Исследовательская работа по математике "Это удивительное и загадочное число пи"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследовательская работа по теме:

 «Это удивительное и загадочное число ¶»

 

 

 

 

 

 

 

                                             Работу выполнила:

                                                               ученица 6 класса

                                                                           МАОУСОШ д.Б.Боры

                                                           Алексеева Оксана

 

                                                                Руководитель:

                                                                 Воронина А.М.,

                                                                            классный руководитель,

                                                                     учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         2012 г.

 

 

Актуальность проблемы:

 

Число π  встречается в 6 классе при изучении темы «Длина окружности» и  в различных формулах математики, вызывает интерес своей «загадочностью»,  является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается и в других школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

 

 

 

 

Цель и задачи исследования:

·        Узнать о числе π   как можно больше, донести до сведения других учащихся.

 

 

·            Познакомиться с историей этого числа;

 

·           Узнать, сколько знаков имеет после запятой число π;

 

·           В каких науках нашло применение это число.

 

·        Выяснить, есть ли День рождения у числа  пи.

 

·          Выявление его роли в жизни.

 

·         Выявление интересных фактов о числе π.

 

·         Найти способы запоминания числа;

 

 

·        Число Пи вокруг нас;

 

Этапы проекта:

 

Подготовительный: январь – февраль,

основной: март,

подведение итогов: апрель

 

Объект исследования:   Число «пи».

 

 

 

 

 

Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число  π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.

 

                                                            Кымпан Ф.

Введение

         После того как мы изучили тему «Длина окружности» по математике, где я впервые встретилась с числом π, мне стало интересно, а что с этим числом связано еще? Мой опрос старшеклассников показал, что они очень мало знают об этом числе: 50% - ничего не могли сказать о числе пи; 40% знают значение 3,14 и лишь 10% могли объяснить, что это бесконечная непериодическая дробь, которая может быть выражена обыкновенной дробью 22/7. Так же учащиеся, вошедшие в 10% , сумели назвать связь числа пи с формулами геометрии и тригонометрии. Анализ проведенного опроса так же послужил причиной выбора темы моего исследования (приложение 1).

 

Свое знакомство с числом π я начала с определения:

ЧИСЛО Пи – отношение длины окружности к ее диаметру, – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято обозначать греческой буквой π (от «perijereia» – окружность, периферия). Это обозначение стало употребительным после работы Леонарда Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено Уильямом Джонсом (1675–1749) в 1706. Как и всякое иррациональное число, оно представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:

Пи = 3,141592653589793238462643…

 

Мои вычисления числа Пи, используя определение

(экспериментальная работа)

1.     Предмет – пластиковая бутылка

     С =22,5 см,   D=6,5 см   π=22.5/6.5=3.4615384…

2. Кастрюля.

     С=62,5 см,  D=20 см,   π=62,5/20=3,125….

3.     Предмет – стакан.

С=18,5 см,   D=5,5 см,     π=18.5/5,5=3,363636363636363636….

4.     Ведро

С=78,8 см,      D=25см,     π=78,8/25=3,152…

5.     Скотч

С=28см,  D=8,9 см,   π=28/8,9=3, 1460674157303…

 

Наиболее точный расчет в эксперименте №5.

 

Из истории числа π

Нужды практических расчетов, относящихся к окружностям и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для π  приближений с помощью рациональных чисел. Сведения о том, что окружность ровно втрое длиннее диаметра, находятся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение числа π есть и в тексте Библии: «И сделал литое из меди море, – от края до края его десять локтей, – совсем круглое, вышиною в пять локтей, и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом». Так же считали и древние китайцы. Но уже во 2 тыс. до н.э. древние египтяне пользовались более точным значением числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d: S = πR²

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение 3,1605. Папирус Райнда, найденный в 1858, назван так по имени его первого владельца, его переписал писец Ахмес около 1650 до н.э., автор же оригинала неизвестен, установлено только, что текст создавался во второй половине 19 в. до н.э. Хотя каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В так называемом Московском папирусе, который был переписан неким учеником между 1800 и 1600 до н.э. с более древнего текста, примерно 1900 до н.э., есть еще одна интересная задача о вычислении поверхности корзины «с отверстием 4½». Неизвестно, какой формы была корзина, но все исследователи сходятся во мнении, что и здесь для числа π берется то же самое приближенное значение.

В 3 в. до н.э. Архимед в сочинении  «Об измерении круга» вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников– от 6- до 96-угольника. Таким образом он установил, что число p находится между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,14084 < p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (3,14166) нашел знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), однако оно не вошло в употребление.

 

Индийцы и арабы полагали, что Пи = корень квадратный из 10-ти. Это значение приводит так же и индийский математик Брахмагупта (598 – ок. 660). В Китае ученые в 3 в. использовали значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда, но во второй половине 5 в. Цзу Чун Чжи (ок. 430 – ок. 501) получил для p приближение 355/113 (Пи » 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом только в 1585 г. Это приближение дает ошибку лишь в седьмом десятичном знаке.

Поиски более точного приближения p продолжались и в дальнейшем. Например, персидский математик аль-Каши (первая половина 15 в.) в Трактате об окружности (1427) вычислил 17 десятичных знаков Пи. В Европе такое же значение было найдено в 1597 году. Для этого ему пришлось вычислять сторону правильного 800 335 168-угольника. Нидерландский ученый Лудольф Ван Цейлен (1540–1610) нашел для него 32 правильных десятичных знака (опубликовано посмертно в 1615), это приближение называется лудольфовым числом.

Число Пи появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф.Виета (1540–1603) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к тому же числу пи. В связи с этим в определении числа пи принимали участие почти все известные математики: Ф.Виет, Х.Гюйгенс, Дж.Валлис, Г.В.Лейбниц, Л.Эйлер. Они получали различные выражения для числа пи в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.

В каждой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю вычисления и уточнения значения числа "пи". Сначала, в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и Эпоху Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение "пи" до 40 знаков после десятичной точки, а к началу Эпохи компьютеров усилиями многих энтузиастов количество знаков было доведено до 500. Такая точность имеет чисто научный интерес (об этом ниже), для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру "пи" после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать "пи" с четырнадцатью знаками после точки. Среднее расстояние от Солнца до Плутона - самой

далекой планеты Солнечной системы - в 40 раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца. Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков "пи". Да что уж там мелочиться - диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XXVII веке были получены 34 знака "пи", избыточные для таких расстояний. В чем же сложность вычисления значения "пи"? Дело в том, что оно не только иррациональное (то есть его нельзя выразить в виде дроби P/Q, где P и Q целые числа), но оно еще не может быть корнем алгебраического уравнения. Число, например, иррациональное, не может быть представлено отношением целых чисел, но оно является корнем уравнения Х2-2=0, а для чисел "пи" и е (постоянная Эйлера), нельзя указать такое алгебраическое (не дифференциальное) уравнение. Такие числа называются трансцендентными и вычисляются рассмотрением какого-либо процесса и уточняются за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Самый “простой” путь - вписывать в окружность правильный многоугольник и вычислять отношение периметра многоугольника к его “радиусу”. При увеличении числа сторон это отношение будет стремиться к удвоенному "пи". Так, например, в 1593 году Адриан ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т.е. 230) сторонами и определил 15 знаков "пи". В 1596 году Лудольф ван Цейлен получил 20 знаков, рассчитав вписанный многоугольник с 60*233 сторонами. Еще один путь вычислителей "пи" - через формулы с бесконечным числом членов: "пи"=2*(2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7) "пи"=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-….).

                         

Сколько же знаков у числа пи после запятой?

 

Как я уже отметила, Пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Число пи невозможно представить в виде обыкновенной десятичное дроби: дробь получается бесконечной, и в распределении цифр после запятой нет никакой закономерности. С загадочным постоянством оно вылезает в самых неожиданных местах. Например, отношение истинной длины реки от истока до устья по прямой примерно равно… правильно, 3,14.

На протяжении всей истории изучения числа пи, вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа.

 

 

 

 •         Леонардо Фибоначчи (около 1220г.) - три первых точных знака числа

 

 •         Андриан Антонис - 6 точных десятичных знаков (в XVI в.);

 

 •         Цзу Чун-чжи (Китай) – 7 десятичных знаков (V в.н.э.);

 

 •         Франсуа Виет – 9 десятичных знаков;

 

 •         Андриан ван Ромен – 15 десятичных знаков (1593г.);

 

 •         аль-Каши – 17 знаков после запятой (XV в.)

 

 •         Лудольф ван Цейлену – 32 десятичных знаков (1596г.);

 

 •         Авраам Шарп – 72 десятичных знаков

 

 •         Джон Мечин – 100 десятичных знаков (1706 г.)

 

 •         З. Дазе – 200 десятичных знаков (1844г.)

 

 •         Т. Клаузен – 248 десятичных знаков (1847г.)

 

В сентябре 2010 года Николас Чже из технологической компании «Yahoo» смог определить 2 000 000 000 000 000 цифр Пи после запятой — два квадриллиона знаков. Если бы эта работа велась на одном компьютере, она потребовала бы 500 с лишним лет. Но Чже использовал технологию так называемых облачных вычислений «Hadoop» — было задействовано «облако» из тысячи компьютеров одновременно. И даже при этом как калькуляцию ушло 23 дня.

Однако, и cам Homo sapiens не желает уступать «железу» в гонке по развитию информационных технологий. Если не в вычислении самого числа Пи, то хотя бы в запоминании его. Краткая сводка рекордной погони за «хвостом» числа Пи выглядит так.

1995 — японец Хирюки Гото сумел назвать по памяти 42 195 знаков после запятой.

2004 — еще один представитель Страны восходящего солнца, 59-летний Акира Харагучи, поднял эту планку до 54-тысячных.

2005 — все тот же неугомонный Акира Харагучи запомнил число Пи с точностью до 83 431 цифры после запятой.

2005 — китаец Чао Лю чуть-чуть не дотянул до рекорда своего восточного соседа: 67 890 знаков уместились в голове Лю.

А теперь предлагаю всем прикоснуться к вершине достижения человеческого разума, впитавшего знания, энтузиазм и судьбы тысяч математиков-вычислителей за последние 4000 лет и, ощущая трепет, рассмотреть первые 1000 знаков числа "пи".

 "пи" = 3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899   8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502   8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

 

А знаете ли Вы?

 

 •         Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени.(Книга рекордов Гиннесса).

Зачем они это делают?

 

 1)      Для очень точных вычислений какой-нибудь орбиты спутника желательно иметь этих знаков побольше, а то можно и на Луну не попасть. Также для строительства плотин и гигантских мостов тоже нужна точность.

2)       Это число имеет  собственную научную ценность. В процессе вычислений этих знаков было открыто множество разных научных методов и

наук.

3)      В десятичной части числа π нет повторений,  а число знаков после запятой у него – бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа π  повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще

 

Число π в науках

Алгебра:  π - иррациональное и трансцендентное число.

 

 •         Тригонометрия: радианное измерение углов.

 

 •         Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

 

 •         Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

 

 •         Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.

 

 •         Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

 

•                 Кроме этого, в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике и     многих др.

 

День рождения числа  π

День числа пи отмечается любителями математики 14 марта в 1:59:26.

Этот неофициальный праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу (Larry Shaw), который подметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 — и время 1:59:26 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,1415926….

 Обычно празднуют в 1:59:26 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы считают, что в этот момент время 13:59, и предпочитают отмечать ночью.

В это время читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без π, пекут и едят «пи-рог» («pie») с изображением греческой буквы «пи» или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи», решают математические головоломки и загадки, водят хороводы вокруг предметов, связанных с этим числом.

Примечательно, что в этот же день родился Альберт Эйнштейн — создатель теории относительности.

Празднуют и день приближённого значения π — 22 июля (22/7).

 

Смешное и удивительное о числе π

 

•         В Индиане в соответствии с законом число π равно 4, а не 3, 1415…

•         В 2005 году певица Кейт Буш выпустила песню « Пи». В ней прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141… Хотя Кейт Буш вряд ли примут в клуб фанатов Пи. В ее песне неправильно названо 25-е число последовательности, да и потом исчезли куда-то целых 22 числа.

•         Существуют и Пи-клубы, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о числе Пи и пытаются разгадать его тайну.

•         Рекорд запоминания числа Пи принадлежит украинцу Андрею Слюсарчуку, который запомнил 30 миллионов знаков числа после запятой. Поскольку простое перечисление этого заняло бы целый год, то судьи проверяли Слюсарчука следующим образом - они просили его назвать произвольные последовательности числа Пи с любого из 30 миллионов знака. Сверялся ответ по 20-томной распечатке.

•         В 1998 году режиссером Дарреном Арновски был снят психологический триллер, который так и назывался - "Pi ".В фильме рассказывается про таланливого математика, который пытался найти и расшифровать универсальный цифровой код, согласно которому изменяются все биржевые сводки.

 

Способы запоминания числа Пи.

 

  Есть несколько забавных способов запомнить число Пи точнее, чем просто 3,14. Например, выучив следующее четверостишие, можно без труда назвать семь десятичных знаков p:

Нужно только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

(С.Бобров Волшебный двурог)

 

 

Для запоминания можно использовать приведённые ниже запоминалки. Для восстановления числа нужно подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку:

Что  я знаю о кругах (5 знаков)

 

 

 

Это я знаю и помню прекрасно:

 Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

 Доверимся знаньям громадным

 Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 знак!)

 

Вот и Миша и Анюта прибежали

 Пи узнать число они желали.

 

Вот и знаю я число, именуемое "пи". Молодец! (7 цифр)

 

Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать. (13 цифр)

 

Раз у Коли и Арины

 Распороли мы перины.

 Белый пух летал, кружился,

 Куражился, замирал,

 Ублажился,

 Нам же дал

 Головную боль старух.

 Ух, опасен пуха дух!

 

Следующая запоминалка верна, только если пользоваться орфографией до 1917 года, т.е. если не забыть про твёрдые знаки.

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знаетъ!

 

 

 

Несколько разновидностей стихотворения для запоминания числа Пи

Чтобы нам не ошибиться,

 Нужно правильно прочесть:

 Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девяносто два и шесть

 

 

Нужно только постараться,

 И запомнить все, как есть:

 Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девяносто два и шесть.

 

 

Если очень постараться,

 Можно сразу пи прочесть:

 Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девяносто два и шесть.

 

 

Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девять, два, шесть, пять, три, пять.

 Чтоб наукой заниматься,

 Это каждый должен знать.

 

 

Можно просто постараться

 И почаще повторять:

 "Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девять, двадцать шесть и пять."

 

 

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять

 Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть

 Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два

 Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один.

 

 

Вывод

 

 В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков. Я постараюсь донести интерес к числу π до своих одноклассников и каждый раз, сталкиваясь с этим загадочным знаком, помнить, сколько таится в нем еще неизвестного…