Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа «Решение задач по геометрии методом дополнительных построений»

Исследовательская работа «Решение задач по геометрии методом дополнительных построений»

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Объект исследования: стереометрические задачи по геометрии

Предмет исследования: геометрия

Цель исследования: выявление способа, позволяющего решать задачи нетрадиционным методом.

Задачи:

  1. Изучить литературу по теме исследования.

  2. Проанализировать способы решения задач и выбрать более эффективный.

  3. Для каждой фигуры найти рациональный метод построения.

  4. Показать практическое применение данного метода.

  5. Подобрать примеры для решения задач предложенным мной методом.





























Содержание: стр.

  1. Введение…………………………………………………………..... 3

  2. Основная часть

    1. Классификация дополнительных построений……………………4-21

    2. Практическое применение приёма метода дополнительных построений………………………………………………………….22-30

    3. Задачи на доказательство………………………………………….31-32

    4. Задачи на вычисление……………………………………………...33-35

  3. Заключение…………………………………………………………..36

  4. Список использованной литературы……………………………….37































Введение.

В геометрии существуют задачи к которым традиционные методы(методы геометрических треугольников, векторный метод, метод равных треугольников) или не применимы, или дают сложные и громоздкие решения. При решении задач такого вида помогает введение в чертёж дополнительных линий или проведение дополнительных построений. В таких задачах это единственный способ её решения. Так как чертёж данной в задаче фигуры можно достроить до фигуры другого типа, то всегда с многоугольной фигурой можно связать окружность и можно на чертеже выделить равные и подобные фигуры.

Суть данного метода дополнительных построений заключается в том, что чертёж и задача, на котором трудно заметить связь между данными и искомыми величинами, дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся очевидными.

Анализ решений задач показал, что для каждой фигуры существуют характерные признаки, которые можно классифицировать. Предлагаю классификацию, которую мне удалось выделить для некоторых фигур.

























Классификация дополнительных построений.

  1. Если в треугольнике задана медиана, то его можно достроить до параллелограмма, где основание медианы это точка пересечения диагоналей.





hello_html_m189ae5aa.png



















  1. Если в треугольнике создан отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание отрезка проводим прямую параллельную стороне треугольника.

МN ‖ АВ или прямую параллельную АС

hello_html_m7a14da9e.pngВ результате данного построения получаются подобные треугольники ΔАВС~ ΔМNС или по теореме Фалеса получаются пропорциональные отрезки:

hello_html_4e6f351b.gif = hello_html_53bfc696.gif



что позволяет определить неизвестные стороны треугольника. Если АМ – медиана Δ АВС, тогда N всегда будет серединой отрезка АС.













  1. Если в треугольнике задана медиана и отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание медианы проводим прямую, параллельную данному отрезку.

hello_html_m7cd2a937.png

1) Δ АДК ~ Δ АМN

hello_html_7093be54.gif= hello_html_m57614eb6.gif

  1. ДК – средняя линия Δ ВNС

3)NK= KC, К – середина NC















  1. Если в треугольнике заданы два отрезка, проведённых из разных вершин, то проводится а) через основание одного отрезка прямая, параллельная другому отрезку

hello_html_m212ac24a.png

Δ АКД ~ Δ АNЕ

Δ NEC ~ Δ ВДС

б) прямая, проходящая через вершину треугольника параллельная стороне до пересечения с прямой, содержащей один из отрезков

hello_html_21c71ae7.png





  1. Если в треугольнике задан отрезок, проведённый из вершины до противоположной стороны и отрезок, соединяющий две другие стороны, но не параллелен его стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит отрезок.

hello_html_m46b6ba2e.png



Δ ANP ~ Δ NBK

Δ ANO ~ Δ NBK

Δ AEO ~ Δ EMK













  1. Если в треугольнике задан отрезок с концами на его сторонах и если продолжение этого отрезка пересекает прямую, содержащую третью сторону треугольника, то:

а) продолжаем отрезок до пресечения с прямой, проведённой через вершину треугольника параллельно третьей стороне.

б) проводим прямую, параллельную одной из сторон до пересечения с другой стороной.

а) hello_html_3857f65.png

Δ МАР ~ Δ РВЕ

б) hello_html_2685e66c.png

Δ МАР ~ Δ МNК

Δ АВС ~ Δ КNС

























  1. Если дан прямоугольный треугольник, то он достраивается до равнобедренного треугольника, в котором один из катетов данного треугольника становится высотой ( медианой и биссектрисой), а другой – половиной основания.

hello_html_fb8ac7a.png

























  1. Если дана трапеция, то её диагональ или боковая сторона переносятся на вектор, определяемый одним из оснований.



hello_html_m5cc9597b.png























  1. Если в треугольнике, параллелограмме или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертёж вводится ромб, две стороны которого направлены по сторонам данной фигуры, а эта биссектриса является одной из диагоналей.

hello_html_a6023f2.png

hello_html_m28f69567.png







hello_html_259df928.png



























  1. Если в треугольнике, параллелограмма или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертёж вводится треугольник, одна из сторон которого содержит эту биссектрису, вторая совпадает со стороной исходной фигуры, а третья либо параллельна другой стороне этой фигуры, либо получается при её продолжении.

hello_html_237bb367.png







hello_html_m7d2e4f46.png





hello_html_m35a662d0.png















  1. Если дана трапеция, то посредством продолжения боковых сторон она достраивается до треугольника.

Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы.

Если дан четырёхугольник, у которого суммы противоположных углов равны, то вокруг него описывается окружность.







hello_html_m4b112ba8.png

hello_html_m683007a5.png

hello_html_4151a02e.png











  1. Если в треугольнике заданы биссектриса и медиана или биссектриса и серединный перпендикуляр, проведённые к одной и той же стороне, то около треугольника описывается окружность, а биссектриса продолжается до пересечения с нею.

hello_html_m6ac6d375.png























  1. Если даны две окружности разных радиусов с общей касательной, то через центр меньшей окружности проводится прямая, параллельная данной касательной, до пересечения с радиусом большей окружности, идущим в точку касания, или с его продолжением.

hello_html_19edaa8c.png



hello_html_61619754.png







  1. Если даны две окружности с общей внешней касательной, касающиеся друг друга внешним образом, то в рассмотрение вводится треугольник, вершинами которого служат три точки касания данных фигур.

hello_html_m1247ef09.png























Практическое применение метода дополнительных построений.

Задача 1.

Две стороны треугольника равны 10см и 15см, угол между ними равен 600. Найти длину биссектрисы, проведённой из данного угла.

hello_html_m5ef42967.png

Дано: Δ АВС

АВ= 10см

АВ = 15см

< А = 600

Найти: АМ

Решение:

проведём MN ‖ АВ

< ВАМ = < MAN = < AMN = 300

Δ ANM – равнобедренный

AN = x, NC = 15 – x

Δ ABC ~ Δ NMC,

NC : АС = MN : АВ

(15 – х) : 15 = х : 10

10( 15 – х) = 15х

х = 6

AN = NC = 6

< ANM = 1800 – 600 =1200

По теореме косинусов:

АМ2 = AN2 + NM2 – 2 ∙ AN ∙ NM ∙ cos 1200

АМ2 = 36 + 36 – 2 ∙ 36 ∙ cos 1200

АМ2 = 72 + 2 ∙ 36 ∙ cos 600

АМ2 = 72 + 36 = 108

АМ = √108

Ответ: √108





























Задача 2.

В треугольнике АВС высота АМ равна медиане BN. Найти < NBC.

hello_html_mc718023.png

Дано: Δ АВС

АМ = BN

Найти: < NBC

Решение:

проведём NK ‖ AM

AN = NC, AMNK, тогда по теореме Фалеса МК = КС.

NK – средняя линия Δ АМС,

NK = hello_html_m51a5f23e.gif АМ

Δ BNK – прямоугольный

NK = hello_html_m51a5f23e.gif АМ = hello_html_m51a5f23e.gif= BN

Катет, лежащий против угла в 300 равен половине гипотенузы

< NBC = 300

Ответ: 300



Задача 3.

Доказать, что если диагонали трапеции равны, то она равнобокая.

hello_html_87c3ffc.png

Дано: АBСD – трапеция

BD = AC

Доказать: АВ = СD

Доказательство:

BDCM, DC = DM

< BDA = < CMA как соответственные угла при параллельных прямых.

BD = CM, BD = AC, тогда АС = СМ,

Δ АСМ – равнобедренный,

< САМ = < СМА

Δ ABD = Δ DCA ( II признак равенства треугольников), тогда AB = CD,

ABCD – равнобокая трапеция.







Задача 4.

Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длиной 20см и 30см, считая от меньшего основания, которое равно 6см. Найти площадь трапеции.

hello_html_4923f2eb.png



Дано: ABCD – трапеция

< ВАМ = < MAD

BC = 6 см

СМ = 20 см

MD = 30 см

Найти: S

Решение:

BN ‖ AD BN ∩ AN = N

Δ ABN – равнобедренный

< BAN = < BNA ( накрестлежащие, BN ‖ AD)

AB =BN = 50 см,

CN = BN – BC = 50 – 6 = 44 см

Δ AMD ~ Δ NCM

AD : 44 = 30 : 20

AD : CN = DM : СM

20 AD = 1320

AD = 66 cм

S = hello_html_m51a5f23e.gif ( AD + ВС) ∙ ВЕ

АЕ = hello_html_m51a5f23e.gif ( AD - ВС) = 30 см

Δ АЕВ – прямоугольный

ВЕ2 = АВ2 – АЕ2

ВЕ2 = 2500 – 900 = 1600

ВЕ = 40

S = hello_html_m51a5f23e.gif ( 66 + 6 ) ∙ 40 = 1440 см2

Ответ: 1440 см2





















Задача 5.

На стороне АВ треугольника АВС построен равносторонний треугольник АВD. Найти расстояние от центра этого треугольника до вершины С, если АВ = 5√3, < АВС = 1200.

hello_html_1bef0af2.png

Дано: Δ АВС

AD = AB = BD

AB = 5√3

Найти: ОС

Решение:

Опишем около четырёхугольника ABCD окружность.

< С + < D = 1800 (сумма противолежащих углов)

< А + < В = 3600 – 1800 = 1800

Δ АВС – вписанный в окружность. ОС = R

hello_html_m72cee7d3.gif

hello_html_m38bd5308.gifОтвет: 5 см

Задача 6.

hello_html_37f9e49c.png

Даны две окружности, касающиеся между собой внешним образом в точке С. Прямая а касается обеих окружностей. Найти расстояние от точки С до общей касательной а данных окружностей, если известны их радиусы R1 = 10 см, R2 = 8см.

Дано: АВ = 10 см

MN = 8 см

Найти: CD

Решение:

а – касательная к окружностям АВ а, MN a, CD a

построим отрезки СВ и СN

Δ ВСN – прямоугольный, BN – гипотенуза, CD – высота, проведённая к гипотенузе

CD2 = BDDN

Так как ABCDMN, то по теореме Фалеса

BD : DN = AC : СМ

BD : DN = 5 : 4, BN = 2√АВ ∙ MN

BN = 2√10 ∙ 8 = 8√5

hello_html_m3b43b88d.gif

hello_html_fe3de58.gif

hello_html_7589bea2.gif

Ответ: hello_html_2a8a708c.gif



































Задачи на доказательство.

  1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

  2. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены вне его квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий вершины квадратов, в два раза больше медианы, проведённой из вершины В.

  3. В треугольнике АВС луч, выходящий из вершины А, делит медиану ВВ1 в отношении 1: 2. Доказать, что этот луч делит противоположную сторону треугольника в отношении 1: 4.

  4. Доказать, что если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 300, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

  5. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Доказать, что биссектриса прямого угла этого треугольника равна hello_html_3afa97e1.gif.

  6. Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная АВ, и на этой прямой в обе стороны от точки О отложены отрезки ОD и ОЕ, равные половине гипотенузы. Доказать, что [CD) и [CE) – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника АВС при вершине С.

  7. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

  8. Точка D лежит на стороне АС правильного треугольника АВС, а точка Е – середина отрезка АD. Прямые, перпендикулярные сторонам АВ и ВС данного треугольника и проходящие соответственно через точки D и С, пересекаются в точке F. Доказать, что треугольник ВЕF прямоугольный с острыми углами 300 и 600.

  9. Окружность радиусов R и r (R > r) касаются друг друга внешним образом. Доказать, что радиус третьей окружности, касающейся двух данных окружностей и их общей внешней касательной, равен
    hello_html_613175de.gif

  10. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются друг друга и сторон данного угла. Доказать, что радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания между собой двух данных окружностей, равен
    hello_html_mee059e1.gif







































Задачи на вычисление.

  1. Найти площадь треугольника, если известно, что две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).

  2. В треугольнике длины двух сторон равны a и в. Известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, перпендикулярны. Найти длину третьей стороны данного треугольника.

  3. Найти площадь треугольника, медианы которого 12, 15 и 21.

  4. В треугольнике известны длины двух сторон и медианы, выходящие из их общей вершины – 6 см, 8 см, 5 см соответственно. Найти косинусы углов, которые образует с этими сторонами данная медиана.

  5. В треугольнике проведены высота ВВ1 и медиана СС1. Известно, что их точка пересечения О отстоит от стороны АС на расстоянии 1 см. найти сторону АВ, если |ВВ1| = 6 см, |СС1| = 5 см.

  6. Точка В1 лежит на стороне АС треугольника АВС и делит её в отношении m :n, считая от вершины А. найти, в каком отношении медиана АА1 делит отрезок ВВ1.

  7. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях |ВА1| : |А1С| = 1 : p и |АВ1| : |В1С| = 1 : g. В каком отношении точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1 делит каждую из них?

  8. В треугольнике АВС точка С1 на стороне АВ и точка В1 на стороне АС расположены так, что |АС1| : |С1В| = 2: 3, |АВ1| : |В1С| = 4 : 5. Найти в каком отношении отрезок СС1 делит отрезок ВВ1.

  9. Точка А1 взята на стороне АВ треугольника АВС так, что |АВ| = 3|АА1|. Точка С1 лежит на продолжении стороны АС за точку С и удовлетворяет условию: |АС1| = 2|АС|. Найти, в каком отношении прямая А1С1 делит сторону ВС данного треугольника.

  10. Найти угол С треугольника АВС, если угол А равен 600, сторона АС вдвое меньше стороны АВ.

  11. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С гипотенуза равна с. Найти катеты треугольника, если известно, что угол В равен 150.

  12. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найти величины острых углов данного треугольника.

  13. Один из углов трапеции равен 300, а её боковые стороны пресекаются под прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равнв 10 см, а одно из оснований равно 8 см.



  1. Найти площадь трапеции с основаниями 7 и 11 и боковыми сторонами 4 и 6.


  1. Основания трапеции равны 3 и 2, а диагонали – 4 и 3. Найти площадь трапеции.


  1. Основания AD и ВС трапеции АВСD равны соответственно a и b (a > b). Найти длину отрезка MN, концы которого M и N делят боковые стороны АВ и СD а отношении |АМ| : |МВ| = |DN| : |NC| = 3 : 2.


  1. Основание АD трапеции АВСD вдвое длиннее боковой стороны АВ и верхнего основания ВС. Диагональ АС равна а, боковая сторона СD равна b. Найти площадь трапеции.



  1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектриса АD пересекает высоту ВВ1 в точке О, причём |ВО| : |ОВ1| = 3 : 1. Найти, в каком отношении высота АА1 делит высоту ВВ1.



  1. В параллелограмме АВСD точка D1 является серединой стороны АВ. Известно, что биссектриса СС1 угла С параллелограмма делит площадь треугольника АDD1 пополам. Найти длину стороны AD, если |CD| = 4.



  1. Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длин 20 и 30, считая от меньшего основания, которое равно 6. Определить площадь трапеции.



  1. Найти площадь трапеции, основания которой равны 2и 1, а углы, прилежащие к большему основанию, равны 300 и 600.



  1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С даны катеты: |АС| = 12, |ВС| = 8. Точка К – середина медианы BD. Найти длину отрезка СК.



  1. В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла, образуют угол в 100. Найти острые углы данного треугольника.



  1. Найти длину общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r, если расстояние между их центрами равно а.



  1. Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную, отрезок которой равен 6√2 см. радиус большей окружности равен 4,5 см. найти радиус меньшей окружности.



  1. Две окружности радиусов 1см и 3см касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной.



  1. Две окружности радиусов √2 и √5 пересекаются в точках P и Q. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку Р проведена секущая, отсекающая от данных окружностей равные хорды. Найти длины этих хорд.















Заключение.


Автор, тщательно проанализировав решение достаточно большого количества задач, в которых данные построения применяются прямо или косвенно, даёт квалификацию дополнительных построений, связанную с характерными признаками фигуры, исключающей метод геометрических преобразований, векторный метод и другие.



































Список используемой литературы.


  1. Готман Э.Г. Решение геометрических задач аналитическим способом. Москва. Просвещение 1989 г.

  2. Киселёв А.П. Элементарная геометрия. Москва. Просвещение 1998 г.

  3. Лысенко Ф.Ф. Подготовка к ЕГЭ 2010 – 2013г. Легион. Ростов на Дону.

  4. Рахмист Р.Б. Методы решения геометрических задач. Москва 2003г.

  5. Фирсов В.В. Избранные вопросы математики. Москва. Просвещение 2009г.

38



Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Целью работы является представление метода решения задач, исключающего сложное и громоздкое решение. Автор, тщательно проанализировав решение достаточно большого количества задач, в которых данные построения применяются прямо или  косвенно, даёт квалификацию дополнительных построений, связанную с характерными признаками фигуры, исключающей метод геометрических преобразований, векторный метод и другие.

Работа состоит из следующих разделов:

  1. Квалификация дополнительных построений на чертежах плоских фигур.

  2. Иллюстрация применения на практике данного метода.

  3. Задачи на доказательство и вычисления.

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров750
Номер материала 462297
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх