Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ «Математика и эстетика»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ «Математика и эстетика»



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:






Министерство образования и науки Республики Тыва

МООУ «Санаторная школа-интернат» с.Шуй

Бай-Тайгинского кожууна













ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Математика и эстетика»



Белова Шенне Дугар-ооловна

9 класс




с. Шуй

2011 г.


Директор школы: Сангаа

Арина

Арапчоровна


Адрес школы: 668012,Республика Тыва,

Бай-Тайгинский кожуун,

С.Шуй,ул. Манчурек,д 12


Автор работы: Белова Шенне Дугар-ооловна,

668012,Республика Тыва,

Бай-Тайгинский кожуун,

С.Шуй,ул. Тиилелге ,д.7


Руководитель работы: Доржу Байлак Салчаковна






















Аннотация

Исследовательская работа проблемно-реферативного вида посвящена обнаружению взаимосвязи между математикой и эстетикой. В ней рассматривается этапы становления математики и эстетики, открытия Пифагора, повлиявшие на развитие эстетической математики ( золотые пропорции в пентаграмме). Также изучен фундаментальный принцип симметрии, на котором построен союз математики и эстетики. Охарактеризованы современные тенденции развития взаимосвязи математики и эстетики через трансдисциплинарную науку – синергетику.



Руководитель работы : /Доржу Б.С./















Содержание


Введение 5

1 Становление математики и эстетики 7

2 Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики 8

3 Математика и эстетика на современном этапе 13

Заключение 20

Терминологический словарь 21

Список использованных источников 22

















Введение

Союз математики и эстетики заявил о себе за­долго до появления и математики, и эстетики. Многочисленные образцы неолитических и даже палеолитических орнаментов, разбросанные по всему миру являются свидетельством данного факта. Безупречная математическая симметрия неоли­тических орнаментов, равно как и их чарующая эстетическая привлекательность не оставляют сомнений в том, что математика и эстетика шли рука об руку уже с доисторических времен. Не случайно неолитическими орнаментами начина­ются и книги по истории математики, и эн­циклопедии по истории искусств. Собранные вместе в книге югославского математика и искус­ствоведа С. Яблана и проанализированные им методами теоретико-группового анализа, эти ор­наменты поражают не только эстетическим изя­ществом рисунка, но и математической глубиною заложенных в них симметричных свойств.

Египетские пирамиды входят в семь чудес света. Сорок веков смотрят на нас с высоты этих пирамид, вызывая трепетное ощущение величия, вечности, мудрости, покоя и красоты. Но не только молчаливое величие, но и совер­шенство формы привлекает нас в пирамидах. Что на самом деле являют собой пирамиды - эстетически безупречное надгробие, возвеличивающее в веках фараона, или математическую энцикло­педию, прославляющую мудрость их создателя? Прочувствованы путем сердца или рассчитаны путем мысли пирамиды? Случайны или необхо­димы сокрытые в них важнейшие математичес­кие константы?

В эпоху древних цивилизаций (не говоря уж о доцивилизационных периодах неоли­та и палеолита) ни математики, ни эстетики еще не существовало. Но поистине удивительно, что рождение математики и эстетики отмечено бес­спорными признаками видимой фазы их союза.

Актуальность работы обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.

Цель работы: изучить взаимосвязь математики и эстетики.

Задачи:

  1. Рассмотреть становление математики и эстетики;

  2. Обозначить открытия Пифагора, явившееся частью развитие эстетической математики;

  3. Определить взаимосвязь математики и эстетики на современном этапе.

Объект исследования: математика и эстетика.

Предмет исследования: математическая симметрия и эстетическая привлекательность.

Гипотеза: если изучить происхождение математики и эстетики, свойства, их определяющие, можно обнаружить их взаимосвязь.

Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды отечественных и зарубежных ученых и практиков, статьи периодических изданий.

Методы исследования - изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.











1 Становление математики и эстетики


Оhello_html_m67d06ce6.png времени и причинах рождения математики высказывается известный историк математики Д.Стройк: «Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма — ма­тематика, которая ставила не только восточный вопрос «как?», но и современный вопрос «поче­му?» И хотя античная традиция «отцом геометрии» называет милетского философа Фалеса, сегодня мы можем уверенно утверждать, что математика как дедуктивная наука началась с самосского мудреца Пифагора (ок. 570 - ок. 500 до н.э.). Заметим, что другой «науки», кроме ма­тематики, античность и не знала.

Рождение эстетики в принципе справедливо от­нести к этому же времени - VI -V вв. до н.э., хотя с эстетикой дело обстоит несколько сложнее. Формально днем рождения эстетики считается 1735 г. - год, когда двадцатилетний Александр Баумгартен защитил на латыни свою магистер­скую диссертацию. Следуя учению Лейбница о трех основных духовных ипостасях человека - разуме, воле и чувстве, Баумгартен заметил, что должны существовать и три ветви философии, изучающие их. Науки о законах движения разума (логика) и нравственных установках воли (этика) заложил еще Аристотель. А вот науку о законах чувственного познания - теорию чувствовании - основал Баумгартен и назвал ее эстетикой (греч. - чувствующий). Естественно, что «чув­ство прекрасного» - осмысление особого ценно­стного качества «первой» и «второй» природы, именуемого красотой, становится главным пред­метом эстетики. Поэтому вслед за Гегелем, ска­завшим, что предметом эстетики является «об­ширное царство прекрасного», эстетику часто называют философией красоты или философией искусства как главного вместилища красоты.

Сегодня принято различать два периода существования эстетики - «неявный» и «явный» или имплицитный и эксплицитный. В «Эстетике» В.В.Бычкова мы чита­ем: «С первыми следами значимого осознания эстетического опыта мы встречаемся у пифаго­рейцев - учеников и последователей Пифагора».

Таким образом, мнение исследователей едино: математика и эстетика начинаются с Пифагора. Но еще более замечательным являет­ся то, что с самого начала своего пути математи­ка и эстетика заявили о своем явном «экспли­цитном» союзе.


2 Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики

Согласно античной традиции, сам Пи­фагор установил, что две струны издают благо­звучное гармоничное созвучие (консонанс) лишь в случае, когда их длины относятся как целые числа первой четверки: 1 : 2 (октава), 2 : 3 (квинта) и 3 : 4 (кварта). Это открытие было названо законом консонансов.


hello_html_m7a1e259.jpg


Закон консонансов впервые облекал в математическую форму физическое явление - звучание струны. Он впервые указы­вал на существование числовых закономерностей в природе и послужил отправной точкой в разви­тии пифагорейской философии. Недаром день, когда Пифагор открыл закон консонансов, немец­кий физик А.Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики. Закон кон­сонансов также впервые открывал эвристические свойства математики и служил первым убедитель­ным свидетельством красоты и гармонии миро­здания, мудрой простоты и целесообразности природы, построенной на единых математичес­ких принципах.

Но закон консонансов стал и выдающимся за­коном эстетики. Он впервые указывал, что гар­мония, красота, благозвучие также определяются числом. Причем не просто числом, а простейшей четверкой натуральных чисел 1,2,3,4, которая была названа пифагорейцами четверицей — тетрактис - и почиталась ими как божественное откровение. Так что день открытия Пифагором закона консонансов с полным правом можно назвать и днем рождения экспериментальной эс­тетики. Знание математических законов строе­ния консонансов открывало дорогу к построению музыкальной шкалы - пифагоровой гаммы - и всей пифагорейской теории музыки.

Однако величие Пифагора состояло не только в том, что он открыл закон консонансов, но и сумел оценить его подлинное мировоззренческое значение. Не только «земная» музыка есть гармо­ния и число, но и все мироздание имеет прекрас­ное, простое и ясное математическое устройство, весь мир есть гармония и число. Так пифагорейцы пришли к своему знаменитому принципу: все есть число. Так мироздание получило имя космос, что по-гречески означает порядок и прекрасное устрой­ство.

Мhello_html_88cf0e5.jpgатематико-эстетический тезис Пифагора о гармоничном и математическом устройстве ми­роздания имеет непреходящее значение. Идеи Пифагора вскоре были подхвачены Платоном и сформулированы им в виде важнейшего методо­логического принципа науки - принципа матема­тизации науки.

