Исторический материал "Из истории возникновений отрицательных чисел и нуля"

ИСТОРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ НА ТЕМУ:

«СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ»

2013 год

ТЕМА: «СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ»

1.      Использование исторического материала по теме « СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ»

1.1.Исторический материал по теме « СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ»

Числа были всегда и 4 и 5 тысяч лет тому назад, только правила изображения

их были другими. Но смысл был один: числа изображались с помощью

определённых знаков – цифр. Цифра - это символ, участвующий в записи числа.          «Все есть число", — говорили пифагорийцы (ученики древнегреческого математика Пифагора). Значит всё можно обозначить числом.

Число - это величина, которая складывается из цифр по определённым правилам.

Эти правила называются системами счисления.

Никто не знает, как появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловить рыбу, научился делать каменный топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько надо сделать ножей и т.п. таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

На протяжении многовековой истории человечества существовало множество различных способов записи числа, некоторые дошли до наших времен, а некоторые остались в истории.                                                                                                                                                           Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.

Это самая простая система счисления. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки ½, кружочка ○, или любой другой фигуры. Тогда числа будут записываться примерно так:

Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется народами, не имеющими письменности.                                                                                                                                       Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять.             Пальцы всегда при нас, поэтому первоначально человек стал считать по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной»издавна являются пальцы рук и ног. Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то охотник нанёс 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других районах были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные) орудия и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5, или по 7.                                                     Но такой системой счисления пользоваться удобно, если числа небольшие. Трудности возникли, когда пришлось оперировать большими числами.                                                   И люди начали изобретать системы счисления.

Цифры в Древнем Египте

Первые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства,

появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад. Хотя эти две культуры

находились очень далеко одна от другой, их числовые системы очень похожи:

использование засечек на дереве или камне для записи прошедших дней.

Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника, а в Месопотамии на мягкой глине.

В египетской системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

- 1205, - 1 023 029

Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Обычному человеку это не под силу.

Цифры в Древнем Риме

Римская система счисления, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

Римские числа выглядят так:

Предполагаемое происхождение римских цифр

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.                                                                                                 Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили их к своей империи. Со всех этих стран они взимали громадные налоги и, конечно, пользовались при этом своими обозначениями чисел. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая все проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула Римская империя, в деловых бумагах Западной Европы применялась эта неудобная нумерация. Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах, их можно увидеть на циферблатах часов.                                                   В Санкт- Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 год. Это год открытия памятника.                                                                                               Если вы увидите на старинном доме сделанную римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году.                                              Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Цифры в Древней Греции

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины.                             В Древней Греции числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,,,. Число 5 записывалось знаком  (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:

Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, а именно:

Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:

числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:

числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.

Древние евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока имели такие же системы счисления.

Цифры в Древнем Китае

Древнекитайская  система счисления одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Цифры в древней славянской нумерации

Древняя славянская нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.                                                                                                                                    Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.                                                                                   Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

Цифры в Древней Индии

В древней Индии так же была словесная система счисления. Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица – предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля;  двойка – словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка – словами “океаны”, “стороны света» и т. д.

Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и тоже слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из названий нуля – «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. В VIII в. при переводе на арабский язык, слово «шунья» получило перевод «сыфр», имеющее то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово ziffer и

наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль.

Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.                                                                                                                                       Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже математические книги писали в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?) Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от ее места в записи числа, именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.                                                                                                                       Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры называют арабскими.

Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

Историей и происхождением чисел интересовались многие умы человечества.

Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате.

    1.2 Методические рекомендации по использованию исторического материала по теме: «СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ».

Предложенный материал можно использовать в преподавании математики в 5, 6 классах. Тема исторического материала очень тесно переплетается с понятием числа. Поэтому данный исторический материал целесообразно рассматривать при изучении натуральных чисел. При введении понятия натурального числа можно предложить обучающимся для ознакомления и дальнейшего обсуждения слайды презентации 3, 4, 5, 6.

В канву урока можно вплести решение задач с историческим содержанием, а также задач на старинные системы исчисления, которые разнообразят деятельность учащихся на уроке, будут способствовать расширению кругозора школьников, а также активизируют их учебную деятельность.

Очень полезной для изучения исторического материала для обучающихся будет деятельность по написанию мини- сочинений, эссе по темам «Старинные системы записи чисел». Можно предложить ученикам поучаствовать в конкурсе подобных мини- сочинений.

Также обучающимся можно предложить расширить свои познания по теме «Старинные системы записи чисел» занимаясь проектно- исследовательской деятельностью. Для проектно- исследовательской деятельности не следует брать всю обобщённую тему целиком. Лучше, если это будет несколько проектов «Появление чисел в Древней Греции», «Славянские системы исчисления», «Как люди научились считать», «Почему натуральные числа называются натуральными» и т. д. Для осуществления проектно- исследовательской деятельности с обучающимися необходимо создать банк литературы, с которой ученики будут работать.

Изучение исторического материала в 5, 6 классах даёт возможность обучающимся достичь следующих результатов развития:

1.      В личностном направлении:

·         Умение ясно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи;

·         Отличать гипотезу от факта;

·         Представление о математической культуре как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;

·         Способность к эмоциональному восприятию математических объектов.

2.      В метапредметном направлении:

·         Умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, представлять её в понятной форме;

·         Умение выдвигать гипотезы при решении задач, понимать необходимость их проверки;

·         Умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера

3.      В предметном направлении:

·         Умение работать с текстом, грамотно применять математическую терминологию;

·         Развитие представлений о числе и числовых системах;

·         Умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера с использованием при необходимости справочных материалов, компъютера.

2.      Использование исторического материала по теме «Старинные системы записи чисел»  во внеурочное время.

Для изучения исторического материала можно привлекать любую из форм организации внеурочной деятельности ( недели месячники математики, олимпиады, различные математические конкурсы, вечера, участие в научных конференциях и т. д.). Но наиболее эффективными формами внеурочной деятельности, направленными на изучение исторического развития математики, на наш взгляд, являются математический кружок и факультатив по математике. На кружковых занятиях источником информации должен быть не только рассказ учителя, но и другие формы преподнесения исторического материала. Например, в рамках кружка можно выпустить стенгазету, посвящённую истории математики. Материал учащиеся подбирают самостоятельно, конечно под руководством преподавателя, предварительно изучив предложенную литературу. Подготовленный материал необходимо предварительно обсудить, отредактировать, подобрать иллюстрации, обозначить ссылки для тех, кто заинтересуется информацией, размещённой в газете. Ещё одна форма изучения исторического материала на кружковом занятии – подготовка устного журнала. Каждый ученик, посещающий кружок, может подготовить одну из страниц устного журнала: «Что мы знаем о римских цифрах», «Цифры в Древнем Вавилоне», «Китайская цифровая грамота», «Славянские системы  занятиях кружка можно предложить им разгадывание кроссвордов, посвящённых истории математики, или составление таких кроссвордов. Естественно, такая работа также требует предварительной подготовки. Для активизации самостоятельной работы учащихся их можно вовлечь в подготовку и участие в викторине по истории математики. Несомненно, одной из главных и основных форм на занятиях математического кружка является решение задач. При подборе задач, затрагивающих исторический математический материал, учителю необходимо учитывать пройденный материал, его актуальность, сложность заданий.

Виды учебной деятельности учеников при изучении исторического материала по теме «Старинные системы записи чисел»:                                                                                                            знать историю происхождения числа;                                                                                      характеризовать системы записи чисел,                                                                                                     знать способы написания чисел римской и славянской нумерации,                                                            уметь выполнять простейшие арифметические действия с римскими цифрами, осуществлять поиск нужной информации в предложенной литературе или через интернет- ресурсы,                                                                                                                                                    уметь находить главное в найденном источнике.

Планируемые образовательные результаты:                                                                        формирование  целостного, социально ориентированного взгляда на мир в его органичном единстве и разнообразии природы, культур и народов; эстетических потребностей, ценностей и чувств;                                                                                                                    формирование навыков сотрудничества со сверстниками в разных социальных ситуациях, умения не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций;                          способности принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности;

умения планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;                                                                                   определять наиболее эффективные способы достижения результата;                                                 умения активно использовать речевые средства для решения коммуникативных и познавательных задач;

способности осознанно строить речевое высказывание в соответствии с задачами коммуникации;                                                                                                                                  осуществлять взаимный контроль в совместной деятельности, адекватно оценивать собственное поведение и поведение окружающих;

способности использования начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;                                                                                           навыков устанавливать и выявлять причинно-следственные связи в окружающем мире

3.      Практические задания по теме «Старинные системы записи чисел»

ЗАДАНИЕ 1.

Это Архимед.

Напиши дату рождения Архимеда римскими цифрами.

ЗАДАНИЕ 2.

Николай Иванович Лобачевский

Запишите дату рождения Лобачевского римскими цифрами.

ЗАДАНИЕ 3.

Расшифруйте дату (число, месяц, год) знаменитого события в истории России и назовите его:

ІX.V.МСМХLV

ЗАДАНИЕ 4.

Какие числа записаны с помощью римских цифр: MMMD,     IV,    XIX,     MCMXCIVII?

ЗАДАНИЕ 5

В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки:

звезда - тысяча рублей, колесо - сто рублей, квадрат - десять рублей,

X - один рубль, IIIIIIIIII - десять копеек, I - копейка.

Запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 3452 рубля 43 копейки

ЗАДАНИЕ 6

Какая сумма записана с помощью старинной русской системы счисления

ЗАДАНИЕ 7

В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. На рисунке 1 приведены некоторые числа, записанные в этой системе счисления:

Какому числу соответствует следующая запись:

ЗАДАНИЕ 8

Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1001.

ЗАДАНИЕ 9

Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.

ЗАДАНИЕ 10

Выполните действия и запишите результат римскими цифрами:
XXII - V;       CV - LII;       IС + XIX;       МСМ + VIII;
XX : V;          X * IV;        LXVI: XI;        XXIV * VII.