Выбранный для просмотра документ проект По следам Пифагора..doc
Скачать материал "Исследовательский проект "По следам Пифагора""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ проект По следам Пифагора.pptx
Скачать материал "Исследовательский проект "По следам Пифагора""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Исследовательский проект
выполнили
Ученики 8-б класса МБОУ Жирновская СОШ
Руководитель проекта
Учитель математики МБОУ Жирновская СОШ
Волкова Татьяна Валентиновна
2013г.
2 слайд
рассмотреть область ее применения.
Цели работы:
посмотреть, в чем кроется популярность великого математика Пифагора;
открыть тайны теоремы Пифагора через разбор истории теоремы;
разобраться в разных способах доказательств теоремы;
3 слайд
«ПО СЛЕДАМ ПИФАГОРА»
Исследовательский проект
«Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них – это теорема Пифагора»
Иоганн Кеплер
тема:
4 слайд
Разбиение коллектива учащихся на группы
практики
теоретики
историки
5 слайд
Пифагор Самосский 570 – 490 до н.э.
6 слайд
7 слайд
Важные даты биографии Пифагора
570 год до н. э. – рождение на Самосе.
546 год до н. эр. – создание собственной философской идеи.
510 год до н.э. – основание школы Пифагора.
490 год до н. э. – смерть.
8 слайд
Чемпион по кулачному бою
9 слайд
10 слайд
11 слайд
ГИМН ПИФАГОРЕЙЦЕВ ВОСХОДЯЩЕМУ СОЛНЦУ
12 слайд
Пентаграмма – это звёздчатый пятиугольник.
Пятиконечная звезда считалась в школе Пифагора символом дружбы, была чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей…
Она была тайным знаком Пифагорейцев, по которому Пифагорейцы узнавали друг друга.
Пифагорейская звезда –Пентаграмма - символ дружбы, гармонии, красоты.
13 слайд
14 слайд
Вот некоторые изречения из них:
- Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
Не делай никогда того, чего ты не знаешь. Но научись
всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести
спокойную жизнь.
- Не пренебрегай здоровьем, своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питье, и упражнения, в которых оно нуждается.
Приучайся жить просто и без роскоши.
Не проходите мимо весов (то есть не нарушайте справедливости).
Не садитесь на подушку (то есть не успокаивайтесь на достигнутом).
Не поправляйте огня мечем (то есть не раздражайте тех,
кто и без того во гневе).
«Золотые стихи»
15 слайд
Едва ли не самый популярный
ученый за всю историю человечества.
и это всё о нем ...
Человек-символ, философ и пророк.
Самая загадочная
личность.
Ни одно имя
ученого не повторяется
так часто.
16 слайд
Шартрский собор,
статуя Пифагора
Бюст Пифагора
в Капитолийском музее в Риме
17 слайд
Пифагор на фреске Рафаэля
18 слайд
Самосская монета с изображением Пифагора
Пифагор – первый из философов своего времени, который удостоился, чтобы портрет его появился на древних монетах
19 слайд
Координаты: 63°12′00″ с. ш. 63°18′00″ з.
именем Пифагора назван кратер
на видимой стороне луны.
20 слайд
Кружка Пифагора в разрезе
Современная кружка Пифагора
Пифагор придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах, чтобы все рабы пили одинаково, так как на Самосе было мало воды. Сегодня она продается на Родосе, Самосе и Крите как сувенир.
Кружка Пифагора
(или кружка жадности)
21 слайд
Таблица Пифагора
Таблица умножения Пифагора стала эффективной лишь с изобретением десятичной системы счисления, когда всё умножение сводилось к умножению целых чисел от 1 до 9.
Таблица Пифагора
22 слайд
23 слайд
ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА
Из семи частей квадрата составить снова
квадрат, прямоугольник, равнобедренный
треугольник, трапецию. Квадрат разрезается
так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О –
центр квадрата, ОМ ⊥ EF, NF ⊥ EF.
24 слайд
Теорема
ПИФАГОРА
25 слайд
«бегство убогих»
Множество названий
Теоремы Пифагора:
«мост ослов» или «ослиный мост»
«ветряная мельница»
«теорема бабочки»
«теорема невесты»
«теорема нимфы»
« теорема 100 быков»
«Пифагоровы штаны»
26 слайд
Ученические шаржи.
27 слайд
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Существует более 500 различных доказательств теоремы Пифагора
( геометрических, алгебраических, механических и т.д.)
Теорема Пифагора занесена в книгу рекордов Гиннеса.
28 слайд
Различные способы доказательства теоремы Пифагора
Простейшее доказательство
B
C
A
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. Достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два.
Геометрические доказательства.
29 слайд
Доказательство Евклида
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными
сторонами. SABD = 0,5SBJLD, так как у треугольника
ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD
и общая высота LD. Аналогично
SFBC=0,5SABFH (BF-общее основание,
АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что FBC
имеем SBJLD=SABFH.
Аналогично, SJCEL=SACKG.
Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
что и требовалось доказать.
Сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.
30 слайд
рис. 2
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана.
Древнекитайское доказательство
31 слайд
Доказательство древних индусов
СМОТРИ!
В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством геометрического построения сделать неочевидное очевидным.
32 слайд
Рис. 4
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. Чертеж (а) с характерен для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло невесты» а2+b2 (б).
Древнеиндийское
доказательство
33 слайд
Доказательство Бетхера
На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера.
34 слайд
Доказательство Эйнштейна
Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый).
CD проводим перпендикулярно EF.
Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD.
Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.
35 слайд
Наряду с доказательствами методом сложения
можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения.
От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе.
Доказательство
методом дополнения
36 слайд
b
b
b
а
а
а
а
с с
с с
b
Алгебраическое доказательство.
а
b
с
Выполним
дополнительные
построения.
Получим квадрат со стороной ( a + b )
и четыре одинаковых треугольника , площадь которых равна S = 1/2ab.
( a + b )² = c ² + 4 * 1/2ab.
a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
c²= a² + b²
S = 1/2ab
37 слайд
Векторное доказательство.
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b+c=a откуда имеем, что c = a – b. Возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab. Так как a перпендикулярен b, то ab=0, откуда c²=a²+b². Нами снова доказана теорема Пифагора.
Векторное доказательство
38 слайд
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
По определению косинуса угла
cos A = AD : AC=AC : AB. Отсюда
AB · AD =AC².
Аналогично cosB=BD : BC=BC : AB. Отсюда AB·BD = BC². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB =AB, получим: AC² + BC² = AB·AD+AB·BD = AB·(AD+DB)=AB².
AB² = AC² + BC².
39 слайд
Доказательство, основанное на теории подобия.
A
B
C
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам).
Отсюда AC²=AB · AD, BC²= AB · BD. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB, получим:
AC² + BC² = AB · AD + AB ·BD =
AB · ( AD + DB) = AB².
AB² = AC² + BC².
D
40 слайд
ВЫВОД:
Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Рассмотрев различные типы доказательств теоремы Пифагора, я убедился в её совершенстве, увидев её красоту, простоту и значимость.
41 слайд
Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук.
ГДЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ
теорема ПИФАГОРА?
42 слайд
Окна. В романской архитектуре часто встречается мотив представленный на рисунке.
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Применение
Строительство
43 слайд
Крыша
В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC:DB=2,5 м DС=√4*4+2,5*2,5=√16+6,25=√22,254,7
Б) Из треугольника ABF: AF=√l6+16=√325,7
Молниеотвод
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.
Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h*h>a*a+b*b, значит h>√(a*a+b*b)
Ответ: h>√(a*a+b*b)
44 слайд
Мобильная связь
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).
Решение:
Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х. Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.
45 слайд
Астрономия
Какой путь пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравнение: c*t‘=s
Здесь с — это скорость света, at' — это время. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, который был рассчитан только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s² = l² + d².
46 слайд
14.06.2022
46
БИЛЬЯРД
47 слайд
Прямой угол при геодезических измерениях отмечают на местности колышками с помощью верёвки. Если её разметить углами на местности размером 3, 4 и 5 метров и образовать из верёвки прямоугольный треугольник с соответственными длинами сторон, то он будет прямоугольным.
Геодезия
48 слайд
49 слайд
50 слайд
51 слайд
52 слайд
53 слайд
54 слайд
Числа , которые удовлетворяют теореме Пифагора , назвали пифагоровыми числами или пифагоровыми тройками
Пифагоровы тройки
+ 4 = 5
5 + 12 = 13
7 + 24 = 25
8 + 15 = 17
11 + 60 = 61
33 + 56 = 65
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
55 слайд
Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2; у = 2 mn; z = m2 + n2, где m и n — целые числа, m > n > 0.
Если возьмем Пифагорову тройку a, b, c, то все Пифагоровы тройки можно получить умножением на целочисленный множитель p,
т.е. получим: pa, pb, pc.
Мы видим, что Пифагоровы тройки могут быть кратными 3, 4, 5.
Если Пифагоровы тройки имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка Пифагоровых чисел.
c = m2+n2 b = m2-n2 a=mn .
2 ; 2 ;
Этот результат позволяет из любой пары взаимно простых чисел сформировать Пифагорову тройку.
Пифагоровы тройки
56 слайд
Запишем последовательность Пифагоровых чисел при условии, что m > n, где m и n – взаимно простые числа.
57 слайд
Тайна Пифагора
Была у Пифагора и пифагорейцев тайна, сохраняемая под угрозой жизни. Дело в том, что во
времена Пифагора ещё не знали иррациональных чисел, а Пифагор, находя диагональ квадрата со стороной, равной единице, получил . Отрезок существует, а числа нет…
Пифагор решил сохранить своё открытие в тайне…
58 слайд
Теорему Пифагора можно использовать для построения отрезков с иррациональными длинами.
59 слайд
Построение отрезка, длина которого есть иррациональное число.
Мы построили равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, длина его гипотенузы получилась . Так же мы получили отрезок, длина которого равна . Этим же способом получили отрезки длиной , , , продолжив построение этой фигуры.
60 слайд
61 слайд
Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик v века Прокл и другие. Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме.
Теорема Пифагора в литературе
62 слайд
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Немецкий писатель - романист А.Шамиссо, написал следующие стихи:
63 слайд
Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем : Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем.
И. Дырченко
64 слайд
Как символ вечного союза
Как верной дружбы знак простой,
Связала ты гипотенуза,
Навеки катеты с собой.
Путей окольных избегая
И древней истине верна,
Ты по характеру – прямая,
И по обычаю точна.
Скрывала тайну ты, но скоро
Явился некий мудрый грек.
И теоремой Пифагора,
Тебя прославил он на век.
Хранит тебя безмолвно, чинно
Углов сторожевой наряд;
И копья – острые вершины –
По обе стороны грозят.
И, если двоечник, конфузясь,
Немеет пред твоим лицом,
Пронзи его гипотенуза
Своим отточенным копьем!
теорема Пифагора
65 слайд
стихотворение Вебера
« Пифагорова теорема» :
Не знаю, чем кончу поэму,
И как мне печаль избыть:
Древнейшую теорему
Никак я не в силах забыть.
Стоит треугольник как ментор,
И угол прямой в нем есть,
И всем его элементам
Повсюду слава и честь!
66 слайд
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор,
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
Суть истины вся в том, что нам она – на вечно,
Когда хоть раз в прозрений ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда, учуют, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.
Любовный треугольник Пифагора
О теореме Пифагора
67 слайд
Милый математик, добрый Пифагор,
Раз уж речь зашла у нас на эту тему,
Ты нас извини, но до сих пор
Мы твою понять не можем теорему.
Ни один учебник так и не успел
Чуточку помочь нам в этом трудном деле.
Зря в руках крошился белый мел,
Зря в тетрадках перышки скрипели.
Песня о Пифагоре
68 слайд
ПРИКЛЮЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНИКА
69 слайд
Социологический опрос
Социологический опрос проводился среди людей старшего поколения и учеников старших классов с целью выявить, оставил ли свой след Пифагор в их жизни.
Вопрос 1:
На вопрос: «Кто был первым «открывателем» теоремы Пифагора: Пифагор Самосский, Евклид или египтяне?» ответили 138 человек.
Эти данные говорят о том, что большинство людей всё-таки знают или догадываются, что Пифагор первым вывел доказательство этой теоремы, которая носит сегодня его имя, но не был её «открывателем».
70 слайд
Вопрос 2:
На второй вопрос: «Сколько существует доказательств теоремы Пифагора: 1; до10; 100; более 350 доказательств?» ответили 138 человек. Из них большинство (64 человек) сказали, что существует около 10 доказательств теоремы Пифагора. И лишь шестая часть опрошенных утверждают, что доказательств более 350.
Исходя из полученной информации, можно сделать вывод о том, что всего шестая часть опрошенных хотя бы знает о количестве доказательств теоремы Пифагора.
71 слайд
Вопрос 3:
Сможете ли вы продолжить фразу: «Пифагоровы штаны …?» ответили 138 человек.
Как ни странно, но смогли вспомнить , что «Пифагоровы штаны во все стороны равны» более старшее поколение, а учащиеся предлагали в основном своё продолжение.
72 слайд
Эти данные говорят о том, что большинство людей всё-таки понимают, что теорема Пифагора на прямую или косвенно, но связана с нашей жизнью.
Вопрос 4:
На четвертый вопрос: «Встречается ли в вашей жизни теорема Пифагора?» ответили 138 человек.
73 слайд
В конце 19 века Парижской академией наук была объявлена премия тому, кто первым установит связь с каким-нибудь обитателем другого мира. В шутку, хотя и не безосновательно, было предложено передать световой сигнал в виде чертежа - теоремы Пифагора, т.к. математический факт, выражаемый ею, имеет место повсюду, и поэтому обитатели других миров должны понять этот сигнал.
74 слайд
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна …
(А. Шамиссо)
75 слайд
СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 663 097 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Волкова Татьяна Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.