Инфоурок / Математика / Конспекты / Исследовательские задачи по геометрии.

Исследовательские задачи по геометрии.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ №1»










Методическое пособие





ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ

ПО ГЕОМЕТРИИ





Составил учитель математики,

Учитель высшей квалификационной категории

Груздова Я.Н.























ЩЕКИНО, 2005












ВВЕДЕНИЕ.






Данное пособие предназначено для учителей, работающих в

10-11-х классах при проведении уроков геометрии.

Использование на уроках исследовательских задач позволяет

более полно и глубоко изучить программный материал.

Учащиеся получают возможность для творческой работы,

раскрывающей их способности. Предложенные задачи могут

быть использованы для «уроков одной задачи», проведения

факультативов по геометрии или в качестве элементов на

обычных уроках.























Хорошо известно, что решение большинства геометрических задач начинается с чертежа и что умение строить хороший грамотный чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом геометрической культуры учащихся. Особенно важно это при решении стереометрических задач.

Как правило, в задачах средней и повышенной сложности чертеж содержит не только известные учащимся фигуры (многогранники, цилиндры, конусы, шары и др.), но и связанные сними элементы (углы между прямыми и плоскостями, двугранные углы, перпендикуляры к прямым или плоскостям и пр.), а также сочетания различных фигур. Построить чертеж в таких задачах оказывается делом непростым, а иногда и малодоступным для многих учащихся из-за недостаточной подготовленности к этой деятельности.

Таким образом любая задача, связанная со сложными построениями становится исследовательской. Для решения ее требуется глубоко изучить зависимости между отдельными элементами фигуры, чертеж которой нужно выполнить в задаче, привлечь необходимые теоретические понятия и использовать известные правила и свойства изображения на проекционном чертеже пространственных фигур.

Задача учителя в этой ситуации правильно организовать обсуждение и анализ исходных условий, чтобы учащиеся как можно больше сделали самостоятельно. Структура решения подобной задачи может быть следующей :

  1. Прочесть текст задачи, провести его подробный анализ, вычленить условия и требования и попытаться записать краткую запись условия задачи в символах.

  2. Выявить те ситуации условия, которые необходимо обосновать.

  3. Сделать черновой набросок чертежа (тех его элементов, построение которых не требует обоснования).

  4. Провести обоснование построения необходимых элементов чертежа.

  5. Скорректировать черновой чертеж с учетом проведенного обоснования и выполнить беловой чертеж.

  6. Провести вычислительную часть решения (если она есть).

К каждой задаче учитель составляет проблемные вопросы, которые позволят учащимся найти верное решение.

ПРИМЕРЫ:

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с. каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найдите высоту пирамиды.

hello_html_m3108aedb.jpg

Чтобы правильно выполнить чертеж к этой задаче необходимо помнить, что

  • если все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания;

  • центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Как наклонены к плоскости основания боковые ребра пирамиды?

hello_html_m7db31ae9.jpg

В этой задаче необходимо обосновать

  • построение изображения основания высоты пирамиды ( поскольку одна грань перпендикулярна основанию, то высота пирамиды является высотой этой грани);

  • построение изображений линейных углов при основании пирамиды (двугранным углом между плоскостями является угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к линии их пересечения, а поскольку в основании лежит правильный треугольник, то по правилам проектирования проекция высоты боковой грани должна быть параллельна высоте основания, опущенной в середину ребра по которому пересекаются рассматриваемые грани);

  • построение изображений углов наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания ( угол между прямой и плоскостью является угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость).

  • вычислительная часть в соответствии с условием задачи.



  1. Грани параллелепипеда- равные ромбы со стороной a и острым углом 60. Найти объем параллелепипеда.

hello_html_71c5162a.jpg

Нужно обосновать построение изображение высоты параллелепипеда.

Предположим, что ABCDA1B1C1D1- параллелепипед с нижним основанием ABCD , все грани которого являются ребрами со стороной a и острым углом 60. Из свойств многогранных углов следует, что при одной вершине параллелепипеда, каждая из которых является также вершиной трехгранного угла, могут сочетаться лишь плоские углы с градусными мерами 60, 60, 60 или 60, 120, 120.

Предполагая, что O – проекция вершины A1 на плоскость нижнего основания (т.е. что A1O – одна из высот параллелепипеда), можно заключить, что O принадлежит диагонали AC ромба ABCD.

Учитывая величины внутренних углов ромбов-граней, устанавливаем, что пирамида A1ABD является правильным тетраэдром. и потому основанием высоты A1O этого тетраэдра является центр правильного треугольника ABD.

Из всего вышесказанного следует, что чертеж следует начать с построения правильного тетраэдра A1ABD, который затем достроить до параллелепипеда.


  1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. найдите величину угла между плоскостью грани ABB1A1 куба и плоскостью , проходящей через диагональ AB1 этой грани и середину M ребра DC куба.

hello_html_m10e7045c.jpg

Необходимо обосновать:

  • построение сечения куба плоскостью (построение осуществляется по правилам построения сечений многогранника);

  • построение линейного угла двугранного угла между плоскостью ABB1 и секущей плоскостью AB1M.


  1. Дана правильная треугольная пирамида SABC (S- вершина), сторона основания

которой имеет длину а, в боковое ребро – длину b. Изучить сечения этой пирамиды

плоскостями, параллельными скрещивающимся ребрам пирамиды (например, [AS]

и [BС]), показать, что эти сечения – прямоугольники, вычислить площадь сечения,

являющегося квадратом.

hello_html_6627c84b.jpg



Решение.

Здесь не указаны точки, через которые проводится сечение; условие задающее такое сечение, сформулировано в виде требования его параллельности определённым прямым, а именно, скрещивающимся рёбрам [AS] и [BS].

Пусть M – произвольная точка, принадлежащая стороне [AC] основания пирамиды.

Проведём искомое сечение через эту точку. Поскольку плоскость такого сечения

должна быть параллельной ребру [BC], то и линия [MQ] его пересечения с

плоскостью основания пирамиды должна быть параллельной [BC], т.е.

[MQ] ║ [BC]. Аналогично, линия пересечения [MN] плоскостью сечения с боковой

гранью (ASC) должна быть параллельной боковому ребру [AS] пирамиды. Отрезок

прямой [NP], являющийся плоскостью сечения с другой боковой гранью (BSC),

также должен быть параллелен [BC]. Наконец соединив точки P и Q, получаем

отрезок [PQ] замыкающий сечение. Поскольку плоскость сечения параллельна ребру

[AS], то линия её пересечения [PQ] с гранью (ASB), содержащей ребро [AS], должна

быть параллельной этому ребру, т.е. [PQ] ║ [AS]. Таким образом,

[MN] ║ [PQ] ║ [AS] и [MQ] ║ [NP] ║ [BC], т.е. фигура MNPQ – параллелограмм.

Далее имеем: [MN] ║ [AS], [MQ] ║ [BC], но [AS] ┴ [BC], как скрещивающиеся

рёбра правильной пирамиды. Следовательно,[MN] ┴ [MQ], т.е. параллелограмм

MNPQ – это прямоугольник, что и доказывает первую часть утверждения.

Будем перемещать точку M по ребру [AC]. Если приближать её к вершине А, то

прямоугольник MNPQ, лежащий в сечении, будет «вытягиваться» вверх, если же

точку М приближать к вершине С, то основание [MQ] – уменьшится, прямоугольник будет как бы сплющиваться. Поэтому нетрудно видеть, что существует такое положение точки М на ребре [AC], при котором получающаяся в сечении фигура будет квадратом. Найдём его сторону.

Пусть AM=X. Из подобия CMN и CAS имеем:

|MN| / |AS| = |CM| / |CA|, т.е. |MN| / b = a-x / a.

Кроме того, очевидно, что |MQ| = |AM| = x, поскольку AMQ – равнобедренный, а

так как сечение MNPQ – квадрат, то |MN| = |MQ| = x.

Имеем уравнение x / b = a-x / a, т.е. x = ab / a+b

Итак, сторона квадратного сечения имеет длину ab / (a+b),

а его площадь равна а2b2 / (a+b)2.


  1. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABC (S- вершина). Длина стороны её основания равна а, длина бокового ребра – b. Изучить сечения пирамиды плоскостями, параллельными боковому ребру пирамиды и скрещивающейся с ним диагонали основания (например [SD] и [AC]), найти те из них, в которые можно вписать окружность.


hello_html_m2b89a130.jpg


Решение

Сечения о которых идёт речь, могут иметь различную форму. Поскольку плоскость сечения параллельна диагонали [AC], то, указав точку, через которую его следует провести, мы определим такое сечение однозначно. В качестве таких определяющих точек возьмём точки другой диагонали – [BD].

Пусть N – произвольная точка диагонали [BD], принадлежащая её части [BE], где E – центр основания. Построим сечение, проходящее через эту точку. Поскольку его плоскость должна быть также параллельна [AS], то отрезок [L1,L3], по которому эта плоскость пересекается с основанием пирамиды, должен быть также параллелен [AS]. С другой стороны, искомая плоскость пересекается с плоскостью (BSD) диагонального сечения по отрезку [NL2]. Этот отрезок лежит в той же плоскости, которая содержит другую прямую (SD), параллельную искомому сечению. Следовательно точку L2 с точками L1L3, получим треугольник L1L2L3, представляющий искомое сечение. Поскольку [NL2] ┴ [SD], [L1L3]║ [AC] и, кроме того, [AC] ┴ [SD], то и [NL2] ┴ [L1,L3], т.е. L1 L2L3 – равнобедренный треугольник, а [NL2] – его высота.

Перемещая точку N между двумя крайними положениями B и E, каждый раз будем получать в сечении равнобедренный треугольник. Естественно, что любой из них можно вписать в окружность.

Пусть теперь N принадлежит другой половине диагонали [BD], а именно лежит внутри отрезка [ED]. В дальнейшем будем обозначать эту точку буквой M. Проведём через точку M сечение, параллельное [AC] и [SD]. Отрезок [KK5] проходящий через точку M параллельно диагонали [AC], служит линией пересечения искомой плоскости с основанием пирамиды. Поскольку плоскость сечения параллельна боковому ребру [SD], то отрезок [K1K2], [MK3] и [K5K4], лежащие в соответственно в плоскостях (ASD), (BSD) и (CSD), также параллельны этому ребру, а значит, и друг другу. Соединив точку K3 с точками К2 и К4, получим пятиугольник К1К2К3К4К5, представляющий искомое сечение. Ясно, что [К1К2] ┴ [К4К5] и [K5K4] и [K4K5], поскольку [SD] ┴ [AC]. Корме того [K2K3] = [K4K5], т.е. фигура, представляющая сечение, напоминает «домик с равноскатной крышей».

Перемещая точку M между двумя крайними положениями Е и D, мы можем либо увеличивать основание этого «домика», уменьшая высоту его «стен», либо уменьшать основание, увеличивая высоту его «стен».

Заметим, что искомое сечение К1К2К3К4К5 можно построить и другим способом. Продолжив отрезок [K1K5] до пересечения со сторонами основания [BA] и [BC] в точках P и Q соответственно, можно построить равнобедренный треугольник PQ3Q. Точки К2 и К4 пересечения его сторон с боковыми рёбрами [SA] и [SC] пирамиды дают вершины искомого сечения.

Не во всякий пятиугольник К1К2К3К4К5 можно выписать в окружность. Действительно, с одной стороны, эта окружность должна быть вписана в равнобедренный треугольник PK3Q, с другой стороны, перпендикуляры [K2K1] и [K4K5], опущены из точек К2 и К4, должны касаться окружности. Найдём, при каких условиях это выполнимо, т.е. укажем, где должна лежать точка M, чтобы в проведённое через неё сечение можно было бы вписать окружность. Обозначим расстояние [BM] через х, тогда │MD│= a√2 – x и│MD│= a√2 – x. Поскольку длинна радиуса r вписанной окружности должна равняться половине основания сечения К1К2К3К4К5, т.е. [K1M], то r = a√2 – x. С другой стороны, этот же радиус можно найти как радиус окружности, вписанной в треугольник PK3Q. Для этого достаточно воспользоваться формулой S= pr, где S – площадь треугольника PK3Q, а P – его полупериметр. Найдём величины S и p. Сначала заметим, что | PM |=| BM|=x, поскольку треугольник PBQ – равнобедренный и прямоугольный. Затем найдём длину отрезка | MK3 |, являющегося высотой треугольника PK3Q. Из подобия треугольников BMK3 и BDS, лежащих в плоскости диагонального сечения (BSD) пирамиды, имеем:

| MK3 |/| DS | = | BM |/|BD| или MK3/b=x/a√2, откуда | MK3 |=bx/a√2. Наконец, по теореме Пифагора вычисляем длину стороны треугольника PK3Q:

|PK3Q|=√|PM|2+ |MK3|=√x2+x2b2/2a2=x√1+ b2/2a2.

Площадь треугольника S и его полупериметр p вычислим по формулам S= |PM|*|MK3|=x2b/a√2,

p= |PM|+ |PK3|= x*(√1+b2/2a2)

Отсюда находим длину r радиуса вписанной окружности r=S/P=xb/a√2+√2a2+b2. Составим уравнение для определения x путём приравнивания друг другу выражений для величины r: a√2-x=xb/ a√2+√2a2+b2, откуда находим x= a√2(a√2+√2a2+b2)/(b+ a√2+√2a2+b2), определяющее положение точки M на диагонали [BD].




Перечень возможных задач для использования.


  1. В основании пирамиды лежит треугольник с внутренними углами α и β и радиусом описанной окружности R. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом γ. Найдите объём пирамиды.

Указание: Нужно обосновать:

а) построение изображения основания высоты пирамиды;

б) построение углов между боковыми рёбрами пирамиды и плоскостью её основания.

Ответ: hello_html_637e101a.gif


  1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны a и b, а его диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону а, угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Указание: Нужно обосновать построение угла между диагональю параллелепипеда и его боковой гранью.

Ответ: abhello_html_493186ba.gif


  1. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого длины а составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью – угол βhello_html_m53d4ecad.gif?


Указание: Нужно обосновать:

а) построение угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания;

б) построение угла между диагональю и плоскостью боковой грани.

Ответ: hello_html_735aa42f.gif


  1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания равна 4 см. Найдите длину большей диагонали параллелепипеда, зная, что меньшая образует с плоскостью основания угол 60°.

Указание. Установить, какая из диагоналей параллелепипеда является меньшей (использовать свойства наклонных к плоскости и их проекций на эту плоскость). Обосновать построение угла между меньшей диагональю и плоскостью нижнего основания параллелепипеда.

Ответ:10 см


  1. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 4 см и углом 60°. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания 45°. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Указание. Установить, какая из диагоналей параллелепипеда является большей. Обосновать построение угла между этой диагональю и плоскостью нижнего основания.

Ответ:64hello_html_m980c3de.gif.


  1. Одно ребро тетраэдра равно 4 см, а каждое из остальных 3 см. Найдите объём тетраэдра.

Указание. Обосновать построение изображения основания высоты пирамиды. В

качестве основания тетраэдра можно брать равнобедренный треугольник (когда все

боковые рёбра равны) или равносторонний треугольник; в первом случае обоснование

чертежа является более простым.

Ответ: hello_html_m39bbebd5.gif


  1. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3hello_html_m980c3de.gif см, а её боковое ребро 3hello_html_m59c8c0fc.gif см. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды.

Указание. Нужно обосновать:

а) в какую точку плоскости основания проецируется вершина пирамиды;

б) построение на чертеже линейного угла двугранного угла при основании пирамиды.

Ответ: 60°.

  1. В треугольнике АВС АС=ВС=10 см, hello_html_m53d4ecad.gif<А=<В=30°. Прямая ВD перпендикулярна плоскости данного треугольника и BD= 5 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

Указание. Нужно обосновать построение изображения перпендикуляра из точки D на прямую АС. При этом следует учесть, что <АСВ тупой, и потому основание этого перпендикуляра будет внешней точкой по отношению к отрезку АС


hello_html_m5063d0f5.png


Ответ:10.


9.Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.

Указание. Обосновать построение проекций точки М на плоскость, в которой лежит данный угол, и на его обе стороны.

Ответ: hello_html_m192e4801.gif


hello_html_m53d4ecad.gif10. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равных расстояниях от его вершин. Найдите это расстояние.

Указание. Необходимо обосновать построение изображения основания перпендикуляра из данной точки на плоскость данного треугольника.

Ответ: 6,5.


11. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.

Указание. Нужно обосновать:

а) построение точки, являющейся основанием высоты пирамиды;

б) построение линейных углов двухгранных углов при основании пирамиды.

Ответ: hello_html_21778df5.gif


12. Вычислите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с нижним основанием 2 см, боковой стороной 1см и острым углом 60°, если известно, что все боковые рёбра пирамиды равны 2 см.

Указание. Обосновать построение изображения высоты (доказать при проведении обоснования чертежа, что основанием высоты пирамиды будет являться середина нижнего основания трапеции).

Ответ: hello_html_41aeadb8.gif


13. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a. Вычислите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через диагональ АВ1 боковой грани и середину М ребра CD.

Ответ: hello_html_m1cecd9fc.gif


14. Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину D и середины M и N рёбер A1B1 и B1C1 , если ребро куба равно 1.

Ответ:hello_html_7949f491.gif


15. Высота цилиндра 8см, радиус основания 5см. Цилиндр пересечён плоскостью так, что в сечении получается квадрат. Найдите расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра.

Указание. Доказать, что в сечении цилиндра плоскостью может получиться квадрат лишь в том случае, когда секущая плоскость параллельна оси цилиндра, причём высота цилиндра не должна превышать диаметра основания. Обосновать построение отрезка, выражающего расстояние от прямой (оси цилиндра) до параллельной ей плоскости (секущей).

Ответ: 3.


16. Образующая конуса равна 6 см и образует с его основанием угол 45°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведённой через две его образующие, угол между которыми равен 60°.

Указание. Необходимо обосновать:

а) построение угла между образующей конуса и плоскостью его основания;

б) существование сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 60° (найдутся ли среди множества образующих конуса две такие, угол между которыми 60°?).

Ответ:hello_html_m263a2549.gif.



Некоторые рекомендации для построения чертежей к задачам, связанным с телами вращения.

  1. При любом сочетании шара с призмой построение изображения всегда следует начинать с изображения шара, а затем описывать или вписывать призму.

  2. При изображении прямой призмы, описанной около шара, всегда нужно сначала около экваториального эллипса описать изображение многоугольника – среднего сечения этой призмы.

  3. Построение изображения наклонной призмы, описанной около шара, фактически сводится к построению изображения наклонной призмы, описанной около наклонного цилиндра, который в свою очередь описан около шара.

  4. Построение изображения сочетания любого тела с шаром всегда следует начинать с шара.



Примеры задач на сочетание многогранников и тел вращения


  1. В шар радиуса R вписано множество правильных треугольных пирамид. У какой пирамиды может быть наибольший объем и чему равна максимальная величина объема?

Ответ: Плоский угол при вершине пирамиды равен 60, наибольший

объем 8hello_html_m980c3de.gifR3/27.

  1. В шар радиуса R вписано множество правильных четырехугольных пирамид. При каком значении угла при вершине пирамиды ее объем будет наибольшим? Указать величину этого объема?

Ответ: Плоский угол при вершине пирамиды равен arccos 2/3,

наибольший объем 32R3/81.




  1. Высота конуса равна 6. Образующая конусам составляет с плоскостью основания

угол 60°. В конус помещена пирамида, основанием которой служит

равнобедренный прямоугольный треугольник, вписанный в основание конуса, а

вершиной – середина одной из образующих конуса. Найдите объём пирамиды.


Ответ: 12.


  1. В тетраэдре ABCD все рёбра, кроме АВ, имеют равную длину. Угол АСВ – прямой.

Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.


Указание. Нужно обосновать:

а) построение изображения высоты пирамиды;

б) построение изображения линейного угла двугранного угла

при ребре ВС.

Ответ: hello_html_m208499f2.gif
















СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Проблемное обучение на уроках математики.

  2. Пособие по геометрии. М.В.Лурье, Б.И.Аленксандров. Издательство Московского университета, 1984г.

  3. Математическое открытие. Д.Пойа. «Наука», Москва, 1970г

  4. Моделирование на уроках геометрии. В.Н.Костицын.

  5. Материалы газеты «Математика». Издательский дом «Первое сентября».



Краткое описание документа:

Данное пособие предназначено для учителей, работающих в 10-11-х классах пр проведении уроков геометрии.

Использование на уроках исследовательских задач позволяет более полно и глубоко изучить прграммный иатериал.

Учащиеся получают возможность для творческой работы, раскрывающей их способности.

Предложенные задачи могут быть использова для "уроков" одной задачи, проведения факультативов по геометрии или в качестве элементов на отдельных уроках.

Данный материал целесообразнее использовать в подготовленных классах, готовых воспринимать материал в нестандартных формах.

Общая информация

Номер материала: 121108

Похожие материалы