Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Физика / Другие методич. материалы / Исследовательские задачи в курсе квантовой механики

Исследовательские задачи в курсе квантовой механики


  • Физика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m21f8f74f.gifhello_html_m408f84f2.gifhello_html_m6e17590f.gifhello_html_m6e17590f.gifhello_html_m6780725e.gifhello_html_m6780725e.gifhello_html_m6780725e.gifhello_html_m6780725e.gifhello_html_1f32c5a0.gifhello_html_332efda3.gifhello_html_6bf64ca6.gifhello_html_332efda3.gifhello_html_332efda3.gifhello_html_7b99ecef.gifhello_html_52170339.gifhello_html_610e16ff.gifhello_html_m6a089abb.gifhello_html_m6a089abb.gifhello_html_m212c9552.gifhello_html_5f720353.gifhello_html_7aa431bf.gifhello_html_m513e05fc.gifhello_html_32603133.gifhello_html_32603133.gifhello_html_14bc6a2a.gifhello_html_m9b6f3bd.gifhello_html_m9b6f3bd.gifhello_html_3327e305.gifhello_html_m6853cc70.gifhello_html_69865870.gifhello_html_19497dbc.gifhello_html_6f731b97.gifhello_html_m15a542bf.gifhello_html_m12fb081e.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m724a5c47.gifhello_html_mf302963.gifhello_html_m53f6a28b.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m3f92721b.gifhello_html_m79b25cc5.gifhello_html_m4dcd428f.gifhello_html_m4dcd428f.gifhello_html_m2f3601db.gifhello_html_m27f4c45d.gifhello_html_m27f4c45d.gifhello_html_m27f4c45d.gifhello_html_1c56e0d6.gifhello_html_2f00c2e8.gifhello_html_m34c67edb.gifhello_html_3ee5f881.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_m377e8fcb.gifhello_html_m4f6a60a4.gifhello_html_335717fe.gifF:\1252521826_chelyab-gos-ped-univ[1].jpg

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ЧГПУ»)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ФИЗИКЕ



ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА

Выпускная квалификационная работа

по направлению 050203 – физика с дополнительной специальностью «050201 – математика»

Выполнила:

Студентка 551 группы

Власова Валентина Валерьевна



Работа допущена к защите Научный руководитель:

«__» __________2015 г. кандидат физико-математических наук, доцент

зав. кафедрой ФиМОФ Свирская Людмила Моисеевна

Беспаль Ирина Ивановна





Челябинск

2015

ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….……….4


ГЛАВА I. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И УСЛОВИЯ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ

1.1 Применение уравнения Гельмгольца для описания волн де Бройля. Стационарное уравнение Шрёдингера…………………………………..........9

1.2 Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера в случае свободного одномерного движения………………………………………….11

    1. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме…….14

    2. Движение микрочастицы в одномерной яме конечной глубины……...22



ГЛАВА II. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

2.1 Двухуровневая система под действием не зависящего от времени возмущения……………………………………………………………………26

    1. Вероятность квантовых переходов под влиянием периодического возмущения. Теория возмущений Дирака……………………………….29

    2. Вероятность электрических дипольных переходов в поле электромагнитной волны………………………………………………….33

    3. Правила отбора для электрических дипольных переходов…………...34

    4. Коэффициенты Эйнштейна……………………………………………...36

    5. Естественная ширина энергетического уровня и уширение спектральных линий………………………………………………………39

    6. Приближение Борна в теории упругих столкновений………………...43

    7. Формула Резерфорда…………………………………………………….45

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

    1. Описание лабораторной работы «Исследование взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем на основе нестационарного уравнения Шрёдингера» ………………………………...46


    1. Компьютерный эксперимент « Квантовые переходы в дискретном спектре» и его результаты…………………………………………………...52



    1. Анализ итогов педагогического эксперимента. Оценка эффективности использования исследовательских задач при изучении квантовой механики……………………………………………………………………...54


ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….61


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………..……………………..62




























ВВЕДЕНИЕ

Квант действия, введенный 115 лет назад Максом Планком [21], положил начало новому, неклассическому, способу описания явлений и процессов в атомном и субатомном масштабах. Последовавшая за этим эпоха, получившая название «золотой век теоретической физики» (1924-1927 г.г.), заложила основы квантовой механики и, тем самым, определила весь дальнейший путь развития физики и естествознания в целом. Фундаментальное описание природы является квантово-механическим. Изучение квантовой механики необходимо для понимания свойств микромира, химических, биологических, астрофизических и других явлений, от объектов неживой природы до самого феномена жизни.

Фундаментальная роль квантовой механики, отметившей уже почти 90-летие своего триумфального развития, отражается и в постановке высшего образования во всем мире. Так, например, во французских программах предусмотрено знакомство с основными идеями квантовой физики уже на втором году обучения в университете, а детальное изучение основ квантовой механики и её наиболее важных приложений осуществляется на третьем году обучения [16]. Традиции школы преподавания теоретической физики (и квантовой механики, в частности), созданной в ЧГПУ профессором, академиком РАЕ М.С. Свирским [22], предусматривают строгое получение и обоснование всех основных теоретических результатов. Такой способ изучения теоретической физики позволяет осознанно воспринимать содержание учебных пособий (напр.,[11,17,23]), в которых вычислительные подробности, как правило, не приводятся. Сочетание подробного теоретического анализа, проводимого в рамках лекционных и семинарских занятий, с компьютерным экспериментом обеспечивает более глубокое понимание квантовой механики.

Квантовая механика показала, что законы и понятия макроскопической физики неприменимы (или имеют ограниченную область применимости) к явлениям микромира. Новые физические понятия, введенные квантовой механикой, потребовали использования нового математического аппарата, освоение которого представляет большую трудность для начинающих изучать этот курс. Барьером для изучения квантовой механики является не только её математический аппарат. Основные понятия и методы квантовой механики не обладают наглядностью. На помощь приходит компьютерный эксперимент, который становится естественным инструментом исследования квантовых явлений [6,7,9,10,13,28]. Это относится к изучению эффектов, описываемых как стационарным, так и нестационарным уравнением Шредингера.

Квантовая теория консервативных физических систем (гамильтониан которых не зависит явно от времени) основана на уравнении на собственные значения гамильтониана. Однако только в очень небольшом количестве задач гамильтониан имеет достаточно простую форму, позволяющую точно решить уравнение на собственные значения. В общем случае уравнение Шрёдингера бывает настолько сложным, что найти его решения в аналитическом виде оказывается невозможным. Например, невозможно найти точное решение для многоэлектронных атомов, даже в случае атома гелия. Поэтому возникает необходимость использования численных методов анализа, реализуемых в упомянутом выше компьютерном эксперименте, а также приближенных методов, позволяющих в ряде случаев получить приближенные аналитические решения основного уравнения на собственные значения. К числу таких приближенных методов относятся метод возмущений и вариационный метод [16-18].

Теория стационарных возмущений применительно к атомной физике реализует общий физический подход: изучение любой физической системы начинается с выяснения главных свойств рассматриваемого явления, и лишь после этого рассматриваются более «тонкие» его детали с учетом менее значительных эффектов, которыми пренебрегли в первом приближении. Таким методом можно рассчитать, например, изменение квантовых уровней и волновых функций электронов в атоме, если поместить атом во внешнее электрическое или магнитное поле. Достигаемые на опыте поля обычно малы по сравнению с внутриатомным кулоновским полем. Поэтому действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку, т.е. как возмущение. Этот термин заимствован из небесной механики, где он применялся для описания влияния одной планеты на другую.

В теории возмущений, зависящих от времени, используется метод исследования систем, гамильтониан которых содержит члены, явно зависящие от времени. Система может содержать произвольное количество уровней, а возмущение может произвольным образом зависеть от времени. Это и является причиной того, что в общем случае найти точное решение невозможно. Важнейшей задачей становится вычисление вероятности перехода системы из одного квантового состояния в другое. Теория квантовых переходов под влиянием внешнего возмущения находит широкое применение в различных квантово-механических задачах. В нашей работе мы рассматриваем, в первую очередь, взаимодействие атома с монохроматической электромагнитной волной. Этот анализ приводит к таким фундаментальным понятиям, как правила отбора для спектральных переходов, индуцированное испускание и поглощение света. Взаимодействие квантовой системы с периодическим полем электромагнитной волны является центральным вопросом нашего исследования.

Актуальность темы:

1. Квантовые явления не обладают наглядностью и требуют для их описания применения достаточно сложного математического аппарата;

2.Число аналитически решаемых нестационарных задач невелико.

Этим обусловлена необходимость использования компьютера в процессе изучения квантовой механики. С его помощью можно не только наблюдать за развитием квантово-механических процессов в реальном времени, но и самостоятельно экспериментировать.

Объект исследования - квантово механические процессы, требующие применение нестационарного уравнения Шрёдингера.

Предмет исследования - компьютерный эксперимент по изучению проведения квантовой системы в электромагнитном поле.

Цель работы - изучить возможности использования компьютерного эксперимента в теории нестационарных возмущений.

Задачи работы:

  1. Изучить пакет программ «QUANTUM TRANSITIONS» (QT) (МГУ) [9], демонстрирующий взаимодействие квантовой системы с полем электромагнитной волны;

  2. Используя возможности варьирования начальных условий в широких пределах, применить пакет для проведения исследовательской работы;

  3. Разработать лабораторную работу по теме «Исследование взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем на основе нестационарного уравнения Шрёдингера» для использования в курсе квантовой механики.

Гипотеза исследования:

  1. Применение компьютерного эксперимента позволит исследовать решения нестационарного уравнения Шрёдингера, которые сложно предсказать аналитически;

  2. Включение в учебный процесс по квантовой механике задач исследовательского характера с использованием компьютерных моделей позволит повысить эффективность изучения данного курса.

Работа содержит три главы. В первой главе рассматривается применение уравнения Шрёдингера к модели частицы в прямоугольной потенциальной яме, которая используется далее при изучении квантовых переходов между состояниями дискретного спектра. Во второй главе обсуждается применение нестационарного уравнения Шрёдингера в теории возмущений. Третья глава содержит описание проведённых исследований, связанных с применением компьютерного эксперимента при изучении поведения квантовой системы во внешнем периодически изменяющемся электромагнитном поле.

По образному выражению профессора Б.Н. Захарьева (Объединённый Институт Ядерных Исследований, Дубна), оживлённый компьютером курс квантовой механики можно рассматривать как «педагогический бальзам для залечивания пробелов традиционного курса». Широкое распространение компьютерное моделирование квантовых явлений получило после издания книг Брандта и Дамена [6,7], а затем после появления аналогичного пособия коллектива авторов МГУ [9]. С опорой на эту книгу была подготовлена компьютерная лабораторная работа, внедрение которой в учебный процесс значительно повысило интерес студентов к изучению непростой темы, связанной с поведением квантовой системы во внешнем электромагнитном поле.

















ГЛАВА I. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И УСЛОВИЯ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ

    1. Применение уравнения Гельмгольца для описания волн де Бройля. Стационарное уравнение Шрёдингера.

Уравнение Гельмгольца

hello_html_m6dc7d4e0.gif, (1.1)

где hello_html_73746224.gif ,

описывает волны разнообразной природы в однородных средах и вакууме с постоянной частотой. Постоянство длины волны не предполагается. Поэтому представляется разумным применить это уравнение для описания волн де Бройля, характеризующих волновые свойства корпускул. Соотношение де Бройля hello_html_1c1d3fd2.gif показывает что условие hello_html_m183b94b0.gif влечет за собой удовлетворение равенства hello_html_m73b725be.gif. Следовательно уравнение Гельмгольца можно применить для волн де Бройля при описании движения корпускул в потенциальных полях, когда их полная энергия постоянна:

hello_html_2d76268.gifгде hello_html_m39cd8688.gifкинетическая энергия, hello_html_m593da6e8.gif (в дальнейшем для обозначения потенциальной энергии будет использоваться также V).

Из соотношения де Бройля

hello_html_m685ce104.gif, (1.2)

с учетом hello_html_2d76268.gif следует равенство

hello_html_m60cb458b.gif(1.3)

Подставляя выражение (1.3) для hello_html_m49e783cc.gif в (1.1), получаем уравнение

hello_html_1e6ba47f.gif, (1.4)

называемым стационарным уравнением Шрёдингера.

Изложенные выше соображения делают весьма вероятным предположение, что уравнение (1.4) правильно описывает движения корпускул с учетом их волновых свойств. Однако правильность этого предположения может быть подтверждена лишь согласием выводов из этого уравнения с результатами эксперимента.

Уравнение (1.4) является уравнением в частных производных которое имеет решение для непрерывной, однозначной и конечной во всех точках функции

hello_html_m65e59374.gifне при всех значениях Е, а лишь при определенных значениях, называемых собственными.

Шрёдингер после формулировки этого уравнения сразу же применил его к атому водорода и получил для собственных значений энергии спектр, точно совпадающий со спектром атома водорода по старой теории Бора, который с большой точностью совпадал со всеми известными экспериментальными данными. Так было показано, что уравнение (1.4) действительно правильно описывает движение электрона в потенциальном электрическом поле.

Оно было принято в качестве основного уравнения стационарных состояний квантовой механики практически сразу после его опубликования Шрёдингером. Однако интерпретация физического содержания этого уравнения явилась предметом многочисленных работ и дискуссий, продолжающихся до настоящего времени. В частности, важным является вопрос о физическом смысле функции hello_html_m65e59374.gif, которая называется волновой функцией. Если функцию hello_html_4bab7e42.gifв уравнении (1.1) интерпретировать, как величину характеризующую волну, то hello_html_38823716.gif при соответствующей нормировке следует считать плотностью вероятности нахождения частицы в точке r.





    1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера в случае свободного одномерного движения.

Необходимо решить одномерное волновое уравнение в случае V=0 и обсудить физический смысл полученных решений.

Волновое уравнение

hello_html_m4c6931b4.gif, (1.5)

разрешает разделение переменных

hello_html_3f2f608e.gif. (1.6)

При подстановке выражения (1.6) в (1.5) получается уравнение для независящей от времени функции

hello_html_5b937572.gif, (1.7)

где hello_html_m263df358.gif . Его решение имеет вид

hello_html_7ad4bfcd.gif, (1.8)

поэтому одномерная волновая функция

hello_html_2d4d3ef8.gif(1.9)

состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. У обеих волн фазовая скорость равна hello_html_7c1f6009.gif

Физический смысл пространственной части волновой функции (1.9) станет ясен, если записать в явном виде выражения для плотности вероятности

hello_html_5edd5bd3.gif(1.10)

и для потока

hello_html_m6c4f7b10.gif(1.11)

Согласно (1.9) мы имеем

hello_html_m8b330b3.gif(1.12)

hello_html_m4bddf624.gif(1.13)

Две волны с амплитудами А и В соответствуют, как видно, двум противоположно направленным потокам, интенсивность которых определяется относительными нормировочными постоянными волн и пропорциональна k. Выражение для плотности потока указывает на наличие интерференции двух (когерентных) волн, обусловливающей пространственную периодичность.

Когда нет особых причин (например, граничных условий) добиваться когерентности, разумно рассматривать каждую волну отдельно, полагая либо В=0, что дает s>0, либо А=0, что дает s<0. В результате получается равномерное движение либо в том, либо в ином направлении. Считая, что величина k может быть обоих знаков, можно резюмировать наши результаты следующим образом:

hello_html_717d9153.gif(1.14)

E=ω, hello_html_m2f0e95ad.gif, (1.15)

hello_html_5b46c693.gif, hello_html_11852162.gif(1.16)

hello_html_a4d9121.gif. (1.17)

Исключая ω, находим:

hello_html_ceaac92.gif(1.18)

Поэтому импульс частицы и ее классическая скорость соответственно равны

p=k, (1.19)

и

hello_html_m1a898b.gif. (1.20)

Последняя совпадет отнюдь не с фазовой

hello_html_37b85a45.gif, (1.21)

а с групповой скоростью волны

hello_html_m1b73423d.gif(1.22)

Заметим, что основное дифференциальное уравнение (1.5) можно рассматривать как уравнение диффузии с мнимым коэффициентом диффузии D:

hello_html_m713ee548.gif(1.23)

hello_html_m4f3171c7.gif

Так как разделение переменных играет важную роль в квантовой теории, а не в теории диффузии, то решения, типичные для задач диффузии (с действительным коэффициентом D),

hello_html_17ab42cc.gif, (1.25)

не находят применения в квантовом случае.

Обращение времени в уравнении (1.5) ведет к замене на hello_html_4b1d4733.gif




















    1. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме

Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты х изображена на рис. 1.

рис.png

рис.1.

На интервале (0, а) потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы (0, а) или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция вне интервала (0, а) равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках x = а, х = 0. Таким образом, для (х) получаем следующие граничные условия:

(0) = (а) = 0. (1.26)

Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид:

hello_html_m17e33721.gif



hello_html_m2678ae0d.gif(1.28)



Общее решение этого уравнения хорошо известно:

hello_html_451e4b4b.gif

Граничное условие (0) = 0 дает В = 0, а из граничного условия (а) = 0 следует, что

hello_html_m2ce3ea26.gif(1.30)

hello_html_5aa3c230.gif(1.31)

Это условие квантует движение частиц. На основании (1.31) и определение энергии через в (1.27) получаем для уровней энергии выражение:

hello_html_5138f5e1.gif(1.32)

Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равная нулю энергия

hello_html_m31d6da55.gif(1.33)

соответствующая основному состоянию движения частиц. Волновая функция этого состояния

hello_html_6aaa5fe8.gif(1.34)

ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращается. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер:

волновая функция основного состояния не имеет узлов, то есть не обращается в ноль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в ноль лишь на границах.

Из (1.33) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается. Физическая причина этого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.

Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частиц. Это одно из проявлений принципа неопределенности.

Поскольку спектр дискретен, условие нормировки

hello_html_m38c42949.gif, (1.35)

для нормировочного множителя дает значения

hello_html_m7d99300.gif. (1.36)

Поэтому система собственных функций имеет вид



hello_html_m68bf006f.gif. (1.37)



Теперь рассмотрим задачу о прямоугольной потенциальной яме между двумя бесконечными стенками [27] . Необходимо найти решение уравнения Шрёдингера для потенциала, изображенного на рис.2. Особо следует рассмотреть состояния с положительной энергией в предельном случае hello_html_m57d29849.gif .

23.png

Рис.2

Сначала рассмотрим «связанные» состояния, для которых Еhello_html_46b707a4.gif

hello_html_m4301a4e2.gif, hello_html_m39d0d7db.gif, (1.38)

и условие нормировки

hello_html_7924432f.gif, (1.39)

можем записать волновые функции следующим образом:

четные

hello_html_m56cd821.gif

hello_html_m6a7feeb6.gif(1.40)

нечетные

hello_html_m102c2c81.gif

hello_html_35bb8a0a.gif(1.41)

Здесь мы уже позаботились о непрерывности u(x) при х = а, но требование непрерывности производной u(x) в этой точке дает нам дополнительное условие:

четные

hello_html_6b5ade12.gif(1.42)

нечетные

hello_html_m4f1327ae.gif(1.43)

которое и позволяет вычислить собственное значение. Заметим, что при

hello_html_m4c97ebe7.gif

обе гиперболические функции быстро стремятся к единице. При этом уравнение (1.42) и (1.43) переходят в уравнение для собственных значений,

hello_html_37ed828d.gif(1.44)

hello_html_f2769de.gif, (1.45)

а нормировочные соотношения (1.40) и (1.41) для hello_html_m2207e887.gif - в соответствующие соотношения

hello_html_m53670697.gif(1.46)

hello_html_m24f8a13e.gif(1.47)

В выражениях же (1.40), (1.41) для самих волновых функций, когда hello_html_6ba112f2.gif, но hello_html_m7550f4dc.gif можно положить

hello_html_m34fc94d8.gif(1.48)

снова возвращаясь, таким образом, к волновым функциям (1.46), (1.47).

Гораздо более интересен вопрос о состояниях с положительной энергией. При конечных значениях hello_html_7571aeb8.gif имеются собственные дискретные значения, образующие по мере роста hello_html_7571aeb8.gif все более полную систему уровней, которая в предельном случае hello_html_m57d29849.gif переходит в континуум. Введя вместо E > 0 новую переменную

hello_html_m7c9fa7b2.gif(1.49)

мы можем записать волновые функции в виде

четные

hello_html_m41a89c.gif

hello_html_m2103fe2c.gif(1.50)



нечетные


hello_html_6534a10e.gif

hello_html_m1de125.gif(1.51)

Согласно этим выражениям, функция u(x) уже непрерывна, требование же непрерывности производной hello_html_m239b5f2d.gif снова дает условия,

четные

hello_html_53cdb7b6.gif(1.52)

нечетные

hello_html_m1ec92d3f.gif(1.53)

которое и позволяет вычислить собственные значения. Используя это условие мы можем заменить hello_html_3914089d.gif во вторых скобках в нормировочных выражениях для hello_html_m2207e887.gif. В результате получим

hello_html_m39d475a8.gif) -hello_html_m58c143e6.gif

(1.54)

и

hello_html_m5c1aa84a.gif) -hello_html_m58c143e6.gif

(1.55)

Если hello_html_m57d29849.gif, то второй член в этих выражениях неограниченно возрастает, поэтому

hello_html_m6637343f.gif), (1.56)

hello_html_5255f45c.gif). (1.57)

Амплитуды вне ямы можно, однако, определить непосредственно из (1.50) и (51)

hello_html_64ed468f.gif, (1.58)

hello_html_m2578411b.gif(1.59)

так, что при х > а обе волновые функции принимают вид

hello_html_m4442bf10.gif(1.60)

Здесь величина hello_html_7571aeb8.gif все еще входит в фазу волновой функции, но ее можно исключить, воспользовавшись снова уравнениями (1.52) и (1.53) определяющими собственные значения

четные

hello_html_36dc9361.gif(1.61)

нечетные

hello_html_53e1c.gif(1.62)

Наиболее примечательной особенностью этой системы волновых функций являются их энергетические уровни, плотность которых можно определить из уравнений (1.52) и (1.53) для случая очень больших, но все еще конечных значений l. Правые части этих уравнений пробегают всю действительную ось от hello_html_734220c6.gif до hello_html_730cadda.gif, когда переменная Kl пробегает интервал шириной π. В каждом таком интервале существует ровно одно решение, как у одного, так и у другого уравнения; поэтому мы получаем чередующиеся четные и нечетные уровни, расположенные в среднем на расстоянии hello_html_m18162dc1.gif (в шкале переменной K) друг от друга. Среднее же расстояние между уровнями в энергетической шкале согласно (1.49), равно

hello_html_m1c19b6d2.gif(1.63)

Таким образом, среднее расстояние между последовательными уровнями растет лишь как hello_html_2ea09a26.gif и обратно пропорционально длине нормировочного интервала. Следовательно, в пределе hello_html_m57d29849.gif дискретный энергетический спектр переходит в непрерывный.

Поведение амплитуды при переходе к непрерывному спектру для случая hello_html_m502f468.gif. Безразмерная величина hello_html_m15660488.gif представляет собой меру квадрата амплитуды внутри ямы, когда нормировка на всем протяжении вне ямы остается одной и той же, а величина hello_html_7571aeb8.gif велика. График этой величины в зависимости от hello_html_52d2d598.gif, то есть в зависимости от энергии в безразмерных единицах, построен с помощью формул (1.56) и (1.57). Ясно, что имеется бесконечное число последовательных значений энергии, для которых величина hello_html_m15660488.gif принимает максимальное значение, равное единице. Между максимумами лежат минимумы амплитуды, выраженные тем слабее, чем выше энергия. При энергиях, соответствующих максимумам амплитуды, рассматриваемые состояния, хотя их энергия положительна, все еще сохраняют некоторые черты связанных состояний, так как в этих состояниях достигается максимально возможная концентрация волновой функции в области, занятой ямой. По этой причине о них часто говорят как о виртуальных состояниях в противоположность «истинным» связанным состояниям с отрицательной энергией.

    1. Движение микрочастицы в одномерной яме конечной глубины.

Предполагается (рис. 3), что при x < 0 потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не может проникнуть в область х < 0 и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно найти волновую функцию в областях I и II при x > 0, заметив, что в точке х = 0 из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.

hello_html_m778ac4d.png

Рис.3


Уравнение Шрёдингера в областях I (0 < х < а) и II (а < х <∞) имеет вид:

hello_html_104b46da.gif(1.64)


hello_html_6a770a89.gif(1.65)


hello_html_f58e8f.gif(1.66)


Случай Е >hello_html_m6c0b60e3.gif .

Уравнение Шрёдингера в области II



hello_html_m51485f92.gif(1.67)

hello_html_64b3168a.gif(1.68)

а в области I оно имеет вид (64). Решения для различных областей можно записать следующим образом:


hello_html_m1353676d.gif(1.69)


hello_html_a9fd4d3.gif. (1.70)

Из условия hello_html_m3bef59ca.gif (0) = 0 следует, что B1 = 0, а условия непрерывности функции и ее производной:


hello_html_m55c94c1.gif(1.71)


hello_html_m1261b847.gif (1.72)


дают для коэффициентов hello_html_m1cf43dcb.gifи hello_html_m72f0e45f.gif следующие выражения:


hello_html_m10c97e21.gif. (1.73)


Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае Е >hello_html_m6c0b60e3.gif спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно.

Случай Е < Еп0. Уравнение Шредингера в области II имеет вид


hello_html_38c8537.gif. (1.74)


В области I уравнение остается без изменения. Решения для областей I и II представляются функциями


hello_html_m459a6d.gif(1.75)


hello_html_m2ac00a3c.gif(1.76)


Так как волновая функция везде должна быть конечной, ahello_html_m4870230.gif при hello_html_m6202822.gif неограниченно возрастает, то D2 в формуле (1.76) необходимо принять равным нулю.

Условия сшивания (1.71, 1.72) в рассматриваемом случае:

hello_html_de8efb2.gif, (1.77)

hello_html_m738c609c.gif(1.78)

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим условие квантования энергии:

hello_html_m6feb3921.gif. (1.79)

Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования:

hello_html_6a1557ca.gif (1.80)

Но

hello_html_16f8a9bd.gif, (1.81)

и, следовательно, уравнение (1.79) принимает вид

hello_html_m622e9127.gif. (1.82)

Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 4. В качестве решений берутся не все пересечения прямой hello_html_m1519e58e.gif с синусоидойhello_html_3b1d78fd.gif , a лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (1.79), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям hello_html_5c8a9333.gif, которых имеется конечное число, соответствуют энергии

hello_html_m65b6d045.gif(1.83)


hello_html_m2d64753.png

Рис.4


Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собственных значений энергии.

Если глубина hello_html_m6c0b60e3.gifямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т. е. стационарного движения частицы в конечной области нет.

В классической механике при Е < Еп0 частица не может проникнуть в область х > а. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция при х > а, согласно (1.76), имеет вид

hello_html_m6d3a3321.gif. (1.84)

Эта функция быстро убывает при удалении от точки х = а в сторону возрастающих значений х, но не равна нулю при х = а. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией Е < Еп0 все же проникнет в область х > а. Этот эффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.



























ГЛАВА II. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

2.1 Двухуровневая система под действием не зависящего от времени возмущения.

Рассмотрим систему, которая обладает только двумя стационарными состояниями hello_html_m10cc2a11.gif с энергиями hello_html_m5189b867.gif В момент времени t=0, когда система находилась в основном состоянии, было включено не зависящее от времени возмущение W. Необходимо вычислить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени t.

Пусть Н - гамильтониан невозмущенной системы, так что два ее возможных стационарных состояния описываются уравнениями

hello_html_3ea51176.gif|1〉, (2.1)

hello_html_6ea9b578.gif(2.2)

Тогда решение уравнения Шрёдингера при наличии возмущения

hello_html_m735b8533.gif(2.3)

можно выразить через стационарные состояния:

hello_html_m30420f98.gif(2.4)

Эта возможность обусловлена тем, что состояния |1 и |2 образуют полный ортонормированный набор состояний и соотношение (2.4) представляет собой просто-напросто разложение состояния | по указанному полному набору, причем коэффициенты разложения являются функциями времени и должны определяться из начальных условий

hello_html_41a53505.gif. (2.5)

Если выражение (2.4) подставить в уравнение (2.3) и умножить это уравнение почленно на hello_html_m47afe98d.gifили на 2|, то в результате для определения коэффициентов мы найдем два дифференциальных уравнения первого порядка

hello_html_m44f446e1.gif(2.6)

hello_html_9126f22.gif(2.7)

Пусть для краткости

hello_html_3776f58.gif, (2.8)

тогда в силу эрмитовости оператора W диагональные матричные элементы hello_html_m5dbbb5f9.gifи hello_html_m3524aca8.gifбудут действительными, а недиагональные матричные элементы будут связаны соотношением

hello_html_3e403862.gif(2.9)

Пользуясь обозначение

hello_html_m49b8540.gif, (2.10)

(hello_html_m125429ea.gifесть, очевидно, разность энергий двух рассматриваемых состояний), уравнения (2.6) и (2.7) можно переписать следующим образом:

hello_html_876748a.gif(2.11)

hello_html_49847130.gif(2.12)

Решение этой системы ищем в виде

hello_html_m1c827cca.gif, hello_html_196dc5e1.gif. (2.13)

После подстановки выражений (2.13) в систему уравнений (2.11) и (2.12) получаем

hello_html_181bfd7.gif

hello_html_m30fdc01d.gif

Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений обращается в нуль при двух значениях частоты :

hello_html_471b24f4.gif(2.14)

где

hello_html_m4fe5a21c.gif(2.15)

hello_html_13d24b5b.gif(2.16)

Далее имеем

hello_html_mef65873.gif(2.17)

и, следовательно,

hello_html_m4c309b1a.gif

hello_html_3d10d41c.gif

Постоянные hello_html_7a2f439e.gif можно исключить, воспользовавшись начальными условиями (89). Вычисления приводят к следующему результату:

hello_html_65101d0b.gif(2.18) hello_html_m6eaf15f6.gif. (2.19)

Отсюда для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоянии получаем

hello_html_12d374cb.gif

Последнее выражение с учетом (100) принимает вид

hello_html_7e77e780.gif(2.20)

Вероятность обнаружить систему в исходном основном состоянии определяется выражением

hello_html_6d866cec.gif

или

hello_html_546381d1.gif(2.21)

Заметим, что сумма выражений (2.20) и (2.21) равна единице. Таким образом, рассматриваемая система осциллирует между двумя стационарными состояниями с периодом hello_html_m74fe3f2b.gif

    1. Вероятность квантовых переходов под влиянием периодического возмущения.


Рассмотрим систему, состоящую из совокупности n невырожденных уровней в отсутствие возмущения (т.е каждому уровню соответствует только одно квантовое состояние). Невозмущенное уравнение Шрёдингера (hello_html_43242f17.gif имеет вид:

hello_html_m50664bf8.gif



hello_html_m613fd93e.gif

hello_html_54567295.gif

hello_html_m201633ca.gif

hello_html_m202f498d.gif. (2.22)

Рис.5

При наложения возмущения hello_html_63ed9374.gif уравнение Шрёдингера принимает следующий вид

hello_html_m7326eca2.gif(2.23)

Представим волновую функцию в виде суперпозиции невозмущенных функций:

hello_html_m7073b445.gif

Поскольку в рассматриваемом случае стационарные состояния отсутствуют, задача заключается в том, чтобы найти вероятность квантового перехода системы в некоторое состояние hello_html_34d9eb48.gif (в отличие от стационарной теории возмущений, где можно рассчитать новые уровни энергии при наличии наложенного возмущения).


hello_html_669ab444.gif

Подставим написанную выше функцию в уравнение (2.23), затем домножим каждый член получающегося уравнения слева на волновую функцию hello_html_m189329cf.gif, комплексно сопряжённую к данной, и проинтегрируем по всему объёму:

hello_html_m49e1082f.gif

Cокращая с учетом (1) одинаковые члены, получим

hello_html_21e282cd.gif.

Представим невозмущенные функции в виде

hello_html_2372ea9b.gif,

hello_html_5854a8cf.gif

Подставляя их в предыдущее уравнение, получим

hello_html_m28bd596b.gif,

hello_html_50835157.gif(2.24)

Это уравнение является точным. Однако трудность его решения заключается в том, что (2.24) представляет собой систему к алгебраических уравнений. Приближенное решение (2.24) предложено Дираком. Представим коэффициенты разложения волновой функции в виде ряда

hello_html_m1b72f778.gif

Тогда уравнение (2.24) примет вид

hello_html_6b2a56bb.gif(2.24а)

Рассмотрим медленно меняющиеся амплитуды (рис. 6). Пусть при t=0,

hello_html_m7d87ca0e.gif

hello_html_3bdcc911.gifhello_html_m284f049a.gif,

Рис 6

hello_html_m7d87ca0e.gif

hello_html_m71ccf31.gif

hello_html_44afb670.gifhello_html_m250bba37.gif

hello_html_m1333bc89.gifбудем иметь:

hello_html_502bd465.gif.

2) В уравнении (2.24а) сохраним только члены первого порядка малости, т.е. первое слагаемое, тогда получим

hello_html_m1b532014.gif,

откуда следует, что в первом приближении теории возмущений

hello_html_m1f8d6182.gif. (2.25)

Пусть возмущение меняется по гармоническому закону:

hello_html_m584ca4c7.gif.

Подставляя это периодически меняющееся возмущение в (4), получим

hello_html_m2d06449.gif,

После интегрирования будем иметь следующее выражение

hello_html_18ff2ef2.gif. (2.26)

Формула (2.26) содержит в себе два важных случая:

1)Резонансное поглощение 2) Резонансное излучение

hello_html_m10d9990a.gifhello_html_2c7c35c0.gif,

hello_html_m1bca2451.gif

hello_html_m1bca2451.gif

hello_html_53aeff80.gif. hello_html_m3869ab35.gif

hello_html_75ce43e3.gif

hello_html_75ce43e3.gif

hello_html_m1341523d.gifhello_html_m1341523d.gif

Рис. 7

Рассмотрим случай 1), когда имеет место резонансное поглощение энергии. При этом в (2.26) следует ограничиться первым членом в квадратной скобке:



hello_html_1a99ca1a.gif

Это позволяет вычислить вероятность квантового перехода в состояние hello_html_7d84579e.gif:

hello_html_4c5da217.gif.

С целью преобразования полученного выражения учтём, что

hello_html_3cde607.gif,

где

hello_html_mb3bd736.gif.

Далее введём следующее обозначение:

hello_html_7d703f81.gif

hello_html_m1333bc89.gifполучим следующее выражение для вероятности квантовых переходов

hello_html_273cbdad.gif.

Пусть время действия возмущения много больше периода его изменения: tT (для электромагнитной волны T10-15 c, а время воздействия t1c)

hello_html_m190a6000.gif

Учтем одно из представлений δ –функции Дирака:

δ(α)

hello_html_7113935f.gif

0

Тогда получим, что вероятность квантовых переходов

пропорциональна времени воздействия на систему: Рис.8

hello_html_512681ac.gif

Вероятность перехода из hello_html_6d373727.gifв состояние hello_html_7503ec21.gif

Вероятность квантового перехода в единицу времени в первом приближении теории возмущений имеет вид:

hello_html_m223b17ba.gif,

таким образом

hello_html_m446fc88c.gif

Здесь учтено ещё одно важное свойство δ - функции Дирака :

hello_html_31a95f86.gif

Вероятность квантовых переходов (2.27) можно выразить через разность энергий:

hello_html_5696fa2a.gif

Роль δ – функции в (2.27) и (2.28) состоит в том, что она обеспечивает выполнение закона сохранения энергии.

e-

Вероятность электрических дипольных переходов в электромагнитном поле


+

x

Рассмотрим диполь в поле электромагнитной волны (рис.9) напряженностью hello_html_m2ddf924.gif Добавка к энергии в этом поле:

hello_html_m2357570f.gif

Подставим оператор возмущения hello_html_4bb0a5ad.gif в (2.27):

hello_html_m354b13a.gif

Выразим hello_html_69460039.gif

hello_html_d2464ce.gif(известно из электродинамики).

Усредним по периоду колебаний электромагнитной волны:

hello_html_49879197.gif,

откуда получим:

hello_html_141458cf.gif.

Подставляя это выражение в формулу для вероятности квантовых переходов, получим:

hello_html_7ce75f6.gif(2.29)

Интегрируя это выражение по всем частотам, получим вероятность электрических дипольных переходов на частоте hello_html_m6f59fbf9.gif :

hello_html_m4aafc8f.gif. (2.30)

    1. Правила отбора для электрических дипольных переходов



Вероятность квантового перехода hello_html_m5f29f9fd.gifесли hello_html_m2c344f13.gif(согласно (2.29) и (2.30)). Поэтому рассмотрим матричный элемент координаты, выбрав в качестве невозмущенных волновых функций состояния электрона в атоме водорода

hello_html_m60d8dc1.gif,

где волновые функции содержат радиальную и угловую часть:

hello_html_247e94bd.gif,

hello_html_4a37bbfb.gif,

hello_html_68057eb8.gif,

при этом состояние электрона характеризуется набором трёх квантовых чисел (n,hello_html_7571aeb8.gif,m). Учтём, что элемент объёма в сферической системе координат имеет вид

hello_html_551976bb.gif,

а координата х связана с координатами сферической системы соотношением

hello_html_m1b31feb0.gif.

Выделим зависимость от hello_html_m59c3c586.gif

hello_html_516a3338.gif

hello_html_m6bd7e24c.gif,

если:

hello_html_11e29716.gif

В силу условия однозначности волновых функций

hello_html_623f3d1b.gif

числители обращаются в нуль, поэтому надо приравнять к нулю знаменатели. Аналогичный результат получается для hello_html_mfb01932.gifТогда остается рассмотреть hello_html_m22e28413.gif Учтём, что

hello_html_m79b691ce.gif.

Тогда получим

hello_html_6c7e2d1.gif,

если hello_html_m66df3b85.gif hello_html_56800aaa.gif

Таким образом, правила отбора для магнитного квантового числа имеют вид:

hello_html_6c493cfc.gif,

где hello_html_m4f7baa6.gif. Т.е. возможны только такие квантовые переходы, при которых магнитное квантовое число либо не изменяется, либо меняется на ± 1.

Казалось бы, из правила отбора для магнитного квантового числа автоматически следует: hello_html_e2e5973.gif Однако, рассмотрим матричный элемент координаты при hello_html_m15cbe2bc.gif:

hello_html_383fda5.gif,

поскольку подынтегральное выражение является нечётным, а интеграл берётся в симметричных пределах. Таким образом, надо потребовать, чтобы

hello_html_m3b9013d.gif

Учитывая, что mhello_html_5f349118.gif к правилам отбора для орбитального квантового числа: hello_html_6e53ecdf.gif.ё

2.5 Коэффициенты Эйнштейна

В 1916 году Эйнштейн построил статистическую теорию излучения [30] без использования модели осциллятора (в отличие от Планка, 1900год).

Рассмотрим двухуровневую систему (рис. 10), в которой возможны следующие квантовые переходы:

hello_html_3b6d5bcf.gif

hello_html_m7d9bfb2b.gif

hello_html_11641537.gif

hello_html_m4ee1ca6c.gif



hello_html_m71ccf31.gif



  1. Спонтанное излучение: hello_html_40ac90f1.gif

  2. Вынужденное излучение: hello_html_3059d4b9.gif

  3. Вынужденное поглощение: hello_html_m7a7aed41.gif .

hello_html_m4a11a926.gif

В статистическом равновесии: hello_html_m8ff644a.gif (равенство числа квантовых переходов с излучением и поглощением в единицу времени). Поэтому

hello_html_m53774c80.gif.

Согласно формуле Больцмана населённости энергетических уровней:

hello_html_m45e2593d.gif, hello_html_m2ba2edf2.gif; hello_html_m41c2caad.gif

Подставляя это отношение в формулу для средней плотности энергии электромагнитного излучения, получим

hello_html_m747f4bf.gif.

При hello_html_m2f57a643.gif, hello_html_3ae56290.gif hello_html_m1d5c69bb.gif. Это означает, что вероятности вынужденных квантовых переходов с поглощением и излучением энергии одинаковы.

hello_html_m2b0211de.gif

Сравним с формулой Планка (1900г.):

hello_html_m5f502085.gif.

Здесь учтено, что

hello_html_351b33cc.gif; hello_html_m180a237f.gif .

При этом для отношения коэффициентов Эйнштейна получим:

hello_html_m6d413a20.gif

Далее учтём, что

hello_html_m437f0926.gif- вероятность индуцированного (вынужденного) квантового перехода в единицу времени на единицу плотности энергии излучения. Поэтому

hello_html_m33e2f2f6.gif

hello_html_m2938a306.gif

hello_html_11852162.gifСогласно (2.30):

hello_html_m70a9c2df.gif

Учитывая связь между hello_html_5f05c835.gif

hello_html_m76a7ab4d.gif. Это вероятность спонтанного квантового перехода в единицу времени.

hello_html_4b813346.gifсоответствие с электродинамикой Максвелла:

hello_html_66f9c62f.gifинтенсивность спонтанного излучения.

Как известно, в классической электродинамике Максвелла интенсивность излучения осциллятора определяется выражением:

hello_html_m60049afd.gif

hello_html_m4acb6422.gif.

Согласно же выше написанной формуле, вытекающей из теории Эйнштейна, появляются матричные элементы координаты и частоты квантовых переходов, что предсказывал еще Бор на основе принципа соответствия!

hello_html_1c2e7106.gif

множитель 2 учитывает две поляризации электромагнитной волны.

Теория Эйнштейна - это основа для создания квантовых генераторов и усилителей электромагнитного излучения (лазеров и мазеров). Работа Эйнштейна (1916 г.) явилась теоретической базой для рождения квантовой радиофизики [25] (квантовой электроники).

В отсутствие равновесия между излучением и поглощением

hello_html_7ad7793c.gif

hello_html_m63b9ba20.gif

  1. Еслиhello_html_267d2d55.gif в системе будет происходить поглощение энергии

  2. Если hello_html_271a85a4.gifизлучение энергии. Такого эффекта не было в классической физике.


2.6 Естественная ширина энергетического уровня и уширение спектральных линий.

Опыт показывает, что линии в спектрах испускания атомов являются не строго монохроматическими, а уширенными. Контур спектральной линии имеет вид резонансной кривой:

I



hello_html_71b13090.gif



hello_html_27a377a7.gif





ω

hello_html_m1b8345b3.gif

hello_html_m24ac509b.gif

hello_html_m5831b10d.gif



Рис. 11



Если hello_html_m207cc70.gif , то уровень hello_html_m55f23605.gif будет опустошаться с течением времени, то есть время жизни частицhello_html_m28c85c09.gif.



hello_html_m42d6bfe8.gif



hello_html_m55f23605.gif



0

t

τ

hello_html_1de37d93.gif

hello_html_m25f17c13.gif

hello_html_m16aa56e5.gif

Рис. 12

Рис. 13

Изменение числа частиц на верхнем энергетическом уровне за счёт спонтанных квантовых переходов за время dt определяется выражением

hello_html_458e228e.gif.

Разделяя переменные и интегрируя, получим



hello_html_558ddd95.gifhello_html_m4bd4568f.gif,

hello_html_m4953a37d.gif. (2.31)

Из формулы (2.31) видно, что будет наблюдаться релаксационный процесс, аналогичный радиоактивному распаду, при этом hello_html_m1891254e.gif.

Согласно пункту 2.2 (нестационарная теория возмущений), формула (2.24):

hello_html_38f3988e.gif

Положим: hello_html_607dd000.gif (основное состояние).

Для данного к получим:

hello_html_79314243.gif,

где hello_html_mc410fd1.gif (процесс излучения, то есть второй член формулы (2.26)). Учитывая, что с течением времени происходит процесс опустошения уровня hello_html_m55f23605.gif, имеем

hello_html_3d954b0f.gif,

при этом вероятность нахождения частиц в состоянии hello_html_34d9eb48.gif имеет вид

hello_html_m486f0915.gif, что согласуется с (2.31).

Вероятность спонтанного квантового перехода в основное состояние можно определить из следующего уравнения:

hello_html_5e160540.gif

здесь учтено, что hello_html_34ddd92f.gif Интегрируя это уравнение, получим

hello_html_m55f23605.gif

hello_html_4ba75db8.gif

hello_html_17c296c9.gif

hello_html_m25f17c13.gif

hello_html_52da60b2.gif

Рис. 14

При достаточно больших временах ( hello_html_5f6ace26.gif имеет вид

hello_html_m129d4789.gif

При этом вероятность спонтанного квантового перехода в состояние hello_html_4fda8405.gif определяется выражением

hello_html_m7f8447d2.gif.

Следовательно,

hello_html_m67668941.gif.

Интенсивность спектральной линии пропорциональна вероятности квантового перехода: hello_html_720f95b4.gif, отсюда понятен ее резонансный вид. Кривая зависимости интенсивности спектральной линии от частоты имеет лоренцеву форму, т.е. её вид согласуется с классической электронной теорией Лоренца.

Определим полуширину спектральной линии. Для этого учтём, что

hello_html_m3f3f5586.gif, если hello_html_m33c3bd0c.gif, при этом знаменатель удвоится и интенсивность будет равна половине максимально возможной. Решая квадратное уравнение, находим, что

hello_html_m1b31f58f.gif. Таким образом, ширина линии связана обратным соотношением с временем жизни возбуждённого уровня:

hello_html_m138e7c7d.gif

Умножая обе части этого выражения на постоянную Планкаhello_html_45039b06.gif

hello_html_maa6ed71.gif, или

hello_html_28f4260e.gif(2.32)

что согласуется с соотношением неопределённостей Гейзенберга для энергии и времени:

hello_html_m3e72d22d.gif.

Таким образом, уширение спектральных линий связано с конечным временем жизни атома в возбуждённом состоянии.

2.7 Приближение Борна в теории упругих столкновений

В классической механике столкновения двух частиц полностью определяются их скоростями и прицельным расстоянием.

В квантовой механике задача состоит в вычислении вероятности рассеяния частиц на тот или иной угол, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории теряет смысл.

Согласно пункту 2.2 - формула (2.28):

hello_html_m614d9b7d.gif

hello_html_68c58dda.gif

Волновые функции соответствуют состояниям с импульсами hello_html_m44add84.gif и hello_html_m3ff131e9.gif.

  1. Вычислим вероятность рассеяния в элементе объема hello_html_m4a0262f4.gif , учитывая его вид в сферической системе координат в импульсном пространстве:

hello_html_m205cd160.gif,

hello_html_m7317bd3d.gif

hello_html_m5017eb17.gif

hello_html_m1b05ec1c.gif.

  1. Определим вероятность рассеяния в элементе телесного угла dΩ:

hello_html_m6c56817a.gif


По hello_html_45ff3387.gif

hello_html_m3d402d9c.gif),

получим

hello_html_m37ff7944.gif.


Тогда искомая вероятность имеет вид

hello_html_283dd96.gif. (2.33)



hello_html_m3d8e4bdf.gif


hello_html_m25a989c9.gif,


то есть отношение числа рассеянных в dΩ частиц к плотности потока падающих частиц на рассеивающий центр; по размерности эта величина совпадает с площадью, hello_html_m338a6ae7.gif.hello_html_11852162.gif

Учтем выражение для плотности потока вероятности

hello_html_m35fea334.gif

где амплитуда вероятности определяется из условия нормировки в случае непрерывного спектра: hello_html_5b28d112.gif . Тогда имеем следующее выражение для вероятности рассеяния из состояния hello_html_m3cb14af7.gif в состояние hello_html_m369161dc.gif hello_html_435d09e2.gif

hello_html_77832c80.gif.

Введем обозначение:

hello_html_m7854221a.gif.

Тогда с учетом (2.33):

hello_html_fac3258.gif. (2.34)


Это выражение представляет собой формулу Борна (1926г.), полученную в первом приближении теории возмущений.







2.8 Формула Резерфорда

Рассеяние hello_html_695bfd0f.gif-частиц (+2е) в кулоновском поле атомного ядра (+ze) соответствует потенциальной энергии hello_html_m47763e06.gif, принимаемой за возмущение


+2e



ядро (+ze)

hello_html_695bfd0f.gif







Рис. 15

Согласно (2.34)

hello_html_63a7a9b4.gif

В эту формулу необходимо подставить конкретный вид оператора возмущения, соответствующий кулоновскому взаимодействию hello_html_695bfd0f.gif-частицы с ядром. Учтем, что hello_html_11852162.gif

hello_html_m8f5fd0b.gif,

hello_html_m158f53ac.gif,

hello_html_2fcd396b.gif

hello_html_6913231c.gif,

так как hello_html_1146ae86.gif - упругое рассеяние.

Тогда имеем:

hello_html_6723576e.gif. (2.35)

Это выражение совпадает с формулой Резерфорда, полученной им еще в 1911 году до установления квантовой механики.

Здесь эта формула получена как следствие приближения Борна в теории упругих столкновений.

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

3.1 Описание лабораторной работы «Исследование взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем на основе нестационарного уравнения Шрёдингера»

На основе пакета программ [9] нами разработана компьютерная лабораторная работа для студентов 4 курса, изучающих квантовую механику. Эта работа проводится после изучения теории возмущений на лекциях и на практическом занятии. Таким образом, вначале даётся представление о возможности аналитического подхода к изучаемой теме, рассматриваются основные предсказания стационарной и нестационарной теории возмущений, а затем осуществляется переход к компьютерному эксперименту.

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

«Исследование взаимодействия квантовой системы

с электромагнитным полем на основе

нестационарного уравнения Шрёдингера»

Цель работы: с помощью компьютерного эксперимента исследовать поведение квантовой системы в периодическом поле электромагнитной волны.

Взаимодействие квантовой системы (например, атома) с полем электромагнитной волны описывается нестационарным уравнением Шрёдингера

hello_html_m21fe5a2.gif. (3.1)

Решая это уравнение, можно проследить эволюцию волновой функции

hello_html_2a6f70eb.gifи изменение вероятности нахождения системы в том или ином состоянии с течением времени. В периодически меняющемся поле, описываемом оператором возмущения hello_html_m735efc2c.gif, стационарные состояния гамильтониана отсутствуют, и задача сводится к нахождению вероятности квантовых переходов между исходными невозмущёнными состояниями

hello_html_5cf9049b.gif, (3.2)

где hello_html_3e055c13.gif - частота электромагнитного поля, hello_html_54b0cb4c.gif - частота собственных квантовых переходов. Полагая, что напряжённость электрического поля электромагнитной волны меняется по гармоническому закону, представим энергию возмущения в дипольном приближении

hello_html_m7138a71d.gif, (3.3)

где hello_html_m25f17c13.gif - амплитуда поля, e x - дипольный момент. Из (2) и (3) следует вероятность квантовых переходов между состояниями hello_html_252be91f.gif :


hello_html_7278e3d6.gif. (3.4)

Из (3.4) следует, что вероятность квантовых переходов пропорциональна времени действия возмущения и квадрату амплитуды напряженности электрического поля электромагнитной волны (т.е. её интенсивности).

Вероятность определяется также величиной отстройки от резонансаhello_html_552cd426.gif . Вероятность hello_html_m7c85ca2.gif отлична от нуля, если матричный элемент дипольного момента hello_html_7611333d.gif отличен от нуля. Учитывая, что

hello_html_m7e4e2c2b.gif, (3.5)

где xнечётная функция, квантовые переходы могут происходить только между состояниями с противоположной чётностью. Все эти закономерности можно проверить, выполняя компьютерный эксперимент.

Сначала исследуется поведение в поле электромагнитной волны системы, состоящей их двух энергетических уровней, затем рассматриваются квантовые переходы между пятью стационарными состояниями дискретного спектра.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Управление компьютерной программой осуществляется следующими клавишами:

F1- прерывание выполнения программы; при повторном нажатии – продолжение эксперимента;

F2 – возврат к исходной картинке;

F4- изменение масштаба изображения;

F5 – пространственно-временная развёртка процесса;

F9 – построение графиков временных зависимостей вероятностей обнаружить частицу в различных стационарных состояниях системы;

F10 – запуск демонстрации;

ENTER – ввод выбранного значения какой-либо физической величины;

Sp(Space) – вращение на экране пространственно-временной развёртки процесса;

ESC – остановка и выход в предыдущее меню.

Для запуска программы нужно задать номер квантового состояния, в котором находится система в начальный момент времени (Level number – строка №1), и параметры электрического поля электромагнитной волны: амплитуда (Field – строка №2) и частота (Field frequency – строка №3), вместо неё вводится энергия кванта электромагнитного поляhello_html_m7c300d9e.gif. Величина и направление электрического поля волны отображаются стрелкой синего цвета.

В процессе демонстрации на экран выводятся: текущее время (Time), величина электрического поля (Electric field), пространственное распределение плотности вероятности обнаружить частицу - график функции hello_html_m756a7c39.gifи населённости энергетических уровней (т.е. вероятности нахождения системы в каждом из стационарных состояний). Величина hello_html_m756a7c39.gifизмеряется в относительных единицах (RUrelative units).

Введённые Вами данные компьютер представит с помощью степенного множителя. Например, энергия 36 эВ будет представлена в виде 3.60е+001.

Аналогично момент времени 6.6710-7 нс будет представлен как 6.67е - 007.



ЧАСТЬ I

Двухуровневая система в поле электромагнитной волны

Двухуровневая система моделируется на основе двух нижних состояний (n=1,2) электрона в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Разница энергий этих состояний определяется выражением

hello_html_20e901dd.gif. (3.6)

Ширина ямы а в программе выбрана таким образом, что hello_html_m1769e4fd.gif (Energy transition = 1 eV).

1.Убедитесь, что в отсутствие поля (hello_html_59cc3f8.gif=0) состояния 1 и 2 являются действительно стационарными, т.е. их вероятности не меняются с течением времени:

а) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=0, hello_html_m7c300d9e.gif=0, тогда hello_html_m3f489b1d.gif.

б) n=2, hello_html_59cc3f8.gif=0, hello_html_m7c300d9e.gif=0, тогда hello_html_md30f7da.gif.

Зарисуйте полученные картины распределения вероятностей нахождения частицы в потенциальном ящике hello_html_m756a7c39.gif для двух указанных случаев, когда в программе появится первая пауза (Pause). Можно сделать это, и не дожидаясь паузы, просто нажав клавишу F1.

2. Исследуйте поведение двухуровневой системы в резонансном поле (hello_html_m7c300d9e.gif=1):

а) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=1е+007 V/cm ,

б) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=3e+006 V/cm. Убедитесь, что в случае точного резонанса квантовые переходы из одного состояния в другое происходят даже при слабых воздействиях.

в) n=2, hello_html_59cc3f8.gif=3e+006 V/cm,

г) n=2, hello_html_59cc3f8.gif=3e+005 V/cm. При выполнении этого задания рекомендуется нажать клавишу F1, не дожидаясь паузы, а затем продолжить исследования. Сравнивая результаты пунктов в) и г), установите, как меняется время перехода из одного состояния в другое с изменением напряженности электрического поля электромагнитной волны.

Зарисуйте схематически картинки распределения вероятностей.

3. Исследуйте динамику переходов в двухуровневой системе в зависимости от отстройки частоты поля от резонанса hello_html_m64c3f962.gif.

а) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=1е+007 V/cm, hello_html_m7c300d9e.gif = 1.5.

б) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=1е+007 V/cm, hello_html_m7c300d9e.gif = 2.

в) n=2, hello_html_59cc3f8.gif=3е+006 V/cm, hello_html_m7c300d9e.gif = 2.

Зарисуйте схематически полученные картинки hello_html_m756a7c39.gif. Сформулируйте выводы.

4. Исследование поведения двухуровневой системы в постоянном электрическом поле (hello_html_m138be12e.gif):

а) n=1, hello_html_59cc3f8.gif=1е+007 V/cm,

б) n=2, hello_html_59cc3f8.gif=3е+006 V/cm.

Зарисуйте получившиеся картинки hello_html_m756a7c39.gif. Можно ли объяснить наблюдаемые эффекты с классической точки зрения? Как следует интерпретировать полученные результаты с точки зрения квантовой механики?

ЧАСТЬ II

Квантовые переходы в дискретном спектре

В данной программе Вы пронаблюдаете электромагнитные переходы между стационарными состояниями бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Спектр состояний такой ямы описывается выражением

hello_html_ma53aaa1.gif(3.7)

Параметр а выбран таким образом, что hello_html_m71ccf31.gif = 1, 4, 9, 16, 25 …. эВ.

Для запуска программы необходимо задать номер стационарного состояния (n = 1-3), в котором находится система в начальный момент времени, и параметры поля электромагнитной волны.

Вы сможете пронаблюдать картину изменения населённостей пяти энергетических уровней – своеобразный «квантовый ковёр».

1.Исследование поведения системы, находящейся в начальный момент времени в основном состоянии (n=1). Задайте максимально возможное поле

hello_html_59cc3f8.gif=1е+008 V/cm.

а) hello_html_m7c300d9e.gif=1. Какова последовательность реализации состояний? Убедитесь в появлении инверсии населённостей уровней.

б) hello_html_m7c300d9e.gif=3. Что изменилось в распределении населённостей?

в) hello_html_m7c300d9e.gif=0. Как ведут себя населённости уровней в этом случае? Согласуется ли полученная картина с возможностью квантовых переходов между вырожденными состояниями с одной и той же энергией?

2. Исследование возбуждения уровня № 2:

а) hello_html_6f18d08.gif. Какова последовательность вероятностей реализации состояний в периодическом поле электромагнитной волны?

б) hello_html_27056390.gif5. Что происходит в этом случае?

3. Исследование поведения системы, находящейся в начальный момент времени в стационарном состоянии n=3:

а) hello_html_m7c300d9e.gif=9,

б) hello_html_m7c300d9e.gif=7.

Что наблюдается на экране в этих случаях?

Вы можете продолжить исследования и при других значениях параметров, характеризующих электромагнитное поле (вариантов исследовательской деятельности очень много!!!)












    1. Компьютерный эксперимент « Квантовые переходы в дискретном спектре» и его результаты

Эксперимент состоял из двух частей. В первой части рассматривается двухуровневая система в поле электромагнитной волны и изучается возможность квантовых переходов между 2 энергетическими уровнями. В качестве исследуемой модели используется модель частицы в прямоугольном потенциальном ящике. При заданной величине внешнего электромагнитного поля возбуждаются только первые два нижних энергетических уровня.

hello_html_m1b5628d.jpg

Рис.16

На представленном графике пространственно – временной картины процесса видно, что с течением времени населенности энергетических уровней периодически меняются в такт периоду изменяющегося электромагнитного поля. Этот же эффект хорошо наблюдается и в координатах (RU, x), где RU – относительные единицы измерения плотности вероятности нахождения квантовой системы в том или ином состоянии (вероятности реализации уровней 1 и 2). Из рис. 18 видно, что вероятности нижнего и верхнего уровня с течением времени меняются местами, из графика можно определить период осцилляций вероятностей энергетических уровней.

hello_html_59a518cb.jpg

Рис.17



Затем исследуется система, в которой могут возбуждаться 5 энергетических уровней. Видно, что с течением времени возникают осцилляции населенностей энергетических уровней. На рис. 19 представлен один из характерных случаев распределения вероятностей уровней (своебразный «квантовый ковёр»). Видно, что уровень № 1 уже не остаётся наиболее вероятным при наличии периодически изменяющегося возмущения. С гораздо большей вероятностью могут реализоваться уровни № 2 и 3. Изученные эффекты являются основой для понимания физических процессов, происходящих в квантовых генераторах при наличии периодически меняющегося электромагнитного поля.


hello_html_m3654232d.jpg

Рис.18

3.3 Анализ итогов педагогического эксперимента. Оценка эффективности использования исследовательских задач при изучении квантовой механики



ИТОГИ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Компьютерный эксперимент проводился студентами 451 группы физико-математического факультета после изучения теоретического материала по теме «Теория нестационарных возмущений». По результатам компьютерного эксперимента было предложено ответить на контрольные вопросы. Каждый правильный ответ, раскрытый в полном объеме, оценивался в 1 балл. В опросе приняли участие 11 из 14 студентов группы.





















Группа 451. Фамилия, имя студента__________________________________

Контрольные вопросы по результатам компьютерного эксперимента «Исследование поведения атома в периодическом поле электромагнитной волны»:

1.Запишите нестационарное уравнение Шрёдингера. Чем обусловлена необходимость его использования для описания поведения атома в поле электромагнитной волны?



2. Как влияет величина амплитудного значения напряжённости электрического поля на длительность квантовых переходов в резонансном поле?



3. Как влияет величина отстройки от резонанса на вероятность квантовых переходов?



4. Как влияет время воздействия электромагнитного поля на вероятность квантовых переходов?



5. Что происходит с двухуровневой системой в постоянном электрическом поле (hello_html_3e055c13.gif=0)? Можно ли дать классическое объяснение этому эффекту?



6. Почему не всегда наблюдаются электрические дипольные переходы между стационарными состояниями дискретного спектра в достаточно сильном электромагнитном поле?









Итоги опроса:

Фамилия Имя/ Максимальный балл

1

1

1

1

1

1

1

Студент А

0,9

0,2

0,2

1

0

0

2,3

Студент B

0,5

1

0,8

0,5

0,3

0,5

3,6

Студент C

1

1

1

1

1

0,5

5,5

Студент D

1

1

1

1

1

0,8

5,8

Студент E

0,5

1

1

1

1

0,8

5,3

Студент F

0,9

1

0,5

1

0,9

0

4,3

Студент G

1

1

1

0,1

1

0,1

4,2

Студент H

0,5

1

0,1

1

0,5

0,1

3,2

Студент K

0,5

1

1

1

1

0,8

5,3

Студент N

1

1

0,1

1

0,1

0,5

3,7

Студент M

0,5

1

1

1

1

0,8

5,3

Cумма

8,3

10,2

7,7

9,6

7,8

4,9

48,5

Таблица 1

Коэффициент успешности выполнения каждого задания вычислялся по формуле:

hello_html_m6316c086.gif,

которая привела к следующим результатам:

1 вопрос

hello_html_513c9ec5.gif



Диаграмма 1



2 вопрос:

hello_html_4617f2d2.gif



Диаграмма 2

3 вопрос:

hello_html_m7f0661cf.gif



Диаграмма 3

4 вопрос:

hello_html_139a2b44.gif



Диаграмма 4

5 вопрос:

hello_html_m315f6839.gif



Диаграмма 5



6 вопрос:

hello_html_77036112.gif



Диаграмма 6

Анализируя рассчитанные коэффициенты успешности выполнения каждого задания можно сделать выводы о том, насколько успешно был проделан эксперимент и усвоены его результаты.

На диаграмме 7 представлен график, где можно увидеть успешность и полноту ответа на поставленный вопрос студентами всей группы. Тем самым можно сделать вывод о том, что:

-на второй вопрос «Как влияет величина амплитудного значения напряжённости электрического поля на длительность квантовых переходов в резонансном поле?» практически все студенты смогли ответить в полном объеме. Следовательно, студенты усвоили материал, касающийся влияния величины амплитудного значения напряжённости электрического поля на длительность квантовых переходов в резонансном поле.

-шестой вопрос «Почему не всегда наблюдаются электрические дипольные переходы между стационарными состояниями дискретного спектра в достаточно сильном электромагнитном поле?» вызвал у студентов затруднения. Следовательно, студенты не в полной мере усвоили материал, касающийся данного вопроса.



Диаграмма 7

Ожидать более высоких результатов в условиях ограниченного количества часов, которые можно выделить на изучение темы «Нестационарная теория возмущений» (4 часа – разбор нового материала на практическом занятии и двухчасовой компьютерный эксперимент), вероятно, нельзя. Но, может быть, более важным является положительное эмоциональное восприятие предложенного вида работы: студенты получили большое удовлетворение от выполненного компьютерного эксперимента, позволившего им открыть новые горизонты в изучении квантовых эффектов.

После выполнения обязательного списка заданий студенты имели возможность выйти за рамки алгоритмических предписаний лабораторной работы и приступить к самостоятельному экспериментированию. Тем самым, компьютерный эксперимент обрёл по-настоящему исследовательский характер, в ходе его выполнения удалось выявить интересные закономерности, которые теоретически предсказать заранее было невозможно.




Заключение

  1. В работе рассмотрена проблема применения компьютерного эксперимента для исследования поведения квантовой системы, подчиняющейся нестационарному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом

  2. Изучена возможность постановки исследовательских задач в курсе квантовой механики на основе компьютерного эксперимента

  3. Разработана лабораторная работа по изучению поведения квантовой системы в электромагнитном поле

  4. Показана эффективность разработанного метода на примере нестационарной теории возмущения

  5. По материалам выпускной квалификационной работы опубликована статья в сборнике [8].























Библиографический список


1.Барсуков, О.А. Основы атомной физики / О.А. Барсуков, М.А. Ельяшевич. – М.: Научный мир, 2006.

2.Байков, Ю.А. Квантовая механика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Байков Ю.А., Кузнецов В.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.— 292 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/24137.— ЭБС «IPRbooks», по паролю.

3. Балашов В.В., Долинов В.К. Курс квантовой механики – М.: МГУ, 2001. www.ph4s.ru/book_ph_kv_mex_teor.html.

4.Барабанов А.Л. Квантовая механика. – М.: МФТИ, 2005. https://mipt.ru/education/chair/.../Theorphys-part1-arpedmo21s0.pdf.

5. Блохинцев, Д.И. Основы квантовой механики /Д.И. Блохинцев. – М.: Наука, 1983. – 664 с.

6. Brandt, S. The Picture Book of Quantum Mechanics.- S. Brandt, H.D. Dahmen. –NY: J.Willey&Sons, 1985.

7. Brandt, S. Quantum Mechanics on the Personal Computer. - S. Brandt, H.D. Dahmen. Heidelberg, Springer, 1990.

8. Власова, В.В. Изучение нестационарной теории возмущений в курсе квантовой механики педагогического вуза с помощью компьютерного эксперимента / В.В.Власова, Л.М. Свирская. - ХI Межвузовский сборник научных трудов «Актуальные проблемы развития среднего и высшего образования». – Челябинск, «Край Ра», 2015. – С. 123-128.

9. Волкова, Е.А. Квантовая механика на персональном компьютере / Е.А. Волкова, А.М. Попов, А.Т. Рахимов. – М.: URSS, 1995. – 215 с.

10.Гулд, Х., Компьютерное моделирование в физике. Ч.1,2./ Х. Гулд, Я. Тобочник. – М: Мир, 1990. – 350 с., 400 с.

11. Давыдов, А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. – СПб: БХВ-Петербург, 2011. – 704 с.

12.Елютин, П.В. Квантовая механика с задачами / П.В. Елютин, В.Д. Кривченков. – М: Наука, 1976. – 336 с.

13. Захарьев, Б.Н. Уроки квантовой интуиции / Б.Н. Захарьев – Дубна: ОИЯИ, 1996. – 300 с.

14. Ишханов, Б.С. Элементарная теория взаимодействия квантовой системы с электромагнитным излучением / Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов. – http://nuclphys.sinp.msu.ru/el/index.html.

15. Карлов, Н.В. Начальные главы квантовой механики [Электронный ресурс]/ Карлов Н.В., Кириченко Н.А.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.— 360 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17352.— ЭБС «IPRbooks», по паролю.

16. Коэн-Таннуджи, К. Квантовая механика. Т.1 (пер. с французского)/ К. Коэн-Таннуджи, Диу Б., Лалоэ Ф. – Екатеринбург: УрГУ, 2000. – 944 с.

17. Ландау, Л.Д. Курс теоретической физики. Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория) [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов/ Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— 798 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17288.— ЭБС «IPRbooks», по паролю.

18. Левич, В.Г. Курс теоретической физики, т.2 / В.Г. Левич, Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. – М.: Наука, 1971. - 936 с.

19. Матвеев, А.Н. Атомная физика / А.Н. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1989. – 439 с.

20.Мултановский, В.В. Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика/ В.В. Мултановский, А.С. Василевский. – М.: Просвещение, 1991.

21.Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные труды / М. Планк. – М: Наука, 1975. – С.251 - 257.

22.Свирская, Л.М. Научная деятельность М.С. Свирского и её влияние на развитие физического образования в Челябинском педагогическом университете / Л.М.Свирская. - Х Межвузовский сборник научных трудов «Актуальные проблемы развития среднего и высшего образования». – Челябинск, «Край Ра», 2013. – С. 5-12.

23. Соколов, А.А. Квантовая механика / А.А. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский. - М.: Наука, 1979. – 530 с.

24.Толмачев, В.В. Основы квантовой механики [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Толмачев В.В., Федотов А.А., Федотова С.В.— Электрон. текстовые данные.— Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005.— 240 c.— Режим доступа: по паролю.

25. Файн, В.М. Квантовая радиофизика – В.М. Файн, Я.Н. Ханин. – М.: Наука, 1975. – 968 с.

26. Ферми, Э. Квантовая механика. Конспект лекций / Э. Ферми. – М.: Мир, 1965. – 368 с.

27. Флюгге, З. Задачи по квантовой механике, т. 1,2 / З. Флюгге. – М.: Мир, 1974. – 343 с., 319 с.

28. Хеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д.В. Хеерман. – М.: Наука, 1990. – 176 с.

29. Шпольский, Э.В. Атомная физика, т. 2/ Э.В. Шпольский. – М.: Наука, 1984. – 440 с.

30. Эйнштейн, А. К квантовой теории излучения. Собрание научных трудов, т. 3/ А. Эйнштейн. – М.: Наука, 1966. – С. 393 – 406.





72



Автор
Дата добавления 22.01.2016
Раздел Физика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров243
Номер материала ДВ-369141
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх