Исследовательский проект "Координатный метод решения геометрических задач"

• 1 слайд

  Автор:
  Самохина Кристина,
  ученица 11 Б класса
  Руководитель: С.А. Максименко,
  учитель математики
  Координатный метод решения заданий из ЕГЭ
  

• 2 слайд

  Цель
  Определить виды стереометрических задач из ЕГЭ профильного уровня и
  методы их решения.
  
  Задачи
  

• 3 слайд

  Объект исследования: Стереометрические задачи.
  
  
  Предмет исследования:
  Методы решения стереометрических задач.
  

• 4 слайд

  Планируемый результат: Определить наиболее рациональный метод решения стереометрических задач и научиться его применять.
  

• 5 слайд

  Методы
  Изучение теории
  Анализ метода решения геометрических задач
  Решение геометрических задач
  

• 6 слайд

  Гипотеза:
  Координатный метод позволяет наиболее рационально и быстро решать геометрические задачи.
  Актуальность:
  Получение высоких баллов на экзамене.
  Применение наиболее рационального метода решения геометрических задач.
  
  

• 7 слайд

  Алгебра - не что иное как записанная
  в символах геометрия,
  а геометрия - это просто алгебра,
  воплощенная в фигурах.
  
  
  Софи Жермен (1776-1831) - французский математик, философ и механик
  

• 8 слайд

  Постановка проблемы
  Решить задачу: В правильной четырехугольной призме АBCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:1. Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.
  Методы решения:
  - поэтапно-вычислительный;
  - координатный метод.
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Основные понятия
  Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них —прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.
  Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.
  Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.
  

• 11 слайд

  Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач
  
  Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения
  Находим координаты необходимых для нас точек
  Решаем задачу, используя основные задачи метода координат
  Переходим от аналитических соотношений к геометрическим
  

• 12 слайд

  Координаты многогранников
  

• 13 слайд

  Единичный куб
  А (0,0,0)
  А1(0,0,1)
  В(1,0,0)
  В1(1,0,1)
  D( 0 ,1 ,0)
  D1( 0,1,1)
  С(1,1,0)
  С1(1,1,1)
  

• 14 слайд

  Прямоугольный параллелепипед
  
  D (0; 0; 0)
  D1 (0; 0; c)
  A (a; 0; 0)
  A1 (a; 0; c)
  C (0; b; 0)
  C1 (0; b; c)
  B (a; b; 0)
  B1 (a; b; c)
  
  

• 15 слайд

  Правильная треугольная призма
  A (a; 0; 0)
  A1 (a; 0; c)
  C (0; 0; 0)
  C1 (0; 0; c)
  

• 16 слайд

  Правильная шестиугольная призма
  

• 17 слайд

  Правильная треугольная пирамида
  

• 18 слайд

  Правильная четырехугольная пирамида
  D( 0 ,0 ,0)
  A(a; 0; 0)
  C(0; a; 0)
  B(a; a; 0)
  S(0,5a; 0,5a; h)
  

• 19 слайд

  Правильная шестиугольная пирамида
  

• 20 слайд

  Основные виды задач
  Нахождение расстояния:
  Между прямой и плоскостью
  Между скрещивающимися прямыми
  Между двумя точками
  От точки до прямой
  Нахождение угла:
  Между скрещивающимися прямыми
  Между прямой и плоскостью
  Между плоскостями
  
  

• 21 слайд

  Нахождение расстояния от точки до прямой
  Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.
  
  Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(x; y; z) до прямой можно найти, используя следующую формулу:
  
  |Ax + By + Cz|
  d=
  √A + B + C
  

• 22 слайд

  Нахождение расстояния между двумя точками
  , где M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2)
  

• 23 слайд

  Нахождение расстояния от точки М (x ; y ; z) до плоскости ax + by + cz + d = 0.
  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
  Итак, для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего воспользоваться следующей формулой:
  Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до
  плоскости:
  1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. вектора)
  2. Вписываем фигуру в систему координат
  3. Находим координаты точек (данной и трех точек плоскости)
  4. Составляем уравнение плоскости
  5. Находим координаты вектора нормали плоскости
  6. Подставляем в формулу "расстояние от точки до плоскости"
  

• 24 слайд

  
  Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
  Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой.
  

• 25 слайд

  Нахождение угла между прямыми
  Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. Данный угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если нам удастся найти координаты направляющих векторов a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2), то сможем найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:
  
  
  
  
  Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми:
  на рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. вектора)
  вписываем фигуру в систему координат
  находим координаты концов векторов
  находим координаты векторов
  подставляем в формулу "косинус угла между векторами"
  находим значение самого угла
  

• 26 слайд

  Нахождение угла между прямой и плоскостью
  Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
  
  
  
  
  , где n – вектор нормали,
  а - направляющий вектор.
  

• 27 слайд

  Угол между плоскостями равен углу между векторами нормалей к данным плоскостями
  Вектор нормали – это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
  Координаты вектора – это коэффициенты перед х, у, z в уравнении плоскости.
  Формула для вычисления угла между плоскостями
  Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
  
  

• 28 слайд

  Решение
  проблемы
  

• 29 слайд

  Задача 4
  В правильной четырехугольной призме  ABCDA1B1C1D1  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA1 взята точка М так, что AM=8 . На ребре BB1 взята точка K так, что KB1=8. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
  Задача 1
  В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1. 
  Задача 34
  Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
  

• 30 слайд

  Вывод:
  Существует ряд стереометрических задач, для которых более рациональным методом решения является не поэтапно-вычислительный, а координатный.
  

• 31 слайд

  Заключение:
  В ходе работы мною были изучены различные источники: книги, справочники, интернет-ресурсы, в которых я нашла необходимые формулы для решения задач координатным методом, мною были решены некоторые задачи из ЕГЭ, сделана подборка задач по теме: «Нахождение угла между плоскостями»,
  выпущена брошюра.
  

• 32 слайд

  Используемая литература:
  1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.
  2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010, № 20.
  3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. —М.: МЦНМО, 2011.
  4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. —2-е изд., испр. и доп. —М.: БИНОМ, 2003.
  5. https://4ege.ru/matematika/5137-reshenie-zadaniy-s2-ege-po-matematike-koordinatno-vektornym-metodom.html
  6.https://www.metod-kopilka.ru/reshenie_zadaniy_s2_koordinatnym_metodom.-29500.htm
  7. https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/vectors.pdf
  8. https://ege.sdamgia.ru/test?theme=283
  
  
  

• 33 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
  

Краткое описание документа:

Исследовательский проект направлен на углубленное изучение координатного метода, подготовке к ЕГЭ профильного уровня.

Представлены алгоритмы решения основных задач на нахождение расстояний и углов в пространстве. Рассмотрены задания из ЕГЭ.

Даны рекомендации по решению стереометрических задач на нахождение угла между плоскостями.