Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Исследовательский проект "Магия кос" (8 класс)

Исследовательский проект "Магия кос" (8 класс)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_5bd86eb4.gifhello_html_7cb8106e.gifhello_html_1d789f32.gifhello_html_68a94aff.gifhello_html_m455f464e.gifhello_html_m6ffac3ce.gifhello_html_5d3143c8.gifhello_html_5d3143c8.gifhello_html_5d3143c8.gifhello_html_m455f464e.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m5cdaa796.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_1f535bb4.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_6c5202f5.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_7562868e.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_6d1a1fce.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m3bf54920.gifhello_html_m1248ddcd.gifhello_html_538b13b1.gifhello_html_538b13b1.gifПортфолио проекта

I. Паспорт проекта

Проект: Магия кос

Разработчик: Дандерфер Лилия

Класс: 8

Название, номер учебного учреждения, где выполнялся проект: муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Гимназия № 10», Центральный округ

Предметная область: математика

Время разработки: сентябрь 2014г - февраль 2015г

Проблема проекта: плетение кос – разве это математика?

Цель проекта: установить взаимосвязь между плетением кос и математикой.

Задачи:

- изучить теорию кос.

- рассмотреть приложения кос.

- познакомить одноклассников с «магией» кос.

Тип проекта (по виду деятельности): исследовательский

Используемые технологии: мультимедиа.

Форма продукта проекта: презентация, буклет, игра «Танглоид»

Содержание: посмотрим на плетение кос с точки зрения математика. В чем заключается алгебраизация теории кос?

Исследование:

- коса – объект математика.

Область применения результата проекта:

- внеклассная работа (кружковая работа, элективный курс).

Результативность: проведена презентация темы в классе, изготовлена игра «Танглоид»







Описание работы над проектом

Введение

Практически каждый человек умеет заплетать косу из трех прядей волос, но и не подозревает, что это ещё и математический объект.

Цель нашей работы: установить взаимосвязь между плетением кос и математикой.

Задачи исследования:

  1. Изучить теорию кос.

  2. Рассмотреть приложения кос.

  3. Познакомить одноклассников с «магией» кос.

Методы исследования:

- эксперимент;

- наблюдение;

- изучение литературы.

Планирование работы над проектом

  1. Постановка проблемы: плетение кос – разве это математика?

  2. Изучение литературы по теме теория кос

  3. Выдвижение гипотез

  4. Проверка гипотез

  5. Доказательство или опровержение гипотез.












1. Теория кос

Теория кос – это реальная и живая наука, возникшая в 20-ых годах прошлого века тогда еще молодым немецким алгебраистом Э. Артином по заказу ткацкой фабрики: он выполнял, как бы сказали сегодня, хоздоговорную работу для этого предприятия.

Приведем примеры кос (рис. 1).

К1

К2

К3

К4

C:\Users\ольга\Desktop\9v9DKtC5miQ (1).jpg

C:\Users\MogOA\Desktop\DSC02448[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02443[1] (1).JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02445[1] (1).JPG

«Девичья коса»

Тривиальная коса

Крашеная коса

Циклическая коса

Диаграммы – проекция косы на плоскость

1

2

3

2

3

1


C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

1

2

3

2

3

1


C:\Users\ольга\Desktop\DSC02441[1] (1).JPG

2

1

4

3

4

2

3

1


C:\Users\ольга\Desktop\DSC02434[1].JPG

3

1

4

2

4

3

2

1

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02435[1].JPG

Рис. 1. Примеры кос из трех и четырех нитей

Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1, 2, 3, …) – каждый из гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх: фигуры на рисунке 2, например, косами не являются).



C:\Users\ольга\Desktop\DSC02439[2].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02440[1].JPG

Рис. 2. Эти фигуры не являются косами: их нити имеют восходящий характер

Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02433[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02438[1] (1).JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02437[1].JPG

Рис. 3. Геометрическое доказательство тривиальности косы

Коса К тривиальна, ибо она легко превращается (см. рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей).

На рисунке 1 вверху у начала каждой нити указан ее порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити – но здесь номера не обязаны идти по порядку: каждой косе соответствует перестановка номеров ее нитей. Так, косами К1, К3, К4 на рисунке 1 отвечают перестановки:

hello_html_m2f8c0b05.gif, hello_html_776d8239.gif, hello_html_529f5b32.gif.
Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса К
3: так она называется вовсе не потому, что нарисовали ее нити разными цветами: крашеной называется любая коса, которой отвечает тождественная перестановка hello_html_7a2442be.gif, т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

Тривиальная коса, все нити которой вертикальные прямые является частным случаем крашеной косы.

Среди кос следует выделить, кроме крашеных, в известном смысле противоположные им - циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса К4: 12 4 3 1.














2. Алгебра кос

Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы верхние – второй).

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPGC:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

К

L

M = K  L

Рис. 4. Умножение кос

Такое умножение обладает рядом свойств обычного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон

К12К3)=(К1К23,

есть аналог единицы – тривиальная коса К2 = 1, для которой

hello_html_714d21c5.gif.hello_html_11852162.gif Есть и аналог деления: у каждой косы К имеется обратная коса hello_html_m1423c46f.gif: для нее

hello_html_m5a1cd36.gif.

Рассмотрим данную операцию на рисунке 5.

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

C:\Users\ольга\Desktop\DSC02441[1] (1).JPGC:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPGC:\Users\ольга\Desktop\DSC02431[1].JPG

К

К-1

К  К-1 = 1

3. Применение кос

У теории кос существуют вполне серьезные приложения, например к комплексному анализу, механике и физике элементарных частиц, а так же идея кодирования химической информации в маленьких узелках (и косах!) при изучении ДНК.

Теория кос имеет много приложений, как в математике, так и за пределами ее. Рассмотрим одно из них – приложение к теории узлов.

Узел (на физическом уровне строгости) – это тонкая веревка, концы которой склеены.

C:\Users\1\Desktop\нпк прокуратов\развязывание 4.JPGC:\Documents and Settings\MogOA.GYM10\Рабочий стол\нпк никита\развязывание 2.JPG

Тривиальный узел Нетривиальный узел – трилистник

Узел (математическое определение) — это замкнутая пространственная кривая (ломаная), не имеющая точек самопересечения. Примеры узлов (рис. 6)

Тривиальный узел

Трилистник

Восьмерка

Узел 51

hello_html_1bf2dde8.png

hello_html_1bf2dde8.png

hello_html_1bf2dde8.png

hello_html_1bf2dde8.png

Рис. 6. Примеры узлов

Возьмем косу, изогнем ее дугой и склеим конец с началом (рис. 7) получится узел. Всегда ли такое замыкание косы дает узел?

C:\Users\MogOA\Desktop\IMG_2679.JPG


C:\Users\MogOA\Desktop\IMG_2680.JPG

C:\Users\MogOA\Desktop\IMG_2681.JPG

C:\Users\MogOA\Desktop\IMG_2682.JPG

Проведем эксперимент 1. Нарисуем замыкание кос К1, К3.

Гипотеза: замыканием данных кос будет являться одна кривая, т.е. узел.

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2683.jpg

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2690.jpg

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2691.jpg

Вывод: действительно замыкание косы К1 является кривая, т.е. узел.

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2692.jpg

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2693.jpg

Вывод: замыкание косы К3 является 4 замкнутых кривых.

Проведем эксперимент 2. Найдем косу, замыкание которой является узел:

hello_html_1bf2dde8.png

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2696.jpg

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2697.jpg

C:\Users\MogOA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_2698.jpg

hello_html_1bf2dde8.png

C:\Users\ольга\Desktop\Дандерфер Лилия\WP_20150226_006.jpgC:\Users\ольга\Desktop\Дандерфер Лилия\WP_20150226_005.jpg

C:\Users\ольга\Desktop\Дандерфер Лилия\WP_20150226_004.jpg

C:\Users\ольга\Desktop\Дандерфер Лилия\WP_20150226_003.jpg

Замечательный математик Дж. Александер доказал, что любой узел является замыканием некоторой косы.

















4. Магия кос

Теория кос также лежит в основе необычной игры, изобретенной датским поэтом, писателем и математиком Питом Хейном – танглоид.

Сначала изготовим подвеску в форме геральдического щита. Две стороны подвески должны быть легко различимы, поэтому отметим одну сторону буквой Х. Проделаем в верхней части три отверстия, пропустим в каждое из них по отрезку гибкого шнура длиной около 60 см и завяжем шнурки узлом. Вторые концы шнурков привяжем к какому-либо неподвижному предмету. Экспериментируя с полученным устройством, мы обнаружили, что подвеска может совершать обороты шестью разными способами. Ее можно поворачивать на 360 вправо, можно поворачивать вокруг прямого края вперед или назад, продевая между шнурками А и В, также ее можно поворачивать вокруг прямого края вперед или назад, продевая между шнурками В и С. Таким образом можно получить шесть различных кос.

Теорема (для кос с любым числом прядей больше двух) Все косы, полученные четным числом вращений подвески (причем допустимы вращения в любых направлениях) можно расплести. Косы, полученные нечетным числом полных оборотов, расплести нельзя.

Выполним три задачи на расплетание кос.hello_html_m5ddbd7e1.pnghello_html_m5ddbd7e1.pnghello_html_m5ddbd7e1.png























Задача 1. Коса А

F:\косы\DSC02403.JPG

Эта коса заплетается двумя оборотами подвески вокруг себя направо на 360.

F:\косы\DSC02405.JPG

F:\косы\DSC02407.JPG

Расплетание косы А:
1. Пропустить подвеску под всеми шнурами слева направо.

У нас должно получится вот ЭТО:

F:\косы\DSC02408.JPG

F:\косы\DSC02423.JPG

Переворачиваем на 360 градусов влево.

Наша коса расплетена.

Задача 2. Коса Б

C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_007.jpg

C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_010.jpg

Коса Б заплетается, продев подвеску между синим шнуром и фиолетовым шнуром в направлении от себя.

А затем, продев подвеску между белым шнуром и фиолетовым шнуром в обратном направлении (на себя).

F:\косы\DSC02416.JPG

F:\косы\DSC02425.JPG

Наша коса должна выглядеть вот так.

Теперь пропустим подвеску под серединой фиолетового шнура (там, где показано на фото).

F:\косы\DSC02427.JPG

C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_004.jpg

Это должно выглядеть вот так. Движение выполняется слева направо.

Коса должна выглядеть так:

C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_010.jpg

Расплетается она пропусканием подвески между белым и фиолетовым шнуром от себя.

Задача 3. Коса В

C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_007.jpg

F:\косы\DSC02419.JPG

Эту косу получили, дважды пропустив подвеску между синим и фиолетовым шнурами (в направлении от себя).

Она должна выглядеть вот так

F:\косы\DSC02420.JPG

F:\косы\DSC02421.JPG

Что бы расплести эту косу, сначала надо пропустить подвеску под синим шнуром справа налево.

У нас получится это.

F:\косы\DSC02422.JPG

F:\косы\DSC02423.JPG

Потом следует пропустить подвеску под белым и фиолетовым шнуром слева направо.

Наша коса расплетена.

Плетение кос – занятие очень интересное и увлекательное.









Заключение

Теория кос – эта теория находится на стыке алгебры, геометрии и топологии, являясь между тем красивой и наглядной. Что такое коса в математике? Грубо говоря, это формальная модель того, что понимается под словом «коса» или «сплетение». В обычной жизни это девичья коса, собачий поводок, сплетенный из кожаных полос, классический канат из переплетенных жил и т.д., т.е. множество нитей, запутанных определенным образом. В работе мы рассмотрели алгебраизацию кос, а также замечательную связь между красивыми топологическими объектами: косами и узлами. С основными теоремами и приложениями теории кос познакомили одноклассников (приложение 1, 2). Изготовили Танглоид и провели интересное и увлекательное занятие, посвященное плетению кос (приложение 2).

Закончить я хочу словами немецкого математика Феликса Клейна «Математика является отнюдь не только делом рассудка, но и существенным образом – делом фантазии».





















Список использованных источников и литературы

1. Сосинский А.Б. Узлы и косы. М.: МЦНМО, 2001

2. Сосинский А.Б. Узлы. Хронология одной математической теории. – М.: МЦНМО, 2005

3. Сосинский А.Б. Косы и узлы. – Квант №4, 1973

4. Цикл лекций Сосинского А.Б. в Летней школе «Современная математика» (http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=220)

















































Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1

Презентация темы одноклассникам



H:\Новая папка\IMG_2700.JPG




H:\Новая папка\IMG_2702.JPG






















ПРИЛОЖЕНИЕ № 3

Магия кос


C:\Users\Лиля\Desktop\WP_20150213_004.jpg

H:\Новая папка\IMG_2704.JPG

H:\Новая папка\IMG_2710.JPG



H:\Новая папка\IMG_2713.JPG

H:\Новая папка\IMG_2718.JPG






Содержание

Паспорт проекта

Описание работы над проектом

Введение

  1. Теория кос

  2. Алгебра кос

  3. Применение кос

  4. Магия кос

Заключение

Список используемых источников и литературы

Приложения

Приложение № 1 «Презентация темы одноклассникам»

Приложение № 2 «Магия кос»






















57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров216
Номер материала ДВ-520270
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх