Выбранный для просмотра документ История логарифмов трудности вычислений.doc
История логарифмов трудности вычислений
Как только люди научились вычислять, у них сразу возникло желание как – то упростить этот процесс. Это не удивительно: сложные вычисления с самых давних пор нужны были в таких важных областях, как сбор налогов и астрономия, строительство сложных сооружений, повседневные расчеты, связанные с торговлей, займами, обменом денег. Одним из важнейших изобретений на этом пути были логарифмы, их появление упростило вычисления с большими числами и превратило из сложного искусства в рутинную работу. И хотя основные факты, лежащие в основе теории логарифмов, были известны с незапамятных времен, историки называют изобретателем логарифмов шотландского математика Джона Непера. Да и слово «логарифм» тоже придумал он.
Первые наблюдения.
Наверное, еще в начальной школе все вы заметили, что выполнить умножение или деление гораздо труднее, чем сложение или вычитание. Так и египетские вычислители заменяли умножение чисел сложением и удвоением. При внимательном рассмотрении можно заметить, что алгоритм, который они использовали, опирался на соответствие между членами геометрической прогрессии, образованной степенями двойки, и арифметической прогрессии, образованной целыми числами. Гораздо позже, в III веке до н. э., великий древнегреческий ученый Архимед писал: «Если некоторое из чисел, составляющих непрерывную пропорцию начиная от единицы (так Архимед называл геометрическую прогрессию с первым членом 1), перемножается с другими из той же пропорции, то полученное число будет принадлежать к той же самой пропорции, отстоя от большего из перемноженных чисел на столько, насколько меньшее из перемножаемых чисел в пропорции отстоит от единицы». Кстати, считается, что слово «логарифм» Непер образовал от греческих слов «отношение» и «число», которые Архимед использовал, называя члены геометрической прогрессии.
Труды Архимеда были хорошо известны математикам средневековой Европы, многие из них упоминали обнаруженную Архимедом зависимость, но очень долго никому не удавалось получить из этих наблюдений какую – то практическую пользу. Дальше всех в изучении этой закономерности продвинулся выдающийся немецкий математик Михаэль Штифель (1484 – 1567). Он рассматривал те же последовательности, что и древние египтяне:
0 1 2 3 4 5 …
1 2 4 8 16 32 …
Числа верхнего ряда он называл показателями. Штифель заметил, что для того, чтобы получить показатель произведения, надо сложить показатели сомножителей, а показатель частного находится вычитанием показателей делителя и делимого. Кроме того, Штифель первым догадался продолжить оба ряда влево и стал использовать отрицательные показатели степени. Впрочем, дальнейшего продвижения в новом направлении тогда не последовало.
Итак, если уметь каждые два числа представлять как члены одной и той же геометрическое прогрессии, можно вместо того, чтобы перемножать их, складывать отвечающие им показатели и находить в прогрессии и находить в прогрессии число, показатель которого равен найденной сумме. Это и есть основная идея, на которой основана теория логарифмов.
Прямые предшественники
Что же мешало создать новые вычислительные инструменты, основанные на такой замечательной идее? Дело в том, что геометрическая прогрессия с целым знаменателем растет очень быстро, даже если мы придаем этому знаменателю, как в рассмотренных примерах, самое маленькое из возможных значений, т. е. 2. А значит, подавляющее большинство целых чисел, не говоря уж о дробях, в эту последовательность не попадут, и для их умножения эти прогрессии оказываются бесполезными.
В преодолении этой трудности большую роль сыграли работы голландского математика Симона Стевина. Именно благодаря его усилиям математики Европы стали активно использовать в своей работе десятичные дроби. Книга Стевина под названием «Десятая», изданная в 155 г., способствовала быстрому распространению методов работы с новыми дробями.
Самое большое внимание Стевин уделил финансовым вычислениям, особенно сложным процентам. Что это такое? Это просто проценты от процентов. В 1582 г. Стевин издал специальные таблицы для определения сложных процентов. В таких таблицах содержались числа (
при нескольких небольших значениях k и различных значениях числа n.
При фиксированном маленьком значении числа k и переменном n сложные проценты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 
, члены которой располагаются гораздо теснее, чем в рассмотренных нами числовых рядах. А выбрав k очень – очень маленьким, можно сделать так, что для каждого целого числа в этой прогрессии найдется член, очень близкий к этому числу.
По всей видимости, примерно так рассуждал швейцарский вычислитель Иост Бюрги, который в 1620 г. издал «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельными наставлениями, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях». В этих таблицах Бюрги брал значения k = 0,0001. Их составление потребовало примерно 8 лет непрерывной работы.
Однако прогрессии Бюрги все еще были недостаточно густыми и не все числа попадали в них с достаточно хорошей точностью. Требовалось еще какое – то усовершенствование метода, которое позволит находить «показатель» каждого числа. Это слово выделено, потому что нет такой прогрессии, в которую попадет каждое число, а перемножать нужно числа самые разные. Поэтому требовалось найти для каждого числа, какое – то другое, которое могло бы исполнять роль показателя.
Такие числа придумал Джон Непер и назвал их логарифмами. Свой главный труд, посвященный логарифмам, он издал в 1614 г., но первые логарифмические таблицы были составлены им почти на 20 лет раньше.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ История логарифмовнеперовы логарифмы.doc
История логарифмов: неперовы логарифмы
Джон Непер, барон Мерчистонский
Изобретатель логарифмов был удивительным человеком. Джон Непер родился в 1550 г. в родовом замке Мерчистон недалеко от столицы Шотландии Эдинбурга. Это было бурное время в истории страны: шла борьба между протестантами и католиками, вспыхивали военные стычки с Англией, в эти же годы разворачивалась трагическая история королевы Шотландии Марии Стюард. Шотландским аристократам приходилось с оружием в руках отстаивать свою жизнь и права на свои земли. Однако и сам Джон Непер, и большинство его родичей проявляли редкостное для тех времен миролюбие и дипломатические способности. Им часто приходилось участвовать в деликатных дипломатических миссиях, в работе третейских судов и парламентских комиссий.
В 13 лет Джон Непер поступил в один из университетов Шотландии, но, проучившись 2 – 3 года отправился завершать образование в материковую Европу, где обучался языкам, теологии и математики. Около 1570 г. он вернулся в Шотландию и больше ее не покидал, где занимал различные выборные должности, но большую часть времени проводил в занятиях науками.
Его комментарии в Апокалипсису ( одна из самых известных книг Ветхого Завета) были переведены на разные языки и долго пользовались большой популярностью. Занимался Непер и сельским хозяйством. По результатам многолетних опытов, которые он проводил со своим старшим сыном, даже был получен патент не новый способ удобрения почвы.
Но в истории науки Непер остался благодаря своим достижениям в математике, в которой его, прежде всего, интересовали способы упрощения вычислений. Кроме логарифмов, он придумал особые счетные палочки, на которые были нанесены специальным образом расположенные части таблицы умножения, что позволяло очень быстро перемножать многозначные числа. А еще он придумал счетную доску, вычисления на которой называл «арифметикой мест»: вычисления на ней выполнялись в двоичной системе счисления практически по тем же правилам, что и современных компьютерах!
Неперовы логарифмы
Какие же логарифмы придумал Непер? Его способ определения логарифмов был совершенно необычным для математики того времени. Если все исследователи до него сопоставляли между собой два ряда чисел, то Непер сопоставил между собой две переменные. Переменные эти связаны следующим образом: если выбрать ряд значений одной переменной так, чтобы они находились в одинаковом отношении, то соответствующие значения другой переменной будут отстоять друг от друга на одну и ту же величину. По сути дела, Непер определил логарифмическую функцию. А ведь к тому времени не был изобретен координатный метод, да и понятий переменной величины и функции тоже еще не было! Это был революционный подход, намного опередивший свое время и оказавший огромное влияние на дальнейшее развитие математики.
Но мало определить логарифмы – надо уметь их находить. Поскольку вычисление логарифмов большинства чисел – дело нелегкое, в практической работе используют таблицы логарифмов. Чем точнее и удобнее эти таблицы, тем легче выполнять с их помощью вычисления. При составлении логарифмических таблиц Непер проявил просто поразительную изобретательность, как в самых мелких деталях вычислений, так и в основной идее. По сути, он приближенно решал уравнения совершенно нового типа, которые в современной математике называют дифференциальными. Их систематическое изучение началось почти через сто лет после работ Непера!
Неперовы логарифмы сразу же получили всеобщее признание. Очень скоро были предложены различные усовершенствования построенных им таблиц, появились таблицы логарифмов с другими основаниями. Наибольшей популярностью пользовались логарифмы по основанию 10, изобретенные Генри Бригсом.
Л
огарифмическая линейка
До недавнего времени таблицы логарифмов были важнейшим средством при сложных вычислениях. Каждый специалист, связанный в своей работе с вычислениями, умел пользоваться таблицами логарифмов и обязательно имел специальную логарифмическую линейку.
Первые логарифмические линейки появились еще в 20 – 30 – е годы XVII в. Все они используют очень простое и полезное наблюдение. Нанесем на линейку не длины отрезков, как это делается обычно, а те числа, для которых эти длины являются логарифмами. Например, если мы выберем основание 10, то отрезок длины 1 отметим числом 10, отрезок длины 2 отметим числом 100, отрезок длины 3 – числом 1000 и т. д. Так размеченную линейку называют логарифмической шкалой.
Возьмем две логарифмической шкалы и приложим одну к другой со сдвигом. Пусть, например, нулевая метка на верхней шкале совместится с числом а на нижней; если мы теперь на верхней шкале выберем метку b, то на нижней шкале прочтем произведение а и b. Мы ведь сложили длины отрезков, а это логарифмы чисел, значит, число, логарифм которого равен сумме этих отрезков, - это произведение чисел a и b.
В последние годы в области вычислений компьютеры и калькуляторы значительно потеснили логарифмы и логарифмические таблицы, но за столетия, прошедшие после изобретения Непера, теоретическое значение этой функции выросло чрезвычайно.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Как только люди научились вычислять, у них сразу возникло желание как – то упростить этот процесс. Это не удивительно: сложные вычисления с самых давних пор нужны были в таких важных областях, как сбор налогов и астрономия, строительство сложных сооружений, повседневные расчеты, связанные с торговлей, займами, обменом денег. Одним из важнейших изобретений на этом пути были логарифмы, их появление упростило вычисления с большими числами и превратило из сложного искусства в рутинную работу. И хотя основные факты, лежащие в основе теории логарифмов, были известны с незапамятных времен, историки называют изобретателем логарифмов шотландского математика Джона Непера. Да и слово «логарифм» тоже придумал он.
По материалам газеты "Математика"
6 662 127 материалов в базе
«Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.
§ 14. Понятие логарифма
Больше материалов по этой теме
Настоящий материал опубликован пользователем Карасева Надежда Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.