- 26.01.2015
- 1578
- 9
|
МБОУ «Игоревская СОШ» Смоленской области |
|
Исследовательские работы по математике. |
|
Учитель математики Кузнецова Валентина Петровна |
|
21.11.2014
|
Работа №1
«Исследование площади прямоугольника данного периметра»
(Работа может быть проведена перед изучением темы «Функция» или в начале этой темы)
Ход работы:
1. Периметр прямоугольника равен 24 см2, а его стороны а и в. Задайте формулой зависимость площади S (см2) прямоугольника от а.
Р=2(а+в) , а+в=Р:2 , в=Р:2- а
2. Заполните таблицу:
|
Р |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
|
а |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5,5 |
6 |
6,2 |
6,8 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Заполните таблицу:
S=ав
|
Р |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
|
а |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5,5 |
6 |
6.2 |
6,8 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. При каком значении а получился прямоугольник наибольшей площади? Каково значение этой площади?
5. Выберите сами два любых допустимых значения а и вычислите значение S.
6. Удалось ли получить значение S большее, чем найденное ранее?
Какую ГИПОТЕЗУ (предположение) можно высказать на основании проведенного исследования?
ГИПОТЕЗА:
Работа №2
Построение графика зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объема жидкости.
(лабораторная, домашняя)
(Работа может быть проведена при изучении темы «График функции»)
Приборы и материалы: ведро, литровая банка, линейка.
Ход работы:
1. Налейте в ведро 1 л воды при помощи банки.
2. Измерьте высоту столба жидкости в ведре, опустив в воду линейку.
3. Запишите результаты измерений в таблицу.
4. Повторите действия 1 ,2 и 3, пока не заполнится ведро.
|
Объем воды V(куб. м) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Высота столба h (см) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Постройте график зависимости h от V (по оси Ох - V - 1 см соответствует 1 л воды, на оси Оу - h - 1см соответствует 2 см высоты столба жидкости ).
6. Какой график у вас получился – прямолинейный или криволинейный?
Выскажите ГИПОТЕЗУ.
ГИПОТЕЗА:
Работа №3
Исследование некоторых простейших множеств точек на координатной плоскости.
(Может быть проведена непосредственно перед изучением темы «Линейное уравнение с двумя переменными»)
Ход работы:
1. Постройте на координатной плоскости несколько точек, сумма абсциссы и ординаты которых равна 10.
х+у=10
|
Х |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. В чем особенность расположения построенных точек?
Выскажите ГИПОТЕЗУ о том, как располагаются на плоскости все точки, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 10.
ГИПОТЕЗА:
3. Постройте несколько точек, у которых сумма абсциссы и ординаты :
А) больше 10
|
Х |
-1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
у |
13 |
|
|
|
|
Выскажите ГИПОТЕЗУ о расположении на плоскости точек, сумма координат которых больше 10.
ГИПОТЕЗА:
Б) меньше 10
|
Х |
-3 |
-5 |
-7 |
8 |
10 |
|
у |
9 |
|
|
|
|
Выскажите ГИПОТЕЗУ о расположении на плоскости точек, сумма координат которых меньше 10.
ГИПОТЕЗА:
При выполнении задания 3.А) и 3.Б) можно использовать для построения точек различные цвета.
Работа № 4
График расстояния от точки на прямой до начала координат.
(Может быть проведена в процессе изучения темы «График уравнения с двумя переменными» или при обобщающем повторении в конце учебного года).
Ход работы:
1. Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравнением
3х+4у=12.
4у=12-3х
У=3- 3 ∕4х
|
Х |
0 |
4 |
|
у |
|
|
2. Пусть х – абсцисса точки на прямой 3х+4у=12;
d – расстояние от этой точки до начала координат.
Измерьте расстояние от каждой точки до начала координат и заполните таблицу:
|
Х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Постройте график зависимости d от х.
4. Обсудите результаты. Выскажите ГИПОТЕЗУ.
ГИПОТЕЗА:
Работа № 5
График расстояния.
(Работа может быть проведена при изучении темы «График функции» или на следующих этапах повторения и закрепления этого материала)
Ход работы:
1. Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 5-х часов пути они сделали остановку на 1 час, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч. На рисунке изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной 5 км.
2. Определите на схеме точку, в которой находились туристы через 1 час после отправления из пункта А.
( МАСШТАБ 1:200000)
3. Найдите расстояние по прямой от этой точки до пункта А; до пункта В.
4. Заполните таблицу: t –время, d- расстояние (км)
|
t |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7,5 |
8 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Постройте график зависимости d от t
40
В
А
35 30 25 20 15 10 5
Работа № 6
Исследование площади прямоугольника, вписанного в треугольник.
(Работа может быть проведена при изучении темы «Площади»)
Ход работы:
1.В треугольник АВС, основание которого 10 см, а высота 8 см, вписаны несколько прямоугольников, две вершины которых лежат на основании, а две другие – на боковых сторонах. (Смотрите чертеж)
А
 |
 |
В С
2. Учитывая, что можно построить сколько угодно вписанных треугольников, постройте самостоятельно прямоугольники с высотами, указанными в таблице:
|
Высота h (см) |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
3,5 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7,5 |
|
Основание а (см) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь S (см2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Измерьте основание каждого прямоугольника и вычислите S . Результаты запишите в таблицу.
4. При каком значении h у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Какова эта площадь?
5. Сравните высоту, основание и площадь этого прямоугольника с высотой, основанием и площадью треугольника АВС. Выскажите ГИПОТЕЗУ по результатам исследований.
ГИПОТЕЗА:
Работа №7
Исследование изменения правильной и неправильной дробей при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число.
(Работа может быть проведена при изучении темы «Неравенства»)
Ход работы:
1. К числителю и знаменателю дроби ½ прибавьте одно и то же положительное число х.
1+х
2. Заполните таблицу: если х = 1, то у = ------ (1)
2+х
|
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения у округляйте до десятых.
3. Ответьте на вопрос: как изменяется значение правильной дроби при увеличении значения х ?
4. Проведите аналогичные исследования, взяв неправильную дробь, например 5/2.
5+х
5. Заполните таблицу: если х=1, то у = ------ (2)
2+х
|
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Как изменяется значение неправильной дроби при увеличении значения х?
7. Сформулируйте ГИПОТЕЗУ об изменении значения правильной и неправильной дроби при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число.
ГИПОТЕЗА:
8. Дополнительное задание.
Постройте графики функций (1) и (2)
Работа №8
Исследование периметра прямоугольника данной площади.
(Работа может быть проведена при изучении темы «Квадратные корни»)
Ход работы:
1. Площадь прямоугольника 144см2 , а его ширина а см. Найдите длину
в см и его периметр р см .
S=ав; в=S:а; Р=2(а+в)
2. Заполните таблицу:
|
S |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
144 |
|
а |
2 |
4 |
6 |
8 |
9 |
10 |
12 |
16 |
18 |
24 |
48 |
64 |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Ответьте на вопрос: при каком значении а у вас получился наименьший периметр?
4. Сформулируйте ГИПОТЕЗУ о прямоугольнике данной площади, имеющем наименьший периметр.
ГИПОТЕЗА:
ОБОСНОВАНИЕ: ав=k; при а=в имеем
a2=k
a=√k
b=√k
a+b=2√k
Значит, надо доказать, что при а>0 и в>0 , произведение ав >0
а+в > 2√ ав
Дальнейшее очевидно.
Работа № 9
Исследование произведения отрезков хорд.
(Работа может быть проведена на уроке геометрии при изучении темы «Теорема о произведении отрезков хорд » или на уроке алгебры при изучении темы «Функция. График функции»)
Ход работы:
1. Постройте окружность радиусом 50 мм. Отметьте точку К на расстоянии 40 мм от центра.
2. Проведите хорду, проходящую через точку К. Обозначив длину одного из отрезков хорды буквой х (мм), а длину другого отрезка хорды буквой у (мм), постройте хорды, для которых в таблице указаны значения х. Измерьте длину второго отрезка. Найдите произведение ху. Заполните таблицу.
|
х |
10 |
16 |
20 |
24 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Заметили ли вы какую-нибудь закономерность?
Сформулируйте ГИПОТЕЗУ.
ГИПОТЕЗА:
4. Какую длину имеет наибольшая из хорд? Каковы длины отрезков этой хорды?
5. Используя зависимость у от х , указанную в таблице, постройте график этой зависимости для множества всех хорд, проходящих через точку К.
Работа № 10
Вычисление площади треугольника.
(Работа может быть проведена при изучении темы «Площадь треугольника» на уроке геометрии или при изучении темы «Приближенные вычисления» на уроке алгебры)
Ход работы:
1. Постройте треугольник по координатам его вершин А(-6;-2) , В(-2;6), С(4;-1).
2. Найдите площадь этого треугольника двумя способами:
А) вычислением по формуле S=1/2ah (с построением высоты треугольника и измерением ее длины и длины основания)4
В) построением прямоугольника АКМР, стороны которого параллельны координатным осям и проходят через вершины данного треугольника АВС.
В этом случае площадь треугольника АВС равна разности площади прямоугольника АКМР и суммы площадей треугольников АКВ, ВМС и АСР.
3. Сравните площади, полученные первым и вторым способами. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения площади, полученного первым способом.
Работа № 11
Исследование площади треугольника, полученного при пересечении координатных осей прямой, проходящей через данную точку.
Ход работы:
1. 
Через точку С(5,4) проведена
прямая, пересекающая координатные полуоси в точках А(х;0) и В(0:у).
у
В(0;у)
С(5;4)
х
О А(х;0)
2. Проводя через точку С (смотрите рисунок) другие прямые так, чтобы они пересекали полуось Ох в точках с указанными в таблице абсциссами, запишите в эту таблицу соответствующие значения ординат у точек пересечения этих прямых с полуосью Оу.
|
х |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Для каждой пары значений х и у вычислите значение площади треугольника АОВ и запишите ее значение в таблицу.
4. Какое наименьшее значение площади у вас получилось? При каких значениях х и у? Как связаны координаты точки С с этими значениями х и у? Выскажите ГИПОТЕЗУ.
ГИПОТЕЗА:
Работа №12
(Работа может быть предложена учащимся в любом месте курса 9 класса)
1. Из пункта А в пункт В можно попасть, проехав 10 км по шоссе до пункта В1 , а затем 4 км по грунтовой дороге В1 В (смотрите рисунок)
В
 |
г
р
у
н
т
о
в
а
я
В1 х С А
По шоссе трактор может развить скорость 15 м/с , по грунтовой дороге
12 м/с , а по целине 10 м/с. Сколько времени потребуется трактору на путь из А в В по маршруту АВ1В ?
2. Может ли трактор быстрее достичь пункта В, если свернет с шоссе на целину в пункте С ?
3. Задайте формулой зависимость времени t от расстояния х от точки С, в которой трактор сворачивает с шоссе на целину, до точки В1 .
4. Заполните таблицу:
|
х(м) |
1000 |
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
6000 |
7000 |
|
t(с) |
|
|
|
|
|
|
|
5. Найдите с точностью до 100 м на каком расстоянии от точки В1
6. Выскажите ГИПОТЕЗУ.
7. Сделайте вывод.
Работа № 13
(Работа может быть выполнена при изучении тригонометрического материала в 9 классе)
1. Для изготовления водопойного желоба на животноводческой ферме сбили 3 одинаковых доски длиной 4 м и шириной 25 см. Вместимость желоба V
равна произведению площади трапеции на длину желоба
(Смотрите рисунок)
2. Задайте формулой зависимость вместимости желоба от тупого α угла при основании трапеции.
3. Заполните таблицу:
|
Α (град) |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
V (куб. м) |
|
|
|
|
|
|
|
4. 
При каком из заданных в таблице
значений угла получится желоб наибольшей вместимости?
5. Выскажите ГИПОТЕЗУ.
ГИПОТЕЗА:
А
D
В С
Работа № 14
Исследование формы прямоугольника, вписанного в окружность.
(Работа может быть проведена при изучении темы «Вписанные и описанные многоугольники» + тригонометрический материал).
1. В окружность радиусом R=5см вписан прямоугольник с основанием х см и высотой h см (Смотрите рисунок)
 |
Величина х принимает значения, указанные в таблице:
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислите значение h в зависимости от х и найдите площадь прямоугольника S. Запишите результаты в таблицу.
3. При каких значениях h и х получился прямоугольник наибольшей площади? Сформулируйте ГИПОТЕЗУ о форме прямоугольника наибольшей площади.
ГИПОТЕЗА:
4. Выразите площадь прямоугольника через радиус R описанной окружности и угол α между основанием прямоугольника и его диагональю.
5. Исследовав эту формулу, докажите, что ваша гипотеза верна.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Все новое - это хорошо забытое старое. Я нашла этот материал в журнале "Математика в школе" № 1 за 1990год, и он показался мне очень актуальным в наше время.
Исследовательские работы имеют практическую направленность и содержат элементы проектной деятельности. Каждая работа может быть проведена на одном или двух уроках как мини-проект.В работе проводится исследование, выдвигается гипотеза, предполагается формулирование вывода.
Работы №1 - № 5 предназначены для 7-го класса (перед каждой работой указана тема, где ее можно провести).
Работы №6 - № 11 предназначены для 8-го класса.
Работы № 12 - № 14 - для 9-го класса.
6 662 058 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кузнецова Валентина Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.