложим отрезок BD = 1/2 AB.


Далее, соединив точки А и D,

отложим отрезок DЕ = ВD,

и наконец, АС = АЕ.

Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.


Золотое сечение в математике


Золотое сечение (золотая пропорцияделение в крайнем и среднем отношении) —соотношение двух величин, равное соотношению их суммы к большей из данных величин. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. В процентном округлённом значении — это деление величины на 62 % и 38 % соответственно.

С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается квадратичной иррациональностью

hello_html_397f4cdf.png


и, наоборот, отношение меньшей части к большей


hello_html_m27f3b2a0.png


Число  hello_html_32cd5afa.png   называется также золотым числом.



Золотой треугольник


Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении


hello_html_4c426535.gif


Золотой прямоугольник


Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется Золотым прямоугольником.




hello_html_63da8e0f.gif



Пентаграмма


hello_html_m744a193f.jpg


Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пента-

грамма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.




Пентаграмму, (XV век), использовали пифагорейцы в качестве отличительного знака принадлежности к их сообществу. Они учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов (ОгняВодыВоздухаЗемли и Эфира). Для отражения этой доктрины вокруг пентаграммы изображались пять букв:

ύύδωρ (вода)
ΓΓαια (земля)
ίίδέα (идея) или ίερόν (храм)
έέιλή (огонь)

άάήρ (воздух

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий.


Золотая спираль

hello_html_m6968fd9b.png

По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток
и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.


Закон углов


В 1850 г. немецкий учёный

А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°.

Угол между лучами – ветками, обозначим через α , а угол, дополняющий его до 360°, - через β . Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол β - большая часть этой величины:

hello_html_6be71c3a.png

Отсюда получаем уравнение β2 + 360β - 3602 = 0 и находим положительный корень β = -180 + √ 1802 + 3602 = 180 × (-1+ √ 5) 180 ×1,236 = 222,48.

Тогда α = 360° - 222,48° = 137,52°≈ 138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.


hello_html_1f035935.png


Человек – венец творения природы


Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = золотое сечение (за исключением большого пальца)

hello_html_10fc4764.jpg

Сердце бьется непрерывно – от рождения до его смерти. Его работа должна быть оптимальной. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. В.Цветков установил, что у человека оптимальная «золотая» частота сердцебиения ,составляет 63 удара в минуту. Он также установил, что систолическое (нижнее) давление крови в аорте равно 0,382, а диастолическое (верхнее) - 0,618 от среднего давления крови в аорте. Таким образом, работа сердца, изменения давления крови оптимизировано по одному и тому же принципу- по правилу золотой пропорции.



Золотое сечение в скульптуре


Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.

hello_html_m46dd6f57.gif hello_html_3d9822c1.png

АФИНА ПАРФЕНОС ЗЕВС ОЛИМПИЙСКИЙ


Золотое сечение в архитектуре


Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

hello_html_m2a27cfb4.png


Золотое сечение в живописи


Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

hello_html_59e7dd0f.png

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.


На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка,- вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль!

hello_html_5719f459.jpg


Золотое сечение в литературе

Евгений Онегин

Н. Васютинский констатирует:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

hello_html_m77615f47.jpghello_html_2faec434.jpg


Золотое сечение в фотографии


Разумеется, в момент съемки мы не в состоянии просчитать и зрительно отложить в уме необходимые пропорции. Поэтому на момент съемки используется упрощенный вариант построения «Золотого сечения» или правило «Трети»

Делим кадр на три равные части по горизонтали и по вертикали. Получилась сетка, которую вы видите на изображении. Правило основано на том, что объекты, расположенные в местах пересечения линий, соответствуют наилучшему зрительному восприятию. Таким образом, значимо важный объект съемки следует располагать или вдоль линий или в точках пересечений этих линий:

hello_html_79f0d823.jpg


В настоящее время исследуются математические теории связанные с принципами «Золотого сечения»: новая теория гиперболических функции, новая теория чисел, новая теория измерения, новые компьютерные арифметики, новая теория кодирования. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в новые теории и наверняка очень интересные математические результаты.


Таким образом, золотое сечение очень интересное и глубокое понятие, вкладывающее в себе основы симметрии и ассиметрии. С помощью «золотого сечения» можно проделывать интереснейшие опыты в любых условиях (находить отношение Ф в лицах людей, в фасадах зданий). И по моему мнению понятие «золотое сечение» должен знать любой человек интересующийся математикой, архитектурой, живописью.


Используемые источники:


  1. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.

  2. Шевелев И.Ш., Марусев М.А., Шмелев И.П.. Золотое сечение:

Три взгляда на природу гармонии. – Москва: Стройиздат., 1990 г.- 343с.

  1. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.

  2. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

  3. http://prostoykarandash.ru/main/47-zolotoe-sechenie.html

  4. http://www.colorpilot.ru/comp_rules.html

Автор
Дата добавления 26.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров964
Номер материала ДВ-199404
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх