Исследовательский проект "Свойства функций в пословицах и поговорках"

РЕЦЕНЗИЯ

1. Предмет анализа: проектная работа по курсу математика учащегося 8 «В» класса Киселёва Ивана по теме «Свойства функций в пословицах и поговорках».

2. Актуальность темы: в результате самостоятельных исследований по основополагающим и проблемным вопросам учащиеся отвечают на вопрос о том, что функции - это портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. А русские пословицы и поговорки – это наглядная иллюстрация таких закономерностей, их свойств и яркий пример того, что функция повсеместна в нашей жизни.

3. Формулировка основного тезиса: объектом исследования выбраны функции и поговорки.

4. Краткое содержание работы: «Свойства функций в пословицах и поговорках» - это авторский продукт, созданный в компьютерной среде POWER POINT, в котором есть изображения, тексты, анимации - это полностью воплощение сценария автора. Занятие, проводимое с помощью него, управляемо на 100%. Благодаря мультимедийной презентации можно легко предъявлять задания учащимся. Это проблемно-исследовательский проект с применением ИКТ. На уроках математики учащиеся знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но они мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности. Данная работа поможет ребятам разобраться с этими вопросами.

5. Общая оценка: оценивая работу в целом, можно сказать, что тема раскрыта полностью, суммируя результаты отдельных глав, напрашивается вывод о соответствии выбранной темы с её содержанием – каждый блок работы дополняет другой, наблюдается плавный переход от части к части. Таким образом, в рассматриваемой работе автор проявил умение разбираться в терминах, касающихся данной темы, систематизировал материал и обобщил его, благодаря чему углубляются школьные представления об исследуемой теме. Автор наглядно показывает связь математики с устным народным творчеством.

6. Выводы:  работа может быть оценена «отлично», так как удовлетворяет всем основным требованиям.

Учитель: ___________  (Г.С. Конюхова)

МУНИЦИПАЛЬНАЯ УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ»

Автор работы: Киселёв Иван

МКОУ Аннинская СОШ №3 с УИОП, 8 «В» класс

Место выполнения работы: МКОУ Аннинская СОШ № 3 с углубленным изучением отдельных предметов, 8 «В» класс, Воронежская область, п.г.т. Анна

Научный руководитель:
Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МКОУ Аннинская СОШ №3 с УИОП

г. АННА, 2013/2014 учебный год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение ……………………………………….....................стр. 3-4

2. Из истории возникновения функций………………………стр. 5-7

3. Свойства функций в пословицах и поговорках……….

3.1. Возрастание функции………………………………….стр. 8-9

3. 2. . Убывание функции……………………………………..стр. 10

   3. . Ограниченность функции………………………………стр. 10-11

   4. . Наибольшее значение функции………………………..стр. 11-12

   5. . Наименьшее значение функции………………………..стр. 12-13

3.6. Периодичность функции……………………………… стр. 13

4. Заключение……………………………………………………стр. 14

5. Библиографический список …………………………………стр. 15

1. ВВЕДЕНИЕ

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Актуальность темы. В результате самостоятельных исследований по основополагающим и проблемным вопросам учащиеся ответят на вопрос о том, что функции - это портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. А русские пословицы и поговорки – это наглядная иллюстрация таких закономерностей, их свойств и яркий пример того, что функция повсеместна в нашей жизни. Изучение функций является актуальным всегда.

Объект исследования: функции и поговорки.

Цель: обнаружить взаимосвязь математики с устным народным творчеством.

Задачи:

• Изучить:

• историю развития понятия «функция»;

• определение функции;

• свойства функций.

• Сопоставить некоторые свойства функций с пословицами и поговорками.

Гипотеза: установить связь между основными свойствами функций и некоторыми пословицами и поговорками.

Использованные методы:

• сбор материала, работа с литературой, опыт, наблюдение, решение задач, анализ, обобщение;

• изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии);

• анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме);

• опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Практическая ценность. Мы считаем, что наша работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

После завершения проекта учащиеся будут:

знать/понимать:

• определение и свойства элементарных функций, графические представления свойств изученных функций;

• знать алгоритм построение графиков элементарных функций;

• как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости и приводить примеры такого описания;

уметь:

• распознавать функции;

• уметь устанавливать соответствия между графиками и формулами, их задающими;

• описывать свойства изученных функций, строить их графики;

• иллюстрировать учебные работы с использованием средств информационных технологий;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• описания реальных ситуации на математическом языке - языке функций.

2. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет важную роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции: «Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f и когда он появился? Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

3. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

3. 1. ВОЗРАСТАНИЕ ФУНКЦИИ

Определение. Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(x₁)< f(x₂) (короче: x₁<x₂ => f(x₁) < f(x2)).

Иными словами: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Например, y = kx + b, k > 0 линейная функция

«Чем дальше в лес, тем больше дров», - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения вглубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество дров на данном километре дороги.

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров).

«Каков мастер, такова и работа», –  гласит пословица. Изобразим графиком, как уровень выполнения работы улучшается по мере улучшения профессионализма мастера.

Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это профессионализм мастера (его разряд, талант). По вертикали (ось ординат) будем откладывать качество выполнения работы. Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем больше профессионализм мастера) значение функции будет больше (качество работы будет лучше).

«Кто много знает, с того много и спрашивается», –  гласит пословица. Изобразим графиком, как уровень полученных знаний влияет на степень ответственности человека.

Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это степень образованности человека (например, оценки школьника в дневнике). По вертикали (ось ординат) будем откладывать степень спроса (то, что ожидает учитель от этого ученика, или его родители). Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем больше образованность человека или ученика в школе) значение функции будет больше (степень спроса будет увеличиваться, т.е. учитель ожидает, что ученик правильно выполнит домашнее задание или напишет контрольную работу на «5»).

3. 2. УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ

Определение. Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(x₁)> f(x₂) (короче: x₁<x₂ => f (x₁) > f(x₂)).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

«Где много слов, там мало дела», - гласит пословица.

Функция, которая показывает, как изменяется эффективность дела в зависимости от количества слов, монотонно убывающая. Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это количество слов. По вертикали (ось ординат) будем откладывать эффективность дела. Согласно пословице эта функция неизменно убывает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней точки (количество слов) значение функции будет меньше (эффективность дела). Другими словами – нужно поменьше говорить, а больше делать.

3.3 ОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение. Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х₁ Х, если f (x₁), т.е. множество её значений на множестве Х₁, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х₁ выполняется неравенство m ≤f(x)≤M.

В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;

Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Сорока никогда соловьиные песни не поёт». Если человек не имеет музыкального слуха, то песня в его исполнении не сравнится с исполнением песни человека, который закончил, например, музыкальную школу.

3.4 НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

Определение. Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве Х ⊂ D(f), если:

1.  Существует число х_о  Х такое, что f(x_о) = M;

2.  Для любого значения х  Х выполняется неравенство f (x) <  f(x_о).

Например, квадратичная функция y = ax² + b + c,  a < 0. Если ветви параболы направлены вниз, то график квадратичной функции имеет наибольшее значение функции в вершине параболы.

 «Дружный табун и волков не боится». Изобразим эту пословицу графиком, где степень дружбы табуна представлена как функция. По мере того, как табун становится дружнее и сплоченнее (достигает своего наибольшего значения), после этого табун уже не боится волков.

«Умные речи и в потемках слышно». Изобразим график, где умная речь  представлен как функция.

Речь можно произнести любую, но когда она достигает своего наибольшего значения, т.е становится умной, то её слышно везде, даже и в потёмках.

3.5 НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

Определение. Число m называют наименьшим значением функции у= f(x) на множестве Х ⊂ D(f), если:

1. Существует число х_о Х такое, что f(x_о)=m;

2. Для любого значения х  Х выполняется неравенство f(x) > f(x_о).

Например, квадратичная функция y= ax² + b+ c,  a > 0. если ветви параболы направлены вверх, то график квадратичной функции имеет точку минимума в вершине параболы.

«От погасшего угля не добудешь огня». Если изобразить эту пословицу на графике, где возможность разжечь огонь от углей представлена как функция температуры углей, то станет видно, что, в определенный момент, когда угли совсем остынут, от них уже невозможно будет вновь зажечь огонь.

3. 6. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс. Для синуса и косинуса период составляет 360⁰, для тангенса – 180⁰.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик.

У русского народа, как у любого другого, существует бесчисленное множество пословиц и поговорок. Они создавались и накапливались народом в течение многовековой его истории и отражали его жизнь, условия труда, культуру.

Пословицы отражают взаимосвязи, существующие между различными жизненными категориями (объектами), то есть фактически являются отражениями функциональных зависимостей и доказывают, что функция - это сама жизнь!

5. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Макарычев и др. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений.- Москва «Просвещение», 2009.

2. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995

15

• 1 слайд

  ДЕКАБРЬ 2013 Выполнил ученик 8 «В» класса МКОУ Аннинская СОШ№ 3 с УИОП Киселёв Иван Руководитель: учитель математики Конюхова Г. С. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ

• 2 слайд

• 3 слайд

  Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны

• 4 слайд

  Начиная с 17 века Французские математики Пьер Ферма и Рене Декарт представляли себе функцию как зависимость ординаты точки от её абсциссы.

• 5 слайд

  Термин «функция» впервые ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц. У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции).

• 6 слайд

  Швейцарский математик Иоганн Бернулли и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер рассматривали функцию как аналитическое выражение. Аналитическое определение функции (17 – начало 19 века)

• 7 слайд

  Идея соответствия (19 век)

• 8 слайд

  Возрастающая функция Функция y=f(x) называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых множества X, таких, что выполняется неравенство х

• 9 слайд

  х Продвижение в лес Количество дров Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (… тем больше дров) Чем дальше в лес, тем больше дров *

• 10 слайд

  х у Профессионализм мастера Качество работы Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (каков мастер…) значение функции будет больше (… такова и работа) Каков мастер, такова и работа. *

• 11 слайд

  х Степень образованности. Количество спроса Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (степень образованности…) значение функции будет больше (… количество спроса) Кто много знает, с того много и спрашивается. *

• 12 слайд

  Убывающая функция Функция y=f(x) называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых из множества X, таких, что выполняется неравенство х *

• 13 слайд

  х Количество слов Эффективность дела Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (много слов…) значение функции будет меньше (…мало дела). Где много слов, там мало дела * Поменьше говори, побольше услышишь

• 14 слайд

  Матушкин гнев, что весенний снег: и много его выпадает, да скоро растает * * Любовь Гнев Тише едешь, дальше будешь Мал золотник, да дорог

• 15 слайд

  Определение: Функцию у=f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует число m такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)>m.  Ограниченность функции Определение: Функцию у=f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует число М такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)<M). Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной. y=f(x) y=m y=M y=f(x) *

• 16 слайд

  х у Мера Высота Расстояние Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M. Выше меры конь не скачет y=m *

• 17 слайд

  х у Песни сороки Сорока никогда соловьиные песни не поёт y=m Соловьиные песни Уровень профессионализма пения Уровень пения в полном соответствии с пословицей будет ограничен сверху уровнем пения мастерства соловья. *

• 18 слайд

  * * Выше головы не прыгнешь Расстояние «Мера»

• 19 слайд

  Наибольшее значение функции Число М называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве Х⊂D(f), если: существует число хо є Х такое, что f(xo)=M; для любого значения х є Х выполняется неравенство f (x) ≤ f(x0). х f(x) * М

• 20 слайд

  х время Степень дружбы Дружный табун и волков не боится По мере того, как табун становится дружнее и сплочённее (достигает своего наибольшего значения), после этого табун уже не боится волков. f(x) *

• 21 слайд

  х Речь Ум Речь можно произнести любую, но когда она достигает своего наибольшего значения, т.е становится умной, то её слышно везде, даже и в потёмках. Умные речи и в потемках слышно f(x) *

• 22 слайд

  Наименьшее значение функции f(x) y Число m называют наименьшим значением функции у=f(x) на множестве Х⊂D(f), если: Существует число хо є Х такое, что f(xo)=m; Для любого значения х є Х выполняется неравенство f (x) ≥ f(x0). * m

• 23 слайд

  х у От погасшего угля не добудешь огня В определенный момент, когда угли совсем остынут, (наименьшее значение температуры) от них уже невозможно будет вновь зажечь огонь. Температура время *

• 24 слайд

  х у Где тонко, там и рвётся В определенный момент, когда прочность нити будет наименьшей, то она порвётся. Прочность нити *

• 25 слайд

  Периодичность « Жизнь как зебра. Черная полоса, белая полоса, черная полоса, белая полоса, …». * *

• 26 слайд

• 27 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

• 28 слайд

  Источники информации http://office.microsoft.com/ru-ru/ctndirectdownload.aspx?AssetID=TC101908703&Application=PP&Version=12&Result=2# http://reffors.ru/publ/matematika/istorija_matematiki/istorija_razvitija_ponjatija_quot_funkcija_quot/5-1-0-73 http://vova1001.narod.ru/Mnog100.htm http://www.sernam.ru/book_e_math.php?id=149 http://images.yandex.ru/yandsearch?p=1&text=%D0%92%D0%B5%D0%BA%20%D0%B6%D0%B8%D0%B2%D0%B8%2C%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%20%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%81%D1%8C&noreask=1&img_url=www.savepic.org%2F1575397.jpg&rpt=s Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985 Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009. Пословицы и поговорки/ сост. В.Д. Сысоев. – М.:АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007

Краткое описание документа:

В результате самостоятельных исследований по основополагающим и проблемным вопросам учащиеся ответили на вопрос о том, что функции - это портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. А русские пословицы и поговорки – это наглядная иллюстрация таких закономерностей, их свойств и яркий пример того, что функция повсеместна в нашей жизни. Изучение функций является актуальным всегда.