Исследовательская работа кадета 9б класса Крылова К., научный руководитель Зевина Е.П. по теме "Золотое сечение - пропорция жизни"

  В окружающем в мире  предметы  различаются по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, содержащая  симметрию и золотое сечение, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.  В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок АВ можно разделить точкой С на две части (равные и неравные) следующими способами: а) на две равные части АВ : АC = АВ : ВC; б) на две неравные части в любом отношении АВ : АC = АC : ВC (такие части пропорции не образуют).  Последнее и есть золотое деление.

Золотое сечение - это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Такое деление отрезка со времен древних греков называется делением отрезка в крайнем и среднем отношении Пусть АВ = a, АС = x, тогда ВС = .    Пропорция АС : АВ=ВС : АС примет вид

Отсюда ,

называется числом Фидия, древнегреческого скульптора, в творениях которого часто встречается это число.

Таким образом, ,  и части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38 % всего отрезка.

На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры. Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником.  Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам. Древние математики могли прийти к «золотому сечению», исследуя  прямоугольник с соотношением сторон 2 : 1, называемый так же «двухсмежным квадратом», так как он состоит из двух квадратов. 

 А                         В

 D                         C

Если вычислить диагональ DB двухсмежного квадрата, то в соответствии с теоремой Пифагора она равна DB=.Теперь, если взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне AB, двухсмежного квадрата, мы придём к «золотой пропорции». Согласно теореме Пифагора, так как . Есть золотой треугольник  - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618. Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1,618,  1 и 0,618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.  Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре.

         Деление отрезка в пропорции золотого сечения

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка в пропорции золотого сечения осуществляется следующим образом.  Из точки С восставляется перпендикуляр СD, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится прямая до пересечения с прямой AD. BC = 1/2 AB; CD = BC. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. (Рис.1.)

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Золотое сечение – пропорция жизни.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению в геометрии,  в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, и  полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи  производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. В  Германии, Альбрехт Дюрер  подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела.  Pост  человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения, профессор Цейзинг, объявил пропорцию золотого сечения  универсальной для всех явлений природы и искусства. Он   измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.        С историей золотого сечения  связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы,  известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). В его математическом труде «Книга об абаке» (счетной доске) собраны все известные на то время задачи. Вот одна: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Решая ее, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д. Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. В этой последовательности чисел  каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618.  Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление возможно  в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали.  Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.  Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется

    спиралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Гете подчеркивал стремление природы к спиральности. Подметили  давно винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Ботаники  и математики выяснили, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, т.е действует закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Рассмотрим рост растения.  От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается,      выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс

в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. Импульсы  роста растения постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. В науке о симметрии есть понятия статическая и динамическая симметрия. Первая характеризует покой, равновесие, а вторая – движение, рост. В  природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда. Благодаря  «золотому сечению» были открыты научные факты:    пояс астероидов между Марсом и Юпитером, по пропорции там должна находиться еще одна планета;    возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «золотого деления», не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации;    на летательных аппаратах с электромагнитными  источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения».

Иоганну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: « Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. Если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем».

Золотое сечение в искусстве

            Рассмотрим пример «золотого сечения» в живописи. Леонардо да Винчи -  личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды».

         Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всём на свете». Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих, образец зеркального письма.

         Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых» треугольниках, являющихся частями правильного звёздчатого пятиугольника… Что  замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строение человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображён воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

            В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент «золотой» пропорции - «золотая» спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль «золотую» спираль или чувствовал ее.

Платоновы тела

Человек  интересуется многогранниками на протяжении всей своей жизни - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником  считается равносторонний треугольник.  Правильные многоугольники: квадрат (четыре стороны), Пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д.  Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны, и  являются правильными многоугольниками.    

  В «Началах» Евклида есть строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число граней, число вершин и число плоских углов на поверхности тела. Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел. Первое из них - это тетраэдр (1). Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Следующее тело - это гексаэдр, называемый также кубом (2). Гексаэдр имеет шесть граней, представляющих собой квадраты. Гранями октаэдра (3) являются правильные треугольники, и их число в октаэдре равно восьми.

Следующим по количеству граней является додекаэдр (4). Его гранями являются пентагоны, и их число в додекаэдре равно двенадцати. Замыкает пятерку Платоновых тел икосаэдр (5). Его гранями являются правильные треугольники, и их число равно 20.

Геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с «золотой» пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть правильные пятиугольники, основанные на «золотой» пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют Пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотая» пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с «золотой» пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через «золотую» пропорцию. В  пентаграмме, каждый луч образует так называемый «золотой» треугольник, в котором основание треугольника и его сторона находятся в золотой пропорции.

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра. Среди пяти Платоновых тел особую роль играют додекаэдр и икосаэдр. Роль этих совершенных геометрических фигур, основанных на «золотом сечении», в развитии науки настолько велика. Еще Сократ высказал предположение, что Земля имеет форму додекаэдра. Затем эта идея была развита в работах Бимона, Пуанкаре и Кислицина и привела к возникновению  теорий формы Земли, имеющих важные практические приложения в геологии. В XVII в. Иоганн Кеплер, используя «Тела Платона», построил оригинальную геометрическую модель Солнечной Системы («Космический Кубок» Кеплера).

Золотое сечение в фотографии

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.