Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Исследовательская работа по математике "Лист Мёбиуса"ю
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа по математике "Лист Мёбиуса"ю

библиотека
материалов

Школьная научно-практическая конференция учащихся


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
« Верхнехавская средняя общеобразовательная школа № 1»

Верхнехавского муниципального района

Воронежской области




Секция «Математика»


« ЛИСТ МЁБИУСА»



Исследовательская работа

обучающейся 8 «А» класса

Меркушовой Анастасии

Руководитель :Борзакова Юлия

Петровна, учитель математики






2013 г.

Содержание:


1.Введение

1) Загадочная фигура.

2) Памятники фигуре.

3)Название фигуры.

2.Основная часть

1) Историческая справка.

2) Изготовление листа Мёбиуса.

3) Опыты с листом Мёбиуса, его свойства.

4)Применение листа Мёбиуса

3.Заключение

4.Список используемой литературы

5.Диск с презентацией


`












Эту загадочную фигуру, о которой я сегодня хочу рассказать , часто изображают на эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета МГУ

hello_html_624207ae.jpg

Её используют в логотипах и торговых марках, яркий пример – международный символ повторно использования (переработки)

hello_html_m68fac380.jpghello_html_m664bbc34.gif

Во многих странах есть памятники этой фигуре:


hello_html_m3e02b4f2.jpg

Памятник во Франкфурте- на –Майне (Германия)

hello_html_m77b21769.jpg

Памятник в Минске (Беларусь)


Скульптурная композиция перед Центральной научной библиотекой имени Якуба Коласа Изящная металлическая лента закреплена на массивном основании в виде камня-валуна. Вершину конструкции венчает отполированный до зеркального блеска шар.  Памятник ленте Мёбиуса в Минске был открыт 22 января 2009 года к восьмидесятилетнему юбилею Национальной академии наук Беларуси. Авторы проекта – специалисты научно-производственного объединения «Центр».

hello_html_m17a78996.jpg


Памятник в Москве около кинотеатра «Горизонт»


hello_html_m7cd6539a.jpg

Скульптура, украшающая окрестности здания центра физических исследований в американском штате Иллинойс.



hello_html_m1b5d1765.jpg

Невероятный проект новой библиотеки в Астане (Казахстан)


В Казахстане прошел конкурс на создание архитектурного облика здания Национальной библиотеки, которую планируют построить в столице государства Астане. Архитекторы-победители из датского бюро Bjarke Ingels Group предложили футуристический проект здания площадью 33 тыс. кв. м в форме ленты Мёбиуса.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс. Его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена данная фигура.

hello_html_6ef09027.gif


И огромные памятники ,и крохотная марка- это своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу ,профессору Лейпцигского университета. А наша фигура называется лента или лист Мёбиуса.

17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. В 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро. На пороге комнаты появилась жена, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было редкостью, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” 

Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К. Ф.  Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф.  Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,  — в 1862 году. Так часто бывает – одна и та же яркая идея появляется у разных людей примерно в одно и то же время. Это значит, что пришла пора для этого открытия. Возможно, кто-то и гораздо раньше догадывался перекрутить и склеить полоску бумаги. Но именно Мёбиус и Листинг впервые обратили внимание многих на этот удивительный объект и описали его свойства.

Пора и нам познакомиться с этим маленьким математическим чудом.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона.  Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера),  — две стороны. Например, поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона – наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то оно при этом непременно должно пересечь ту или иную границу. Чтобы убедиться, что у листа Мёбиуса только одна сторона, давайте изготовим модель листа Мёбиуса.


hello_html_m5e1ce5e2.jpg

Запасёмся несколькими листами обычной белой бумаги, клеем и ножницами . Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим лист Мёбиуса -знаменитое в математике перекрученное кольцо.

Существует два типа лент Мёбиуса .Это зависит от направления закручивания – левые и правые, то есть развернутые по часовой стрелке и против.


hello_html_756c51be.png



hello_html_1fa0c0c1.jpg


Легко убедиться, что у ленты Мёбиуса только одна сторона

hello_html_40eba088.jpg


Отметьте любую точку на этом перекрученном кольце на равных расстояниях от краёв. Проводите линию вдоль по кольцу, не отрывая ручки от бумаги . Линия должна всё время

идти посередине между краями полоски. Как это ни удивительно, вы постепенно нарисуете линию вдоль всего кольца (с обеих сторон бывшей полоски) и вернётесь в исходную точку.


hello_html_3264d738.jpg


"Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

Если начнём постепенно окрашивать лист Мёбиуса в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то по завершении работы, вы обнаружим , что весь он полностью окрашен.



hello_html_7b219902.jpg


Пересекать край при этом не потребуется. Кстати, и край у нашего листа только один – если посадить на него гусеницу, она сможет проползти по всему краю листа и вернуться в исходную точку. Вы можете проследить путешествие человека по листу Мёбиуса на рисунках.


hello_html_408447be.jpghello_html_m2e92aadb.png



Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Он преподнесет вам сюрприз, если вы попытаетесь его разрезать. Разрежем лист по центральной линии.

hello_html_m6f835c9c.jpg


Что у нас получилось? Вместо того, чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску, вдвое больше закрученную, чем лента Мёбиуса. Получилась лента, которую фокусники называют «афганская лента».


hello_html_2bba7f57.jpg


Если разрезать новую ленту Мёбиуса на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним поменьше.


hello_html_3b151903.jpghello_html_m4e8cbbaa.jpg



Занесем результаты экспериментов в таблицу.

Число перекручиваний

Результат разрезания

Свойства

0

2 кольца

Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже, имеет 2 границы.

1

1 кольцо

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, имеет одну границу.

2

2 кольца

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже.


Можно ставить еще немало экспериментов по разрезанию листа Мёбиуса и получить другие интересные комбинации.


hello_html_3d67e2fa.png

Лист Мёбиуса в форме трилистника


Интересные свойства ленты привлекли внимание математиков и фокусников.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность

Лист Мёбиуса -один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. hello_html_690ba430.jpg

Топология изучает  свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву.

Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах голландского художника ,неистощимого выдумщика Мориса Эшера (1898-1972). Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.


hello_html_400dbea9.png
















Морис Эшер оставил много рисунков с изображением листа Мёбиуса. Его рисунки часто использовались для иллюстраций в фантастических произведениях.

hello_html_m3964e9bc.jpg


Таинственный лист Мёбиуса, который появился в 1858 году,

повлиял не только на математиков, но и

на художников, скульпторов, архитекторов и многих,

многих, многих… В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Можно встретить множество настольных композиций ленты Мёбиуса.



hello_html_m3996533.jpghello_html_7ab88987.jpg


hello_html_2c155b45.jpghello_html_2f1d1751.jpg






Не обошли своим вниманием знаменитый лист Мёбиуса и ювелиры.


hello_html_m7ffed7b0.jpghello_html_3db64460.jpg




hello_html_3a48a1e9.jpghello_html_m6509cc8f.jpghello_html_m192f226c.jpg


Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера.






hello_html_m195232fc.jpg hello_html_m74b8987e.jpg

hello_html_m11bc9422.jpg hello_html_m46cbca1b.jpg


Иногда научно - фантастические рассказы (вслед

за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная

может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики.



hello_html_m5293d807.jpghello_html_m779eb58b.jpg


Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

С лентой Мебиуса встречаемся мы и в быту.

Так например, лист Мёбиуса нашел применение и в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).


hello_html_1a4a03e8.jpghello_html_47a282ee.jpg


hello_html_612a865b.jpg



  Если оригинально раскроить ткань, то свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной

промышленности. А можно лист Мёбиуса и связать.



hello_html_m49cc4e67.jpghello_html_32cf7383.jpg


hello_html_m7c3e5daf.jpg



На фотографии мы видим футболку с аппликацией.

На аппликации ,знакомый нам, лист Мёбиуса.


hello_html_m7cd48044.gif







Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно


hello_html_m74af6467.jpg


. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретенный€ электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале 1900-ых, патент US#512,340. Катушка для Электромагнитов предназначалась для использования в его системе глобальной передачи электричества без проводов.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том,что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников и учеников.

Интерес к листу Мебиуса не угасает, хотя лист Мёбиуса был открыт очень давно. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма «Лист Мёбиуса и его модификации» Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса.

Многие поэты посвящают стихи листу Мёбиуса- уникальной односторонней поверхности. Вот одно из них.


Стихотворение « Лист Мёбиуса» ,написала Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,

По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.


Лист Мёбиуса обладает удивительными свойствами и находит применение этих свойств в жизни. Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам. Мне были очень интересны свойства ленты Мёбиуса, о которых я узнала, проделывая опыты. Я узнала и рассказала лишь о некоторых свойствах этой маленькой загадочной фигуры, и я надеюсь, что кого-то заинтересовал мой рассказ и он продолжит исследования этого чуда.








Список используемых источников и литературы

1.В.А.Гусев и др. «Внеклсная работа по математике в 6-8 классах.под редакцией С.И. Шварцбурда. М., «Просвещение»,2006г

2. «Лист Мёбиуса», журнал для любознательных «Квантик»,№1 январь 2012г,стр.16

3.Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/




Краткое описание документа:

Ежегодно в нашей школе проходит научная конференция учащихся.Здесь можно услышать и увидеть очень много интересного. В 2012-2013 учебном году моя ученица тоже выступила с докладом ,тема которого "Лист Мёбиуса".Мы с Настей (в то время она училась в 8 классе) тчательно готовились к конференции.Изучили свойства данной топологической фигуры,проделали опыты,которые показали удивительные результаты.Ведь оказалось,что у ленты (листа) Мёбиуса всего лишь одна сторона.Мы узнали,что эта фигура представляет интерес и для художников,и для ученых,и для ювелиров,и для фокусников.Во многих городах мира открыты памятники этой фигуре,а ее изображение можно встретить на значках и почтовых марках.Наши труды не пропали,Настя заняла  1 место в своей возрастной группе.

Автор
Дата добавления 29.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров706
Номер материала 349880
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх