Инфоурок Математика Другие методич. материалыИсследовательская работа "Изучение фигурных чисел" Садовничий Надежды и Домановой Анны, учениц 8 "В" класса.

Контрольная работа по теме «Правление Анны Иоанновны» (8 класс)

Файл будет скачан в форматах:

  • pdf
  • docx
2
22.05.2025
«Инфоурок»

Материал разработан автором:

Поздняков Андрей Андреевич

Контрольная работа по теме «Правление Анны Иоанновны» предназначена для проверки знаний обучающихся восьмых классов по Истории России. Контрольная работа содержит шесть заданий разных по механике: тест, сопоставление, эссе, развернутый ответ и т. д. Прилагаются ответы

Краткое описание методической разработки

Контрольная работа по теме «Правление Анны Иоанновны» предназначена для проверки знаний обучающихся восьмых классов по Истории России.

Контрольная работа содержит шесть заданий разных по механике: тест, сопоставление, эссе, развернутый ответ и т. д.

Прилагаются ответы

Исследовательская работа "Изучение фигурных чисел" Садовничий Надежды и Домановой Анны, учениц 8 "В" класса.

Скачать материал

МБОУ "СОШ №1ст. Архонская"

 

 

 

Исследовательская работа

"Изучение фигурных чисел"

 

 

                                                                              Авторы:  Садовничий Надежда и Доманова Анна,

 ученицы 8 "В" класса.

 

Научный руководитель: Кусей Любовь Александровна,

 учитель математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………...... 3

1.     История фигурных чисел ……………….. ……………………...………..…. 4

2.        Виды фигурных чисел……………………..…………………………..……6

2.1. Линейные числа.

2.2. Плоские числа.

2.3. Телесные числа.

2.4. Многоугольные числа.

2.4.1.  Треугольные числа.

2.4.2.  Квадратные числа.

2.4.3.  Пятиугольные числа.

2.5. Пространственные фигурные числа

Заключение…………………………………………………………..……...…..12

Список используемой литературы…………………………………..……...…13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

    Фламандский математик Симон Стевини писал «Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью…».

    Ещё вначале VI века до н.э. греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический - полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур. Мы заинтересовалась этим и решили выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических фигур?

Мы решили узнать, какие числа называются фигурными, на какие виды эти числа делятся, применение и историю возникновения фигурных чисел, научиться самой «выкладывать» фигурные числа и познакомить своих одноклассников с фигурными числами. Для этого был проведен поиск литературы, как в библиотеке, так и в Интернете.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.     История фигурных чисел.

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа.

   Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: ЭратосфенГипсикл,Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа P_n как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна ( m-2. ). Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (ФибоначчиПачолиКардано и др.).

    В Новое время многоугольными числами занимались ФермаВаллисЭйлерЛагранжГаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

§  Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

§  Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);

§  Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:

§  и т. д.

    Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

    Много лет назад, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

    Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     Виды фигурных чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2.1. Линейные числа.

 

     Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):  

    - линейное число 5.

 

2.2. Плоские числа.

 

    Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

 - плоское число 6 = 2 • 3.

 

 

2.3. Телесные числа.

  Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):

  - телесное число 8 = 2 • 2 • 2.

 

2.4.  Многоугольные числа.

 

2.4.1.   Треугольные числа.

Треугольное число – это число кружков, которые можно выложить в форме равностороннего треугольника.

Последовательность треугольных чисел Тп для n = 0, 1,2, … начинается так 0,1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …. ,  n(n-1).

     3                 6                   10

Заметим, что
        1 = 1
        3 = 1 + 2
        6 = 1 + 2 + 3
      10 = 1 + 2 + 3 + 4
      15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
      . . . 
 Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:

Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

   На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде: Tn = n(n+1).

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…

1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

2.4.2.   Квадратные числа.

    Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n2,...) выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.

    4                9                         16

 

   Пифагорейцы наглядно видели, что каждый квадрат отличается от следующего на «гномон», то есть на уголок с равными сторонами, в котором нечетное число точек – вершина плюс дважды взятое число точек на стороне гномона (по-гречески слово «гномон» исходно означало солнечные часы).

http://static.diary.ru/userdir/2/7/7/8/277818/30821981.jpg

    Древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К:

8Т+1=К.

l19-3  Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10.
   На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К.

2.4.3.   Пятиугольные числа.

1, 5, 12 ,22, 35, 51, 70, 92, 117,…, n(3n-1)

l19-f3

 

image013

5                                            12

2.5.  Пространственные фигурные числа.

 

   Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные  числа.
   Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

l19-4

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее.
   Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

l19-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Работая по данной теме, мы пришли к следующим выводам:

v Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;

v Выделяются несколько видов данных чисел;

v Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд  математических законов

v Фигурные числа – это интересно!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой  литературы.

 

1.      Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего

2.     Египета, Вавилона и Греции.

3.     Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.

4.     Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова

5.     Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005

 

 

 

 

 

 
 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Исследовательская работа "Изучение фигурных чисел" Садовничий Надежды и Домановой Анны, учениц 8 "В" класса."
Смотреть ещё 6 034 курса

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

    Фламандский математик Симон Стевини писал «Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью…».

    Ещё вначале VI века до н.э. греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический - полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур. Мы заинтересовалась этим и решили выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических фигур?

 

Мы решили узнать, какие числа называются фигурными, на какие виды эти числа делятся, применение и историю возникновения фигурных чисел, научиться самой «выкладывать» фигурные числа и познакомить своих одноклассников с фигурными числами. Для этого был проведен поиск литературы, как в библиотеке, так и в Интернете.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 363 677 материалов в базе

Скачать материал

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
    • 13.01.2015 990
    • DOCX 138.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кусей Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кусей Любовь Александровна
    Кусей Любовь Александровна

    преподаватель

    • На сайте: 10 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 45629
    • Всего материалов: 22

    Об авторе

    Категория/ученая степень: Вторая категория
    Место работы: МБОУ "СОШ№1 ст. Архонская" МО - Пригородный район РСО- А"
    Вот уже 38 лет я работаю в своей школе. Моим девизом являются слова Л.Н. Толстого : " Человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель - то, что он думает о себе. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь" и заповедью - не навреди. Являюсь не только преподавателем математики,но и классным руководителем и руководителем РМО учителей математики Пригородного района РСО-Алания.

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 348 289 материалов из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Семейные кризисы и конфликты

3 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 24 человека

Мини-курс

Нейрофизиологические аспекты детского развития

2 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы дизайна в Figma

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 144 человека из 37 регионов
  • Этот курс уже прошли 55 человек
Смотреть ещё 6 034 курса