Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательский проект Озорнина А.В. На тему: «Альтернативные способы решения экономических задач по математике» Под руководством Бажовой Н.М.

Исследовательский проект Озорнина А.В. На тему: «Альтернативные способы решения экономических задач по математике» Под руководством Бажовой Н.М.


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МАОУ ПГО СОШ - лицей №4 «Интеллект»











Исследовательский проект

На тему:



«Альтернативные способы решения экономических задач по математике»











Исполнитель: Озорнин Алексей Витальевич,

10 класс, МАОУ ПГО СОШ – лицей № 4 «Интеллект»

Руководитель: Бажова Наталья Михайловна,

учитель математики

высшей категории





Полевской

2016

ОГЛАВЛЕНИЕ





ВВЕДЕНИЕ...……………………………………………………………………...3

ГЛАВА 1. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ ………………………….….4

    1. Формулы кредитования …………………………………………….4

    2. Примеры вычислений …………………………………..………….5

ГЛАВА 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВКЛАДОВ…………....….11

    1. Выведение формулы вкладов………………………………...……11

    2. Примеры математических расчетов………………………………12

ГЛАВА 3. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ………………...……………….......18

3.1. Примеры задач и решений………………………………………...17

ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ...…………24

Заключение……………………………………………………………………….27

Список использованных источников и литературы…………………………...28

Приложение……………………………………………………………………...29

















ВВЕДЕНИЕ



В условиях рыночной экономики в современном обществе возникает множество вопросов относительно банковской деятельности. Стоит ли брать кредит, какой вклад выгоднее открыть. Данные веяния времени находят отражение в заданиях единого государственного экзамена профильного уровня.

Практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Цель проекта: выведение формул альтернативного решения экономических задач с разработкой учебного пособия для обучающихся 10-11-х классов, способствующее подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задачи:

  1. Проанализировать литературу для подготовки к ЕГЭ;

  2. Рассмотреть экономические задачи разного типа;

  3. Вывести формулы для альтернативного решения заданий;

  4. Представить альтернативные способы решений по каждому типу задач;

  5. Создать пособие, включающее решение экономических задач, дополненное теоретическим материалом и комментариями к ним.

Объект исследования: экономические задачи.

Предмет исследования: альтернативные способы решения.

Гипотеза: при отсутствии унифицированных формул экономических задач заданий ЕГЭ возможен вывод формул и альтернативы их решения.

Методы исследования: ана­лиз, обобщение, систематизация.


ГЛАВА 1. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ



В этом разделе будут рассмотрены задачи на вычисления связанные с кредитованием, а именно нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, количество лет. Данные подсчеты экономически целесообразны в связи с тем, что каждый человек при заключении договора определяет наиболее выгодные для себя условия.

Такие задания классифицируются на простые, решения которых ограничиваются одной формулой, и сложные решение которых требует составления систем, решение неравенств и т.д.

Для многих задач данного типа удобно использовать формулы, выведение которых представлено ниже.


    1. Формулы кредитования


Первая формула на нахождение суммы долга, обычно в задачах условия кредитования следующие: в банке берется кредит и увеличивается на а процентов, затем вносится выплата и сумма оставшегося долга увеличивается на а процентов, и так через n лет происходит погашение кредита.

Берется кредит под а процентов годовых, сумма оставшегося долг умножается на повышающий коэффициент (1+hello_html_749ab40.gif) каждый год. Пусть: сумма долга - hello_html_mf37310d.gif, S – сумма кредита, b – повышающий коэффициент, n – количество лет, х – ежегодная выплата.

Тогда hello_html_559b8d24.gif(((Sb-x)b-x)b-x)b… и так n раз, раскроем скобки hello_html_m440ea411.gifhello_html_m37fbe9ca.gif-xhello_html_m5cb91c10.gif…, вынесем х за скобкуhello_html_7ad4a7a4.gif-х(hello_html_m37fbe9ca.gif+hello_html_m5cb91c10.gif…), заметим что hello_html_m37fbe9ca.gif+hello_html_m5cb91c10.gif… сумма n членов геометрической прогрессии первый член которой равен hello_html_m37fbe9ca.gif, знаменатель hello_html_50728b4.gif, тогда ее сумма hello_html_439ab541.gif, преобразуем hello_html_m54745d3.gif.

Получаем формулу:


Вторая формула на нахождение переплаты банку, иными словами разность всех выплат и суммы кредита, в задачах на нахождение переплаты дано условие, что долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму каждый год.

Берется кредит под а процентов годовых, S-сумма кредита, n- количество лет, P-переплата за кредит. P=hello_html_718c14f7.gif+hello_html_ma9b9b41.gifhello_html_m39e9a10e.gif, вынесем hello_html_718c14f7.gif за скобку P=hello_html_718c14f7.gif(hello_html_m6fdf1a77.gif), заметим в числителе скобок сумму n арифметической прогрессии первый член которой равен n, а последний 1, тогда сумма равна hello_html_m4255d8df.gif.

Подставляем, получаем формулу:


Таким образом, использование данных формул возможно как при решении получения кредита, так и решении экономических задач при подготовке к экзамену и непосредственно в процессе работы над экзаменационным материалом.


    1. Примеры вычислений


1. 31 декабря 2014 года Ярослав взял некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк увеличивает сумму долга на 12,5%, затем Ярослав переводит в банк 2132325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами.

Решение:

Используем формулу кредитов. Ярослав выплатил долг четырьмя равными платежами, значит n=4, за 4 года кредит выплачен тогдаhello_html_m786bd15b.gif=0, х=2132325, a=12,5, b=1,125.авим в формулу. hello_html_1081fa66.gifS-hello_html_m7f06e045.gif2132325=0. В таких расчетах лучше применять формулы сокращенного умножения. hello_html_1081fa66.gifS-hello_html_m39c2bfda.gif2132325=0

hello_html_1081fa66.gifS=hello_html_57e7ac8f.gif2132325 S=hello_html_m605098a4.gif получаем S=6409000.

Ответ:6409000

2.31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­деленную сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Решение:

S=9930000, b=1,1, n=3, hello_html_559b8d24.gif0, подставляем формулу кредитов. hello_html_m3fd2d703.gif·9930000-hello_html_32205a49.gifх=0

Применяем формулу разность кубов: hello_html_m3fd2d703.gif·9930000=(hello_html_124842b.gif)х х =hello_html_m5004f2ef.gif

Вычисляем: х=3993000

Ответ: 3993000


3. В июле планируется взять кредит на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 40 млн. рублей?

Решение:

В формулу P=hello_html_m2e5d326d.gif подставим все известные и найдем n. 24000000=hello_html_m57fb86e8.gif

n+1=hello_html_3094d861.gif n=11

Ответ:11

4. 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  • 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  • со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  • 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит.

Най­ди­те r.



Решение:

Так как общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 30% боль­ше суммы, то S=0,3P. В формулу P=hello_html_m2e5d326d.gif подставим все известные, разделим левую и праву часть на S и найдем n. hello_html_m21d6db8e.gif=0,3, a=3

Ответ: 3

5. 31 де­каб­ря 2014 года Са­ве­лий взял в банке 7 378 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Са­ве­лий Пе­ре­во­дит в банк платеж. Весь долг Са­ве­лий вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Решение:

Надо найти разность всех выплат за 3 года и за 2, для этого найдем ежегодную выплату для обоих случаев, с помощью первой формулы выразив х. х= hello_html_m2cab763e.gif подставив известные найдем hello_html_mb7170b3.gif,hello_html_m10256fd.gif.

hello_html_mb7170b3.gif=3098250, hello_html_m10256fd.gif=4394250 для упрощения счета представим повышающий коэффициент как hello_html_m2c35adcb.gif.

Находим 3hello_html_mb7170b3.gif-2hello_html_m10256fd.gif, 3·3098250-2·4394250=506250

Ответ: 506250

6. 31 де­каб­ря 2014 года Петр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на а%), затем Петр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Петр взял день­ги в банке?

Решение: Для решения данной задачи надо составить систему, воспользовавшись формулой кредитов.

hello_html_m5febd889.gif Обращаю внимание, числители дробей разложены по формулам сокращенного уравнения и сокращены. Выражаем S второго уравнения.

S=hello_html_6a94d855.gif, подставим в первое уравнение.

4392000 (b+1)hello_html_6d28f720.gif-(b+1)(hello_html_6d28f720.gif+1)2592000 =0, (b+1) выносим за скобку, тогда (b+1)=0, b=-1 не удовлетворяет так как повышающий коэффициент-число положительное.

4392000hello_html_m2bca46d5.gif-2592000hello_html_m2bca46d5.gif+2592000=0 hello_html_m2bca46d5.gif=hello_html_m6a1576ff.gif hello_html_m2bca46d5.gif=1,44 b=1,2 1+0,01a=1,2 a=20

Ответ: 20

7. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Решение:

Надо найти hello_html_25fab692.gif-100, из второй формулы P=hello_html_m426850df.gif. hello_html_25fab692.gif-100=hello_html_m4e2a16c8.gif-100=160-100=60

Ответ: 60

8.В июле планируется взять кредит на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

На какое минимальное количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

Решение:

Из второй формулы xn-S=P 350000n-1300000=hello_html_m6f00fdf5.gif n=4,78… - минимальное n.

n-целое число, значит n=5

Ответ: 5

Как мы видим, использование формул позволяет не только произвести решение задач, но и использовать разные подходы к их решению.































ГЛАВА 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВКЛАДОВ


В этом разделе представлены решения задач, связанных с вкладами. В таких заданиях обычно даны следующие условия: в банке делается вклад под а процентов годовых, то есть каждый год к сумме вклада прибавляется а процентов от суммы вклада, и каждый год после начисления процентов вносится фиксированная сумма х. Для решения таких задач удобно использовать формулу выведение которой представлено ниже. Но есть задания, в которых не нужно применять эту формулу, их решения ограничивается уравнениями, неравенствами, системами и общими сведениями.


2.1. Выведение формулы вкладов


Вклад увеличивается и вносится сумма, тогда сумма на вкладеhello_html_m2f90a58c.gif) будет равна: hello_html_m6335875e.gif=(((Sb+x)b+x)b+x)b+x, где S-сумма вклада b- повышающий коэффициент, фиксированная сумма на которую вклад увеличивается каждый год. Заметим, что формула вкладов и кредитов отличаются только знаком перед х, тогда получаем формулу:

Но если вклад оканчивается не внесением х, а начислением процентов, то применяется другая формула: hello_html_173a6388.gifx-х), преобразуем. Получаем hello_html_m165cbbd.gifx.

Использование выведенных формул расчетов, помогает определить экономическую выгоду перед совершением банковских операций в жизненных ситуациях.


2.2. Примеры математических расчетов


1. В банк по­ме­ще­на сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Решение:

Заметим, что размер вклада увеличился на 725% к концу пятого после начисления процентов, значит, для решения подойдет формула hello_html_m165cbbd.gifx. B=1,5=hello_html_18422690.gif

Так как сумма вклада увеличилась на 725%, то первоначальная сумма вклада составляет 825% от суммы на вкладе. 8,25·3900=3900·hello_html_m4c071011.gif+hello_html_395bce3.gif·x. Вычисляем: х=210(тыс. рулей).

Ответ: 210000

2. В банк помещена сумма 307200 рублей, под 12,5% годовых, каждый год вклад пополняется на 120000 рублей. На сколько лет был положен вклад, если к концу последнего года, после пополнения на 120000, на вкладе было 844275 рублей?

Решение:

Так как на вкладе было 844275 после пополнения счета, то для решения подойдет формула

hello_html_m73bc447c.gifx. B=hello_html_m2c35adcb.gif, пусть hello_html_204567c6.gif=t. 307200t+8(t-1)120000=844275 t=hello_html_m2d436cc.gif=hello_html_m691e9c7a.gif hello_html_m691e9c7a.gif=hello_html_2f5d88f6.gif n=3

Ответ: 3

3.Банк под опре­де­лен­ный про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40 про­цент­ных пунк­тов (то есть уве­ли­чил став­ку а% до (а + 40)%). К концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

Решение:

1,44S=hello_html_m33e2027b.gif/:S

1,44=hello_html_m6e09de37.gif

hello_html_7dedb56d.gif+240a-5200=0

hello_html_m47a7d8a4.gif, hello_html_7199acfd.gif – не удовлетворяет, так как а – число положительное, а+40=60

Ответ: 60

4. В на­ча­ле года 5/6 не­ко­то­рой суммы денег вло­жи­ли в банк А, а то, что оста­лось — в банк Б. Если вклад на­хо­дит­ся в банке с на­ча­ла года, то к концу года он воз­рас­та­ет на опре­деленный про­цент, ве­ли­чи­на ко­то­ро­го за­ви­сит от банка. Из­вест­но, что к концу пер­во­го года сумма вкла­дов стала равна 670 у.е., к концу сле­ду­ю­ще­го — 749 у.е. Если пер­во­на­чаль­но 5/6 суммы было бы вло­же­но в банк Б, а остав­шу­ю­ся вло­жи­ли бы в банк А, то по ис­те­че­14Ом од­но­го года сумма вы­рос­ла бы до 710 у.е. Опре­де­ли­те сумму вкла­дов по ис­те­че­14Ом вто­ро­го года в этом слу­чае.

Решение:

Пусть сумма равна 6S, b-повышающий коэффициент в А банке, р – повышающий коэффициент.

Из системы найдем хhello_html_m2bca46d5.gif+5хhello_html_70556823.gif.

hello_html_m2871191a.gif из первого и третьего уравнения найдем хb и хр. Хb=110, хр=120.

Отсюда hello_html_m163ef2b8.gif=hello_html_m1f9d04ac.gif b=hello_html_3e719f4b.gif, подставив во второе уравнение найдем b и р.

B=1,1 p=1,2 110·1,1+5·120·1,2=841

Ответ: 841

5. За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом 11hello_html_2a794565.gif и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. Из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­15Ом срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на 104hello_html_m2bf9edd4.gif  Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

Решение:

Пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на 104hello_html_m155d6080.gif , значит состовляет на 204hello_html_m155d6080.gif от первоначальной суммы. Вычеслим повышающий коэффициент для каждого периода и представим его в виде конечной десятичной дроби, заметим, что произведение всех повышающих коэффициентов, и каждый в степени количества месяцев в течение которого вклад увеличивался на этот коэффициент, будет равен общему повышающему коэффициенту.

Пусть а-количество лет в певом периоде, b-во втором, с-в третьем, d-в четвертом.

hello_html_2823a33.gif·hello_html_mb77cdab.gif·hello_html_5f2bed77.gif·hello_html_m5bc4f3ac.gif=hello_html_ec3bdca.gif раскладываем числитель и знаменатель на простые множители и применяя свойства степеней получаем: hello_html_m65c5ff2e.gif·hello_html_m37728a0.gif·hello_html_m7d26f278.gif·hello_html_720933cd.gif=hello_html_18154b85.gif

hello_html_413ddd6d.gif a+b=2,а а,b – натуральные числа, то а=1 b=1, получаем систему с двумя неизвестными. hello_html_m1cde1b0e.gif d=2 c=3 a+b+c+d=7

Ответ: 7

6. По вкла­ду «А» банк в те­че­ние трех лет в конце каж­до­го года уве­ли­чи­ва­ет на 10 % сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­ва­ет на 11 % в те­че­ние каж­до­го из пер­вых двух лет. Най­ди­те наи­мень­шее целое число про­цен­тов за тре­тий год по вкла­ду «Б», при ко­то­ром за все три года этот вклад все еще оста­нет­ся вы­год­нее вкла­да «А».

Решение:

Пусть х – наименьшее целое число процентов. Найдем повышающий коэффициент у каждого банка, составим неравенство. hello_html_25a8d16.gifb·S /:S b>1,0802… (b=1+0,01x).

x>8,02…, а х – целое число, то наименьший х равен 9.

Ответ: 9

7. Баба Валя, на­ко­пив часть своей пен­сии, ре­ши­ла улуч­шить ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние. Она узна­ла, что в «А» ­бан­ке от пен­си­о­не­ров при­ни­ма­ют вкла­ды под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых и внес­ла свои сбе­ре­же­ния в бли­жай­шее от­де­ле­ние «А» ­бан­16О. Через не­ко­то­рое время, Баба Валя узнала, что есть ком­мер­че­ский банк, в ко­то­ром про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров в 20 раз больше, чем в «А» бан­ке. Ровно через год после от­кры­тия счета в «А» ­бан­ке Баба Валя сняла по­ло­ви­ну об­ра­зо­вав­шей суммы от ее вкла­да. И от­кры­ла счет в том ком­мер­че­ском банке, о ко­то­ром го­во­ри­ла ее со­сед­16О.

Через год сумма Бабы Вали в ком­мер­че­ском банке пре­вы­си­ла ее пер­во­на­чаль­ные сбе­ре­же­ния на 65%. Каков в А ­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров?

Решение:

Пусть процент в «А» банке равен а, тогда в коммерческом 20а, через год на вкладе S(1+0,01a),

Баба Валя сняла половину hello_html_d44df42.gif, и через год вклад в коммерческом банке превысил S на 65%.

hello_html_m6083fa3d.gif=1,65S /:S hello_html_7dedb56d.gif+105a-1150=0 из двух корней положительный только а=10.

Ответ: 10

8.Граж­да­нин Пет­ров по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счет, на ко­то­рый он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счете. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­17Ом банке счет, на ко­то­рый еже­год­но кладет по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?)

Решение:

Найдем через сколько лет суммы будут одинаковы через формулу вкладов. Через n лет на первом счете будет: hello_html_2a2beb8f.gif, а на втором hello_html_67c1c012.gif2200, приравниваем:hello_html_6dd2d603.gif=hello_html_67c1c012.gif2200, hello_html_m7af3edd5.gif=hello_html_m185f084d.gif, hello_html_m7af3edd5.gif=hello_html_3891b007.gif n=11 2008+11=2019, значит суммы на вкладах будут одинаковы в 2019 году.

Ответ: 2019

Предложенные задачи на основании использования логических связей способствуют формированию вычислительных навыков и практических умений, применяемых в ходе изучения математики. Кроме того данные знания и умения будут способствовать усвоению экономических навыков планирования семейного бюджета и распределения денежных средств.































ГЛАВА 3. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ




В этом разделе представлены решения задач, связанных с экономикой, для их решения нет определенной формулы, так как условия повторяются редко.

Задачи экономического характера бываю на нахождения прибыли: заводов, различных предприятий, с покупки акций. Так же на определения количества единиц продукции.

Для решения необходимы общие знания по математике.



3.1. Примеры задач и решений


1. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x2 + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Решение:

Подставим в формулу прибыли (px – q) вместо q,   0,5x2 + x + 7. Получаем px-(0,5x2 + x + 7), раскрываем скобки, перед скобками минус, знаки в скобках меняются, - 0,5x2 + x(р-1) – 7-прибыль предприятия за год. Заметим, что формула прибыли задает параболу ветви, которой направлены вниз, значит, максимальное значение прибыли достигается при х= р-1 (вершина параболы).

Поскольку 75 млн. рублей - минимальная прибыль за три года, то за год 25.

Получаем неравенство: - 0,5hello_html_18099341.gif + hello_html_18099341.gif– 7≥25, решаем неравенство, наименьшее положительное р равно 8.

Ответ: 8

2. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Решение:

Пусть 3х-еденицы товара на первом заводе, а 4у- на втором, тогда на первом заводе трудятся hello_html_6c5943be.gif часов, а на втором hello_html_3e6c06ac.gif, количество единиц товара равно р.

500(hello_html_25d37696.gif)=5000000/:500 hello_html_25d37696.gif=10000. Р=3х+4у выразим у, у=hello_html_m76d486d7.gif подставляем,

hello_html_m7eb5c6d1.gif=10000, получаем 25hello_html_6c5943be.gif-6хр+(hello_html_70556823.gif-160000)=0 это квадратное уравнение, значит имеет решения только при дискриминанте не менее нуля. 36hello_html_70556823.gif-4·25(hello_html_70556823.gif-160000)≥0 решаем неравенство, наибольшее р равно 500.

Ответ: 500

3. Алек­сей при­обрел цен­ную бу­ма­гу за 8 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на 1 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счет. Каж­дый год сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся на 8%. В те­че­ние, ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через два­дцать пять лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счете была наи­боль­шей?

Решение:

Первый способ: продать ценную бумагу нужно тогда, когда 1 тыс. рублей составляет не менее 8% от ее стоимости, то есть не менее 12, 5 тыс. рублей, что будет после пятого года с момента приобретения ценной бумаги, значит, на шестой год нужно делать вклад для максимальной прибыли.

Второй способ: на n-ый год стоимость вклада будет n+7 тыс. рублей, вкладывая в банк через 25-n лет на вкладе будет (n+7)·hello_html_m3f154dc6.gif, теперь надо найти максимальное значение этого выражения. Рассмотрим прирост в случае уменьшения n, hello_html_m3f154dc6.gif(n+7-1,08(n+6)),

hello_html_m3f154dc6.gif(0,52-0,08n) положительна при n≤6 максимальное n равно 6.

Ответ: 6

4.Два бро­ке­ра ку­пи­ли акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла, они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром. На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

Решение:

Так как акции одного достоинства, то увеличились на одно и то же число процентов а, b=1+0,01a. Пусть первый брокер купил акций на х рублей, а второй на y.

hello_html_m43fddd8a.gif из третьего уравнения у=2,25х, подставляем в первое, находим х=1120,

у=2520, b=1,375. B=1+0,01a a=37, 5.

Ответ: 37,5


5. Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.





Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Решения:

Пусть х часть загрузки мощностей ягодной начинкой, а у - творожной х+у=1.

Тогда производится 90х тонн ягодной начинки и 75у творожной, причем 90х≥15, 75у≥15, х≥hello_html_m155d6080.gif,

у≥hello_html_m8fc9d74.gif. Прибыль с ягодной начинки 100-70=30, с творожной 135-100=35, тогда общая прибыль:

30·90х+35·75у=75(36х+35у), находим максимальное значение 36х+35у, при:

hello_html_5c68314e.gif у=1-х, х≤hello_html_m59f8da6f.gif 36х+35-35х=х+35, х=hello_html_m59f8da6f.gif, у=hello_html_m8fc9d74.gif, прибыль равна 2685.

Ответ: 2685

6.По про­гно­зу экс­пер­тов, цены на квар­ти­ры в Москве через год упа­дут: в руб­лях на 20%, в евро на 40%. А в Сочи цены в руб­лях упа­дут на 10%. На сколь­ко про­цен­тов упа­дут цены в Сочи в евро?

Решение:

Пусть стоимость квартиры до снижения цены х рублей, у евро, тогда после снижения 0,8х рублей, 0,6у евро, hello_html_4c80e1e4.gif=hello_html_23f8a1a8.gif, а отношения рубля к евро везде одинаково. В Сочи цены на квартиры упадут на (1-0,01a) евро, hello_html_m2adf2ba0.gif, а=32,5

Ответ: 32,5

7. В двух бан­ках в конце года на каж­дый счет на­чис­ля­ет­ся при­быль: в пер­вом банке — 60% к те­ку­щей сумме на счете, во вто­ром — 40% к те­ку­щей сумме на счете. Вклад­чик в на­ча­ле года часть име­ю­щих­ся у него денег по­ло­жил в пер­вый банк, а осталь­ные день­ги – во вто­рой банк, с таким рас­че­том, чтобы через два года сум­мар­ное ко­ли­че­ство денег на обоих сче­тах уве­ли­чи­лось на 150%. Сколь­ко про­цен­тов денег вклад­чик по­ло­жил в пер­вый банк?

Решение:

Пусть х – часть денег, вложенная в первый банк, а у – во второй.

Повышающий коэффициент у первого банка равен 1,6, у второго 1,4. Сумма увеличилась на 150%, то есть увеличилась в 2,5 раза, hello_html_m5dd7aba9.gif+hello_html_a38d6c7.gif=2,5(х+у), отсюда х:у=9:1, значит х девять десятых от всей суммы, или 90%.

Ответ: 90

8. Завод в США и России за февраль выпустили более 39 танков. Число танков, выпущенных в России, уменьшенное на 3, более чем в 4 раза превышает число танков, выпущенных в США. Утроенное число танков, выпущенных в России, превышает удвоенное число Танков, выпущенных за февраль в США, но не более чем на 85. Сколько танков выпустили в России за февраль?

Пусть Россия выпустила х танков за февраль, а Америка у, составим систему неравенств.

hello_html_m7de1d1a2.gif

Для решения неравенства с двумя неизвестными строим прямые:

hello_html_64bc95a4.gif

Берем контрольную точку, и определяем, где находятся решения (до прямой или после прямой), но эти три прямые пересекаются далеко от начала координат, поэтому найдем точки пересечения этих прямых:

hello_html_4d5359cc.gif

(31,8;7,2) (32,6;6,4) (33,4;7,6).

Пусть (31,8;7,2)- начало координат плоскости образованной осями Оg и Оk, единичный отрезок которых равен 5 клеточек.

hello_html_75e619f4.png

Заметим, что в области объединения всех решений есть единственное целочисленное решения для х и у,(33;7).

Ответ: 33

Данные задачи позволяют увидеть альтернативные способы и более простые варианты решений.



ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ



1. 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­плат кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк x руб­лей. Какой долж­на быть сумма, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?


2. 31 де­каб­ря 2014 года Дмит­рий взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)?


3. В июле планируется взять кредит на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?


4. 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  • 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  • со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  • 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 42% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит.

Най­ди­те r.


5. 31 де­каб­ря 2014 года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платеж. Весь долг Ти­мо­фей вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?


6. 31 де­каб­ря 2014 года Олег взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на а%), затем Петр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он будет пла­тить каж­дый год по 1068925 руб­лей, то вы­пла­тит долг за 4 года. Если по 1701425 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Петр взял день­ги в банке?


7. Сергей взял кре­дит в банке на срок 7 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную им. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы выплат со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?


8. В июле планируется взять кредит на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

На какое минимальное количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?


9. В банк по­ме­ще­на сумма 7600 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 740%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?


10. Завод «А» и завод «Б» за декабрь выпустили более 43 единиц продукции. Число единиц продукции, выпущенных на заводе «А» увеличенное на 3, более чем в 4 раза превышает число единиц продукции, выпущенных на «Б» заводе. Утроенное число единиц продукции, выпущенных на «А» заводе, превышает удвоенное число единиц продукции, выпущенных за декабрь заводом «Б», но не более чем на 87. Сколько единиц продукции выпустил завод «А» за декабрь?

Таблица с ответами представлена в приложении 1.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Анализ интернет источников, направленных на самостоятельную подготовку обучающихся к экзамену по математике профильного уровня показал отсутствие унифицированных формул для решения экономических задач. Книжные варианты типовых заданий для подготовки к ЕГЭ по математике в большинстве случаях не способствуют отработке такого типа задач, которые предлагаются в задании № 17 экзаменационных работ.

В ходе проведенного исследования нами была разработана возможность самостоятельного выведения математических формул, при составлении которых возможны альтернативные подходы.

Систематизация полученных данных позволила создать сборник заданий для обучения с комментариями и решениями, включающий также задачи для самостоятельного решения.

Так гипотеза, сформулированная нами в начале исследования, подтвердилась. Самостоятельный вывод математических формул для экономических задач возможен, равно как и разработка разнообразных способов их решения.

Созданное пособие, адресованное обучающимся 10-11 классов, поможет разобраться с подходами к решению экономических задач и будет способствовать систематизации знаний математики для решения указанного типа заданий ЕГЭ.

Проведение данного исследования позволило нам получить практический материал для обучения математике, который также лег в основу моего личностного развития, как выпускника 2016/2017 учебного года и способствовало продуктивному началу подготовке к сдаче экзамена.

В дальнейшем планируется использование созданного материала на уроках математики в старших классах школы и расширение спектра экономических задач.


Список использованных источников и литературы



  1. ЕГЭ 2016. Математика. Типовые тестовые задания / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гурдин, П.В. Семенов, О.Н. Косухин, Д.Ф. Федоров, А.И. Суздольцев, А.Р. Рязановский, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, А.В. Хачатурян, С.А. Шестоков, Д.Э. Шноль; под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2016. – 55 с.

  2. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2015. Математика. Экзаменационные тесты. Профильный уровень. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. – М. : Издательсво «Экзамен», 2015. – 46 с.

  3. www.alexlarin.net

  4. www.ege2016.su

  5. www.egeonline.org

  6. www.reshuege.ru



 



























Приложение









Приложение 1



Ответы к задачам для самостоятельного решения



2

3

4

5

6

7

8

9

10

2296350

2622050

10

4,2

806400

30

28hello_html_m2d5b5073.gif

5

10184000

34







Автор
Дата добавления 13.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров116
Номер материала ДБ-258804
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх