Исследовательский проект "Признаки делимости"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 средняя общеобразовательная школа № 1

 р.п. Чунский Иркутской области

Проект по математике на тему:

«Признаки делимости»

Выполнила: Шалдеева Елена 6 «а» класс

                                    Руководитель: Филатникова М.В.,

                                                                учитель математики

2015 год

Введение

«Тот, кто не знает математики, не может

узнать никакой другой науки и даже не

может обнаружить своего невежества»

 Роджер Бэко

Данная исследовательская работа посвящена изучению различных признаков делимости, как школьного курса математики, так и тех, которые и не могут встретиться на уроках математики в школе.

         Изучая признаки делимости на уроках математики мне было не совсем понятно, почему именно четные числа делятся на два и где взаимосвязь суммы цифр и того, делится ли число на 3 или на 9.  Именно, исходя из этого интереса, была выбрана тема данного проекта.

Объект исследования: признаки делимости чисел.

Предмет исследования: применение и история возникновения различных признаков делимости.

Цель работы:  Ознакомиться с историей возникновения некоторых признаков делимости. Изучить различные признаки делимости чисел встречающиеся в школьном курсе математики, и те которые не изучаются на уроках в школе. Рассмотреть применение признаков делимости в различных аспектах математики.

Задачи:

·       Изучение литературы, отражающие теоретическую основу понятия «признак делимости»;

·       Изучение истории возникновения признаков делимости;

·       Рассмотрение признаков делимости входящих в школьный курс математики;

·       Изучение признаков делимости не вошедших в школьную программу по математике;

·       Изучение применения признаков делимости;

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. 
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод  математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином  Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля».  Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признаки делимости школьного курса математики

Признак делимости на 2.

Формулировка признака делимости на 2 такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то это число делится на 2 нацело, если же запись целого числа оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то такое число не делится на 2 без остатка.

Применение:

Пример.

Какие из данных чисел 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 делятся на 2?

Решение.

Несомненно, можно разделить каждое из данных чисел на 2 (например, выполнив деление столбиком), откуда будет видно, делится ли число на 2 без остатка или с остатком. Однако признак делимости на 2 позволяет ответить на вопрос задачи намного быстрее.

Так как числа 8, −946, 10 900 оканчиваются цифрами 8, 6 и 0 соответственно, то они делятся на 2 без остатка. В свою очередь числа 53 и −988 123 761 не делятся нацело на 2, так как оканчиваются на 3 и 1 соответственно.

Ответ: 8, −946 и 10 900 делятся на 2, а 53 и −988 123 761 не делятся на 2.

Разберем пример разложения числа на простые множители, в котором удобно и целесообразно применять признак делимости на 2.

Пример.

Разложите число 352 на простые множители.

Решение.

Так как запись числа 352 последней цифрой имеет 4, то из признака делимости на два можно утверждать, что это число делится на 2. Имеем352:2=176 и 352=2·176. Очевидно, 176 тоже делится на 2. Имеем 176:2=88 и176=2·88, тогда 352=2·176=2·2·88. Так как 88 оканчивается цифрой 8, то это число делится на 2. Получаем 88:2=44, откуда 88=2·44 и352=2·2·88=2·2·2·44. Число 44 также делится на 2, имеем 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22. И опять признак делимости на 2позволяет нам утверждать, что 22 делится на 2, получаем 22:2=11, откуда22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. А вот число 11 оканчивается цифрой1, следовательно, не делится на 2. Обратившись к таблице простых чисел, мы обнаружим, что 11 – простое число. Так мы получили требуемое разложение числа 352, оно имеет вид 352=2·2·2·2·2·11.

Ответ: 352=2·2·2·2·2·11.

Признак делимости на 3

Формулировки признака делимости на 3: целое число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, если же сумма цифр данного числа не делится на3, то и само число не делится на 3.

Применение.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3.

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3, вычислим его сумму цифр: 3+9=12. А чтобы узнать, делится ли 12 на 3, находим сумму цифр числа 12, имеем 1+2=3. Так как мы получили число 3, которое делится на 3, то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3. Следовательно, 39 делится на 3, так как сумма его цифр равна 12, а 12 делится на 3. Наконец, 907 333 812 делится на 3, так как сумма его цифр равна 39, а 39 делится на 3.

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19. В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10, а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1. Так как мы получили число 1, которое не делится на 3, из признака делимости на 3следует, что 10 не делится на 3. Поэтому 19 не делится на 3, так как сумма его цифр равна 10, а 10 не делится на 3. Следовательно, исходное число −543 205не делится на 3, так как сумма его цифр, равная 19, не делится на 3.

Ответ: нет.

Признак делимости на 9

Формулировка признак делимости на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9; если же сумма цифр числа не делится на9, то это число не делится на 9.

Применение:

Пример.

Какие из чисел 621, −32 112, 222, −331 делятся на 9?

Решение.

Вычислим суммы цифр каждого из данных чисел, имеем 6+2+1=9,3+2+1+1+2=9, 2+2+2=8 и 3+3+1=7. Так как 9 делится на 9, а 8 и 7 не делятся на 9, то признак делимости на 9 позволяет утверждать, что 621 и−32 112 делятся на 9, а числа 222 и −331 – нет.

Ответ: 621 и −32 112.

В более сложных случаях сумма цифр данного целого числа может быть двухзначным, трехзначным и т.д. числом. Например, сумма цифр числа 945 равна 18, а сумма цифр числа 999 888 777 666 555 равна 105. Для установления делимости на9 в этих случаях признак делимости на 9 приходится применять несколько раз (точнее приходится несколько раз подряд вычислять суммы цифр получающихся чисел). Рассмотрим это на примере.

Пример.

Делится ли число 876 505 998 872 на 9?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 9. Для этого вычислим сумму цифр данного числа: 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74. А делится ли 74 на 9? Для ответа на этот вопрос вычислим сумму цифр числа 74, имеем 7+4=11, а сумма цифр числа 11 в свою очередь равна 1+1=2. Так как 2 не делится на 9, то по признаку делимости на 9 и число 11 не делится на 9, следовательно, на 9 не делится и 74, а значит, и исходное число.

Ответ: нет, не делится.

Признак делимости на 5

Формулировка признака делимости на 5: если в записи целого числа справа находится цифра 0 или 5, то такое число делится на 5, если же справа в записи числа стоит другая цифра, то такое число не делится на 5.

Применение:

Пример.

Какие из чисел 74, −900, 10 000, −799 431, 355, −5 делятся на 5?

Решение.

Записи чисел 74 и −799 431 оканчиваются цифрами 4 и 1, поэтому признак делимости на 5 позволяет утверждать, что эти числа не делятся на 5 нацело. А записи чисел −900, 10 000, 355 и −5 оканчиваются цифрами 0 и 5, поэтому эти числа делятся на 5.

Ответ:  −900, 10 000, 355 и −5 делятся на 5

Признак делимости на 10, 100, 1000…

Сформулируем сначала признак делимости на 10: если последняя цифра в записи целого числа есть 0, то такое число делится на 10; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0, то такое число не делится на 10.

Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0, то такое число на 100на делится.

Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000, 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.

Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10, и на 100, и на 1 000, и т.д.

Применение:

Пример.

Какие из целых чисел 500, −1 010, −50 012, 440 000 300 000, 67 893 делятся на 10? Какие из этих чисел делятся на 10 000? А какие числа не делятся на100?

Решение.

Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500, −1 010,440 000 300 000 делятся на 10, так как в их записи последней цифрой является 0, а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.

На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000, так как только в его записи справа находится четыре цифры 0.

Основываясь на признаке делимости на 100, мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010, −50 012 и 67 893, так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0.

Ответ:  500, −1 010, 440 000 300 000 делятся на 10; 440 000 300 000 делится на10 000; 1 010, −50 012 и 67 893 не делятся на 100.

Признаки делимости, которые не встречаются в школьном курсе математики

Признак делимости на 4

Формулировка: Целое число a делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4; если же составленное число не делится на 4, то и число a не делится на 4.

Применение:

Пример.

Какие из чисел −98 028, 7 612 и 999 888 777 делятся на 4?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 4.

Две последние цифры целого отрицательного числа −98 028 дают число 28, так как 28 делится на 4 (28:4=7), то и число −98 028 делится на 4.

Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12, а 12 делится на 4(12:4=3), следовательно, 7 612 делится на 4.

Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77, так как 77не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1)), то и исходное число не делится на4.

Ответ: −98 028 и 7 612.

А как применять признак делимости на 4, если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01, 02, 03, …, 09? В этих случаях цифру 0, стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1, 2, 3, …, 9.

Пример.

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4?

Решение.

Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03, отбрасываем нуль слева и имеем число 3. Так как 3 не делится на 4, то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на4.

Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8, а так как 8 делится на 4, то и число −88 108 делится на 4.

Ответ: 75 003 не делится на 4, а −88 108 – делится.

Признак делимости на 6

Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3. Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, а также сумма цифр в записи числа делится на 3, то такое число делится на 6; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6. Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3.

Применение:

Пример.

Делится ли число 8 813 на 6?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6. Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3, то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.

Ответ: нет.

Пример.

Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?

Решение.

Число 934 оканчивается цифрой 4, поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на3. Имеем 9+3+4=16, а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.

Ответ: нет.

Признак делимости на 8

Формулировка признака делимости на 8 такова: если число, составленное из трех последних цифр в записи целого числа a (в порядке их следования), делится на8, то и число a делится на 8; если же это число, составленное из трех последних цифр, не делится на 8, то и число a не делится на 8.

Применение:

Пример.

Делится ли число 58 296 на 8?

Решение.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, воспользуемся признаком делимости на 8. Три последние цифры числа 58 296 дают число 296. Выясним, делится ли оно на 8, удобнее всего провести деление столбиком:

Итак, 296 делится на 8, следовательно, на 8 делится и исходное число 58 296.

Ответ: да.

Отдельно следует остановиться на применении признака делимости на 8 в случаях, когда три последние цифры в записи числа дают, например, 024, 086, 002, 008. В этих случаях нужно отбросить нули слева, после чего проверять делимость на 8полученных двузначных или однозначных чисел.

Пример.

Используя признак делимости на 8, покажите, что число 920 072 делится на 8.

Решение.

Три последние цифры исходного числа дают 072, им соответствует число 72. Из таблицы умножения мы знаем, что восемью девять равно семидесяти двум, следовательно, 72 делится на 8. Тогда признак делимости на 8 позволяет нам утверждать, что 920 072 делится на 8.

Другие признаки делимости

Так же существуют признаки делимости на 11, 13, 21, 37, 61, 99 и другие. В процессе их изучения стало понятно, что их не просто так не включили в школьный курс математики. Чтобы определить делится ли число на 11 или на 13 нужно обладать знаниями, которые не доступны ученикам 6 класса.

Выводы.

За два с половиной месяца написания проекта я узнала много нового: познакомилась с различными признаками делимости, узнала, где они применяются, и поняла, насколько они полезны. Сейчас на уроках математики мы изучаем действия с обыкновенными дробями и  для того чтобы успешно умножать и делить дроби мне и моим одноклассникам необходимы признаки делимости чисел. Их знание поможет быстрее сокращать дроби, а так же находить общий знаменатель дробей. Для того чтобы помочь моим одноклассникам я составила небольшую памятку (Приложение 1), в которой отраженны основные признаки делимости чисел.

Приложение 1.

Признаки делимости Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на 2, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях не делится. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4 В остальных случаях не делится. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях не делится. Признаки делимости на 3 и на 9.  На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9. Признак делимости на 6.  Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В остальных случаях не делится. Признак делимости на 5.  На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие не делятся. Признак делимости на 25.  На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие числа не делятся. Признаки делимости на 10, 100 и 1000.  На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль. На 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули. На 1000 - только те, у которых три последние цифры нули.

Список литературы

1.            Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Швацбург А.С., Жохов В.И. Математика: Учебник для 5 класса. – М.: Мнемозина, 2008. – 256с. Ил.

2.            Н.Н.Воробьев Признаки делимости – М. Наука, 1988. – 96с.

Интернет- ресурсы

1.     dinai.org/zadacha-o-stae-gusey-i-semi-ozerah.html

2.     nazva.net/forum/index.php?topic=3097.0;wap

3.     www.mathedu.ru/.../fridman-sujetnie_zadachi_v_russkih_metodikah.doc

4.     festival.1september.ru/articles/563867