исследовательская работа «Решение задач по геометрии методом дополнительных построений»

Объект исследования: стереометрические задачи по геометрии

Предмет исследования:  геометрия

Цель исследования: выявление способа, позволяющего решать задачи нетрадиционным методом.

Задачи:

1.     Изучить литературу по теме исследования.

2.     Проанализировать способы решения задач и выбрать более эффективный.

3.     Для каждой фигуры найти рациональный метод построения.

4.     Показать практическое применение данного метода.

5.     Подобрать примеры для решения задач предложенным мной методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Содержание:                                                                                         стр.

1.     Введение…………………………………………………………..... 3

2.     Основная часть                   

2.1   Классификация дополнительных построений……………………4-21

2.2   Практическое применение приёма метода дополнительных построений………………………………………………………….22-30

2.3   Задачи на доказательство………………………………………….31-32

2.4   Задачи на вычисление……………………………………………...33-35

3.     Заключение…………………………………………………………..36

4.     Список использованной литературы……………………………….37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В геометрии существуют задачи к которым традиционные методы(методы геометрических треугольников, векторный метод, метод равных треугольников) или не применимы, или дают сложные и громоздкие решения. При решении задач такого вида помогает введение в чертёж дополнительных линий или проведение дополнительных построений. В таких задачах это единственный способ её решения. Так как чертёж данной в задаче фигуры можно достроить до фигуры другого типа, то всегда с многоугольной фигурой можно связать окружность и можно на чертеже выделить равные и подобные фигуры.

Суть данного метода дополнительных построений заключается в том, что чертёж и задача, на котором трудно заметить связь между данными и искомыми величинами, дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся очевидными.

Анализ решений задач показал, что для каждой фигуры существуют характерные признаки, которые можно классифицировать. Предлагаю классификацию, которую мне удалось выделить для некоторых фигур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классификация дополнительных построений.

1.     Если в треугольнике задана медиана, то его можно достроить до параллелограмма, где основание медианы это точка пересечения диагоналей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     Если в треугольнике создан отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание отрезка проводим прямую параллельную стороне треугольника.

         МN ‖ АВ  или прямую параллельную АС

В результате данного построения получаются подобные треугольники ΔАВС~ ΔМNС или по теореме Фалеса получаются пропорциональные отрезки:

 =

 

что позволяет определить неизвестные стороны треугольника. Если АМ – медиана  Δ АВС, тогда N  всегда будет серединой отрезка АС.

 

 

 

 

 

 

3.     Если в треугольнике задана медиана и отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание медианы проводим прямую, параллельную данному отрезку.

1) Δ АДК ~ Δ АМN

=

2)    ДК – средняя линия Δ ВNС

             3)NK= KC, К – середина NC

 

 

 

 

 

 

 

4.     Если в треугольнике заданы два отрезка, проведённых из разных вершин, то проводится  а) через основание одного отрезка прямая, параллельная другому отрезку

Δ АКД ~ Δ АNЕ

Δ NEC ~ Δ ВДС

б) прямая, проходящая через вершину треугольника параллельная стороне до пересечения с прямой, содержащей один из отрезков

 

 

5.     Если в треугольнике задан отрезок, проведённый из вершины до противоположной стороны и отрезок, соединяющий две другие стороны, но не параллелен его стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит отрезок.

 

             

Δ ANP ~ Δ NBK

Δ ANO ~ Δ NBK

Δ AEO ~ Δ EMK

 

 

 

 

 

 

6.     Если в треугольнике задан отрезок с концами на его сторонах и если продолжение этого отрезка пересекает прямую, содержащую третью сторону треугольника, то:

а) продолжаем отрезок до пресечения с прямой, проведённой через вершину треугольника параллельно третьей стороне.

б) проводим прямую, параллельную одной из сторон до пересечения с другой стороной.

а) 

Δ МАР ~ Δ РВЕ

б) 

Δ МАР ~ Δ МNК

Δ АВС ~ Δ КNС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.     Если дан прямоугольный треугольник, то он достраивается до равнобедренного треугольника, в котором один из катетов данного треугольника становится высотой ( медианой и биссектрисой), а другой – половиной основания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.     Если дана трапеция, то её диагональ или боковая сторона переносятся на вектор, определяемый одним из оснований.

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.     Если в треугольнике, параллелограмме или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертёж вводится ромб, две стороны которого направлены по сторонам данной фигуры, а эта биссектриса является одной из диагоналей.

           

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.  Если в треугольнике, параллелограмма или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертёж вводится треугольник, одна из сторон которого содержит эту биссектрису, вторая совпадает со стороной исходной фигуры, а третья либо параллельна другой стороне этой фигуры, либо получается при её продолжении.

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Если дана трапеция, то посредством продолжения боковых сторон она достраивается до треугольника.

Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы.

Если дан четырёхугольник, у которого суммы противоположных углов равны, то вокруг него описывается окружность.

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Если в треугольнике заданы биссектриса и медиана или биссектриса и серединный перпендикуляр, проведённые к одной и той же стороне, то около треугольника описывается окружность, а биссектриса продолжается до пересечения с нею.

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Если даны две окружности разных радиусов с общей касательной, то через центр меньшей окружности проводится прямая, параллельная данной касательной, до пересечения с радиусом большей окружности, идущим в точку касания, или с его продолжением.

 

 

 

 

14. Если даны две окружности с общей внешней касательной, касающиеся друг друга внешним образом, то в рассмотрение вводится треугольник, вершинами которого служат три точки касания данных фигур.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Практическое применение метода дополнительных построений.

Задача 1.

Две стороны треугольника равны 10см и 15см, угол между ними равен 60⁰. Найти длину биссектрисы, проведённой из данного угла.       

Дано:  Δ АВС

          АВ= 10см

         АВ = 15см

        < А = 60⁰

Найти: АМ

Решение:

проведём MN ‖ АВ

< ВАМ = < MAN = < AMN = 30⁰

Δ ANM – равнобедренный

AN = x,   NC = 15 – x

Δ ABC ~ Δ NMC,

NC : АС = MN : АВ

(15 – х) : 15 = х : 10

10( 15 – х) = 15х

х = 6

AN = NC = 6

< ANM = 180⁰ – 60⁰ =120⁰

 По теореме косинусов:

АМ² = AN² + NM² – 2 ∙ AN ∙ NM ∙ cos 120⁰

АМ² = 36 + 36 – 2 ∙ 36 ∙ cos 120⁰

АМ² = 72 + 2 ∙ 36 ∙ cos 60⁰

АМ² = 72 + 36 = 108

АМ = √108

Ответ: √108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

В треугольнике АВС высота АМ равна медиане BN. Найти < NBC.

Дано: Δ АВС

АМ = BN

Найти: < NBC

Решение:

проведём NK ‖ AM 

AN = NC, AM ‖ NK, тогда по теореме Фалеса МК = КС.

NK – средняя линия Δ АМС,

NK =   АМ

Δ BNK – прямоугольный

NK =   АМ = = BN

Катет, лежащий против угла в 30⁰ равен половине гипотенузы

< NBC = 30⁰

Ответ: 30⁰

 

Задача 3.

Доказать, что если диагонали трапеции равны, то она равнобокая.

Дано: АBСD – трапеция

          BD = AC

Доказать: АВ = СD

                                  Доказательство:

BD ‖ CM, DC = DM

< BDA = < CMA как соответственные угла при параллельных прямых.

BD = CM, BD = AC, тогда АС = СМ,

Δ АСМ – равнобедренный,

< САМ = < СМА

Δ ABD = Δ DCA ( II признак равенства треугольников), тогда AB = CD,

 ABCD – равнобокая трапеция.

 

 

 

Задача 4.

Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длиной 20см и 30см, считая от меньшего основания, которое равно 6см. Найти площадь трапеции.

 

Дано: ABCD – трапеция

          < ВАМ = < MAD

             BC = 6 см

             СМ = 20 см

              MD = 30 см

Найти:  S

Решение:

BN ‖ AD              BN ∩ AN = N

Δ ABN – равнобедренный

< BAN = < BNA ( накрестлежащие, BN ‖ AD)

AB =BN = 50 см,

CN = BN – BC = 50 – 6 = 44 см

Δ AMD ~ Δ NCM

AD : 44 = 30 : 20

AD : CN = DM : СM

20 AD = 1320

   AD = 66 cм

S =  ( AD + ВС) ∙ ВЕ

АЕ =  ( AD - ВС) = 30 см

Δ АЕВ – прямоугольный

ВЕ² = АВ² – АЕ²

ВЕ² = 2500 – 900 = 1600

ВЕ = 40

S =  ( 66 + 6 ) ∙ 40 = 1440 см²

Ответ: 1440 см²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

На стороне АВ треугольника АВС построен равносторонний треугольник АВD. Найти расстояние от центра этого треугольника до вершины С, если АВ = 5√3, < АВС = 120⁰.

Дано: Δ АВС

          AD = AB = BD

         AB = 5√3

Найти: ОС

Решение:

Опишем около четырёхугольника ABCD окружность.

< С + < D = 180⁰ (сумма противолежащих углов)

< А + < В = 360⁰ – 180⁰ = 180⁰

Δ АВС – вписанный в окружность. ОС = R

             Ответ: 5 см

Задача 6.

Даны две окружности, касающиеся между собой внешним образом в точке С. Прямая а касается обеих окружностей. Найти расстояние от точки С до общей касательной а данных окружностей, если известны их радиусы R₁ = 10 см, R₂ = 8см.

Дано: АВ = 10 см

          MN = 8 см

Найти: CD

Решение:

а – касательная к окружностям   АВ  ﬩   а, MN  ﬩  a, CD  ﬩  a

построим отрезки СВ и СN

Δ ВСN – прямоугольный,   BN – гипотенуза, CD – высота, проведённая к гипотенузе

CD² = BD ∙ DN

Так как AB ‖ CD ‖ MN, то по теореме Фалеса

BD : DN = AC : СМ

BD : DN = 5 : 4, BN = 2√АВ ∙ MN

BN = 2√10 ∙ 8 = 8√5

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               Задачи на доказательство.

1.     Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

2.     На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены вне его квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий вершины квадратов, в два раза больше медианы, проведённой из вершины В.

3.     В треугольнике АВС луч, выходящий из вершины А, делит медиану ВВ₁ в отношении 1: 2. Доказать, что этот луч делит противоположную сторону треугольника в отношении 1: 4.

4.     Доказать, что если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30⁰, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

5.     Катеты прямоугольного треугольника равны a и  b. Доказать, что биссектриса прямого угла этого треугольника равна        .

6.     Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная АВ, и на этой прямой в обе стороны от точки О отложены отрезки ОD и ОЕ, равные половине гипотенузы. Доказать, что [CD) и [CE) – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника АВС при вершине С.

7.     Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

8.     Точка D лежит на стороне АС правильного треугольника АВС, а точка Е – середина отрезка АD. Прямые, перпендикулярные сторонам АВ и ВС данного треугольника и проходящие соответственно через точки D и С, пересекаются в точке F. Доказать, что треугольник ВЕF прямоугольный с острыми углами 30⁰ и 60⁰.

9.     Окружность радиусов R и r (R > r) касаются друг друга внешним образом. Доказать, что радиус третьей окружности, касающейся двух данных окружностей и их общей внешней касательной, равен

10. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются друг друга и сторон данного угла. Доказать, что радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания между собой двух данных окружностей, равен

 

 

                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Задачи на вычисление.

1.     Найти площадь треугольника, если известно, что две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4  (соответственно).

2.     В треугольнике длины двух сторон равны a и в. Известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, перпендикулярны. Найти длину третьей стороны данного треугольника.

3.     Найти площадь треугольника, медианы которого 12, 15 и 21.

4.     В треугольнике известны длины двух сторон и медианы, выходящие из их общей вершины – 6 см, 8 см, 5 см соответственно. Найти косинусы углов, которые образует с этими сторонами данная медиана.

5.     В треугольнике проведены высота ВВ₁ и медиана СС₁. Известно, что их точка пересечения О отстоит от стороны АС на расстоянии 1 см. найти сторону АВ, если |ВВ₁| = 6 см, |СС₁| = 5 см.

6.     Точка В₁ лежит на стороне АС треугольника АВС и делит её в отношении m :n, считая от вершины А. найти, в каком отношении медиана АА₁ делит отрезок ВВ₁.

7.     Точки А₁ и В₁ делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях |ВА₁| : |А₁С| = 1 : p и |АВ₁| : |В₁С| = 1 : g. В каком отношении точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них?

8.     В треугольнике АВС точка С₁ на стороне АВ и точка В₁ на стороне АС расположены так, что |АС₁| : |С₁В| = 2: 3, |АВ₁| : |В₁С| = 4 : 5. Найти в каком отношении отрезок СС₁ делит отрезок ВВ₁.

9.     Точка А₁ взята на стороне АВ треугольника АВС так, что |АВ| = 3|АА₁|. Точка С₁ лежит на продолжении стороны АС за точку С и удовлетворяет условию: |АС₁| = 2|АС|. Найти, в каком отношении прямая А₁С₁ делит сторону ВС данного треугольника.

10. Найти угол С треугольника АВС, если угол А равен 60⁰, сторона АС вдвое меньше стороны АВ.

11. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С гипотенуза равна с. Найти катеты треугольника, если известно, что угол В равен 15⁰.

12. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найти величины острых углов данного треугольника.

13. Один из углов трапеции равен 30⁰, а её боковые стороны пресекаются под прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равнв 10 см, а одно из оснований равно 8 см.

 

14. Найти площадь трапеции с основаниями 7 и 11 и боковыми сторонами 4 и 6.

 

15. Основания трапеции равны 3 и 2, а диагонали – 4 и 3. Найти площадь трапеции.

 

16. Основания AD и ВС трапеции АВСD равны соответственно a и b (a > b). Найти длину отрезка MN, концы которого M и N делят боковые стороны АВ и СD а отношении |АМ| : |МВ| = |DN| : |NC| = 3 : 2.

 

17. Основание АD трапеции АВСD вдвое длиннее боковой стороны АВ и верхнего основания ВС. Диагональ АС равна а, боковая сторона СD равна b. Найти площадь трапеции.

 

18. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектриса АD пересекает высоту ВВ₁ в точке О, причём |ВО| : |ОВ_1|  = 3 : 1. Найти, в каком отношении высота АА₁ делит высоту ВВ₁.

 

19. В параллелограмме АВСD точка D₁ является серединой стороны АВ. Известно, что биссектриса СС₁ угла С параллелограмма делит площадь треугольника АDD₁ пополам. Найти длину стороны AD, если |CD| = 4.

 

20. Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длин 20 и 30, считая от меньшего основания, которое равно 6. Определить площадь трапеции.

 

21. Найти площадь трапеции, основания которой равны 2и 1, а углы, прилежащие к большему основанию, равны 30⁰ и 60⁰.

 

22. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С даны катеты: |АС| = 12, |ВС| = 8. Точка К – середина медианы BD. Найти длину отрезка СК.

 

23. В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла, образуют угол в 10⁰. Найти острые углы данного треугольника.

 

24. Найти длину общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r, если расстояние между их центрами равно а.

 

25. Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную, отрезок которой равен 6√2 см. радиус большей окружности равен 4,5 см. найти радиус меньшей окружности.

 

26. Две окружности радиусов 1см и 3см касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной.

 

27. Две окружности радиусов √2 и √5 пересекаются в точках P и Q. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку Р проведена секущая, отсекающая от данных окружностей равные хорды. Найти длины этих хорд.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Автор, тщательно проанализировав решение достаточно большого количества задач, в которых данные построения применяются прямо или  косвенно, даёт квалификацию дополнительных построений, связанную с характерными признаками фигуры, исключающей метод геометрических преобразований, векторный метод и другие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1.     Готман Э.Г. Решение геометрических задач аналитическим способом. Москва. Просвещение 1989 г.

2.     Киселёв А.П. Элементарная геометрия. Москва. Просвещение 1998 г.

3.     Лысенко Ф.Ф. Подготовка к ЕГЭ 2010 – 2013г. Легион. Ростов на Дону.

4.     Рахмист Р.Б. Методы решения геометрических задач. Москва 2003г.

5.     Фирсов В.В. Избранные вопросы математики. Москва. Просвещение 2009г.