Исследовательская работана тему:"Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Учебно-исследовательская работа

на тему:

«Арифметическая и геометрическая прогрессии

в  окружающей нас жизни»

Подготовила:

учитель математики

Абдуллаева  Т.Ф

Введение

   Аннотация проекта: В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле

   Актуальность исследования.      В 9 классе мы изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

   Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

   Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

   Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

   Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

    Цель исследования: Выявить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, и установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры применения.

Задачи исследования:

1.Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

2.   Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.           

    Методы исследования:

1.     Анализ содержания темы в различных школьных учебниках математики, математической  литературы по истории математики, материала из интернета.

2.     Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и  по экологии и в медицинских справочниках.

Ход урока

Мотивационное начало

Учитель:

Изучена данная тема,
     Пройдена теории схема,
     Вы много новых формул узнали,
     Задачи с прогрессией решали.
     И вот в последний урок
     Нас поведет  красивый лозунг
    “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”.

 Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Эти знания применяются людьми в различных вычислениях. Сегодня на уроке мы постараемся ответить на главный вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни человека? Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

Как можно сформулировать тему нашего урока?

Учащиеся формулируют тему урока, записывают в тетрадь.

(«Арифметическая  и  геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни»)

Учащимся предлагается обнаружить закономерность в строках и столбцах таблицы, заранее написанной на доске

2	4	8	16
0	2	6	14
-2	0	4	12
-4	-2	2	10

В первой строчке геометрическая прогрессия. (g=2)

Во всех столбцах – арифметическая прогрессия. (d= -2)

1.     Определения арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

 Имеет вид:  a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, …, a₁+(n-1)d,…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

d =  a_n+1 - a_n

  Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

   Имеет вид:  b₁, b₁q, b₁q², b₁q³,… ,b₁q^n-1,…  

q – знаменатель прогрессии

Учащимся предлагается привести свои примеры .

2.Анализ содержания темы в различных школьных учебниках:

Анализируемые учебники:

 (1) Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. Издание: 21-е изд. - М.: Просвещение, 2011

(2) Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл. учебник. для общеобразоват. учеб. заведений – 2-е изд., - М.: Мнемозина, 2012г.

(3) Муравин К.С. и др. Алгебра 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. — М.: Дрофа, 2011 г.

Последовательность изучения темы в (1), (2)  аналогична: сначала изучаются последовательности, затем арифметическая прогрессия, формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии, после чего приступают к изучению геометрической прогрессии в том же порядке. Но есть различия в способах изложения, введения понятий, формулировках определений, методах доказательства.

В перечисленных учебниках параграф «Последовательности» изучается с различной степенью подробности. В учебнике (1) дается понятие числовой последовательности, ее номера и рассмотрено рекуррентное задание последовательности. А в (2),(3) рассмотрены также свойства последовательностей (ограниченность, монотонность). Также в учебнике (3) выделяется несколько способов задания последовательности: словесный, рекуррентный, аналитический, вводятся свойства арифметической прогрессии.

Четкое определение последовательности  вводится в учебниках (3). В остальных учебниках дается лишь ее описание. Вывод:( учащ-ся)

Учитель: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень точная  и возникла она из практических нужд человека. Прогрессии играют большую роль в повседневной жизни, кроме того, они описывают различные процессы в живой природе. Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни человека? (Посмотрим сценку)

3. Сценка «Мужик и купец»

Действующие лица:

ведущий-старшеклассник

купец, жена, мужик – роли исполняют ученики

 На сцене стол, на столе самовар, лавка, у окна сидят купчиха и её дочь, входит купец

Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена. Какую?

Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во второй день за 100 000– две копейки, в третий– 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100 000 рублей!

Жена. Откуда у этого глупца столько денег?

Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.

раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно.

Жена. Там кто-то пришёл.

Купец. (Выглядывает в окно) Это он!

Входит мужик.

Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!

Взяв свою копейку уходит.

Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго»

Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.

Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался  и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24-ый день он отдал 83000, а на 25-ый 166000, а на 27-й день 671000 рублей.

 Учащиеся считают .

“Мужик” заплатил:  100 000• 30 = 3 000 000(рублей).

“Купец” заплатил:

 1; 2; 4;…

q=2/1=2.

S₃₀ =1• (2³⁰ – 1):(2-1)= 2 ³⁰ -1=1 073 741 824 -1 =10 737 418 руб.23коп.

Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего 3 миллиона, а получил от меня 10 миллионов рублей! Какой я глупец! Разве можно было заключать сделки на базаре!

Как неожиданны, бывают результаты, когда не знаешь математику.

Учитель: Мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя. Давайте окунемся в историю возникновения математики, и в частности - прогрессий.

4.История прогрессий

Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившим в 6 веке.

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.    В Древней Греции в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

 1+2+3+…+n = 2+4+6+…+2n = n·(n+1).    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым еще V в.

    В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.   В развитии теории прогрессий большой вклад внесли многие известные ученые.

Знакомство с историческим материалом. (За столом сидят Архимед, Гаусс, Магницкий).

