Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему" Комплексные числа "
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа на тему" Комплексные числа "

библиотека
материалов



hello_html_4d0710c9.gif



hello_html_758c0aa4.jpg



Научно-практическая конференция

« Первые шаги в науку»


Секция « Математика»


Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

« Мордовско-Паевская СОШ»

Ерочкин Иван

Руководитель: учитель математики

Кадышкина Н.В.


г. Инсар 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение………………………………………………………………

  1. История открытия комплексных чисел ………………………… 4

2.1. Высказывания великих учёных о комплексных числах…. 4

2.2 О появлении комплексных чисел……………………………4

  1. Основная часть

Определение комплексных чисел…………………………………. 8

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа………………8

2.2. Действия над комплексными числами…………………… 9

3. Решение уравнений с комплексной переменной………………… 12

4. Понятие о комплексной плоскости……………………………….. 14

5. Геометрическая форма комплексного числа…………………….. 15

6. Тригонометрическая форма числа……………………………….. 17

7. Возведение в степень комплексного числа………………………. 19

  1. Показательная форма числа……………………………………… 20

  2. Где применяются комплексные числа?.......................................... 21

Заключение. Выводы……………………………………………… 23

Список литературы…………………………………………………… 24

  1. Тест по теме « Комплексные числа»………………………………. 25











Введение 
В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше. В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого равен -1. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах.


Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики и их роль во многих разделах математики.


Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;

2. Систематизировать сведения о числах;

3. Расширить числовые множества  от натуральных до комплексных, как способ

построения  нового математического аппарата.

4. Совершенствовать технику алгебраических преобразований.

5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 9-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.


Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.


Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Предмет исследования: комплексные числа.



Объект исследования:   формы задания комплексного числа и действия над ними.


Методы исследования:


1. Изучение и анализ литературных источников.

2. Решение практических задач

3. Разработать тест.

4.Опрос.

5.Анализ проделанной работы.


Актуальность темы.

Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для нас, учащихся. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.



  1. Основная часть.

История открытия комплексных чисел

    1. Несколько высказываний знаменитых учёных о комплексных числах:


Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа. почти что амфибия с небытиём. Г. Лейбниц



Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.


Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно


    1. Появлении комплексных чисел.


Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие учёные считали « настоящими» только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрица­тельными числами.

В математике они называются множеством действительных чисел.

Все действительные числа расположены на числовой прямой:

hello_html_57fdad77.png

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.


В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицатель­ными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Уравнениеhello_html_m3250dfd8.gif должно иметь три корня. При его решении часто под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

hello_html_1fce8132.jpgЧтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±hello_html_m20827740.gif, у = 5 ±hello_html_m20827740.gif, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что hello_html_m26af75d8.gifhello_html_m26af75d8.gif = -a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли вы­пустил книгу, в которой были установлены первые правила ариф­метических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

hello_html_9582324.jpgНазвание «мнимые числа» в 1637 году было введено

французским математиком и философом Р. Декартом.



hello_html_m4cc806cf.jpgА в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мни­мый) для обозначения числа i = hello_html_6d809d2.gif.

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVIIXVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII – начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.















  1. Определение комплексных чисел

3.1 Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b – действительные числа, i2= -1,

a = Re zдействительная часть z (вещественная) (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);

b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).

bкоэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a hello_html_m112f7e40.gif0, вhello_html_m112f7e40.gif0, то число z – мнимое (z = 37 - 6·i).

Е сли а =0, вhello_html_m112f7e40.gif0, то число z –чисто мнимое число (z = 22· i).

Если a hello_html_m112f7e40.gif0, в =0, z – действительное число (z = -5).

Степени числа i:

I 1 = i hello_html_m272b9a6f.gif i 4n+1= i;

i 2 = - 1 hello_html_m272b9a6f.gif i 4n+2= - 1;

i 3 = i 2 · i hello_html_m272b9a6f.gif i 4n+3= - i

i 4 = (i 2)2 = 1hello_html_m272b9a6f.gifi 4n= 1.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая  i 2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3

  1. Числа zhello_html_m53d4ecad.gif = a + b·i  и z2 = a - b·i называются комплексно – сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются дей­ствительными числами. hello_html_m53d4ecad.gif

  2. z = a + b·i  и - z = - a - b·i - противоположные;

сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + ( - z) = 0)

  1. Два комплексных числа z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2b2·i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: z 1= z2, если hello_html_45b5b498.png  

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. hello_html_b9dd1c.png

3.2 Действия над комплексными числами.

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2= -1.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2b2·i равна:
z1 + z 2 = ( а1 + а2) +(b1+ b2) · i

Пример 1

Сложить два комплексных числа z1= 1 +3i, z2=4-5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

z1 +z2 =1 +3i +4 -5i =5 -2i


Разность комплексных z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2b2·i чисел рав­на:

z1 - z 2 = ( а1 - а2) +(b1 - b2) · i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел z1= -2 +i и  z2 = 4i -2 hello_html_0.gif hello_html_0.gif

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z1z2 = ( -2 + i) – (4i – 2) = -2 +I – 4i +2 = - 3i

Умножение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2b2·i равно:

z1 · z 2 = ( а1 · а2 - b1 · b2) +( а2 ·b1 +b2 ·а1) · i

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел

z1 =1 – i, z2 =3 +6i

z1·z2 =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 –i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

Деление комплексных чисел

Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2b2·i равно:
hello_html_25516402.gif

Пример 4. Пусть z1 =13 + i , z2 = 7 – 6 i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

hello_html_7094d002.png

Извлечение корней из комплексных чисел.

hello_html_m6df73ec2.png

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

hello_html_m41f83af1.png
hello_html_7be57ce5.png

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения hello_html_43fa4522.png? Выполним проверку:

hello_html_66361695.png
hello_html_m217ce549.png

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.

Например, hello_html_281f4689.pnghello_html_mfb925de.pnghello_html_m76f1aa8a.pnghello_html_17bdfe0e.pnghello_html_m6d68a4c0.png 



































  1. Решение уравнений с комплексной переменной

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = ±hello_html_m5600141a.gif, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Вообще уравнение z2 = a, где a < 0 имеет два комплексных корня: z1,2hello_html_m5600141a.gifi.

Используя равенство i2 = –1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: hello_html_m2ac71e86.gif= i, hello_html_4ceadca9.gif= ihello_html_7a6be40f.gif= 2i, hello_html_18276ba9.gif= ihello_html_78b3e969.gif.

Итак, hello_html_2b56dc21.gif определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az2 + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

z1, 2 =hello_html_3159bc72.gif.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x3 + px + q = 0:

hello_html_m34b8c11f.gif.

Пример 5. Решить квадратное уравнение hello_html_m65efb7ff.png

Дискриминант: hello_html_5beafac4.png

Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
hello_html_2445627c.png

Получаются два корня:
hello_html_55c0bb9b.png
hello_html_19a1d93b.png – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение hello_html_m65efb7ff.png имеет два сопряженных комплексных корня: hello_html_m15f6d94e.pnghello_html_5955fd82.png

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени hello_html_m4ebdc628.png имеет ровно hello_html_1cead6f1.png корней, часть из которых может быть комплексными.



































  1. Понятие о комплексной плоскости.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество  комплексных чисел принято обозначать буквой  С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые:

hello_html_m3cf106b6.png

hello_html_m2e0f6e9f.pnghello_html_7aa44384.png

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отметить : ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу hello_html_0.gif по мнимой оси.

hello_html_2ac08e70.pngПример 6. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

hello_html_6e99dd7a.gif








 Множество действительных чисел hello_html_0.gif является подмножеством множества комплексных чисел.



6. Геометрическая форма комплексного числа.

Сhello_html_m23db36d3.pngлово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.

Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего – геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.

Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.

Комплексное число z = a + b·i  изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а; Ь). Эта

точка обозначается той же буквой z. Дей­ствительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто - мнимые – точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплекс­ной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма hello_html_6daa64bd.png

Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:

hello_html_4c213726.png













7hello_html_m55fbd09.gif.Тригонометрическая форма комплексного числа.

hello_html_4ddb7436.png

Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора hello_html_ma6249dc.gif на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равнаhello_html_5fb1aaf6.gif. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ,

где φhello_html_26852f3.gif- главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, - hello_html_m264c0141.gif< φ <hello_html_m264c0141.gif (угол φ  между положительной полуосью действительной оси Re z  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке). Тогда комплексное число можно представить hello_html_m7ce8efef.gifв виде:

hello_html_m612b75d4.png,

hello_html_22b3feed.gif


Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 7: Решение: 
Представим в тригонометрической форме число hello_html_5227c3e8.png. Найдем его модуль и аргумент. hello_html_m1e219f0.png. Поскольку hello_html_m176e3a11.png (случай 1), то hello_html_m4b00456f.png. Таким образом: hello_html_1c326de4.png – число hello_html_m40063862.png в тригонометрической форме.

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической формеhello_html_4c71a260.gifhello_html_2c8c842e.gif, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

hello_html_3a4a16dc.gif

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

hello_html_67934474.gif

Теорема 3. Пусть z – комплексное, и n – натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение hello_html_463f4b78.gifпри z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при zhello_html_3750bfcb.gif0 – n различных значений. Если z = r(coshello_html_6f95504e.gif + i sinhello_html_6f95504e.gif), то эти значения находятся по формуле

hello_html_463f4b78.gif=hello_html_d901e0b.gifhello_html_m2f2b4b05.gif(coshello_html_7e076d14.gif + i sinhello_html_7e076d14.gif), hello_html_m6994a4e1.gif=0,1,…, n-1.

Пример 8. Найти произведение : hello_html_5c4ce338.png, hello_html_3b6e0d31.png

hello_html_m5e1ab913.png





8. Возведение комплексных чисел в степень

Возвести в квадрат комплексное число hello_html_m37877949.png

hello_html_m72ebd71f.png:
hello_html_43825b92.png

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
hello_html_m33c2b1fb.png. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как решить пример вроде hello_html_33f40d07.png?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра.

hello_html_m7917d928.jpg(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

hello_html_78ec187c.png

В общем случае получим:

hello_html_1a92029e.png,

 где n целое положительное число.

Пример 7. Дано комплексное число hello_html_1aeda584.png, найти hello_html_m60bbb2ac.png.

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

hello_html_5b1d5cf5.png 

Тогда, по формуле Муавра:
hello_html_21c9994e.png





9. Показательная форма комплексного числа

hello_html_2e3b6d3d.gif

hello_html_4dd9e839.gif-формула Эйлера.

Для комплексных чисел hello_html_6937b93e.gif,hello_html_me216d53.gif справедливы равенства

hello_html_m7a8d74f0.gif;

Для n-ой степени числа z справедливо равенство: hello_html_m16bbbf0a.gif

Корень n-ой степени из числа z равен:

hello_html_m5d6c04e7.gif

Пример: zhello_html_m53d4ecad.gif =8 + 6·i 

hello_html_m18427e4c.gif





















10. Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описан­ной около него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных 5-угольника и 15-угольника. Несмотря на огромные усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых, никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный 9-гольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз­можность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не­четным числом сторон (вершин) может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn = hello_html_2b0ad541.png + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5 будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял

теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума. С помощью теории функций комплексной перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны  для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.





11. Заключение

В общем, я считаю, что цель и задачи ей работы выполнены. Я сам освоил тему. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

К достоинствам моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

Я считаю моя работа полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.

В ходе исследования я провёл несколько занятий в своём классе. Но так как в нашем классе кроме меня всего 2 ученика, проследить повышение качества знаний не удалось, так как они занимаются хорошо. Но я рад, что все пожелали продолжение изучения данной темы в 10 классе.

Мои Выводы:

1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2.Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

3.Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 9- х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.

hello_html_m53d4ecad.gif12. Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.


























Тест по теме « Комплексные числа»


  1. Сколько форм записи имеет комплексное число?

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4


  1. Что представляет собой число i?

а)число, квадрат которого равен 1

б) число, квадрат которого равен – 1

в) число, квадратный корень из которого равен – 1

г) число, квадратный корень из которого равен 1


  1. Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме б) наглядной форме

в) тригонометрической форме г) алгебраической форме


  1. Формулу можно Эйлера применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме б) наглядной форме

в) тригонометрической форме г) алгебраической форме


  1. Как на числовой плоскости изображается комплексное число?

а)в виде отрезка б) точкой или радиус-вектором

в)плоской геометрической фигурой в) в виде круга


  1. Выбрать из данных чисел чисто мнимое:

а) z =3 +6i б) z2 =6i в)z2 =31 г) z2 =0

  1. Вычислить сумму чисел z1 =7 +2i и z2 =3 +7 i

а) z =10 +9i б) z =4-5i в) z =10 -5i г)z =4 +5i

8. Представить комплексное число z =3 +4i в тригонометрической форме

а) это радиус-вектор б) z =5(0,6 +0,8i)

в) z =3 -4i г) это точка на координатной плоскости

9. В какое множество входят числа 5; 3; -6i;2,7; 2 i ?

а) действительные числа б) рациональные числа

в) комплексные числа г) иррациональные числа

10. Кто ввёл название « мнимые числа»?

а) Декарт б) Арган

в) Эйлер г) Кардано



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше.  В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на  множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого  равен -1. 

Автор
Дата добавления 11.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2095
Номер материала 282052
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх