исследовательская работа учащегося "Орнамент"

Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий. Слово "орнамент", с латинского "ornamentum", означает "украшение" (Приложение 2).

Происхождение орнамента не известно. Его история уходит в эпоху палеолита. Орнамент нес в себе символический и магический  смысл. Он широко использовался у всех народов для предохранения от сглаза и иного вреда, для содействия плодородию – деторождению [3]. 

Первый орнамент был основан на неизобразительной символике, а это значит, что он был геометрическим, состоял из различных фигур. Эти фигуры несли в себе определенный смысл, например круг – солнце, квадрат – земля, треугольник – горы и т.д.[16] 

Со временем орнамент стал терять свой символический и магический смысл, и стал всего лишь украшением. Сейчас орнаменты используются повсюду. В архитектуре, каждый день мы видим  здания украшенные фризами, бордюрами. Так же в декоративно-прикладном искусстве, еще наши предки украшали одежду и утварь. Большинство народов сохраняет свои традиционные элементы орнамента, которые используются, и по сей день. [16]

Дадим точное математическое определение орнамента.

Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом если выполнены следующие условия:

1)    Среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;

2)    Среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.[1]

Существует множество классификаций орнаментов.

Орнамент может быть многоцветным (полихромным) и одноцветным (монохромным), выполнен на поверхности предмета выпукло, рельефно или, наоборот, углублен.

В зависимости от характера мотивов различают следующие виды орнаментов: геометрический, растительный, зооморфный и антропоморфный.[18]

Геометрический орнамент состоит из точек, линий (прямых, ломаных, зигзагообразных, сетчато-пересекающихся), и фигур (кругов, ромбов, многогранников, звезд, крестов, спиралей и др).

Растительный орнамент составляется из стилизованных листьев, цветов, плодов, веток и т.п.

Зооморфный орнамент включает стилизованные изображения реальных и/или фантастических животных (иногда подобный орнамент называют "звериным" стилем).  

Антропоморфный орнамент в качестве мотивов использует мужские и женские стилизованные фигуры или отдельные части тела человека.

По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (его называют еще бордюром), сетчатым и розетчатым.[18]

2.     Бордюр

Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами  и  (где n – целое число), при которых эта фигура переходит в себя, но не переходит в себя при параллельных переносах иного вида. Вектор a называют направляющим для бордюра.[9]

Простейший бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор влево и вправо вдоль полосы. Такая «первоначальная фигура» называется фундаментальной областью бордюра. [9]

 На практике бордюры встречаются в различных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.[3]

Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль своей оси (вдоль оси переноса). Всего существует семь типов симметрии бордюров:[5]

1) Бордюры, которые не имеют иных симметрий, кроме параллельных переносов.

2) Бордюры, которые обладают наряду с переносной также зеркальной симметрией.

3) Бордюры, у которых ось переноса является осью скользящего отражения.

4) Бордюры, имеющие поперечные оси симметрии.

5) Бордюры, имеющие поворотные оси 2-го порядка, перпендикулярные к плоскости бордюра.

6) Бордюры, основанные на комбинировании оси скользящего отражения с поворотными осями 2-го порядка, перпендикулярными к плоскости бордюра.

7) Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отражений. Такие бордюры имеют наряду с продольной также поперечные оси симметрии; как следствие возникают поворотные оси 2-го порядка.

3.     Раппорт

Помимо бордюров художникам -  орнаменталистам  известен и другой вид орнамента – сетчатый.

Сетчатый орнамент (иногда называют раппорт) — композиционный тип орнамента, который строится не вдоль одной оси, а в нескольких, как минимум в двух либо в четырех, направлениях: по горизонтали, вертикали и двум диагональным осям.[16] Поэтому в орнаментах типа раппорта возникает несколько осей симметрии, которые образуют подобие сетки. Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент. [11]

Различают семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов.  Любопытно, что все они были известны еще в древности, а классификация их была дана лишь в XIX веке.[2]

 Сетчатый орнамент заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором.  Для построения такого орнамента выделяют плоскую решетку, в которой одинаковые части  повторяются в определенной геометрической последовательности. Различают пять типов плоских решеток, каждая из которых определяется  двумя векторами a и b и углом α между ними.[5]

Первая квадратная: a = b, α = 90º.

Вторая прямоугольная: a ≠ b, α = 90º.

Третья гексагональная: a = b, α = 60º.

Четвертая ромбическая: a = b, α ≠ 90º, α ≠ 60º.

Пятая косая: a ≠ b, α ≠ 90º.

4.     Математическая составляющая в работах Эшера

Рассматривая математические принципы построения орнаментов нельзя не упомянуть работы известного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (1898-1972).

Голландский художник М. К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ.[7]

При взгляде на любую из «мозаик» мастера  (Приложение 3) у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Орнамент «Летящие птицы» основан на косой решетке, «Ящерицы» – на гексагональной решетке. [10]  Любопытно, что сам Эшер не мог похвастаться законченным математическим образованием. Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен»

     В этих словах, наверное, есть доля преувеличения.[7] С помощью работ Мориса Эшера можно объяснить такие математические понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие фигур, равновеликие фигуры, периодичность. А так же некоторые понятия не входящие в школьный курс математики.

Однако самым интересным с точки зрения математики является замощение плоскости или мозаики. Замощение — это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов.[7]

5.     Розетта

Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой (розеттой). Этот вид орнамента замкнут и ограничен определенной геометрической формой.[16]  Для построения выбирают какую-нибудь фигур Ф и точку О – центр поворота.

При повороте вокруг точки О на угол  ,

где k = 0; 1; 2… n – 1 получается фигура Ф_n c заданной симметрией.[5]

В основе построения розетты всегда лежит один или несколько видов симметрии. Зер­кальная симметрия вызывает ощущение неподвижности. Получается так называемый статичный орнамент. Если же орнамент розетты имеет только ось сим­метрии, он обычно вызывает ощущение движения. Такой орнамент называют динамичным. [17]

В зависимости от того, какой вид симметрии исполь­зуется для построения орнамента, раз­личают четыре типа розетт. При их рас­смотрении отвлечемся на некоторое время от художественной структуры орнамента и рассмотрим лишь принципы его построения. [17]

     Типы розетт

Существует множество вариантов по­строения розетты, но в каждом из них за основу положен принцип деления круга на равные части [5].  В одной части рисуют геометрическую фигуру, а потом с помощью симметрии повторяют ее в других частях круга.

6.     Как можно построить орнамент [1]

Рассмотрим на плоскости фигуру Ф – квадрат с заштрихованной половинкой, а также два перемещения плоскости: ƒ₁ = R_A^90º  - поворот вокруг вершины квадрата А на 90º, и ƒ₂ = S_a  - симметрия относительно прямой а.

Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений ƒ₁ и ƒ₂ – в произвольном порядке и в любом числе. В итоге мы получим совокупность плоских фигур, равных Ф, - так называемых плоский орнамент.

Порядок построения этого орнамента показан на рисунке.

Для начала, не обращая внимания на заштрихо-ванный треугольник, применяем композиции только к квадрату.

 ƒ₁  = R_A^90º, ƒ₁* ƒ₁ = R_A^180º, ƒ₁* ƒ₁ *ƒ₁ = R_A^270º

Повторяя эти действия, получим картинку, изображенную на рисунке под буквой в. Теперь вспомним о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по готовой сетке с помощью отображений ƒ₁, ƒ₂ и их композиций. В итоге получим орнамент, изображенный на рисунке под буквой г. 

Кроме прямой а, этот орнамент имеет много других осей симметрии (они выделены пунктиром). При поворотах вокруг точки А на углы, кратные 90º, весь орнамент отображается на себя, поэтому А – центр симметрии 4 порядка. Этот орнамент имеет бесконечно много центров порядка 4.

Около каждой из этих точек можно выделить фигуру «порядка 4», состоящую из четырех треугольников, а весь орнамент можно представить в виде объединения таких фигур (рис 3).

У данного орнамента еще есть центра симметрии порядка 2, точки при повороте которых на 180º орнамент отображается сам на себя (на рис. 3 отмечены кружочками). Около этих точек можно выделить фигуры «порядка 2» - три из них изображены на рисунке. Наконец, этот орнамент отображается сам на себя при бесконечных параллельных переносах, они показаны на рисунке стрелками. Этот рисунок изображает «скелет» орнамента – сетку осей симметрии и две «решетки» центров симметрии порядка 4 и 2.

Множество всех перемещений плоскости, при которых орнамент отображается сам на себя, называется группой симметрии орнамента. Заметим, что любую «симметричную» фигуру одного «порядка» можно некоторым перемещением из группы симметрии отобразить на любую другую фигуру того же «порядка».

Если вместо треугольника в квадрате Ф, заштриховать какую-нибудь другую фигуру, то те же самые построения дадут новый орнамент (рис. 4)

Предыдущий орнамент и орнаменты А и Б имеют ту же группу симметрий  и относятся к одному типу. А в орнамент В появилась добавочная симметрия заштрихованной фигуры, за счет этого в нем есть наклонные оси симметрии и «половина» центров симметрии второго порядка превратилась в дополнительную решетку центров симметрии порядка 4.

7.     Мой орнамент

Заключение

Работа касается одного из самых интересных вопросов геометрии – классификации орнаментов. По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов:

В работе рассматриваются вопросы, связанные с конструированием орнаментов и узоров с использованием законов симметрии при их построении.  Нам хотелось доказать еще раз непосредственную связь гео-метрии с практической жизнью. Ведь любые теоретические открытия направ-лены, в конечном итоге, на дальнейшее практическое применение, а иначе, зачем они совершаются?

Список  литературы

1. А. Земляков. Орнаменты./ /Квант, 1977. - №3.

2. Вейль Г. Симметрия – М.: Наука, 1968.

3. Современный словарь-справочник по искусству/ Нау.ред и сост.  А.Мелик-     Пашаев. – М.:Олимп: ООО  «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Перевод Александрова П.С. Наглядная

Геометрия – М.: Просвещение, 1962.

5. Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем мире – М., Оникс 21 век, Мир и Образование, 2005.

6. Александров С. Измельчающиеся узоры./ /Квант, 1980. - №4.

7. Таболников С. Вариации на тему Эшера./ /Квант, 1990. - №12.

8. Федоров Е.С. Симметрия на плоскости – СПб, 1981.

9. Цукарь А. Бордюры// Математика, 1998 - №13.

10. Несколько орнаментов по мотивам Эшера./ Квант. – 1991 - №2.

11. Симаков Е. Е. Орнаменты на плоскости . Молодой ученый. — 2011. — №5. Т.1.

12. Математический энциклопедический словарь.  Ред. Прохоров Ю.В. –  М.:

Советская энциклопедия, 1988.

13. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева Наглядная геометрия – М.:Педагогика, 1992 г.

14. БСЭ в 30 т. - М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978.

15.  Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и И.А. Ефрона –  АО «Ф. А. Брокгауз — И. А. Ефрон», 1890 -1907.

16. Словарь изобразительного искусства в 10 т. — СПб.: Азбука-классика, 2004-2009.

17.  Гумманитарный словарь. –  М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС: Филол. фак. С.-Петерб. гос. ун-та, 2002

18. http://art.ioso.ru/index.php

19. http://orezbe.ru