Инфоурок / Математика / Презентации / Исследовательская работа "Диофантовые уравнения"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Исследовательская работа "Диофантовые уравнения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Направление: Математика         Бабочиев Казбек, Кокоев Вадим   СОШ №50, 7 к...
Рассмотрим уравнения 8x-5y=13, 10а+b=2ab, x2 + y2 = z, то есть уравнения, со...
Первый по-настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный ал...
Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и...
Общий вид линейного диофантова уравнения: В частности, линейное диофантово у...
Мы могли не начинать решать задачу, если бы воспользовались теоремой: Если c...
Так как x > 0, то 5x = 112- 7y > 0, то есть 7y < 112, y < , y < 16. Выразим и...
Рассмотрим еще один способ решения данной задачи. Предположим, что нам удало...
{ Таким образом, Из последнего равенства имеем:n=0;1;2. Осталось найти x и y....
Задача 4. Пусть, например, сумма произведений даты дня рождения на 12 и номер...
12k₁=7+5y, y = = = . Т.к. y, k₁ отсюда следует, что т.е. k₁= = = . Продолжая...
Мы рассмотрели решение различных неопределённых линейных уравнений с двумя п...
12 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Направление: Математика         Бабочиев Казбек, Кокоев Вадим   СОШ №50, 7 к
Описание слайда:

Направление: Математика         Бабочиев Казбек, Кокоев Вадим   СОШ №50, 7 класс, Владикавказ  2010год VII Республиканский конкурс молодых исследователей «СТУПЕНЬ В НАУКУ»   Линейные диофантовые уравнения с двумя переменными  

№ слайда 2 Рассмотрим уравнения 8x-5y=13, 10а+b=2ab, x2 + y2 = z, то есть уравнения, со
Описание слайда:

Рассмотрим уравнения 8x-5y=13, 10а+b=2ab, x2 + y2 = z, то есть уравнения, содержащие более одного переменного. Такие уравнения называют неопределенными или диофантовыми. Названы так эти уравнения по имени греческого математика Диофанта, жившего примерно в середине III в. н. э. В своей книге “Арифметика”, которая, кстати, сохранилась до наших дней, и её можно найти в русском переводе в библиотеке, Диофант описал 189 задач на составление и решение таких уравнений. К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Например, “Сколько существует способов составления отрезка длиной 1м из отрезков длиной 7см и 12см?” или “Можно ли отвесить 28г некоторого вещества на чашечных весах, имея только четыре гири по 3г и семь гирь по 5г?” С древних времён накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в XX веке появились общие приёмы их исследования. §1. Историческая справка

№ слайда 3 Первый по-настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный ал
Описание слайда:

Первый по-настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский ученый Диофант. Известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии: Путник! Здесь прах погребен Диофанта, И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни. Часть шестую его представляло счастливое детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни — Пухом покрылся тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетье. Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына, Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, скольких лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Составив уравнение и решив его, можно узнать « сколь долг был век его жизни» и не только.. откуда х = 84. Диофант женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 и умер, прожив 84 года.

№ слайда 4 Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и
Описание слайда:

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: α (альфа), β (бета), γ (гамма), ... обозначали числа от 1 до 9; следующие девять: ι (йота), κ (каппа), ... обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: ρ (ро), σ (сигма), ... обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась черточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой — она обозначалась ς (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею Диофант и стал обозначать первую степень неизвестного, мы обычно обозначаем ее буквой х. Диофант придумал знак и для вычитания — им служила буква ψ (пси), только перевернутая, укороченная.А без знака сложения Диофант обходился довольно просто — слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений — перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. В XVII—XVIII вв. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики.

№ слайда 5 Общий вид линейного диофантова уравнения: В частности, линейное диофантово у
Описание слайда:

Общий вид линейного диофантова уравнения: В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид: ax + by =c. Задача 1. Решите в целых числах уравнение 27x - 9y =15.  Решение. Легко заметить, что разделив обе части уравнения на 3 и разложив левую часть на множители, получим уравнение, равносильное данному: 3(3x – y) =5. Так как левая часть уравнения делится на 3, а правая – нет, то уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений. §2. Линейные диофантовые уравнения с двумя переменными

№ слайда 6 Мы могли не начинать решать задачу, если бы воспользовались теоремой: Если c
Описание слайда:

Мы могли не начинать решать задачу, если бы воспользовались теоремой: Если c не делится нацело на НОД(a,b),то уравнение ax + by =c не разрешимо в целых числах. В самом деле, в данном случае НОД(27,9) = 9, но 15 не кратно 9, а значит, задача не имеет решений в целых числах. Задача 2.Можно ли разместить 718 человек в 4-х и 8–ми местных каютах, так что бы в каютах не было свободных мест? Решение: Пусть 4-х местных кают – х, а 8-ми местных – у, тогда 4х + 8у = 718. НОД(4,8) = 4, но 718 не делится на 4 без остатка, то есть нельзя. Оказывается, все просто, если знать соответствующую теорему. Ответ: нельзя. Задача3.Найдите все целые положительные значения x, y, удовлетворя-ющие уравнению 5x + 7y =112. Решение. НОД(5,7) = 1, и число 112 кратно 1, поэтому задача имеет решение.

№ слайда 7 Так как x &gt; 0, то 5x = 112- 7y &gt; 0, то есть 7y &lt; 112, y &lt; , y &lt; 16. Выразим и
Описание слайда:

Так как x > 0, то 5x = 112- 7y > 0, то есть 7y < 112, y < , y < 16. Выразим из уравнения из уравнения x: x= = = 22 – y + . Так как x - целое число, то 2 - 2y делится на 5, то есть 2(1 – y) делится на 5, но 2 и 5 взаимно простые числа. Следовательно, 1 – y делится на 5, поэтому y при делении на 5 даёт в остатке 1. Таких чисел, которые меньше 16 и дают при делении на 5 остаток 1, всего три: 1; 6; 11: если y=1 , то x= 21; если y=6 , то x= 14; если y=11 , то x= 7. Ответ: (21;1); (14;6); (7;11).

№ слайда 8 Рассмотрим еще один способ решения данной задачи. Предположим, что нам удало
Описание слайда:

Рассмотрим еще один способ решения данной задачи. Предположим, что нам удалось угадать одно решение данного уравнения. Например, (7;11). А можно ли, найдя одно решение простым подбором, записать все остальные решения? Оказывается, можно! Если пара чисел (7;11) является решением уравнения, то она обращает уравнение в верное числовое равенство. Запишем его: 5·7 + 7·11 = 112. Теперь из уравнения 5x + 7y =112 вычтем 5·7 + 7·11 = 112 и получим: 5(x- 7) + 7(y- 11) =0, или x- 7 = .   Из этого равенства видно, что x-7 будет целым, если делится на 5, т.е 11-y=5n, где n . Подставляя вместо 11-y в числитель дроби выражение 5n, получим x- 7 = 7n, или x=7+7n. Тем самым, все целые решения уравнения 5x + 7y =112 можно записать в виде: (7+7n;11-5n), где n .

№ слайда 9 { Таким образом, Из последнего равенства имеем:n=0;1;2. Осталось найти x и y.
Описание слайда:

{ Таким образом, Из последнего равенства имеем:n=0;1;2. Осталось найти x и y. При решении диофантовых уравнений таким способом могут возникнуть трудности с подбором решений, т.к., если коэффициенты при переменных не малы по модулю, то на нахождение одного решения подбором может понадобиться много времени. Возникает вопрос: “Можно ли найти другой общий метод решения линейных диофантовых уравнений?” Оказывается, можно! Такой общий метод известен с очень давних пор, и в Индии его называли методом рассеивания. Познакомимся с этим методом, решив задачу. Например, чтобы угадать число и месяц рождения вашего собеседника, Вам достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: даты дня рождения на 12 и номера месяца на 31.

№ слайда 10 Задача 4. Пусть, например, сумма произведений даты дня рождения на 12 и номер
Описание слайда:

Задача 4. Пусть, например, сумма произведений даты дня рождения на 12 и номера месяца на 31 равна 67. Найдем дату (число и месяц) рождения. Решение. Составим неопределённое уравнение по условию задачи: 12x+31y=67, где 1≤x≤31, 1≤y≤12, x, y . Решим его так называемым методом рассеивания. Выразим из уравнения x - переменную, имеющую меньший по модулю коэффициент, получим x= , x= = 5 - 3y + . Легко видеть, что x является натуральным числом, если выражение является натуральным числом, например k1, т.е. k1 = .

№ слайда 11 12k₁=7+5y, y = = = . Т.к. y, k₁ отсюда следует, что т.е. k₁= = = . Продолжая
Описание слайда:

12k₁=7+5y, y = = = . Т.к. y, k₁ отсюда следует, что т.е. k₁= = = . Продолжая тем же способом, получим k₁=2k₂+k3, где k3 = Из последнего равенства имеем: k₂=2k3-2. Это самое простое из всех рассмотренных выше неопределённых уравнений, т.к. один из коэффициентов равен 1. Выразим через k3 переменные x и y и получим x = 3 и y = 1. Ответ:3 января.

№ слайда 12 Мы рассмотрели решение различных неопределённых линейных уравнений с двумя п
Описание слайда:

Мы рассмотрели решение различных неопределённых линейных уравнений с двумя переменными. А для чего нужно уметь их решать? Где они используются? Оказывается, есть очень много увлекательных задач, математической моделью которых являются именно диофантовы уравнения, и решать такие задачи удивительно интересно. Это – задачи на нахождение определённого вида чисел, на угадывание дня рождения, на взвешивание вещества с некоторым заданным количеством гирь и другие. К решению неопределённых уравнений сводятся задачи, связанные с практикой и повседневной деятельностью человека.

Краткое описание документа:

В работе   рассмотрены  линейные уравнения , содержащие более

одного переменного. Такие уравнения называют неопределенными

или диофантовыми. Названы так эти уравнения по имени греческого

математика Диофанта, жившего примерно в середине III в. н. э. 

 Есть очень много увлекательных задач, математической моделью

которых являются именно диофантовы уравнения, и решать такие

задачи удивительно интересно. Это – задачи на нахождение

 

определённого вида чисел, на угадывание дня рождения, на

взвешивание вещества с некоторым заданным количеством гирь и

другие. 

Общая информация

Номер материала: 294139

Похожие материалы