Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Презентации / Исследовательская работа по теме:" Метод математической индукции"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа по теме:" Метод математической индукции"

библиотека
материалов
Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим...
Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первы...
Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в...
Несомненно, область применения математической индукции возрастает, несмотря...
Что такое индукция? В чем заключается метод математической индукции? Кто созд...
Применение Применение метода математической индукции при решении задач на дел...
Индукция – способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам....
Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отде...
«…можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения...
Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, верно при n = 1 и...
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения н...
На сформулированном принципе математической индукции основан метод доказател...
В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположе...
Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегречески...
Архимед (287 до нашей эры – 212 до нашей эры) – древнегреческий математик, фи...
В « Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон обра...
Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля...
I. Доказательство равенств с помощью метода математической индукции: Пример 1...
. . Пример 1. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется...
1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = ; 1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = . Следовательно,...
Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.)) Докажите, что для любого натура...
Пусть А(n) и В(n) – некоторые выражения. Доказать равенство А(n) = В(n) для...
Пример 3. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется рав...
 равенство . Имеем: - верно.
Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно...
Пример 4. Докажите методом математической индукции, что для любого натурально...
равенство . Имеем: = - ; = - верно. Следовательно, на основании метода матема...
Пример 5. Методом математической индукции доказать справедливость равенства Д...
Для этого разделим равенство на равенство Имеем:
Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно.
II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пр...
II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пр...
Пример 2. (Неравенство Бернулли) Доказать, что если и то справедливо неравен...
Пример 3. Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство Доказательство. Пр...
В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого n >...
Пример 4. (Неравенство Коши) Рассмотрим самое важное и, несомненно, являющее...
При n = 4, неравенство имеет вид (2). Докажем. Представим левую часть нераве...
При n =3, неравенство имеет вид: Докажем. Представим , как На основании рассм...
Разделим обе части неравенства на не равное нулю, получим Теперь возведем обе...
3) на основании частного случая (3) докажем, что при n = m – 1 = неравенство...
Имеем:
Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши...
Пример 5. Доказать неравенство для любого числа n корней, входящих в неравен...
Пример 6. Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >...
Разделим обе части неравенства на выражение (k + 2)!. Имеем: - верно. Следова...
III. Применение метода математической индукции в решении задач на делимость:...
Пример 1. Докажите, что для любого натурального n делится на 6. Доказательств...
Пример 2. Докажите, что для любого натурального n делится на 19. Доказательс...
Пример 3. Доказать при произвольном натуральном n делится на без остатка. Док...
натуральном n Значит, на основании метода математической индукции при любом Т...
IV. Применение метода математической индукции к геометрическим задачам: Задач...
Задача 1. (Пересечение прямых) Докажите, что любые n прямых, расположенных на...
Рассмотрим (k + 1)-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из списка 1-я, 2...
Задача 2. Доказать, что число диагоналей выпуклого n –угольника равно . Доказ...
Таким образом, число диагоналей в выпуклом (k+1)-угольнике равно Вследствие п...
Задача 3. Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2)...
равна 180°(k – 2) + 180° = 180°(k – 2 +1) = 180°(k – 1). Вследствие принципа...
Метод математической индукции в применении к другим задачам Задача 1. (Трехко...
Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты) Доказать, что любую сумму д...
Потребовались только трехкопеечные монеты 3) удаляем три трехкопеечные монеты...
Ханойские башни Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно тол...
1) Пирамидку, в которой только одно кольцо n = 1, переместить можно. 2) Предп...
В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыва...
Подводя итог своей работы, я хочу сказать, что математическая индукция помог...
Побывав в разных библиотеках, в том числе и в библиотеке СОГУ, в Юношеской би...
Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим...
71 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3 Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим
Описание слайда:

Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим критерием зрелости, которая совершенно необходима математику. А. Н. Колмогоров

№ слайда 4 Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первы
Описание слайда:

Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первые шаги оно начинало с каменного века. Постепенно мир усовершенствовался и изменился. Каменный век перешел в мультимедийный. Даже несколько десятков лет тому назад мы не могли предположить о таких глобальных переменах. Но, несмотря на все изменения, произошедшие за это время, есть вещи, которые не меняются и их ценность со временем не убывает. Всем, например, известно, что Земля круглая, что 2·2=4. К таким ценностям можно отнести и математическую индукцию.

№ слайда 5 Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в
Описание слайда:

Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 Несомненно, область применения математической индукции возрастает, несмотря
Описание слайда:

Несомненно, область применения математической индукции возрастает, несмотря на это, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает. А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно.

№ слайда 8 Что такое индукция? В чем заключается метод математической индукции? Кто созд
Описание слайда:

Что такое индукция? В чем заключается метод математической индукции? Кто создал? Применение Что такое принцип математической индукции? Заключение

№ слайда 9 Применение Применение метода математической индукции при решении задач на дел
Описание слайда:

Применение Применение метода математической индукции при решении задач на делимость. Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции Метод математической индукции в применении к другим задачам. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств Метод математической индукции при решении геометрических задач

№ слайда 10 Индукция – способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам.
Описание слайда:

Индукция – способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам. Под индукцией (от лат. inductio – наведение, побуждение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев. По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция .

№ слайда 11 Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отде
Описание слайда:

Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев. Иногда общий результат удается предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. О применении в математике неполной индукции, в качестве метода доказательства, предостерегал ученых П. Ферма в одном из своих писем:

№ слайда 12 «…можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения
Описание слайда:

«…можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения, которое подходило бы для многих частных случаев и все же было бы на самом деле ложным и не всеобщим…». Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин. Пьер Ферма

№ слайда 13 Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, верно при n = 1 и
Описание слайда:

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, верно при n = 1 и из того, что оно верно для n = k (где k- любое натуральное число) , следует, что оно верно и для следующего числа n = k + 1, то предложение А(n) верно для любого натурального числа n.

№ слайда 14 В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения н
Описание слайда:

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n ≥ p, где p- фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом. Если предложение А(n) истинно при n = p и если А(k) => А(k + 1) для любого k ≥ p, то предложение А(n) истинно для любого n ≥ p.

№ слайда 15 На сформулированном принципе математической индукции основан метод доказател
Описание слайда:

На сформулированном принципе математической индукции основан метод доказательства, называемый методом математической индукции. Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом: сначала доказываемое утверждение проверяется для n = 1, то есть устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным переходом.

№ слайда 16 В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположе
Описание слайда:

В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположении справедливости утверждения для n = k (предположение индукции), то есть доказывают, что А(k) => А(k + 1). Замечание. Отметим, что оба шага в доказательстве методом математической индукции очень важны, ни один из них нельзя пропускать.

№ слайда 17 Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегречески
Описание слайда:

Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегреческие ученые. Однако впервые он был явно выражен Герсонидом в 1321 году. Характеристика принципа математической индукции содержится у широко образованного итальянского математика ХVI века Ф.Мавролико, переводчик Архимеда.

№ слайда 18 Архимед (287 до нашей эры – 212 до нашей эры) – древнегреческий математик, фи
Описание слайда:

Архимед (287 до нашей эры – 212 до нашей эры) – древнегреческий математик, физик, механик и инженер. Сделал множество открытий в геометрии, заложил основы механики и гидростатики, автор ряда важных изобретений.

№ слайда 19 В « Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон обра
Описание слайда:

В « Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон образования членов этого треугольника методом математической индукции. После этого метод начинает постепенно привлекать внимание некоторых ученых, в частности Бернулли.

№ слайда 20 Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля
Описание слайда:

Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля чисто индуктивные методы доказательств теряют значение в математике. На первый план выдвигается дедукция и математическая индукция. А. Коши (1789 – 1857) К. Гаусс (1777 – 1855) Н. Абель (1802 – 1829)

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 I. Доказательство равенств с помощью метода математической индукции: Пример 1
Описание слайда:

I. Доказательство равенств с помощью метода математической индукции: Пример 1. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство 1 + 2 + 3 + … + n = . Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.)) Докажите, что для любого натурального n верно равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)². Пример 3.(c указанием) Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство Пример 4. Докажите по индукции, что для любого натурального числа n справедливо равенство Пример 5. Методом математической индукции доказать справедливость равенства .

№ слайда 23 . . Пример 1. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется
Описание слайда:

. . Пример 1. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство 1 + 2 + 3 + … + n = . Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда ;1 = 1 – верно; 2) предположим, что при n = k равенство 1 + 2 + 3 +…+ k = верно; 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство 1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1) = Прибавим к обеим частям равенства 1 + 2 + 3 +…+ k = выражение (k + 1). Имеем: 1+ 2 + 3 + … + k + (k + 1) = + (k + 1); 1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = + ;

№ слайда 24 1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = ; 1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = . Следовательно,
Описание слайда:

1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = ; 1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) = . Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство 1 + 2 + 3 + … + n = - верно.

№ слайда 25 Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.)) Докажите, что для любого натура
Описание слайда:

Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.)) Докажите, что для любого натурального n верно равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)². Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда 1³ = 1² => 1 = 1 - верно; 2) предположим, что при n = k равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² - верно; 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1))². Прибавим к обеим частям равенства 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² выражение (k + 1)³, имеем: 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + ( k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² + ( k + 1)³. Рассмотрим правую часть равенства: (1 + 2 + 3 + … + k)² + ( k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² + +( k + 1)². Так как 1 + 2 + 3 +…+ k = , то имеем: (1 + 2 + 3 + … + k)² + 2(1 + 2 + 3 + … + k )(k + 1)+ ( k + 1)² = = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)) ². Значит, 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1))². Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)² верно.

№ слайда 26 Пусть А(n) и В(n) – некоторые выражения. Доказать равенство А(n) = В(n) для
Описание слайда:

Пусть А(n) и В(n) – некоторые выражения. Доказать равенство А(n) = В(n) для любого натурального n по индукции можно так: Убедиться, что равенство А(1) = В(1) выполняется. Доказать равенство А(k + 1) – А(k) = В(k +1) – В(k). Теперь из предположения А(k) = В(k) и из равенства А(k + 1) – А(k) = В(k +1) – В(k) следует, что А(k + 1) = В(k +1). Тогда согласно принципу математической индукции доказываемое равенство верно для любого натурального n.

№ слайда 27 Пример 3. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется рав
Описание слайда:

Пример 3. Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда - верно; 2) предположим, что при n = k равенство - верно; 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство Для этого вычтем из равенства

№ слайда 28  равенство . Имеем: - верно.
Описание слайда:

равенство . Имеем: - верно.

№ слайда 29 Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно
Описание слайда:

Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно. .

№ слайда 30 Пример 4. Докажите методом математической индукции, что для любого натурально
Описание слайда:

Пример 4. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального числа n справедливо равенство Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда - верно; 2) предположим, что при n = k равенство - верно; 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство . Для этого вычтем из равенства

№ слайда 31 равенство . Имеем: = - ; = - верно. Следовательно, на основании метода матема
Описание слайда:

равенство . Имеем: = - ; = - верно. Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно.

№ слайда 32 Пример 5. Методом математической индукции доказать справедливость равенства Д
Описание слайда:

Пример 5. Методом математической индукции доказать справедливость равенства Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда верно; 2) предположим, что при n = k справедливо равенство 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство

№ слайда 33 Для этого разделим равенство на равенство Имеем:
Описание слайда:

Для этого разделим равенство на равенство Имеем:

№ слайда 34 Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно.
Описание слайда:

Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно.

№ слайда 35 II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пр
Описание слайда:

II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пример 1. При каких натуральных n справедливо неравенство > ? Пример 2. (Неравенство Бернулли) Доказать, что если и , то справедливо неравенство Пример 3. Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство Пример 4. (Неравенство Коши) Доказать, что , где неотрицательные числа. Пример 5. Доказать неравенство Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ, Пример 6. при n ≥ 3 .

№ слайда 36 II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пр
Описание слайда:

II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств: Пример 1. При каких натуральных n справедливо неравенство при n = 2, имеем: 4 > 10 (не верно); при n = 3, имеем: 8 > 15 (не верно); при n = 4, имеем: 16 > 20 (не верно); > ? Решение. при n = 1, имеем: 2> 5 (не верно); 1) пусть n =5, тогда 5 · 5; > 32 > 25 – верно; 2) предположим, что при n = k неравенство > 5k - верно; 3) докажем, что при n = k + 1 выполняется неравенство > 5(k +1). Для этого умножим обе части неравенства > 5k на 2. Имеем: · 2 > 5k · 2; > 5k +5k. Так как k > 1, то 5k > 5. Имеем: > 5k +5; > 5(k +1). Значит, при , неравенство - верно. >

№ слайда 37 Пример 2. (Неравенство Бернулли) Доказать, что если и то справедливо неравен
Описание слайда:

Пример 2. (Неравенство Бернулли) Доказать, что если и то справедливо неравенство Доказательство: 1) при n = 2 неравенство 2) предположим, что при n =k неравенство - верно; 3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство Умножим обе части неравенства на положительное число Имеем: . Рассмотрим правую часть неравенства Получили, что Значит, на основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого справедливо, так как

№ слайда 38 Пример 3. Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство Доказательство. Пр
Описание слайда:

Пример 3. Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство Доказательство. Преобразуем неравенство , имеем: ; 1) при неравенство справедливо, так как ; 2) предположим, что при n =k неравенство верно т.е. 3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство Так как , то, умножив обе части неравенства на ,имеем:

№ слайда 39 В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого n >
Описание слайда:

В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого n > 6. Так как , при то имеем:

№ слайда 40 Пример 4. (Неравенство Коши) Рассмотрим самое важное и, несомненно, являющее
Описание слайда:

Пример 4. (Неравенство Коши) Рассмотрим самое важное и, несомненно, являющееся одним из столпов теории неравенств, неравенство между арифметическим и геометрическим средними. Это исключительно красивое неравенство может быть сформулировано следующим образом: доказать, что , неотрицательные числа. Доказательство. Рассмотрим классическое доказательство, принадлежащее Коши. Частные случаи. При n = 2, неравенство имеет вид: (1). где - Докажем справедливость данного неравенства, имеем

№ слайда 41 При n = 4, неравенство имеет вид (2). Докажем. Представим левую часть нераве
Описание слайда:

При n = 4, неравенство имеет вид (2). Докажем. Представим левую часть неравенства в виде Умножим обе части неравенства на Имеем: На основании частного случая (1) рассмотрим правую часть неравенства

№ слайда 42 При n =3, неравенство имеет вид: Докажем. Представим , как На основании рассм
Описание слайда:

При n =3, неравенство имеет вид: Докажем. Представим , как На основании рассмотренного частного случая (2) имеем: Так как , то неравенство примет вид:

№ слайда 43 Разделим обе части неравенства на не равное нулю, получим Теперь возведем обе
Описание слайда:

Разделим обе части неравенства на не равное нулю, получим Теперь возведем обе части неравенство в степень ,получим Докажем неравенство Коши методом математической индукции.

№ слайда 44 3) на основании частного случая (3) докажем, что при n = m – 1 = неравенство
Описание слайда:

3) на основании частного случая (3) докажем, что при n = m – 1 = неравенство Коши выполняется , т.е 2) предположим, что при n = m = выполняется неравенство пусть n = 2, тогда на основании частного случая (1) неравенство верно; Пусть ,тогда

№ слайда 45 Имеем:
Описание слайда:

Имеем:

№ слайда 46 Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши
Описание слайда:

Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши верно. Данное доказательство является классическим доказательством неравенства Коши. Обе части неравенства возведем в степень

№ слайда 47 Пример 5. Доказать неравенство для любого числа n корней, входящих в неравен
Описание слайда:

Пример 5. Доказать неравенство для любого числа n корней, входящих в неравенство. Доказательство: 1) при n = 1 неравенство справедливо, так как 2) обозначим левую часть неравенства и, предположив справедливость неравенства докажем справедливость неравенства 3) Найдем: Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство верно.

№ слайда 48 Пример 6. Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >
Описание слайда:

Пример 6. Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ , при n ≥ 3. Доказательство: n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · n; при n = 3 неравенство справедливо, так как 2! 4! 6! > (4!)³; 34560 > 13824; 2) предположим, что при n = k неравенство 2! 4! 6! … (2k)! >((k+1)!) - верно; 3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство 2! 4! 6! … (2k)! (2k +2)! >((k+2)!) . Разделим неравенство 2! 4! 6! …(2k)! (2k +2)! >((k+2)!) на неравенство 2! 4! 6! … (2k)! >((k+1)!) Имеем:

№ слайда 49 Разделим обе части неравенства на выражение (k + 2)!. Имеем: - верно. Следова
Описание слайда:

Разделим обе части неравенства на выражение (k + 2)!. Имеем: - верно. Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ - верно.

№ слайда 50 III. Применение метода математической индукции в решении задач на делимость:
Описание слайда:

III. Применение метода математической индукции в решении задач на делимость: Пример 1. Докажите, что для любого натурального n делится на 6. Пример 2. Докажите, что для любого натурального n делится на 19. Пример 3. Доказать при произвольном натуральном n делится на 26²(676) без остатка.

№ слайда 51 Пример 1. Докажите, что для любого натурального n делится на 6. Доказательств
Описание слайда:

Пример 1. Докажите, что для любого натурального n делится на 6. Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда 6 = 6; 2) предположим, что при n = k выражение 3) докажем, что при n = k + 1 выражение Так как и первое слагаемое, и второе слагаемое делятся на 6, то и их сумма делится на 6. Значит, на основании метода математической индукции при любом натуральном n делится на 6.

№ слайда 52 Пример 2. Докажите, что для любого натурального n делится на 19. Доказательс
Описание слайда:

Пример 2. Докажите, что для любого натурального n делится на 19. Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда ,так как 19:19; 2) предположим, что при n = k выражение 3) докажем, что при n = k + 1 выражение Так как и первое слагаемое делится на 19 (по предположению), и второе слагаемое делится на 19, то и их сумма делится на 19 и согласно методу математической индукции для любого натурального n делится на 19. Имеем:

№ слайда 53 Пример 3. Доказать при произвольном натуральном n делится на без остатка. Док
Описание слайда:

Пример 3. Доказать при произвольном натуральном n делится на без остатка. Доказательство: докажем, что 1) пусть n = 1, тогда -верно; 2) предположим, что при n = k выражение 3) докажем, что при n = k + 1 выражение 26²(676) Так как и первое слагаемое, и второе слагаемое делятся на 26, то и их сумма делится на 26. Значит, на основании метода математической индукции при любом натуральном n Докажем теперь, что делится на 26². 1) пусть n = 1, тогда - верно; 2) предположим, что при n = k выражение 3) докажем, что при n = k + 1 выражение Имеем:

№ слайда 54 натуральном n Значит, на основании метода математической индукции при любом Т
Описание слайда:

натуральном n Значит, на основании метода математической индукции при любом Так как каждое слагаемое делится на 676, то и сумма делится на 676. делится на 676.

№ слайда 55 IV. Применение метода математической индукции к геометрическим задачам: Задач
Описание слайда:

IV. Применение метода математической индукции к геометрическим задачам: Задача 1. (Пересечение прямых) Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках. Задача 2. Доказать, что число диагоналей выпуклого n –угольника равно Задача 3. Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2)

№ слайда 56 Задача 1. (Пересечение прямых) Докажите, что любые n прямых, расположенных на
Описание слайда:

Задача 1. (Пересечение прямых) Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках. Доказательство: 1) пусть n = 2, тогда утверждение верно, так как в случае, когда прямых две, известно, что они не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке. 2) Предположим, что оно верно для n = k прямых, то есть что любых k прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках. 3) докажем, что при n = k + 1 прямых утверждение верно, то есть 1-я, 2-я, …, k-я прямая пересекаются в точках.

№ слайда 57 Рассмотрим (k + 1)-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из списка 1-я, 2
Описание слайда:

Рассмотрим (k + 1)-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из списка 1-я, 2-я, …, k-я прямая. Как мы уже доказали в шаге (1), что любые две прямые, удовлетворяющие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые (k + 1) и i пересекаются в одной точке. Вспомним, что i обозначает любую прямую из списка 1-я, 2-я, …, k. Отсюда (k + 1)-я прямая пересекается с каждой из этих k прямых ровно в одной точке. Рассмотрим список из (k + 1) прямых и их точек пересечения. Уберём прямую (k + 1) вместе с её точками пересечения. Останется k прямых удовлетворяющих шагу (3). Значит, количество точек пересечения у этих k прямых равняется Как было показано выше, количество точек пересечения, которое мы убрали вместе с прямой k + 1, равняется k. Следовательно, количество точек пересечения всех k + 1 прямых есть Следует, что для k + 1 прямых утверждение доказано.

№ слайда 58 Задача 2. Доказать, что число диагоналей выпуклого n –угольника равно . Доказ
Описание слайда:

Задача 2. Доказать, что число диагоналей выпуклого n –угольника равно . Доказательство: 1) при n = 3 утверждение верно, так как в треугольнике диагоналей. 2) предположим, что число диагоналей выпуклого k – угольника равно 3) докажем, что тогда в выпуклом - угольнике число диагоналей равно Пусть А1А2А3…AkAk+1-выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A1Ak. Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A1A2…Ak, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины Аk+1, и, кроме того, следует учесть диагональ А1Аk.

№ слайда 59 Таким образом, число диагоналей в выпуклом (k+1)-угольнике равно Вследствие п
Описание слайда:

Таким образом, число диагоналей в выпуклом (k+1)-угольнике равно Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

№ слайда 60 Задача 3. Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2)
Описание слайда:

Задача 3. Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2). Решение: 1) пусть n =3, тогда справедливо утверждение 180°(n – 2), так как 180°(3 – 2) = 180°; 2) предположим, что при n = k, утверждение 180°(k – 2) – верно; 3) докажем, что при n = k +1 сумма углов (k + 1) – угольника равна 180°(k – 1). В многоугольнике проведем диагональ Она разбивает многоугольник на многоугольник и треугольник Сумма углов многоугольника равна 180°(k – 2), а сумма углов треугольника равна 180°. Значит, сумма углов многоугольника

№ слайда 61 равна 180°(k – 2) + 180° = 180°(k – 2 +1) = 180°(k – 1). Вследствие принципа
Описание слайда:

равна 180°(k – 2) + 180° = 180°(k – 2 +1) = 180°(k – 1). Вследствие принципа математической индукции теорема верна для любого выпуклого n-угольника.

№ слайда 62 Метод математической индукции в применении к другим задачам Задача 1. (Трехко
Описание слайда:

Метод математической индукции в применении к другим задачам Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты) Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами. (Ханойские башни) Задача 2. Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стрежня на другой? Можно или нельзя?

№ слайда 63 Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты) Доказать, что любую сумму д
Описание слайда:

Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты) Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами. Решение. Применим метод математической индукции к задаче. Пусть сумма равна n копейкам. 1) при n = 8 утверждение верно. 2) пусть утверждение верно для n = k. Могут представиться только два случая для размена суммы в k копеек:

№ слайда 64 Потребовались только трехкопеечные монеты 3) удаляем три трехкопеечные монеты
Описание слайда:

Потребовались только трехкопеечные монеты 3) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и тем самым размениваем сумму в копеек. Потребовалась хотя бы одна пятикопеечная монета 3) удаляем одну пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты и тем самым размениваем сумму в копеек. Следовательно, на основании метода математической индукции, задача верна.

№ слайда 65 Ханойские башни Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно тол
Описание слайда:

Ханойские башни Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стрежня на другой? Можно или нельзя?

№ слайда 66
Описание слайда:

№ слайда 67 1) Пирамидку, в которой только одно кольцо n = 1, переместить можно. 2) Предп
Описание слайда:

1) Пирамидку, в которой только одно кольцо n = 1, переместить можно. 2) Предположим, что мы умеем перемещать пирамидку с числом колец n = k . 3) Попробуем научиться перемещать пирамидку с n = к + 1 числом колец. Пирамидку из k колец, лежащих на самом большом (к + 1)-ом кольце, мы можем согласно предположению переместить на любой стержень. Сделаем это, переместим её на 3 стержень. После перемещения k колец переместим оставшееся (к + 1)-ое кольцо на второй стержень. Мы можем это сделать, так как второй стержень пустой. Затем опять переместим пирамидку из k колец на второй стержень. Имеем: на втором стержне пирамидку из (k+1) колец и пирамидку из k колец. Таким образом, если мы умеем перемещать пирамидки с k кольцами, то умеем перемещать пирамидки и с (к + 1) кольцом. Следовательно, утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n. Решение:

№ слайда 68 В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыва
Описание слайда:

В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыванием колец. Они располагают тремя пирамидами, на которых надеты кольца разных размеров. В начальном состоянии 64 кольца были надеты на первую пирамиду и упорядочены по размеру. Монахи должны переложить все кольца с первой пирамиды на вторую, выполняя единственное условие — кольцо нельзя положить на кольцо меньшего размера. При перекладывании можно использовать все три пирамиды. Монахи перекладывают одно кольцо за одну секунду. Как только они закончат свою работу, наступит конец света. Количество перекладываний в зависимости от количества колец вычисляется по формуле 2ⁿ − 1. Для 64-х колец это 18 446 744 073 709 551 615 перекладываний, и, если учесть скорость одно перекладывание в секунду, получится около 584 542 046 091 лет, то есть апокалипсис наступит нескоро.

№ слайда 69 Подводя итог своей работы, я хочу сказать, что математическая индукция помог
Описание слайда:

Подводя итог своей работы, я хочу сказать, что математическая индукция помогла мне научиться размышлять не только индуктивно, но и дедуктивно. Мое мышление преобразилось: я стала учиться размышлять логически, искать правильное решение из множества других. Знание и умение применять математическую индукцию помогло мне в решении олимпиадной работы: задание было на делимость. Аналогичные примеры есть у меня в докладе. В ходе моей работы было очень интересно собирать материал о математической индукции.

№ слайда 70 Побывав в разных библиотеках, в том числе и в библиотеке СОГУ, в Юношеской би
Описание слайда:

Побывав в разных библиотеках, в том числе и в библиотеке СОГУ, в Юношеской библиотеке и в библиотеке СК ГМИ, было очень интересно обобщать весь материал по данной теме. К сожалению, материал о математической индукции, на мой взгляд, не очень богат. Мне бы хотелось, чтобы со временем на эту тему обратили внимание не только в высших учебных заведениях, но и в школьной программе, так как я считаю, что математическая индукция - одна из самых интересных и полезных тем в математике. Благодаря ей, мне захотелось узнать что–то большее по этому предмету, и в будущем я обязательно исследую еще одну такую же познавательную тему.

№ слайда 71 Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим
Описание слайда:

Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим критерием зрелости, которая совершенно необходима математику. А. Н. Колмогоров

Краткое описание документа:

                                                  Понимание и умение применять принцип                          

                                     математической индукции является хорошим

                                     критерием зрелости, которая совершенно

                                     необходима математику.

                                                                           А. Н. Колмогоров 

                      

                                                   Введение

           Со времен зарождения  жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первые шаги оно начинало с каменного века. Постепенно мир усовершенствовался и изменился. Каменный век перешел в мультимедийный. Даже несколько десятков лет тому назад мы не могли предположить о таких глобальных переменах. Но, несмотря на все изменения, произошедшие за это время, есть вещи, которые не меняются и их ценность со временем не убывает. Всем, например, известно, что Земля круглая, что 2•2=4. К таким ценностям можно отнести и математическую индукцию. 

          Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно. 

          Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое - угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку. Тогда, если мы толкнём первую косточку, то все косточки в ряду упадут.

            Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегреческие ученые. Однако впервые он был явно выражен 

                                                     Герсонидом в 1321 году. Характеристика 

                                                     принципа математической индукции

                                                     содержится у широко образованного

                                                     итальянского математика

                                                      ХVI века Ф.Мавролико, переводчика

                                                     Архимеда. 

                                                             В « Трактате об арифметическом  треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон образования членов этого треугольника методом математической индукции, после чего этот метод начинает постепенно привлекать внимание некоторых ученых,

 в частности ,Бернулли. Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля чисто индуктивные

 методы доказательств теряют значение

 в математике. На первый план выдвигается

 дедукция и математическая индукция. 

         Несомненно, область применения 

математической индукции возрастает, 

несмотря на это, в школьной программе 

ему отводится мало времени. Ну, скажите, 

что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит 

пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.

А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно. 

 

 

 

 

Автор
Дата добавления 07.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров2377
Номер материала 178218
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх