Логотип Инфоурока

Получите 10₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Геометрия Научные работыИсследовательский проект по теме "Формула Пика"

Исследовательский проект по теме "Формула Пика"

Скачать материал
библиотека
материалов









Одна формула за всех…

формула Пика





Авторы: Свиридов Александр,

Леонтьев Дмитрий, 6 класс,

Научный руководитель: Лукьянова

Ольга Георгиевна, учитель математики,

МБОУ «СОШ №18»













Миасский городской округ

2018

Оглавление






















"Геометрия есть знание величин,

фигур и их границ,

а также отношений между ними

и производимых над ними операций,

разнообразных положений и движений"

Диа́дох Прокл


Введение


Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да. Это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?

Актуальность: при решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго. Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на клетчатой бумаге очень интересная тема. Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др.

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель: исследование рациональности использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на плоскости.

2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей.

3. Сравнить и проанализировать результаты исследования.

4. Разработать рекомендации учащимся по применению формулы Пика при решении задач ЕГЭ.

 Методы:

  1. Системный анализ

  2. Обобщение

  3. Сравнение

  4. Поиск

ӏ Основная часть

1.1 Методы расчета площади многоугольников.


Мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.

В жизни часто приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.


Задание: Вычислить площадь многоугольника

1 Способ - разбиение

Задача 1.








Рисунок 1hello_html_3680c090.gif

Решение:

1) SBDCE =1 * 3 = 3 (кв. ед.)

2) SBDC = SBDCE : 2 = 3 : 2 = 1,5 (кв. ед.)

3) SACE = SAKCE : 2 = 1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)

4) SABC = SBACE - (SBDC + SACE) =

= 3 - (1,5 + 0,5) = 1 (кв. ед.)

Ответ: 1 кв. ед.


Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае.


2 Способ – достраивание



Задача 2.


Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, затем из полученного числа вычесть площади добавленных частей.


Рисунок 2


Решение:

1) SABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.)

2) SACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

3) SCBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)

4) SCEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.)

5) SABC = SABF - (SBCE + SACD + SCEFD) = 3 - (0,5 + 1 + 1) = 0,5 (кв. ед.)

Ответ: 0,5 кв. ед.


Задача 3.


Рисунок 3

Решение:

  1. S1 = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.)

  2. S2 = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

  3. S3 = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.)

  4. S4 = 5 * 3 = 15 (кв. ед.)

  5. S5 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

  6. S6 = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.)

  7. S7 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

  8. SФ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + + S7 = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 (кв. ед.)

Ответ: 39 кв. ед.


Вывод:

Анализ показал, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» сложно и долго. Оказывается, есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя Формулу Пика.


1.2 Формула Пика


Георг Александр Пик

(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)


hello_html_5e4da938.jpg


Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.3 Использование формулы Пика


Алгоритм вычисления площади многоугольника

с помощью формулы Пика:


  1. Отметить внутренние и граничные узлы1.

  2. Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов.

  3. Находим площадь фигуры по формуле:


S = В + Г : 2 - 1.




Задача 4

Вычислим площадь фигуры по формуле Пика.


Рисунок 4

В = 1 , Г = 8

S = 1 + 8 : 2 – 1 = 4 (кв. ед.)

Ответ: 4 (кв. ед.)



Вернёмся к задаче №3 и вычислим её площадь по Формуле Пика:



В = 35, Г = 10

S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.)

Ответ: 39 кв. ед.


ӏӏ Задача из журнала «Квант»

2.1 Задача про кузнечиков


В научном журнале «Квант» 1974 г. приведена «задача про кузнечиков», «Кузнечики» сидели в узлах клетчатой бумаги в вершинах простого треугольника2. «Кузнечик» мог прыгнуть через одного из двух других в узел других клеток. Спрашивалось в каких тройках точек могут оказаться «кузнечики» после нескольких прыжков, и как изменится их площадь. Изначально по условию задачи кузнечики сидели так:

hello_html_37fd7920.gif

Рисунок 5

После одного прыжка треугольник мог стать таким: (по условию может прыгать один кузнечик так, чтобы в треугольнике не было внутренних узлов, а два других оставались на месте)

hello_html_m6b799052.gif

Рисунок 6


А после ещё одного таким:

hello_html_559d3834.gif

Рисунок 7


Но если мы посчитаем площадь всех этих треугольников, то мы заметим, что она всегда была равна 0,5 кв. ед., из этого следует что сколько бы кузнечики не прыгали, площадь треугольника останется одной, значит в результате прыжков кузнечиков всегда будет получаться простой треугольник (имеющий площадь 0,5 кв. ед.).


Вывод:

  1. Площадь треугольника при прыжке не меняется.

  2. Любой простой треугольник достижим3.

  3. Любой достижимый треугольник имеет площадь ½ кв. ед.

  4. Из простого треугольника при прыжке получается простой.

III. Исследовательская часть

3.1 Задачи ЕГЭ

На ЕГЭ часто встречаются задачи на вычисление площади фигур, которые изображены на клетчатой бумаге. Их площадь можно вычислить с помощью «разбиения» или «достраивания». Это простые способы, но они очень громоздкие и отнимают много времени.


Задача 5.

Нарисуем на клетчатой бумаге какой - нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 8.


hello_html_m7d9969d9.pngРисунок 8


Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.


1 способ: Решение достраиванием:


Рисунок 9

  1. S1 = (3 * 1) : 2 = 1,5 (кв. ед.)

  2. S2 = (3 * 2) : 2 = 3 (кв. ед.)

  3. S3 = 1 * 4 – (1 * 2 : 2) – (1 * 3 : 2) - 1 * 1 = 4 – 1 – 1,5 – 1 = 0,5 (кв. ед.)

  4. Sф = 1,5 + 3 + 0,5 = 5 (кв. ед.)

Ответ: 5 кв. ед.

2 способ: Решение с помощью Формулы Пика:



Рисунок 10




Г = 6, В = 3

S = 3 + 6 : 2 – 1 = 5 (кв. ед.)

Ответ: 5 кв. ед.



Задача 6 .

Очень сложно вычислить площадь, разбивая на части, достраивая до элементарных фигур, но Формула Пика позволяет легко найти площадь этой фигуры.

hello_html_m576aaf5.png

Решение:

Г = 8, В = 0.

S= 0 + 8 : 2 – 1 = 3 (кв. ед.)

Ответ: 3 (кв. ед.)






Рисунок 11

Многоугольник на рисунке 11 сложно разбить на прямоугольные треугольники, но его площадь можно вычислить по теореме Пика:


Рисунок 12

Решение.


В = 6, Г = 13

S = 6 + 13 : 2 - 1 = 11,5

Ответ: 11,5 (кв. ед.)


С помощью компьютерной программы сайта «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/ мы проверили наши вычисления.


hello_html_m758ae5a0.png

3.2 Формула Пика для окружностей


Многие считают, что формула Пика не подходит для нахождения площади окружности, но это не так. Правда есть маленькая неточность, но нам не нужно вычислять площадь до десяти тысячных долей.

Вычислим площадь кольца на рисунке 13.

hello_html_mc24d16d.png

Рисунок 13

Известно, что площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.

1 способ.

Решение по формулам:

Примем за 3,14.

R1 = 2,9

R2 = 2

Sкол = (3.14 * 2.9 * 2.9) – (3.14 * 2 * 2) = (3.14 * 8.41) – (3.14 * 4) = 26.4074 – 12.56 = 13.8474 (кв. ед.)

Ответ: 13,8474 (кв. ед.)

2 способ.

Решение по формуле Пика:

В1= 21 В2 = 9

Г2 = 16 Г2 = 12

SБК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.)

SМК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.)

Sкол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.)

Ответ: 14 (кв. ед.)

В итоге мы видим, что отличие в результатах всего 1.1%

3.3 Формула Пика в пространстве.


Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1 с помощью формулы Пика не получится.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.


IV Практическое применение Формулы Пика

4.1 Работа с палеткой.


Задача 1 :Рассчитать общую площадь школы

План школы №18

hello_html_me970e13.jpg

Рисунок 14

Решение.

В = 99, Г = 62

Масштаб 1 : 400

1 см2 = 16 м2


Находим площадь одного этажа школы в квадратных сантиметрах. 99 + 62 : 2 – 1 = 129 см2

129 см2 = 129 * 16 = 2064 м2


Ответ: 2064 м2.


Настоящая площадь – 6222 м2

Погрешность составила 0.5%

Задача 2: Вычислить площадь озера Тургояк.

План озера Тургояк

Решение

Масштаб 1: 50000

В = 46, Г = 11


46 + 11 : 2 - 1 = 51,5 см2

51,5 * 50000 = 2575000 см2=

= 25,75 км2

Ответ: 25,75 км2


Мы получили приближённый результат.

Настоящая площадь озера - 26,4 км2

Погрешность составила 2.5%

Заключение


При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.

Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:

  1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

  2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки.

  3. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

  4. Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.


При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.






Источники:


  1. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1974 год, номер 12.

  2. Формула Пика http://turboreferat.ru/geometry/formula-pika/10094-52632-page1.html

  3. Математика, которая мне нравится http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/

  4. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru

  5. «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/

  6. Дидактическая библиотека http://gorinalw.3dn.ru/OSNOVA/osnova-3-2013.pdf















Приложение

Материалы для самообразования учащихсяhello_html_3edcc079.png

hello_html_5fa7837a.png

hello_html_7660bc97.png

1 Узел – здесь: точка на пересечении клеток тетради.

2 Простой треугольник – треугольник не имеющий внутренних узлов (его площадь всегда равна 0,5 кв. см)

3 Достижимый треугольник – треугольник в вершинах которого могут одновременно оказаться три кузнечика, которые в начале были в трёх вершинах одной клетки.

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Тема: § 42. Площадь трапеции. Площадь произвольного многоугольника. Равновеликие и равносоставленные фигуры
Учебник: «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Тема: Глава 6. Площадь

Номер материала: ДБ-1363681

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Формирование компетенций межкультурной коммуникации в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Источники финансов»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»
Курс повышения квалификации «Международные валютно-кредитные отношения»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.