Исследовательская работа на тему" Комплексные числа "

 

 

 

 

 

                 Научно-практическая конференция

                                        « Первые шаги в науку»

 

                         Секция « Математика»

 

                                                              Выполнил:      ученик 9 класса МБОУ

                                                                                   « Мордовско-Паевская СОШ»

                                                                                 Ерочкин Иван

                                                       Руководитель:   учитель математики

                                                                                 Кадышкина Н.В.

 

                                    г. Инсар      2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение……………………………………………………………… 

1.       История открытия комплексных чисел   ………………………… 4

            2.1. Высказывания великих учёных о комплексных числах…. 4

            2.2 О появлении комплексных чисел……………………………4

2.       Основная часть

      Определение комплексных чисел…………………………………. 8

            2.1.  Алгебраическая форма комплексного числа………………8

          2.2. Действия над комплексными числами……………………   9

   3. Решение уравнений с комплексной переменной………………… 12

   4. Понятие о комплексной плоскости……………………………….. 14 

   5.  Геометрическая форма комплексного числа…………………….. 15

   6. Тригонометрическая форма  числа……………………………….. 17

   7. Возведение в степень комплексного числа………………………. 19

8.        Показательная форма числа……………………………………… 20

9.       Где применяются комплексные числа?..........................................  21

      Заключение. Выводы……………………………………………… 23

   Список литературы…………………………………………………… 24

10.  Тест  по теме « Комплексные числа»……………………………….  25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        Введение 
В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше.  В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на  множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого  равен -1. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах.

 

    Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики  и их роль во многих разделах математики.

 

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;

2.  Систематизировать сведения о числах;

3.  Расширить числовые множества  от натуральных до комплексных, как способ

     построения  нового математического аппарата.

4.  Совершенствовать технику алгебраических преобразований.

   5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 9-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.

 

Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.

 

    Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Предмет исследования: комплексные числа.

 

Объект исследования:   формы задания комплексного числа и действия  над ними.

 

Методы исследования:

 

1. Изучение и анализ литературных источников.

2.  Решение практических задач

3. Разработать тест.

4.Опрос.

5.Анализ проделанной работы.

 

Актуальность темы.

Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для нас, учащихся. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.   

   

 

 

1.   Основная часть.

                      История открытия комплексных чисел

2.1.          Несколько высказываний знаменитых учёных о комплексных числах:

 

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа. почти что амфибия с небытиём.                               Г. Лейбниц

 

 

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”                                             Ф. Клейн.

 

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой  только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.                                                                      

Л. Карно

 

2.2.                   Появлении комплексных чисел.

 

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие учёные считали « настоящими» только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрица­тельными числами.

В математике они называются множеством действительных чисел.

Все действительные числа расположены на числовой  прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует   некоторое действительное число.

 В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицатель­ными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

            Уравнение должно иметь  три корня. При его  решении часто под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

  Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во   множестве    действительных    чисел,    имеет    решение всегда х = 5 ±, у = 5 ±, нужно только условиться действовать над такими  выражениями  по  правилам  обычной   алгебры   и   считать, что ∙ = -a. Кардано называл такие величины  «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными»,  но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли вы­пустил книгу, в которой были установлены первые правила ариф­метических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

                  Название «мнимые числа» в 1637 году было введено

            французским   математиком и философом Р. Декартом.

 

 

 А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мни­мый) для обозначения числа i = .

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.  Термин “комплексные числа” также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII – XVIII веков была построена общая  теория  корней   n-й  степени  сначала   из  отрицательных,  а впоследствии и из любых комплексных чисел.

         В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний   материальной   точки  в   сопротивляющейся среде.

        Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.    Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII – начале XIX веков было получено геометрическое    истолкование    комплексных    чисел.      Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию  комплексных чисел  соответствуют  эти  же операции над векторами.

          Геометрические истолкования  комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости,  задач теории упругости,   в теоретической электротехнике.

          Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов  и  В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.                        Определение комплексных  чисел

3.1 Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b – действительные числа,  i²= -1,

a = Re z –действительная  часть z (вещественная) (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);

 b = Im z  мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).

b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a 0, в0, то число z – мнимое (z = 37 - 6·i).

 Е сли а =0, в0,  то число z –чисто мнимое число (z = 22· i).

Если a 0, в =0, z – действительное число (z = -5).

Степени числа i:

   I ¹ = i   i ⁴ⁿ⁺¹= i;

   i ² =  - 1  i ⁴ⁿ⁺²= - 1;

   i ³ = i ² · i  i ⁴ⁿ⁺³= - i

   i ⁴ = (i ²)²  = 1 i ⁴ⁿ= 1.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая  i ²= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z₁ +Z₂=Z₂+Z₁, Z₁·Z₂=Z₂·Z₁

Сочетательное свойство:

(Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃), (Z₁·Z₂)·Z₃=Z₁·(Z₂·Z₃)

Распределительное свойство:

Z₁·(Z₂+Z₃)=Z₁·Z₂+Z₁·Z₃

1.       Числа   z = a + b·i  и  z₂ = a - b·i называются комплексно – сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются дей­ствительными    числами. 

2.       z = a + b·i  и   - z = - a - b·i  - противоположные;

сумма двух противоположных чисел равна 0  (z + ( - z) = 0)

3.       Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁·i  и  z₂ = a₂ – b₂·i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:             z ₁= z₂,    если                 

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

                      3.2 Действия над комплексными числами.                                         

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что   i ²= -1.

   Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма комплексных чисел  z₁ = a₁ + b₁·i  и  z₂ = a₂ – b₂·i  равна:
z₁ + z ₂ = ( а₁ + а₂) +(b₁+ b₂) ·  i

Пример 1

Сложить два комплексных числа z₁= 1 +3i, z₂=4-5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

             z₁ +z₂ =1 +3i +4 -5i =5 -2i

 Разность комплексных z₁ = a₁ + b₁·i  и  z₂ = a₂ – b₂·i  чисел рав­на:

          z₁ - z ₂ = ( а₁ - а₂) +(b₁ - b₂) ·  i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел z₁= -2 +i  и  z₂ = 4i -2  

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z₁ – z₂ = ( -2 + i) – (4i – 2) = -2 +I – 4i +2 = - 3i

Умножение комплексных чисел

          Произведение комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁·i  и  z₂ = a₂ – b₂·i  равно:

 z₁ · z ₂ = ( а₁ · а₂ - b₁ · b₂) +(  а₂ ·b₁  +b₂ ·а₁)  · i

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел

z₁ =1 – i,   z₂ =3 +6i

z₁·z₂ =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 –i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

  Деление комплексных чисел

Частное комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁·i  и  z₂ = a₂ – b₂·i  равно:

Пример 4.  Пусть  z₁ =13 +  i ,    z₂ =  7 – 6 i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.

Например, , , , ,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.                        Решение уравнений с комплексной переменной

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z² = a, где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:  

1) имеет один корень  z = 0,  если a = 0;

2) имеет два действительных корня  z_1,2 = ±, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

          Вообще уравнение z² = a, где a < 0 имеет два комплексных корня:  z_1,2 =±i.

          Используя равенство i² = –1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i= 2i, = i.

Итак,  определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az² + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:  

z_{1, 2} =.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x³ + px + q = 0:

.

Пример 5.    Решить квадратное уравнение 

Дискриминант:  

Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

Получаются  два корня:

 – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: , 

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени  имеет ровно  корней, часть из которых может быть комплексными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.                        Понятие о комплексной плоскости.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество  комплексных чисел принято обозначать буквой  С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

  Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые:

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отметить : ноль;   единицу по действительной оси;  мнимую единицу  по мнимой оси.

 Пример 6. Построить  на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

 

 

 Множество действительных чисел  является подмножеством множества комплексных чисел.

 

 

      6.  Геометрическая форма комплексного числа.

Слово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.

Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего – геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.

Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.

Комплексное число z = a + b·i  изображается на плоскости с  декартовыми  прямоугольными  координатами  точкой,  имеющей координаты (а; Ь). Эта  

точка      обозначается  той же буквой z. Дей­ствительные       числа изображаются   точками оси абсцисс, а чисто - мнимые – точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплекс­ной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Тригонометрическая форма комплексного числа.

Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора  на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ,

где φ – - главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, - < φ < (угол φ  между положительной полуосью действительной оси Re z  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке).                                                                                                                                                                              Тогда комплексное число можно представить в виде:

,

                                                                                                                        

 

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 7: Решение: 
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку  (случай 1), то . Таким образом:  – число  в тригонометрической форме.

Произведение и частное комплексных чисел в  тригонометрической форме

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными                                                                                                                        в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Теорема 3. Пусть z – комплексное, и  n – натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z0 – n различных значений. Если z = r(cos + i sin), то эти значения находятся по формуле

=(cos + i sin), =0,1,…, n-1.

Пример 8.        Найти произведение :           ,

 

 

 

 

8. Возведение комплексных чисел в степень

Возвести в квадрат комплексное число 

:

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как  решить пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра.

 (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

 Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

                                             ,

 где n – целое положительное число.

Пример 7.     Дано комплексное число , найти .

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

 

Тогда, по формуле Муавра:

 

 

9. Показательная форма комплексного числа

 

-формула Эйлера.

Для комплексных чисел , справедливы равенства

;

Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

Корень n-ой степени из числа z равен:

Пример:  z =8 + 6·i 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     10.  Где применяются комплексные числа?   

            В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а  иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описан­ной около  него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных 5-угольника   и 15-угольника. Несмотря на огромные усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых, никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный 9-гольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-угольника  ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз­можность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории  матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не­четным числом сторон (вершин) может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F_n =  + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял

теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума.  С помощью теории функций комплексной перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания   воды через плотины.

Комплексные числа нужны  для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

 

 

                                                         11. Заключение

        В общем, я считаю, что цель и задачи ей работы выполнены.  Я сам освоил тему. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

        К достоинствам  моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

        Я считаю  моя работа полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.

В ходе исследования я провёл несколько занятий в своём классе. Но так как в нашем классе  кроме меня всего 2  ученика, проследить повышение качества знаний не удалось, так как они занимаются хорошо. Но я рад, что все пожелали продолжение изучения данной темы в 10 классе.

Мои Выводы:

1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2.Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

3.Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 9- х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.

                           12. Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                          Тест  по теме « Комплексные числа»

 

1.            Сколько форм записи имеет комплексное число?

а) 1                           б) 2                                в) 3                       г) 4

 

2.            Что представляет собой число i?

а)число, квадрат которого равен 1

б) число, квадрат которого равен – 1

в) число, квадратный корень из которого равен – 1

г) число, квадратный корень из которого равен 1

 

3.            Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме                             б) наглядной форме

в) тригонометрической форме                     г) алгебраической форме

 

4.            Формулу   можно Эйлера  применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме                             б) наглядной форме

в) тригонометрической форме                     г) алгебраической форме

 

5.            Как на числовой плоскости изображается  комплексное число?

а)в виде отрезка                                     б) точкой или радиус-вектором

в)плоской геометрической фигурой     в) в виде круга

 

6.            Выбрать из данных чисел чисто мнимое:

а)  z =3 +6i                   б) z₂ =6i               в)z₂ =31       г) z₂ =0

7.            Вычислить сумму чисел z₁ =7 +2i и  z₂ =3 +7 i

а) z =10 +9i               б) z =4-5i          в) z =10 -5i            г)z =4 +5i

8. Представить комплексное число z =3 +4i в тригонометрической форме

а) это радиус-вектор              б) z =5(0,6 +0,8i)

в) z =3 -4i                                 г) это точка на координатной плоскости

9. В какое множество входят числа 5; 3; -6i;2,7; 2 i ?

а) действительные числа                       б) рациональные числа

в) комплексные числа                              г) иррациональные числа   

10. Кто ввёл название « мнимые числа»?

а) Декарт                          б) Арган

в) Эйлер                             г) Кардано