Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа учащегося "Орнамент"

Исследовательская работа учащегося "Орнамент"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ПЕРМСКОГО КРАЯ

МБОУ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 6» г. ПЕРМИ















Орнамент













Исполнитель: Михайлина Ксения,

ученица 10 «б» класса

МБОУ «СОШ № 6» г. Перми.

Руководитель: Орлова Е.В.,

учитель математики

МБОУ «СОШ № 6» г. Перми.





2013, г. Пермь


Содержание



Введение ………………………………………………………………………….3

Что такое орнамент ....……………………………………………………………4

Бордюр…………… ……….. ……………………………………………………6

Раппорт……………………………… …………………………………………...8

Математическая составляющая в работах Эшера…………………………….10

Розетта….. ………………………………………………………………………11

Как можно построить орнамент ………………………………………………13

Мои орнаменты…………………………………………………………………16

Заключение………………………………………………………………………17

Список литературы ……………………………………………………………18

Приложение 1…………………………………………………………………….19

Приложение 2 …………………………………………………………………...21

Приложение 3 ……………………………………………………………………23




Введение

Математик, так же как художник или поэт, создает узоры.

Г. Харди

Восхищаясь рукотворной красотой орнаментов, воплощенных в предметах декоративно-прикладного искусства – коврах, паркетах, гобеленах, вышивке, - мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений.

Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений занимает важное место в орнаментальном искусстве.

Орнаменты с давних времен применяются в декоративном искусстве. Так, на рисунке 1 (Приложение 1) воспроизведены древнеегипетский орнамент (рис.1а), два мавританских орнамента (рис.1б, в), китайская оконная решетка (рис.1г), а также орнамент, украшающий окно мечети Каира (рис. 1д).
С другой стороны, при исследовании геометрического строения кристаллов выяснилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент. На рисунке 2 (Приложение 1) изображены проекции пространственных решеток граната, кварца и каменной соли. По сути, именно это открытие побудило в конце XIX века и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента) [1].

Цель работы: изучить математические законы и принципы построения орнаментов.

Задачи:

  • изучить литературу по данной теме;

  • систематизировать материал;

  • изучить классификацию орнаментов и методы их построения;

  • составить орнамент.




  1. Что такое орнамент

Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий. Слово "орнамент", с латинского "ornamentum", означает "украшение" (Приложение 2).

Происхождение орнамента не известно. Его история уходит в эпоху палеолита. Орнамент нес в себе символический и магический смысл. Он широко использовался у всех народов для предохранения от сглаза и иного вреда, для содействия плодородию – деторождению [3]. D:\ЛяЛик\Симметрия\137.jpg

Первый орнамент был основан на неизобразительной символике, а это значит, что он был геометрическим, состоял из различных фигур. Эти фигуры несли в себе определенный смысл, например круг – солнце, квадрат – земля, треугольник – горы и т.д.[16]

Со временем орнамент стал терять свой символический и магический смысл, и стал всего лишь украшением. Сейчас орнаменты используются повсюду. В архитектуре, каждый день мы видим здания украшенные фризами, бордюрами. Так же в декоративно-прикладном искусстве, еще наши предки украшали одежду и утварь. Большинство народов сохраняет свои традиционные элементы орнамента, которые используются, и по сей день. [16]

Дадим точное математическое определение орнамента.

Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом если выполнены следующие условия:

  1. Среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;

  2. Среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.[1]

Существует множество классификаций орнаментов.

Орнамент может быть многоцветным (полихромным) и одноцветным (монохромным), выполнен на поверхности предмета выпукло, рельефно или, наоборот, углублен.

В зависимости от характера мотивов различают следующие виды орнаментов: геометрический, растительный, зооморфный и антропоморфный.[18]
http://art.ioso.ru/seminar/2008/projects7/ornament/Pictures/image001.gif

Геометрический орнамент состоит из точек, линий (прямых, ломаных, зигзагообразных, сетчато-пересекающихся), и фигур (кругов, ромбов, многогранников, звезд, крестов, спиралей и др).

http://folk-ornament.ru/ornament/ornament_229.jpg

Растительный орнамент составляется из стилизованных листьев, цветов, плодов, веток и т.п.

http://folk-ornament.ru/ornament/ornament_107.jpg

Зооморфный орнамент включает стилизованные изображения реальных и/или фантастических животных (иногда подобный орнамент называют "звериным" стилем). http://www.z-obereg.ru/image.php?id=333







Антропоморфный орнамент в качестве мотивов использует мужские и женские стилизованные фигуры или отдельные части тела человека.

http://folk-ornament.ru/ornament/source/source_216.jpg




По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (его называют еще бордюром), сетчатым и розетчатым.[18]


  1. Бордюр


Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами hello_html_m383b8b3f.gif и hello_html_m770d5ab1.gif (где n – целое число), при которых эта фигура переходит в себя, но не переходит в себя при параллельных переносах иного вида. Вектор a называют направляющим для бордюра.[9]

Простейший бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор влево и вправо вдоль полосы. Такая «первоначальная фигура» называется фундаментальной областью бордюра. [9]

На практике бордюры встречаются в различных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.[3]

Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль своей оси (вдоль оси переноса). Всего существует семь типов симметрии бордюров:[5]

1) Бордюры, которые не имеют иных симметрий, кроме параллельных переносов.

hello_html_m5b47e9ad.gifhello_html_6473bd4b.gif



2) Бордюры, которые обладают наряду с переносной также зеркальной симметрией.D:\ЛяЛик\Симметрия\1.jpg





3) Бордюры, у которых ось переноса является осью скользящего отражения.D:\ЛяЛик\Симметрия\3.jpghello_html_46307125.gifD:\ЛяЛик\Симметрия\2.jpg





4) Бордюры, имеющие поперечные оси симметрии.D:\ЛяЛик\Симметрия\4.jpghello_html_m32d075b.gif

hello_html_m43fdf8f0.gif

5) Бордюры, имеющие поворотные оси 2-го порядка, перпендикулярные к плоскости бордюра.D:\ЛяЛик\Симметрия\5.jpg







6) Бордюры, основанные на комбинировании оси скользящего отражения с поворотными осями 2-го порядка, перпендикулярными к плоскости бордюра.D:\ЛяЛик\Симметрия\6.jpghello_html_m6904a254.gif

7) Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отражений. Такие бордюры имеют наряду с продольной также поперечные оси симметрии; как следствие возникают поворотные оси 2-го порядка.




  1. Раппортhello_html_482350ee.gifD:\ЛяЛик\Симметрия\7.jpg

Помимо бордюров художникам - орнаменталистам известен и другой вид орнамента – сетчатый.

Сетчатый орнамент (иногда называют раппорт) композиционный тип орнамента, который строится не вдоль одной оси, а в нескольких, как минимум в двух либо в четырех, направлениях: по горизонтали, вертикали и двум диагональным осям.[16] Поэтому в орнаментах типа раппорта возникает несколько осей симметрии, которые образуют подобие сетки. Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент. [11]hello_html_5797aec1.png

Различают семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов.  Любопытно, что все они были известны еще в древности, а классификация их была дана лишь в XIX веке.[2]

Сетчатый орнамент заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Для построения такого орнамента выделяют плоскую решетку, в которой одинаковые части повторяются в определенной геометрической последовательности. Различают пять типов плоских решеток, каждая из которых определяется двумя векторами a и b и углом α между ними.[5]



Первая квадратная: a = b, α = 90º.


hello_html_m7426ed33.pnghello_html_38a83eb2.png

Вторая прямоугольная: ab, α = 90º.


hello_html_625a7d2c.pnghello_html_m127d663d.png


Третья гексагональная: a = b, α = 60º.


hello_html_1f5ed9cd.png

Четвертая ромбическая: a = b, α ≠ 90º, α ≠ 60º.


hello_html_1546fb54.png



Пятая косая: ab, α ≠ 90º.

hello_html_m623ea35d.png

  1. Математическая составляющая в работах Эшера

Рассматривая математические принципы построения орнаментов нельзя не упомянуть работы известного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (1898-1972).

Голландский художник М. К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ.[7]

При взгляде на любую из «мозаик» мастера (Приложение 3) у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Орнамент «Летящие птицы» основан на косой решетке, «Ящерицы» – на гексагональной решетке. [10] Любопытно, что сам Эшер не мог похвастаться законченным математическим образованием. Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен»

В этих словах, наверное, есть доля преувеличения.[7] С помощью работ Мориса Эшера можно объяснить такие математические понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие фигур, равновеликие фигуры, периодичность. А так же некоторые понятия не входящие в школьный курс математики.

Однако самым интересным с точки зрения математики является замощение плоскости или мозаики. Замощение — это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов.[7]

Одно из простейших замощений можно описать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор hello_html_m23885484.gif ± hello_html_2abf8a32.gif (векторы hello_html_5322dbd9.gif и hello_html_29ec4cd8.gif определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m — целые числа). Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор hello_html_m1854dd7b.gif(или hello_html_29ec4cd8.gif). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами u и v назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор hello_html_340b0a79.gif и на вектор hello_html_29ec4cd8.gif.[18]http://art.ioso.ru/seminar/2008/projects7/ornament/Pictures/image212.jpg

Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером («Кавалерия»). Работы Мориса Эшера часто являются источником вдохновения для современных авторов.[6]

  1. Розетта


Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой (розеттой). Этот вид орнамента замкнут и ограничен определенной геометрической формой.[16] Для построения выбирают какую-нибудь фигур Ф и точку О – центр поворота.

При повороте вокруг точки О на угол hello_html_16da2d73.gif ,

где k = 0; 1; 2… n – 1 получается фигура Фn c заданной симметрией.[5]

В основе построения розетты всегда лежит один или несколько видов симметрии. Зеркальная симметрия вызывает ощущение неподвижности. Получается так называемый статичный орнамент. Если же орнамент розетты имеет только ось симметрии, он обычно вызывает ощущение движения. Такой орнамент называют динамичным. [17]

hello_html_m27012d92.gif

В зависимости от того, какой вид симметрии используется для построения орнамента, различают четыре типа розетт. При их рассмотрении отвлечемся на некоторое время от художественной структуры орнамента и рассмотрим лишь принципы его построения. [17]

     Типы розетт

Элементарная фигура

Розетты

Описание

Рисунок

hello_html_3849ab02.gif

имеющая только плоскость симметрии

hello_html_m707044e4.gif

имеющая только ось симметрии

hello_html_2b77f1b4.gif

 с осью и плоскости симметрии

http://orezbe.ru/wp-content/uploads/2012/11/%D0%A1%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BA6.png

 с  множеством  осей и плоскостей симметрии

 

http://orezbe.ru/wp-content/uploads/2012/11/%D0%A1%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BA7.png


Существует множество вариантов построения розетты, но в каждом из них за основу положен принцип деления круга на равные части [5]. В одной части рисуют геометрическую фигуру, а потом с помощью симметрии повторяют ее в других частях круга.

D:\ЛяЛик\Симметрия\Безымянный.pngD:\ЛяЛик\Симметрия\Безымянный.pngD:\ЛяЛик\Симметрия\Безымянный.png


  1. Как можно построить орнамент [1]


Рассмотрим на плоскости фигуру Ф – квадрат с заштрихованной половинкой, а также два перемещения плоскости: ƒ1 = RA90º - поворот вокруг вершины квадрата А на 90º, и ƒ2 = Sa - симметрия относительно прямой а.

D:\ЛяЛик\Симметрия\земляков\77_03-21 fff.gif

Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений ƒ1 и ƒ2 – в произвольном порядке и в любом числе. В итоге мы получим совокупность плоских фигур, равных Ф, - так называемых плоский орнамент. D:\ЛяЛик\Симметрия\земляков\77_03-22jjj.gif

Порядок построения этого орнамента показан на рисунке.

Для начала, не обращая внимания на заштрихо-ванный треугольник, применяем композиции только к квадрату.

ƒ1 = RA90º, ƒ1* ƒ1 = RA180º, ƒ1* ƒ11 = RA270º

Повторяя эти действия, получим картинку, изображенную на рисунке под буквой в. Теперь вспомним о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по готовой сетке с помощью отображений ƒ1, ƒ2 и их композиций. В итоге получим орнамент, изображенный на рисунке под буквой г.

Рис. 3

Кроме прямой а, этот орнамент имеет много других осей симметрии (они выделены пунктиром). При поворотах вокруг точки А на углы, кратные 90º, весь орнамент отображается на себя, поэтому А – центр симметрии 4 порядка. Этот орнамент имеет бесконечно много центров порядка 4. D:\ЛяЛик\Симметрия\земляков\77_03-23hh.gif

Около каждой из этих точек можно выделить фигуру «порядка 4», состоящую из четырех треугольников, а весь орнамент можно представить в виде объединения таких фигур (рис 3).

У данного орнамента еще есть центра симметрии порядка 2, точки при повороте которых на 180º орнамент отображается сам на себя (на рис. 3 отмечены кружочками). Около этих точек можно выделить фигуры «порядка 2» - три из них изображены на рисунке. Наконец, этот орнамент отображается сам на себя при бесконечных параллельных переносах, они показаны на рисунке стрелками. Этот рисунок изображает «скелет» орнамента – сетку осей симметрии и две «решетки» центров симметрии порядка 4 и 2.

Множество всех перемещений плоскости, при которых орнамент отображается сам на себя, называется группой симметрии орнамента. Заметим, что любую «симметричную» фигуру одного «порядка» можно некоторым перемещением из группы симметрии отобразить на любую другую фигуру того же «порядка».

Рис. 4

Если вместо треугольника в квадрате Ф, заштриховать какую-нибудь другую фигуру, то те же самые построения дадут новый орнамент (рис. 4) D:\ЛяЛик\Симметрия\земляков\77_03-23kk.gif

Предыдущий орнамент и орнаменты А и Б имеют ту же группу симметрий и относятся к одному типу. А в орнамент В появилась добавочная симметрия заштрихованной фигуры, за счет этого в нем есть наклонные оси симметрии и «половина» центров симметрии второго порядка превратилась в дополнительную решетку центров симметрии порядка 4.

  1. Мой орнамент


ппп 001.jpg





рррррр 001.jpg


D:\ЛяЛик\Симметрия\Безымя.png







Заключение

Работа касается одного из самых интересных вопросов геометрии – классификации орнаментов. По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов:

hello_html_71c4b720.png

В работе рассматриваются вопросы, связанные с конструированием орнаментов и узоров с использованием законов симметрии при их построении. Нам хотелось доказать еще раз непосредственную связь гео-метрии с практической жизнью. Ведь любые теоретические открытия направ-лены, в конечном итоге, на дальнейшее практическое применение, а иначе, зачем они совершаются?















Список литературы

1. А. Земляков. Орнаменты./ /Квант, 1977. - №3.

2. Вейль Г. Симметрия – М.: Наука, 1968.

3. Современный словарь-справочник по искусству/ Нау.ред и сост. А.Мелик- Пашаев. – М.:Олимп: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Перевод Александрова П.С. Наглядная

Геометрия – М.: Просвещение, 1962.

5. Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем мире – М., Оникс 21 век, Мир и Образование, 2005.

6. Александров С. Измельчающиеся узоры./ /Квант, 1980. - №4.

7. Таболников С. Вариации на тему Эшера./ /Квант, 1990. - №12.

8. Федоров Е.С. Симметрия на плоскости – СПб, 1981.

9. Цукарь А. Бордюры// Математика, 1998 - №13.

10. Несколько орнаментов по мотивам Эшера./ Квант. – 1991 - №2.

11. Симаков Е. Е. Орнаменты на плоскости . Молодой ученый. — 2011. — №5. Т.1.

12. Математический энциклопедический словарь. Ред. Прохоров Ю.В. – М.:

Советская энциклопедия, 1988.

13. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева Наглядная геометрия – М.:Педагогика, 1992 г.

14. БСЭ в 30 т. - М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978.

15. Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и И.А. Ефрона – АО «Ф. А. Брокгауз — И. А. Ефрон», 1890 -1907.

16. Словарь изобразительного искусства в 10 т. — СПб.: Азбука-классика, 2004-2009.

17. Гумманитарный словарь. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС: Филол. фак. С.-Петерб. гос. ун-та, 2002

18. http://art.ioso.ru/index.php

19. http://orezbe.ru


Приложение 1.


http://fictionbook.ru/static/bookimages/01/87/72/01877225.bin.dir/h/i_020.png

Рис. 1а



http://smirnov.iph.ras.ru/win/publictn/podhod/podhod_files/image016.jpghttp://us.cdn3.123rf.com/168nwm/aniad/aniad0901/aniad090100003/4159961-traditional-moorish-ornament--alhambra.jpg

Рис.1б,в

http://referat.znate.ru/pars_docs/tw_refs/9/8487/8487_html_m29af2581.pnghttp://referat.znate.ru/pars_docs/tw_refs/9/8487/8487_html_7b9f40c2.png











Рис. 1г,д

hello_html_fa4e622.pnghello_html_m2dd04fbb.png






Рис. 2

hello_html_m2b8523d2.png























Приложение 2

Толкование понятия орнамент

  • Большая советская энциклопедия

(лат. ornemantum — украшение) — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов; предназначается для украшения различных предметов (утварь, орудия и оружие, текстильные изделия, мебель, книги и т. д.), архитектурных сооружений (как извне, так и в интерьере), произведений пластических искусств (главным образом прикладных), у первобытных народов также самого человеческого тела (раскраска, татуировка).

  • Словарь изобразительного искусства

 (лат. Ornamentum — "снаряжение, вооружение" от Ornare — "вооружать, оснащать, снабжать необходимым") — отвлеченный тип изображения. 

  • Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и И.А. Ефрона

исполненное в одной плоскости, вылепленное рельефно или резанное вглубь, одноцветное или иллюминованное красками изображение, служащее в архитектуре украшением различных частей зданий (полов, потолков, карнизов, фризов, капителей колонн, самых стен и пр.), а в художественно-промышленных производствах употребляемое для придания красивого вида изделиям всякого рода (вазам и другим сосудам, ювелирным вещам, коврам, материям для одежд и комнатного убранства, обоям, мебели и т. д.).

  • Энциклопедия «Искусство»

узор, построенный на ритмическом чередовании и сочетании геометрических или изобразительных элементов. 

  • Большой энциклопедический политехнический словарь

архитектурный - декоративный узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов и украшающий архитектурные сооружения, их отдельные части и детали; служит дополнительным средством художественной выразительности в архитектуре. 


  • Гумманитарный словарь

узор, выполненный на одной плоскости или рельефно, одноцветный или многоцветный, состоит из ритмически упорядоченных элементов и используется для украшения архитектурных сооружений (полов, потолков, фризов, капителей колонн и т. д.), а также в произведениях декоративно-прикладного искусства, книг и т. д., выявляющий фактуру поверхности предмета, его архитектонику, зрительно организующий предмет.

  • Словарь иностранных слов

Все, что составляет украшение, не необходимые части, преимущественно в архитектуре: напр. листья, плоды, гирлянды; фестоны, служащие для украшения здания.

  • Толковый словарь Даля

франц. украшенье, прикраса, особенно в зодчестве

  • Этимологический словарь русского языка

Латинское – ornare (украшать, оснащать).

В русский язык слово «орнамент» пришло из немецкого в начале XIX в.

Орнамент – живописное или скульптурное украшение из геометрических, стилизованных растительных, животных и других элементов. Некоторые исследователи предполагают, что это слово проникло в русский язык еще во времена Петра I.











Приложение 3.


«Кавалерия»

http://i.i.ua/photo/images/pic/9/0/3366809_b45e5bda.jpg

http://www.zhaba.ru/_pics/knjpwo9q6dagif9r.jpg

«Клоуны»

http://img11.nnm.ru/8/1/f/1/a/81f1a7fcfe0dc20e5f54d3f15817b719_full.jpg















«Ящерицы»

http://img1.liveinternet.ru/images/foto/b/3/987/1739987/f_13264806.jpg















«Все меньше и меньше»





http://art.ioso.ru/seminar/2008/projects7/ornament/Pictures/image213.jpg

«Всадник»















Краткое описание документа:

Исследовательская работа учащегося 10 класса "Орнамент"

Работа касается одного из самых интересных вопросов геометрии – классификации орнаментов. По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: бордюр, раппорт, розетта

 

 

В работе рассматриваются вопросы, связанные с конструированием орнаментов и узоров с использованием законов симметрии при их построении.  Нам хотелось доказать еще раз непосредственную связь гео-метрии с практической жизнью. Ведь любые теоретические открытия направлены, в конечном итоге, на дальнейшее практическое применение, а иначе, зачем они совершаются? 

Общая информация

Номер материала: 300136

Похожие материалы