Исследовательский проек "Задачи на оптимизацию"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Орган местного самоуправления

«Управление образования города Каменска-Уральского»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №31»

«Определение оптимального маршрута»

(Проект)

                                               Автор: 

                                               Воронина Валерия, 5 «Б»

                   Руководитель:

                                             Воронина Наталья Викторовна

                       Каменск – Уральский

                                   2014

                                                   Содержание

Введение                                                                                                                 3

1. Теоретическая часть                                                                                          5

         1.1 Постановка задачи оптимизации                                                         5                                                                                               1.2 Решение задач  ЕГЭ на оптимизацию                                                 6

2. Проектная  часть                                                                                               8

2.1 Выбор маршрута                                                                                   8

2.2 Расчет  времени                                                                                    12         

2.3 Расчет денежных средств                                                                    13                         

Заключение                                                                                                           14

Список литературы                                                                                              15

Введение

            На уроке математики мы писали сочинение «Математика в жизни человека». Я задумалась,  где можно использовать математические знания в практической деятельности человека. Да, конечно, в магазине, надо считать деньги, взвешивать товар, рассчитывать стоимость покупки. А еще можно рассчитать время в пути, если знаешь расстояние и скорость.  А интересно, можно рассчитать кротчайший путь между объектами, самую дешевую поездку.

         Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия. На практике оказывается, что в большинстве случаев понятие «наилучший» может быть выражено количественными критериями – минимум затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum – наилучший) результата, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации. Оптимальный результат, как правило, находится не сразу, а в результате процесса, называемого процессом оптимизации.

         Знание методов нахождения оптимального решения позволяет инженеру и офицеру выбирать наиболее эффективные и самые экономичные  способы эксплуатации и ремонта машин, находить оптимальные решения тактических задач.

         Цель проекта:  отыскание пути от дома до сада с наименьшими затратами и временем.

         Задачи:

1.     постановка задачи оптимизации;

2.     рассмотреть задачи ЕГЭ на оптимизацию;

3.     определить маршруты от дома до сада;

4.     рассчитать время и расходы на преодоление пути.

Теоретическая часть

1.1  Постановка задачи оптимизации

На протяжении всей своей эволюции человек, совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо комфортные условия существования. Занимаясь строительством кораблей, он пытался придать им такую форму, при которой вода оказывала бы наименьшее сопротивление. Можно легко продолжить перечень подобных примеров.

Наилучшие в определенном смысле решения задач принято называть оптимальными. Без использования принципов оптимизации в настоящее время не решается ни одна более или менее сложная проблема.

Постановка задачи на оптимизацию и ее решение включает в себя ряд этапов:

- выбор и обоснование цели оптимизации;

- согласование цели с имеющимися возможностями, т.е. учет ограничений;

-реализация способа достижения цели при учете ограничений.

         Выбор и обоснование цели оптимизации предусматривают определение критериев качества, которые наиболее полно отражали бы цели оптимизации. Этот этап является одним из основных, так как от правильности выбора критерия качества зависит решение задачи в целом.

         Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации. Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку  практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев – не возможно. При наличие ЭВМ задача заметно упрощается.

1.2 Решение задач ЕГЭ на оптимизацию

            Задача 1.   Семья из трех человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

Решение:

1)    660∙3=1980(р) – потратит семья из трех человек на поезде

2)    8∙7∙19=1064(р) – потратит семья, если поедет на машине

Ответ: за наиболее дешевую поездку придется заплатить 1064              рубля, это будет поездка на автомобиле.

         Задача 2.  От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
Автобусом	От дома до автобусной станции — 15 мин.	Автобус в пути: 2 ч 15 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин.
Электричкой	От дома до станции железной дороги — 25 мин.	Электричка в пути:  1 ч 45 мин.	От станции до дачи От станции до дачи пешком 20 мин.
Маршрутным такси	От дома до остановки маршрутного такси — 25 мин.	Маршрутное такси в дороге: 1 ч 35 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком 40 мин.

         Решение:

1)    15мин+2ч 15мин+5мин=2ч 35мин – можно доехать от дома до дачи  на автобусе

2)     25мин+1ч 45мин+20мин=2ч 30мин – можно доехать от дома до дачи  на электричке

3)     25мин+1ч 35мин+40мин=2ч 40мин  –  можно доехать от дома до дачи  на маршрутном такси.

Ответ:  наименьшее время на дорогу 2ч 30мин = 2,5часа (на электричке)

         Задача 3.  Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль      Топливо        Расход топлива  Арендная плата

                                                  (л на 100 км)           (руб. за 1 сутки)

А          Дизельное                       7                              3700

 Б         Бензин                           10                              3200

 В         Газ                                 14                              3200

 Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина —- 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

         Решение:

1)     7∙5∙19+3700=4365(р) – заплатит клиент за автомобиль А

2)     10∙5∙22+3200=4300(р) – заплатит клиент за автомобиль Б

3)     14∙5∙14+3200=4180(р) – заплатит клиент за автомобиль В.

Ответ: самый дешевый вариант - автомобиль В, 4180 рублей.

Проектная  часть

2.1 Выбор маршрута

         Я хочу выбрать маршрут от моего дома, по адресу: Кирова 55 – 4,  до сада за деревней Новый Завод.

         До сада можно добраться тремя способами: на машине, на автобусе, пешком.

         МАРШРУТ 1.  На машине до сада можно добраться через Старый Каменск, по улице Ленинградской Ленинского поселка, через переезд, мимо Нового Завода.

         МАРШРУТ 2.  Отправляясь до сада на автобусе, мы выбираем маршрут двенадцатого автобуса.

         МАРШРУТ 3.  Если мы идем пешком, то наш путь пройдет по улице Проспект Победы, мимо профилактория «Чистый ключ», через лес, по висячему мосту, вдоль железнодорожного полотна, около деревни Новый Завод. 

Маршрут 2

Маршрут 1

Маршрут 3

2.2 Расчет времен

         Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по первому маршруту.

	От дома до стоянки	Машина в пути
На машине	5 мин	15 мин

От дома до сада на машине можно доехать за 20 минут.

         Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по второму маршруту.

	От дома до остановки	Автобус в пути	От  остановки до сада
На автобусе	3 мин	30 мин	7 мин

От дома до сада на автобусе можно добраться за 40 минут.

         Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по третьему маршруту.

	От дома до сада
Пешком	1час 10 мин

От дома до сада  пешком можно дойти за 1 час 10 минут.

Вывод: быстрее всего до сада можно добраться  на автомобиле за 20 минут.

2.3  Расчет денежных средств

         Рассчитаем  какой из трех маршрутов будет  самым экономичным. Очевидно,  если мы идем пешком, то это бесплатно, но я выяснила, что это очень долго. Поэтому надо выбирать между автобусом и  машиной.

         Маршрут 1.  Если мы отправляемся на сад всей семьей, это 4 человека.

	Количество бензина	Ценно бензина	Стоимость
ВАЗ 2107	1 литр	25 рублей 80 копеек	25 рублей 80 копеек
Митсубиси	2,5 литра	25 рублей 80 копеек	64 рублей 50 копеек

         Маршрут 2.  Сколько будет стоить проезд до сада на автобусе, для  двух взрослых и двух детей школьного возраста.

	Стоимость билета	Два билета
Взрослый	18 рублей	36 рублей
Детский	10 рублей	20 рублей

         Стоимость проезда на автобусе 56 рублей.

Вывод: 1) самый дешевый проезд на автомобиле ВАЗ 2107;

             2)  если автомобиль не экономичный, то дешевле ехать на автобусе;

             3)  одному человеку выгоднее использовать автобус;

             4) на автомобиле митсубиси  надо перевозить 5 человек, чтобы поездка была экономичной.

Заключение

         До работы над этим проектом я не задумывалась, каким способом добираться из одного пункта в другой.  Что от транспортного средства зависит время и стоимость поездки.

         Теперь я знаю, что собираясь в путешествие, можно рассчитать не только время в пути, но и затраты, а значит можно выбрать оптимальный вариант.

         А еще,  я заглянула немножко в будущее, попробовала решить несколько задач из открытого банка ЕГЭ по математике. По окончании 11 класса нам всем предстоит сдавать экзамен по математике, поэтому подготовка к ним очень важна.

Список литературы

1. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике  (mathege.ru).
2. А.Г.Трифонов. «Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения», 2007г.

3.      Карта города  Каменска-Уральского (map.kamensk-uralskiy.ru).

Выступление

На уроке математики мы писали сочинение «Математика в жизни человека». Я задумалась,  где можно использовать математические знания в практической деятельности человека. Да, конечно, в магазине, надо считать деньги, взвешивать товар, рассчитывать стоимость покупки. А еще можно рассчитать время в пути, если знаешь расстояние и скорость.  А интересно, можно рассчитать кротчайший путь между объектами, самую дешевую поездку, минимальное время, за которое можно доехать из одного пункта в другой.

Так появилась цель проекта:  отыскание пути от дома до сада с наименьшими затратами и временем.

         Задачи:

1.     постановка задачи оптимизации;

2.     рассмотреть задачи ЕГЭ на оптимизацию;

3.     определить маршруты от дома до сада;

4.     рассчитать время и расходы на преодоление пути.

         Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия. На практике оказывается, что в большинстве случаев понятие «наилучший» может быть выражено количественными критериями – минимум затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum – наилучший) результата, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации. Оптимальный результат, как правило, находится не сразу, а в результате процесса, называемого процессом оптимизации.

         Знание методов нахождения оптимального решения позволяет инженеру и офицеру выбирать наиболее эффективные и самые экономичные  способы эксплуатации и ремонта машин, находить оптимальные решения тактических задач.

         Я хочу выбрать маршрут от моего дома, по адресу: Кирова 55 – 4,  до сада за деревне Новый Завод.

         До сада можно добраться тремя способами: на машине, на автобусе, пешком.

         МАРШРУТ 1.  На машине до сада можно добраться через Старый Каменск, по улице Ленинградской Ленинского поселка, через переезд, мимо Нового Завода.

         МАРШРУТ 2.  Отправляясь до сада на автобусе, мы выбираем маршрут двенадцатого автобуса.

         МАРШРУТ 3.  Если мы идем пешком, то наш путь пройдет по улице Проспект Победы, мимо профилактория «Чистый ключ», через лес, по висячему мосту, вдоль железнодорожного полотна, около деревни Новый Завод. 

Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по первому маршруту.

	От дома до стоянки	Машина в пути
На машине	5 мин	15 мин

От дома до сада на машине можно доехать за 20 минут.

         Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по второму маршруту.

	От дома до остановки	Автобус в пути	От  остановки до сада
На автобусе	3 мин	30 мин	7 мин

От дома до сада на автобусе можно добраться за 40 минут.

         Рассчитаем  время в пути, если будем двигаться по третьему маршруту.

	От дома до сада
Пешком	1час 10 мин

От дома до сада  пешком можно дойти за 1 час 10 минут.

Получили, что быстрее всего до сада можно добраться  на автомобиле за 20 минут.

         Рассчитаем  какой из трех маршрутов будет  самым экономичным. Очевидно,  если мы идем пешком, то это бесплатно, но я выяснила, что это очень долго. Поэтому надо выбирать между автобусом и  машиной.

         Маршрут 1.  Если мы отправляемся на сад всей семьей, это 4 человека.

	Количество бензина	Ценно бензина	Стоимость
ВАЗ 2107	1 литр	25 рублей 80 копеек	25 рублей 80 копеек
Митсубиси	2,5 литра	25 рублей 80 копеек	64 рублей 50 копеек

         Маршрут 2.  Сколько будет стоить проезд до сада на автобусе, для  двух взрослых и двух детей школьного возраста.

	Стоимость билета	Два билета
Взрослый	18 рублей	36 рублей
Детский	10 рублей	20 рублей

         Стоимость проезда на автобусе 56 рублей.

Вывод: 1) самый дешевый проезд на автомобиле ВАЗ 2107;

             2)  если автомобиль не экономичный, такой как митсубиси паджера,   то дешевле ехать на автобусе;

             3)  одному человеку выгоднее использовать автобус;

             4) на автомобиле митсубиси  надо перевозить 5 человек, чтобы поездка была экономичной.

         До работы над этим проектом я не задумывалась, каким способом добираться из одного пункта в другой.  Что от транспортного средства зависит время и стоимость поездки.

         Теперь я знаю, что собираясь в путешествие, можно рассчитать не только время в пути, но и затраты, а значит можно выбрать оптимальный вариант.

         А еще,  я заглянула немножко в будущее, попробовала решить несколько задач на оптимизацию из открытого банка ЕГЭ по математике, решения приводятся в проекте.  По окончании 11 класса нам всем предстоит сдавать экзамен по математике, поэтому подготовка к ним очень важна.