Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Исследовательская работа "Выпуклые функции"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "Выпуклые функции"

библиотека
материалов
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА   Тема Выпуклые функции и уравнения Выполнила: Гуцун...
Рассмотрим уравнения + =2, + = 4, (x−6)10 + (x−1,5)10 = 4,510.  Уравнения та...
А именно, особенностью данных уравнений является возможность записать их в ви...
Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (т.е. отрезка с концами...
Теорема 1. Пусть функция f(х) является строго выпуклой вниз на промежутке X,...
Из теоремы вытекает следующее утверждение, позволяющее решать уравнения прив...
Доказательство. Решения совокупности уравнений (3), содержащиеся в ОДЗ уравне...
Тогда справедлива одна из четырех цепочек неравенств u(х0) < u₁(х0) v(x0) < v...
Вместо этой совокупности в условиях теоремы 2 можно брать равносильные совоку...
В этом случае уравнение + =2 равносильно уравнению =1. Отсюда следует, что x...
Пример 3. Решите уравнение + = + 2. Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок[ −1;...
Пример 4. Решите уравнение (х2 + х +2)(x² - 3х + 6) = 5(2x² - 2х + 3). Решени...
Сложность применения данного метода состоит в « угадывании» u, u₁, v, v₁. Пр...
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА   Тема Выпуклые функции и уравнения Выполнила: Гуцун
Описание слайда:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА   Тема Выпуклые функции и уравнения Выполнила: Гуцунаева Рита Маировна   Школа СОШ № 50 Владикавказ, 2010

№ слайда 2 Рассмотрим уравнения + =2, + = 4, (x−6)10 + (x−1,5)10 = 4,510.  Уравнения та
Описание слайда:

Рассмотрим уравнения + =2, + = 4, (x−6)10 + (x−1,5)10 = 4,510.  Уравнения такого вида часто встречаются среди конкурсных и олимпиадных заданий, при этом в школьной программе недостаточно внимания уделяется рассмотрению приема решения такого типа уравнений, основанного на понятии и свойствах выпуклой функции. Да, они решаются в школьной программе, однако способы решения не всегда самые рациональные. Например, метод решения второго уравнения состоит в двухкратном возведении обеих частей уравнения в квадрат, замене переменной, решении трех квадратных уравнений и проверке. (Приложение 1) Однако определенная особенность этих уравнений позволяет решать их без особых усилий.

№ слайда 3 А именно, особенностью данных уравнений является возможность записать их в ви
Описание слайда:

А именно, особенностью данных уравнений является возможность записать их в виде f(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁), (1) где f(x)- строго выпуклая функция на промежутке X, u , u1 ,v1 , v содержатся в ОДЗ уравнения (1) и верно равенство u + v = u1 + v1 При выполнении этих условий уравнение (1) равносильно совокупности уравнений u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Используем при решении того же уравнения данную особенность. ( Приложение 2) Покажем , что уравнение (1) при сказанных условиях равносильно совокупности u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Пусть функция f(х) определена на промежутке X. Она называется строго выпуклой вниз (вверх) на X, если для любых u и v из X, u≠v и 0<λ<1 справедливо неравенство f(λu + (1 - λ)v) < λf(u) + (1-λ)f(v), (f(λu + (1 - λ)v) > λf(u) + (1-λ)f(v)).

№ слайда 4 Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (т.е. отрезка с концами
Описание слайда:

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (т.е. отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v; f(v)), отличная от точек В к С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(х), соответствующей тому же значению аргумента. Функции, строго выпуклые вверх и вниз, будем называть строго выпуклыми. Справедливо для выпуклых функций следующее утверждение.

№ слайда 5 Теорема 1. Пусть функция f(х) является строго выпуклой вниз на промежутке X,
Описание слайда:

Теорема 1. Пусть функция f(х) является строго выпуклой вниз на промежутке X, u, v, u1 , v1 є X , u < u1 <v1 < v и u + v = u1 + v1.Тогда справедливо неравенство f(u1)+f(v1)<f(u) +f(v). Доказательство. Так как u< u1< v, то найдется λ (λ= ) такое, что u₁ = λu + (1 – λ)v и 0 < λ < 1. Тогда v₁ = u + v−u₁ = (1 −λ)u+λv. Следовательно, f(u1)+f(v1)= f(λu + (1 – λ)v)+f((1 −λ)u+λv)< λf(u) + (1-λ)f(v) + +((1 −λ) f(u) + λ f(v) = f(u) +f(v). Геометрически это означает что, если выполнены условия теоремы, то середина отрезка ВС - точка F лежит выше середины отрезка ED - точки G, так как ордината F равна половине f(u) +f(v), а ордината точки G- половине f(u₁) +f(v₁).

№ слайда 6 Из теоремы вытекает следующее утверждение, позволяющее решать уравнения прив
Описание слайда:

Из теоремы вытекает следующее утверждение, позволяющее решать уравнения приведенные вначале, минуя их иррациональность и степени. Теорема 2. Если функция f(х) является строго выпуклой на промежутке X, функции u = u (х), v = v(x), u = u₁(x), v₁ = v₁(x) такие, что при всех х из ОДЗ уравнения f(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁) (1) их значения u(х), v(x), u₁(x), v₁(x) также содержатся в X и выполнено условие u+ v = u1 + v1, (2) то уравнение f(u1)+f(v1) = f(u) +f(v) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). (3)

№ слайда 7 Доказательство. Решения совокупности уравнений (3), содержащиеся в ОДЗ уравне
Описание слайда:

Доказательство. Решения совокупности уравнений (3), содержащиеся в ОДЗ уравнения (1), будут решениями уравнения (1). В самом деле, пусть x0 – решение совокупности уравнений (3), т.е. u(х0) = u₁(x0) и u(х0) = v₁(x0). Из условия (2) следует, что u(х0) + v(x0) = u₁(х0) + v₁(x0) или u(х0) + v(x0) = u(х0) + v₁(x0), откуда v(x0)= v₁(x0) Тогда f(u(х0)) +f(v(x0)) = f(u₁(х0)) +f(v₁(x0)). Предположим теперь, что x0 - решение уравнения f(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁), не являющееся решением совокупности уравнений u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Тогда u(х0)≠ u₁(x0) и u(х0)≠ v₁(x0). Для определенности предположим, что функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке X и u(x0) ≤ v(x0).

№ слайда 8 Тогда справедлива одна из четырех цепочек неравенств u(х0) &lt; u₁(х0) v(x0) &lt; v
Описание слайда:

Тогда справедлива одна из четырех цепочек неравенств u(х0) < u₁(х0) v(x0) < v₁(x0), u(x0) < v1(x0) u₁(x0) < v(x0), u₁(x0) < u(x0) v(x0) < v₁(x0), v₁(x0) < u(x0) v (x0) < u₁(x0). Отсюда в силу теоремы 1 получаем, что либо f(u(х0)) +f(v(x0)) <f(u1(х0)) +f(vl(x0)), либо f(u(х0)) +f(v(x0)) >f(u₁(х0)) +f(vl(x0)), что противоречит предположению. Следовательно, решения уравнения f(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁) являются решениями совокупности u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x).

№ слайда 9 Вместо этой совокупности в условиях теоремы 2 можно брать равносильные совоку
Описание слайда:

Вместо этой совокупности в условиях теоремы 2 можно брать равносильные совокупности, например, u(х) = u₁(х), v(x) = u₁(x) или v(x) = u₁(х), v(x) = v₁(x). Перед тем как обратиться к примерам, напомним, что если функция f(х) дважды дифференцируема на промежутке X и f"(x) > 0 (f"(x)< 0) при всех х из X, то f(x) строго выпукла вниз (вверх) на X. Пример1. Решите уравнение + =2. Решение. Это уравнение можно записать в виде f(u)+f(v)=f(u1)+f(v1), (1) где f(x) = , u = , v = , u1=1, v1=1. Функция f(x) является строго выпуклой вверх на , u, v, u1, v1 принадлежат промежутку при любом x и u+v = u1 + v1.

№ слайда 10 В этом случае уравнение + =2 равносильно уравнению =1. Отсюда следует, что x
Описание слайда:

В этом случае уравнение + =2 равносильно уравнению =1. Отсюда следует, что x= ±1. Ответ: ±1. Пример 2. Решите уравнение + = 3. Решение.   ОДЗ уравнения является промежуток − x . Положим u = х2 + х + 10, v = 7 − х2 − х. Тогда u + v = 17. Так как 3 = + то, приняв u₁=16, v₁= 1, получаем, что уравнение имеет вид (1) и выполнено условие (2). Поэтому оно равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений x2 + х + 10 = 16, х2 + х + 10 = 1. Второе уравнение решений не имеет. Решениями первого уравнения являются х = 2, х = -3, которые входят в ОДЗ исходного уравнения и, значит, являются его решениями. Ответ: −3; 2.

№ слайда 11 Пример 3. Решите уравнение + = + 2. Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок[ −1;
Описание слайда:

Пример 3. Решите уравнение + = + 2. Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок[ −1;2]. Уравнение имеет вид (1), где u = 2− х, v = 2х + 15, u₁ = х + 1, v₁ = 16, и выполнено условие (2). Поэтому на ОДЗ оно равносильно совокупности уравнений 2 − х= 16, 2х+ 15 = 16. С учетом ОДЗ получаем, что x = 0,5. Ответ: 0,5 Пример 5. При каждом натуральном n 2 и любых а и b, a ≠ b решите уравнение (х - а)2n + (х – b)2n = (а - b)2n. Решение. Положив f(x) = х2n, u₁ = а - b, v₁ = 0, u = а− х, v = х − b, замечаем, что уравнение относится к виду (1). Поскольку функция f(х) является строго выпуклой вниз на R и при всех х выполнено условие (2), то уравнение равносильно совокупности уравнений а - х = 0, х - b = 0. Следовательно, оно имеет два решения х = а и х= b. Ответ: х = а, х= b.

№ слайда 12 Пример 4. Решите уравнение (х2 + х +2)(x² - 3х + 6) = 5(2x² - 2х + 3). Решени
Описание слайда:

Пример 4. Решите уравнение (х2 + х +2)(x² - 3х + 6) = 5(2x² - 2х + 3). Решение. Прологарифмировав обе части уравнения, получим равносильное уравнение lg(x2 + х + 2) + lg(x2 - 3х + 6) = lg5 + lg(2x2 - 2x + 3), (3) которое относится к виду (1), причем f(x) = lgx, u = х2 + х + 2, v= х2 − 3х + 6, u₁ = 5, v₁ = 2x² - 2х + 3. Так как функция f(x) является строго выпуклой вверх на (0; ), функции u(х), v(x), u₁,(х), v₁(x) положительны при любом х и выполнено условие (2), то уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х2 + х + 2=5, х2 − 3х + 6=5 Корнями этих уравнений являются x = и x = . Ответ: ; . (Приложение 3)

№ слайда 13 Сложность применения данного метода состоит в « угадывании» u, u₁, v, v₁. Пр
Описание слайда:

Сложность применения данного метода состоит в « угадывании» u, u₁, v, v₁. Преимущество способа состоит в несложности самого решения данных уравнений и определении количества корней уравнения Список литературы 1.Чучаев и.И., Денисова Т.В. Выпуклые функции и уравнения. Математика в школе.№5.2005 год. 2.  Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. -  М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с.  3. "Википедия" - универсальная энциклопедия. ru.wikipedia.org1(дата обращения:14.12.2009) .

Краткое описание документа:

В работе рассмотрены уравнения, которые встречаются среди

конкурсных и олимпиадных заданий, при этом в школьной программе

недостаточно внимания уделяется рассмотрению приема решения

такого типа уравнений, основанного на понятии и свойствах выпуклой

функции. Да, они решаются в школьной программе, однако способы

решения не всегда самые рациональные.

    Например, метод решения второго уравнения состоит в двухкратном

возведении обеих частей уравнения в квадрат, замене переменной,

решении трех квадратных уравнений и проверке.

 

    

Автор
Дата добавления 13.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров311
Номер материала 294076
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх