ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «ФРАКТАЛЫ»

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
  «ФРАКТАЛЫ»
  Выполнила: учитель математики
  МКОУ «КАШКАРАГАИХИНСКАЯ СОШ»
  РОМАНОВИЧ ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА
  

• 

  2 слайд

  Математика,
  если на нее правильно посмотреть,
  отражает не только истину,
  но и несравненную красоту.
  
  

• 

  3 слайд

  Бенуа Мандельброт
  

• 

  4 слайд

  Множество Мандельброта –
  классический образец фрактала
  

• 

  5 слайд

  
  Кривая дракона
  Примеры фрактальных кривых
  

• 

  6 слайд

  Пятиугольник Дарера
  

• 

  7 слайд

  КРИВАЯ ГИЛЬБЕРТА
  

• 

  8 слайд

  Кривая Минковского или «Колбаса» Минковского
  

• 

  9 слайд

  Примеры фрактальных линий
  Инициатор
  Генератор
  

• 

  10 слайд

  Кривая Коха
  Инициатор - прямая линия
  Генератор - равносторонний
  треугольник,
  «Снежинка Коха»
  

• 

  11 слайд

  Дерево Пифагора
  

• 

  12 слайд

  Дерево Пифагора – разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как
  «Пифагоровы штаны»
  

• 

  13 слайд

  Обдуваемое ветром «Дерево Пифагора»
  

• 

  14 слайд

  Компьютерная вариация
  на «Дерево Пифагора»
  

• 

  15 слайд

  Вацлав Серпинский
  
  14 марта 1882, Варшава, Польша — 21 октября 1969, Варшава
  

• 

  16 слайд

  Треугольник Паскаля 
  

• 

  17 слайд

  4
  4
  6
  5
  10
  6
  5
  10
  15
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  6
  20
  15
  7
  21
  35
  35
  21
  7
  8
  56
  28
  70
  56
  36
  8
  28
  84
  126
  126
  84
  36
  9
  9
  1
  2
  1
  1
  1
  1
  3
  3
  1
  1
  1
  1
  

• 

  18 слайд

  Треугольник Паскаля
  

• 

  19 слайд

  Из треугольника Паскаля в ….треугольник Серпинского
  Треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым
  

• 

  20 слайд

  Из треугольника Паскаля в ….треугольник Серпинского
  Треугольник полученный выделением чисел: красный цвет зависит, от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11…
  

• 

  21 слайд

  4
  4
  6
  5
  10
  6
  5
  10
  15
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  6
  20
  15
  7
  21
  35
  35
  21
  7
  8
  56
  28
  70
  56
  36
  8
  28
  84
  126
  126
  84
  36
  9
  9
  

• 

  22 слайд

  ФРАКТАЛ СЕРПИНСКОГО
  

• 

  23 слайд

  Ковер Серпинского
  

• 

  24 слайд

  ковер Серпинского
  

• 

  25 слайд

  множество Жюлиа.
  

• 

  26 слайд

  Звезда Коха
  Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Х. фон Кох (1870-1924) и называется звезда Коха (снежинка Коха). Для ее построения берется равносторонний треугольник и последовательно добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В результате получаются все более сложные многоугольники, приближающиеся к предельному положению – звезде Коха.
  

• 

  27 слайд

  Упражнение 1
  На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Коха представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5.
  Найдите площадь звезды Коха, если площадь исходного треугольника равна 1.
  Решение. На первом шаге построения звезды Коха мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3.
  

• 

  28 слайд

  Упражнение 2
  Решение. На первом шаге каждая сторона треугольника заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины 1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как последовательность (4/3)n стремится к бесконечности, то и длина кривой Коха равна бесконечности.
  Найдите длину кривой, ограничивающей звезду Коха, считая стороны исходного треугольника равными 1.
  

• 

  29 слайд

  Ковер Серпинского
  Еще один пример самоподобной фигуры, придумал польский математик В. Серпинский (1882-1969). Она называется ковром Серпинского и получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.
  Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.
  

• 

  30 слайд

  Упражнение 5
  Решение. Для нахождения площади квадрата Серпинского достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно, площадь ковра Серпинского равна нулю.
  Найдите площадь ковра Серпинского, считая стороны исходного квадрата равными 1.
  

• 

  31 слайд

  Салфетка Серпинского
  Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского.
  

• 

  32 слайд

  Упражнение 6
  Найдите площадь салфетки Серпинского, полученной из правильного треугольника площади 1.
  Ответ: 0.
  

• 

  33 слайд

  Галерея фракталов
  

• 

  34 слайд

  Фракталы в природе
  

• 

  35 слайд

• 

  36 слайд

• 

  37 слайд

• 

  38 слайд

• 

  39 слайд

• 

  40 слайд

• 

  41 слайд

• 

  42 слайд

• 

  43 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  44 слайд

  Фрактальная форма береговой линии
  

• 

  45 слайд

  Фрактальная форма цветной капусты
  

• 

  46 слайд

  
  
  Малахитовый зал(Эрмитаж)
  

• 

  47 слайд

• 

  48 слайд

• 

  49 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  50 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  51 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  52 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  53 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  54 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  55 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  56 слайд

  "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012
  

• 

  57 слайд

• 

  58 слайд

• 

  59 слайд

• 

  60 слайд

• 

  61 слайд

• 

  62 слайд

• 

  63 слайд

  «Попробуй простую фигурку сложить,
  И вмиг увлечёт интересное дело."
    Японская мудрость