Архимед: Кто формулу суммы квадратов нашел? И верной дорогой к прогрессу пришел? Математик и физик,я – Архимед. О жизни моей ходит много легенд.

Магницкий: Господа! Имею честь представиться. Я – Леонтий Филиппович Магницкий – создатель первого учебника «Арифметика»

Гаусс: О! Я – Карл Гаусс! Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

1+2+3+……….+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……=101х50=5050

сумма чисел от 1 до n = n * (n+1): 2.

5.Прогрессии в окружающей нас жизни

5.1 Прогрессии в биологии.

Самым показательным примером прогрессий может служить природа.

Для решения некоторых задач даже по биологии используются формулы арифметической и геометрической прогрессий. Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ…    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.    Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Решение:  b₁₅ = 2·2¹⁴ = 32 768

Какие выводы можно сделать, анализируя данную последовательность?

Вывод: (геометрическая прогрессия)

 Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

5.2Прогрессии в банковских расчетах (экономике).

Стихотворение:

Знать прогрессии нам всем необходимо,

для увеличения вкладов в банке оно незаменимо.

Простые проценты - прогрессия арифметическая,

Сложные проценты - прогрессия геометрическая.

  Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.   В городе Минеральные Воды несколько акционерных банков, предлагающих населению разнообразные вклады.  Давайте проанализируем  процентные ставки предлагаемых вкладов нескольких банков для определения наиболее выгодного для населения. И для сравнения взяла 2 банка оказывающих услуги  населению. Решая 2 задачи, сделайте  вывод в каком банке Вы будете хранить деньги в будущем.

Сбербанк.

1. Банк даёт своим вкладчикам 6% годовых. Чему станет равным вклад в 100000 рублей через 1год, 2 года?                  (ответ: 112360 рублей)

1) 100000 (1 + 0,06) = 106000 (р) – через год

2) 106000 (1 + 0,06) = 112360(р) – через 2 года

ВТБ24

2. Клиент банка внес 100000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Если никакие суммы со счета не снимаются и никаких дополнительных вложений не делается, то сколько денег будет на счете через 1 год, 2 года?

Решение:

(5х100000):100=5000(р)-5% от100000

100000+5000=105000(р)-через год

(105000х5):100=5250(р)-5% от 10500

105000+5250=110250(р)-через 2 года

Вывод:

5.3.Прогрессии в ЖКХ

Счетчик за электричество семьи  Нагога М. показывает 600кВт.(предыдущие показания 450кВт).1) Сколько рублей заплатит  семья, за последний  месяц, если один кВт стоит 5рублей.

2)За каждый просроченный день взимается пеня в размере 0,5% с оплачиваемой суммы. Сколько платят за электроэнергию, если они просрочат оплату за 5 дней?

Решение:

1)150х5=750(р)-за последний месяц

2)По формуле сложных процентов К_n= Н(1+)ⁿ получим

К₅= 750(1+)⁵= 750· 1.005⁵ = 750 · 1.025 = 768,75(рублей) - заплатят Нагога за электроэнергию, если они просрочат 5 дней.

Ответ:768,75(р).

                            5.3.Прогрессии в медицине.

Математика  всем нужна. И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать  обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя разобраться в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии. Ведь современная медицина не может  обходиться без сложнейшей техники.

В настоящее время широко  применяются математические методы в биофизике, биохимии, генетике, физиологии, медицинском приборостроении, создании биотехнических  систем

(Решаем задачу у доски)

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

    а_п=а₁+d(n-1),     

   40=5+5(п-1),       

      п=8,                     

   S_п=(a₁+a_п)n)/2,   S₈ =(5+40)·8:2=180,180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

6.Проверка знания формул

Учитель: Итак, проверим знание формул по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Зная эти формулы, можно решить много интересных задач, и если вы, умники и умницы 9-го класса, справитесь с их решениями, то узнаете любимое изречение одного из Мудрецов. Каждому из учеников дается следующее задание: Заполнить таблицу№2

Данная стадия дает целостное осмысление, обобщение полученной информации.

№п/п	Прогрессии	Арифметическая ( an )	Геометрическая ( bn )
1	Определение
2	Формула для нахождения n-го члена
3	Сумма n-первых членов прогрессии
4	Свойства

(Ученики заполняют таблицу, затем на экране появляется таблица, ученики проверяют правильность заполнения таблиц друг у друга с таблицей на экране).

№п/п	Прогрессии	Арифметическая (an )	Геометрическая ( bn )
1	Определение
2	Формула для нахождения n-го члена
3	Сумма n-первых членов прогрессии
4	Свойства		бесконечно убывающая

“Математика – царица наук, арифметика – царица математики”

7.Рефлексия. Выводы: 

Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.

Мы выяснили, какие ученые (Архимед, Карл Гаусс и его ученики, Магницкий. и т.д.) внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.

Нашли и решили  много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической.

8.Итог

Учитель: Сегодняшний урок дает вам возможность развивать умение находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Исследуя различные отрасли человеческой деятельности, а также окружающий нас мир, мы пришли к выводу, что мы живем среди прогрессий.

Урок сегодня завершен,            
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд.
К прогрессу в жизни приведут