Но не менее значимой и непреходящей явля­ется и эстетическая сторона идей Пифагора о гармонии мироздания. Мысль о красоте, просто­те и гармонии мироздания проходит путеводной нитью по всей истории науки. Не случайно вели­кий физик современности Альберт Эйнштейн писал: «Без веры во внутреннюю гармонию на­шего мира не могло бы быть никакой науки. Эта вера есть и всегда останется основным мотивом всякого научного творчества».



Вhello_html_24ea0dc4.jpgторым математико-эстетическим открытием Пифагора является нахождение золотых пропор­ций в пентаграмме. Пря­мых свидетельств о том, что пифагорейцы откры­ли золотые пропорции в пентаграмме, нет. Одна­ко косвенных указаний достаточно.

Во-первых, пифагорейцы боготворили пента­грамму и выбрали ее в качестве символа привет­ствия, пожелания здравствования и тайного опознавательного знака. Во-вторых, пентаграмма об­ладает всеми видами «древних средних», извест­ных пифагорейцам, - это арифметическое, гео­метрическое и гармоническое среднее - и есть основания считать, что пифагорейцы знали это. В-третьих, - и это самое главное - любые два соседних отрезка пентаграммы относятся в золо­той пропорции или, как говорили греки, в край­нем и среднем отношениях.

Рассмотрение в пентаграмме любой пары по­добных треугольников с отношением сходствен­ных сторон

hello_html_m7014b2c0.gif

приводит к квад­ратному уравнению

х2 = а(а - х),

которое пифагорейцы легко решали методом «приложения площадей». Решение последнего уравнения и дает

hello_html_7911d666.gif

или число φ, которое сегодня благодаря Леонардо да Винчи мы называем коэффициентом золотого сечения.

Способы построения правильного пятиуголь­ника (а значит, и пентаграммы) и деления отрез­ка прямой в крайнем и среднем отношениях как строго научные факты известны сегодня из «На­чал» Евклида (кн. IV, пр. 11 и кн. VI, пр. 30 соот­ветственно). Хотя Евклид и жил на 200 лет позже Пифагора, все историки математики единодуш­ны в том, что эти знания восходят к школе Пи­фагора.

По всей вероятности от пифагорейцев золотые пропорции пентаграммы перешли и в греческое искусство. Известно, что прослав­ленный скульптор V в. до н.э. Поликлет, тесно связанный с пифагорейцами, написал теоретиче­ский трактат о числовых пропорциях в скульпту­ре и создал статую «Дорифор» как практическое воплощение своей теории. Трактат Поликлета не сохранился, но «Дорифор», именуемый также «Канон», дошел до нас в римских копиях.

Тщательные измерения «Канона» показывают, что единственным правилом, заложенным в нем, могут быть пропорции золотого сечения, а не известные античные системы модульного пропорционирования. Но пропорции золотого сече­ния присущи даже человеку, как, впро­чем, и большинству живых форм на Земле. На связь золотых про­порций пентаграммы и золотых пропорций чело­века указывает следующее. Древние знали, что че­ловек с максимально раскинутыми руками и но­гами вписывается в окружность с центром в пупе человека, при этом сам человек становится очень похож на пентаграмму. В то же время пуп чело­века является и ключевой точкой в построении золотых пропорций человека. «Это весьма нема­ловажное обстоятельство способно наводить на большие размышления, - пишет выдающийся знаток античности А.Ф.Лосев - и хотя точных данных к такому пониманию числовой природы канона Поликлета не имеется, все же вероятность его огромна и эстетическая значимость его почти очевидна». Так что знаменитый витрувианский человек Леонардо из галереи Ака­демии Венеции восходит не только к Витрувию, но, возможно, и к Поликлету и даже самому Пифагору.

Ученик Пла­тона Аристотель в «Метафизике» пишет: «...за­блуждаются те, кто утверждает, что математика ничего не говорит о прекрасном или благом. На самом же деле она говорит прежде всего о нем и выявляет его. Ведь если она не называет его по имени, а выявляет его свойства и отношения, то это не значит, что она не говорит о нем. А важней­шие виды прекрасного - это слаженность, сораз­мерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их».

Хотя средневековье и в религии, и в искусстве явилось антиподом античности, оно продолжило пифагорейскую традицию в онтологии красоты. И на рассвете средневековья один из отцов церк­ви Блаженный Августин в трактате «О музыке» выступил последовательным пифагорейцем во взглядах на природу красоты: «Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия пре­исполнено определенных чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспоря­дочные». И через 1000 лет, на закате средневековья, «последний схоласт» Фома Аквиант в «Сумме теологии» писал: «Красота заклю­чается в должной пропорции: ведь ощущение на­слаждается вещами, обладающими должной про­порцией, как ему подобными, поскольку и ощу­щение есть некое разумение, как и всякая позна­вательная способность вообще». За­метим, что в утверждении «ощущение есть некое разумение» Фома зорко разглядывает неразрыв­ность правополушарного и левополушарного спо­собов познания действительности.

Эпоха Возрож­дения, провозгласившая себя духовным преемни­ком античности, возродила пифагорейский союз математики и эстетики. С наи­большей ясностью это сделал первый в череде универсальных гениев Возрождения Леон Баттиста Альберти: «Красота есть строгая соразмерен­ная гармония всех частей, объединяемых тем, чему они принадлежат, - такая, что ни приба­вить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав хуже. Великая это и божественная вещь, осуществление которой требует всех сил искусст­ва и дарования, и редко когда даже самой приро­де дано произвести на свет что-нибудь вполне законченное и во всех отношениях совершен­ное...»

В 1202 г. итальянский купец Леонардо Пизанский более известный по прозвищу Фибоначчи в «Книге об абаке» впервые смоделировал и решил задачу о развитии популяции кроликов. Рост по­пуляции кроликов описывается знаменитым ря­дом Фибоначчи, который строится по рекуррент­ной формуле hello_html_m538a3fc4.gif:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Легко заметить, что отношения первых чисел ряда Фибоначчи 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5 есть не что иное, как числовые значения важнейших консонансов примы, октавы, квинты, большой сексты (обращение малой терции 6:5) и малой сексты (обращение большой терции 5:4) соот­ветственно. Также можно обнаружить, что чем больше номер п в отношении двух соседних чисел Фибоначчи, тем ближе это отношение к коэффициенту золотого сечения. Наконец, с помощью разложения числа Ф в цепную дробь получим, что

hello_html_5e67bd6d.gif

Так было установлено единство между важней­шими эстетически значимыми пропорциями.

Еще через 300 лет в 1509 г. францисканский монах Лука Пачоли в трактате «Divina Proportione» назвал деление отрезка в крайнем и среднем от­ношении Sectio divina - божественной пропорци­ей. Пачоли рассмотрел тринадцать свойств боже­ственной пропорции, называя их эпитетами са­мых превосходных степеней, и по существу про­возгласил божественную пропорцию непререка­емым каноном красоты. Друг Пачоли Леонардо да Винчи сделал 60 рисунков к трактату, что в немалой степени способствовало успеху тракта­та, хотя и предпочитал называть пифагорейскую пропорцию Sectio aurea - золотое сечение.

И еще через 300 лет, в середине XIX в., с выхо­дом в свет труда А.Цейзинга «Новое учение о про­порциях человеческого тела», золотое сече­ние предстало как основной морфологический закон природы и искусства. Эстетико-математическая система Цейзинга может быть сведена к трем основным положениям: золотое сечение гос­подствует в искусстве; золотое сечение господст­вует в природе; золотое сечение господствует в искусстве именно потому, что оно господствует в природе. Так по прошествии двух тысячелетий вновь зазвучал Аристотелев тезис о подражании искусства природе.

Итак, Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.


3 Математика и эстетика на современном этапе


Естественно, что XX в., который помимо про­чих определений может быть назван и веком ма­тематизации науки, принес немало доказательств союза математики и эстетики. К числу фундамен­тальных принципов, на которых строится этот союз, следует отнести принцип симметрии. Если эстетическая мощь симметрии была использована, начиная с эпохи неолита, то сам принцип симметрии был обозначен только в XX в. Именно в XX в. стало понятно, что принцип симметрии фактически лежит в основе всего мироздания.

hello_html_3e64b884.jpg

Математический аппарат рационального ос­мысления симметрии был заложен Эваристом Галуа 30 мая 1832 г. в ночь перед дуэлью, на ко­торой он был убит в возрасте 21 года. Но только по прошествии без малого 100 лет теория групп Галуа становится мощным инструментом анали­за свойств симметрии. В 1918 г. Эмми Нётер до­казала знаменитую теорему о соответствии каж­дому виду симметрии своего закона сохранения. В середине XX в. американские физики Цзундао Ли и Чжень-нин Янг (1958), а затем Юджин Виг-нер (1963) получили Нобелевские премии за от­крытие фундаментальных законов симметрии атомного ядра. В это же время Джеймс Уотсон, Фрэнсис Крик и Морис Уилкинсон (1962) полу­чили Нобелевскую премию за установление мо­лекулярной структуры нуклеиновых кислот - открытие знаменитой симметричной структуры двойной спирали молекулы ДНК. И в это же время с помощью мощных телескопов были от­крыты спиральные галактики, так что спираль­ная симметрия стала известна повсюду - от ми­кро- до макрокосмоса. В конце XX в. С.В.Петуховым законы симметрии были обнаружены в структуре генетического кода. Симметрия стала пониматься как важнейший закон гармонии ми­роздания.

Таким образом, к концу XX в. в полной мере сбылись пророческие слова В.И.Вернадского, ска­занные им в 20-е гг. XX в.: «Принцип симметрии в XX в. охватил и охватывает все новые области. Из области материи он проник в область энер­гии, из области кристаллографии, физики твер­дого вещества он вошел в область химии, в об­ласть молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплек­сов мире электрона и ему подчинены будут явле­ния квантов.

hello_html_m7b23c3d1.jpg

hello_html_m5c8e01c4.jpg


Симметрия стала важнейшим компонентом всей научной культуры. Не меньшую роль идея симметрии играет и во всей истории художественной культу­ры. Как отмечал выдающийся математик XX в. Герман Вейль, «симметрия... является той идеей, посредством которой человек на протяжении ве­ков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Постичь порядок и красоту мироздания - это путь идеи симметрии в науке. Создать красоту и совершенство - это смысл жизни идеи симметрии в искусстве.

Таким образом, идея симметрии для человека носит архетипический характер. От «видимой глазом» при­родной симметрии до «видимой разумом» науч­ной концепции - таков путь идеи симметрии в культуре. Именно архетип симметрии перефор­мирует в сознании человека идею гармонии ми­роздания, которое именно по этой причине и было названо древними греками космосом.

Космология вообще взросла на почве идеи сим­метрии. Идея сим­метрии, как способ достижения гармонии и со­вершенства, привела Пифагора к верной гипотезе о шарообразности Земли и круговых траекториях планетных орбит, так как только шар и окружность обладают центральной симметрией беско­нечного порядка, т.е. в высшей степени совер­шенны. Так же и Платон только из эстетических соображений, т.е. из соображений симметрии, объявил атомы четырех стихий правильными многогранниками и по существу предвосхитил законы симметрии микромира. По-видимому, то же триединство гармонии - симметрии - совершен­ства подсказало Резерфорду планетарную модель атома. Таким образом, на всех этапах развития научной культуры эстетическое содержание сим­метрии придавало этой идее и мощный эвристи­ческий потенциал.

Конец XX века знаменовался стремительным взлетом новой трансдисциплинарной науки, названной синергетикой. Важной особенностью синергетики с самого ее зарождения выступила универсальность, установление удивительных аналогий в поведении различных систем, изучаемых различными науками. Это свойство синергетики отмечал ее основатель Г.Хакен: «В течение длительного времени казалось, что в науке появляется все большее и большее количество дисциплин и что вообще не существует объединяющего принципа. Однако в последние два десятилетия эта тенденция изменилась. Предпринимается ряд попыток навести мосты между различными науками. Синергетику можно рассматривать как один из таких мостов»

В синергетике происходит стирание границы между наукой и искусством, между естественными и гуманитарными науками, между поведением человека и природы. Именно синергетика открывает новый союз математики и эстетики.

Очень поэтично (что характерно для больших ученых и еще раз указывает на союз эстетики и математики) говорит об этом сам Пригожин: «Ученые поняли, что идеализированные ситуации не преподнесут им универсальной отмычки; точные науки вновь, наконец, должны стать естествознанием со всем богатством его оттенков, о чем сегодня просто забыть. Отныне перед исследователями стоит проблема, которая прежде считалась прерогативой гуманитарных наук, - проблема необходимого диалога со всем предшествующим знанием по каждому вопросу и предмету». И далее: «Любая наука становится ныне наукой гуманитарной, наукой, созданной людьми для людей. Она находится сейчас в состоянии поэтического подслушивания природы».

И еще одно направление становится сегодня основой союза математики и эстетики. В середине XX в. возникает еще одна математическая концепция, связанная с именами Н.Винера, Дж.фон Неймана, К.Шеннона и др., которая вводит в рассмотрение новую координату – информацию. Без теории информации немыслима современная компьютерная культура. Но теория информации позволяет сделать и важный шаг на пути сближения научно-технической и гуманитарно-художественной культур. Источником информации в науке является внешний мир и его наблюдение ученым; источником информации в искусстве является внутренний мир и фантазия художника.

Теоретико-информационный подход к изучению культуры и искусства сегодня успегно развивается в работах Г.А.Голицына, В.М.Петрова, В.П.Рыжова и уже позволил авторам получить ряд новых нетривиальных и конструктивных результатов. Укажем на некоторые из них.

Принцип максимума информации, который Г.Голицын и В.Петров выдвигают в качестве основного постулата своей теории, позволил В.Петрову объяснить знаменитые опыты Г.Фехнера об эстетическом предпочтении человеком формата золотого сечения, то есть прямоугольника с отношением сторон 1,618. С этих опытов в конце 19 в. началась экспериментальная эстетика. Но в опытах Фехнера испытуемым предлагались «чистые» формы – равномерно окрашенные прямоугольники, не несущие никакой информации, кроме отношения сторон. Если же прямоугольник становится картиной, то художники отдают эстетические предпочтения совсем иным формат с отношением сторон 1,3. теоретико-информационный подход позволил В.Петрову объяснить и этот феномен.

Г.Голицын отводит принципу максимума информации главенствующую роль вариационного принципа – единственного принципа, из которого выводится вся теория, все законы теории, все основополагающие константы теории и т.д. В качестве первого шага Голицын выводит из принципа максимума информации важнейшие эстетические константы – коэффициент золотого сечения и основные консонансы музыкальных тонов. Таким образом, впервые в своей двухтысячелетней истории закон золотого сечения выводится не индуктивным (эмпирическим) путем, а дедуктивным (теоретическим) способом. В терминах теории информации закон золотого сечения получает обобщенную трактовку, а именно: отношение золотого сечения доставляет наблюдателю максимум информации при минимуме затрачиваемых ресурсов.

Следует заметить что после эпохи Ренессанса, Пачоли и Леонардо, XX век можно назвать веком «постнеклассического ренессанса» золотого сечения. В ХХ в. закон золотого сечения получает огромное число поразительных эмпирических доказательств и приложений в самых различных областях знания.

Например, в 1974 г. оксфордский астрофизик и математик Роджер Пенроуз изобрел способ квазипериодического покрытия плоскости с помощью двух типов ромбов, имеющих пропорции золотого сечения: «толстого» ромба со сторонами 1 и большой диагональю Ф и «тонкого» ромба со сторонами 1 и малой диагональную hello_html_6f95504e.gif. Покрытие Пенроуза образует изящную квазипериодическую структуру, тяготяющую к пентагональной симметрии. При больших площадях покрытия отношение «толстых» и «тонких» ромбов стремится к числу Ф. Разумеется, и «толстые» и «тонкие» ромбы как фигуры с пропорциями золотого сечения содержатся в пифагорейской пентаграмме.

Позже японский физик Ясунари Ватанаба предложил компьютерный алгоритм по раскраске решеток Пенроуза и, выбирая различные гаммы цветов, создал изящный календарь из 12 месяцев года – прекрасный образец соединения математики и эстетики. Свой календарь Ватанаба демонстрировал в 1996 г. на Международной конференции «Математика и искусство» в г.Суздале.

В 1976 г. Роббер Амман обобщил двумерную задачу Пенроуза на трехмерный случай и нашел трехмерные квазипериодические покрытия пространства «толстыми» и «тонкими» ромбоэдрами. Однако и двумерные, и трехмерные квазипериодические покрытия, по признанию самого астрофизика Пенроуза, оставались не более чем математическими развлечениями, изящной игрой эстетствующего ума математиков.

Каково же было изумление и Пенроуза, и Аммана, и всей научной общественности, когда через 10 лет, в 1984 г., израильский материаловед Дан Шехтман открыл квазипериодические структуры, очень похожие на решетки Пенроуза-Амманна в аллюминиево-марганцевом сплаве. Эти структуры, названные квазикристаллами, представляли собой непериодические структуры, основанные на пентагональной и икосаэдрической симметрии, и в силу этого были пронизаны пропорциями золотого сечения по все направлениям. Открытие Шехтмана буквально перевернуло современную кристаллографию, так как всегда считалось, что симметрия пятого порядка может встречаться только в живой природе и в мире кристаллов в принципе невозможна.

С тех пор как в 1754 г. швейцарский натуралист Шарль Бонне обнаружил, что расположение листьев на стебле описывается числами Фибоначчи, учение о филлотаксисе (листорасположении) стало едва ли не первой попыткой внедрения математических методов биологии. За 250 лет истории филлотаксиса сделано немало открытий, хотя до сего времени нет теории, объясняющей, например, законы расположения семечек в розетке подсолнуха, причины возникновения в ней «левых» и «правых» спиралей, число которых равно двум соседним числам Фибоначчи (а отношение, следовательно, числу Ф) и т.д. Новым шагом в теории филлотаксиса стало открытие украинским ученым О.Боднаром закона преобразования спиральных биосимметрий, который является убедительным подтверждением гипотезы В.И.Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.

Симметрия в окружающем мире часто воспринимается как прекрасное, эстетическое. Она заложена в самом основании мироздания в микрокосмосе частицам противостоит их зеркальное отражение - античастицы. Симметрия - фундаментальное свойство мироздания - повторяется и в листке дерева, и в строении тела животных и человека. Осваивая мир, люди сообразуют свою деятельность с его свойствами, выходя благодаря этой деятельности в сферу свободы. В ходе человеческой деятельности рождается красота как способность действительности стать объектом освоения и потому быть значимой для человечества и в результате освоения стать сферой свободы.

Таким образом, эстетическая роль математики состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, полезность, удовольствие и др.).

Математизация сфер общества – характерная черта нашей эпохи. Математика широко используется как в традиционных областях (физика, биология, экономика и др.), но и в нетрадиционных областях (история, лингвистика, психология, социология и др.). Математизация (часто, - с информатизацией) - существенный фактор наведения и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность таких явлений, но и в их качественную сущность.


Заключение


Согласно мнению многих исследователей математика и эстетика начинаются с Пифагора. С самого начала своего пути математи­ка и эстетика заявили о своем явном «экспли­цитном» союзе.

Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.

Эстетическая роль математики состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, полезность, удовольствие и др.).

Математизация сфер общества – характерная черта нашей эпохи. Математика широко используется как в традиционных областях), но и в нетрадиционных областях (история, лингвистика, психология, социология и др.). Математизация - существенный фактор наведения и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность таких явлений, но и в их качественную сущность.

Таким образом, выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в ходе исследования.










Терминологический словарь


Золотое сечение (правило золотого деления, божественная пропорция) - термин был введен Леонардо да Винчи. Эстетический смысл золотого сечения раскрывается в гармоничной уравновешенности, красоте строгих пропорций (в пропорциях человеческого тела, живописи и т. д.).

Математика (греч. mathematike, от máthema - знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Пентаграмма (греч. pentágrammoni от pénte - пять и gramma - линия), правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты

Симметрия - в широком смысле - неизменность структуры, свойств, формы материального объекта относительно изменений ряда физических условий.

Синергетика - междисциплинарное направление научных исследований, задачей которого является познание принципов самоорганизации различных систем.

Фибоначчи числа - элементы числовой возвратной последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (ряда Фибоначчи), в которых каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Эстетика (от греч. aisthetikos — чувствующий, чувственный), философская наука, изучающая два взаимосвязанных круга явлений: сферу эстетического как специфическое проявление ценностного отношения человека к миру и сферу художественной деятельности людей.






Список использованных источников


  1. Волошинов, А.В. Союз математики и эстетики / А.В.Волошинов // Математика в школе. - №7. – 2006. – С.62-68

  2. Волошинов, А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты / А.В. Волошинов. – М.: Просвещение, 1993 г.

  3. Лосев, А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика / А.Ф. Лосев. –М.: Высшая школа, 1963.

  4. Хакен Г. Синергетика как мост между естественными и социальными науками / Г.Хакен // Синергетическая парадигма. Человек и общество в условиях нестабильности. – М.: Прогресс-Традиция, 2003.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

 

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Математика и эстетика»Аннотация

Исследовательская работа проблемно-реферативного вида посвящена обнаружению взаимосвязи между математикой и эстетикой. В ней рассматривается этапы становления математики и эстетики, открытия Пифагора, повлиявшие на развитие эстетической математики ( золотые пропорции в пентаграмме). Также изучен фундаментальный принцип симметрии, на котором построен союз математики и эстетики. Охарактеризованы современные тенденции развития взаимосвязи математики и эстетики через трансдисциплинарную науку – синергетику.

 

 

Руководитель работы :                                           /Доржу Б.С./

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение                                                                                                               5

1 Становление математики и эстетики                                                                 7

2 Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики               8

3 Математика и эстетика на современном этапе                                               13

Заключение                                                                                                         20

Терминологический словарь                                                                             21

Список использованных источников                                                                22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Союз математики и эстетики заявил о себе за­долго до появления и математики, и эстетики. Многочисленные образцы неолитических и даже палеолитических орнаментов, разбросанные по всему миру являются свидетельством данного факта. Безупречная математическая симметрия неоли­тических орнаментов, равно как и их чарующая эстетическая привлекательность не оставляют сомнений в том, что математика и эстетика шли рука об руку уже с доисторических времен. Не случайно неолитическими орнаментами начина­ются и книги по истории математики, и эн­циклопедии по истории искусств. Собранные вместе в книге югославского математика и искус­ствоведа С. Яблана и проанализированные им методами теоретико-группового анализа, эти ор­наменты поражают не только эстетическим изя­ществом рисунка, но и математической глубиною заложенных в них симметричных свойств.

Египетские пирамиды входят в семь чудес света. Сорок веков смотрят на нас с высоты этих пирамид, вызывая трепетное ощущение величия, вечности,  мудрости, покоя и красоты. Но не только молчаливое величие, но и совер­шенство формы привлекает нас в пирамидах. Что на самом деле являют собой пирамиды - эстетически безупречное надгробие, возвеличивающее в веках фараона, или математическую энцикло­педию, прославляющую мудрость их создателя? Прочувствованы путем сердца или рассчитаны путем мысли пирамиды? Случайны или необхо­димы сокрытые в них важнейшие математичес­кие константы?

В эпоху древних цивилизаций (не говоря уж о доцивилизационных периодах неоли­та и палеолита) ни математики, ни эстетики еще не существовало. Но поистине удивительно, что рождение математики и эстетики отмечено бес­спорными признаками видимой фазы их союза.

Актуальность работы обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.

Цель работы: изучить взаимосвязь математики и эстетики.

Задачи:

1.     Рассмотреть становление математики и эстетики;

2.     Обозначить открытия Пифагора, явившееся частью развитие эстетической математики;

3.     Определить взаимосвязь математики и эстетики на современном этапе.

Объект исследования: математика и эстетика.

Предмет исследования: математическая симметрия и эстетическая привлекательность.

Гипотеза: если изучить происхождение математики 

 

Автор
Дата добавления 11.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров262
Номер материала 436864
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх