Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Физика / Статьи / Изучение механизмов рассеяния носителей заряда в полупроводниках

Изучение механизмов рассеяния носителей заряда в полупроводниках

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Физика

Поделитесь материалом с коллегами:


Вестник НГУ. Серия физика. 2013, том 8, выпуск 3.

УДК 537.311.33

Т.Т. Муратов

Ташкентский государственный педагогический

университет им. Низами, ул. Юсуф Хос Хожиб,

103, Ташкент, 100070, Узбекистан

E-Mail: temur-muratov@yandex.ru


Формализм «магнетосечений» hello_html_m3c2662be.gifцентров при резонансном рассеяний носителей заряда в невырожденных полупроводниках


Развит новый подход к изучению кинетических эффектов в ковалентных полупроводниках. На примере расчета кинетических коэффициентов при резонансном рассеянии демонстрируются некоторые особенности предлагаемого подхода. Изучается влияние предельно слабого магнитного поля на кинетические эффекты. В отличие от стандартного метода, учитывающего наличие hello_html_m31ad0622.gifполя в неравновесной функции распределения с последующим получением искомых формул для кинетических коэффициентов, в предлагаемом подходе наличие (влияние) слабого hello_html_m31ad0622.gifполя фиксируется в качестве локального (виртуального) приращения сечения конкретного рассеяния, в данном случае резонансного. Формальная замена: hello_html_57733b52.gif позволяет сравнительно легко проанализировать влияние поля на кинетические эффекты. Показано, что при наличии hello_html_m31ad0622.gif поля электронная проводимость достигает максимума вблизи 1 K в области полей порядка 100 Э.

В процессе расчета выявляется общность результатов при любом механизме рассеяния. Главное требование сводится к тому, чтобы низкотемпературная асимптотика: hello_html_7d80e632.gif конкретного механизма рассеяния была постоянной.

Ключевые слова: кинетические коэффициенты, резонансное рассеяние, hello_html_m3c2662be.gifцентры, классические слабые и сильные магнитные поля, магнетосечение.


Введение

Ситуация, когда дискретный уровень мелкой донорной (акцепторной) примеси локализован вблизи дна зоны проводимости (потолка валентной зоны) довольно часто встречается в полупроводниках. Если при этом кинетическая энергия свободного электрона (дырки) весьма близка по величине к энергии такого уровня, то возникает резонансное рассеяние носителей заряда.

В полупроводниках примесный потенциал имеет сложную структуру, состоящую из дально- действующей кулоновской hello_html_35c77079.gif и короткодействующей hello_html_45e470d6.gif частей. Короткодействую- щая часть потенциала обусловлена разницей химической природы примесного атома и атома матрицы так и самих атомов матрицы. Всегда один из атомов будет обладать большим срод- ством к электрону, вследствие чего электронная пара будет стянута в его сторону. При очень низких температурах hello_html_m47ef9aaf.gif примесь обычно находится в нейтральном состоянии, поэтому именно короткодействующая (полярная) часть потенциала ответственна за химические свойст-

ва примесей.

Следует отметить, однако, что помимо hello_html_45e470d6.gif, радиус действия которой порядка постоянной решетки, потенциал мелкого нейтрального донора характеризуется также второй, более плав- ной частью hello_html_1043740d.gif(hello_html_m17be7b83.gif) с глубиной порядка боровской энергии мелкого донора hello_html_18fb4f2f.gif и радиусом действия порядка боровского радиуса hello_html_m17275706.gif (hello_html_1ea2ece5.gif– эффективная масса носителя заряда).

Именноhello_html_48a7a057.gif потенциал, природа которого обусловлена поляризационным взаимодействием между нейтральным донором и свободным электроном, приводит к образованию неглубокого уровня (так называемого hello_html_m3c2662be.gifцентра), ответственного за резонансное рассеяние.

При низких температурах наличие hello_html_m3c2662be.gifцентра можно учесть формальным методом, основанным на приближении hello_html_m14f28b9e.gifрассеяния [1] (это оправдано, так как длина электронной вол- ны hello_html_52dc9ebe.gif гораздо больше радиуса (hello_html_m4b15627e.gif) hello_html_45e470d6.gif потенциала и усло- вие преобладания hello_html_m6ecdaad5.gifволны: hello_html_m22c8f31c.gif, хорошо соблюдается). В рамках такого подхода удается рассчитать все основные кинетические коэффициенты в ковалентных полупроводниках [2]. Однако в работе [2] расчеты проведены только для случая резонансного рассеяния, но в то же время электроны взаимодействуют и с акустическими фононами, причем почти упруго, вплоть до очень низких температур (hello_html_6f25ed19.gif) (за исключением сверхчистых монокристаллов алмаза [3]) и поэтому в действительности необходимо рассматривать одновременно два механизма рас- сеяния. Учет рассеяния носителей на высоковозбужденных акустических фононах позволял бы корректно осуществлять формальные процедуры получения (в методическом отношении) за- висимостей типа hello_html_7bab6cfa.gif и анализировать влияние слабого магнитного поля ( как впрочем и других факторов) на параметры резонансного рассеяния, что затруднительно провести на основе результатов работы [2].

В работе [4] показано насколько существенно могут отличаться при резонансном рассеянии число Лоренца hello_html_m27cfea32.gif и фактор Холла hello_html_m7956d9c2.gif в сильно вырожденных полупроводниках от универсаль- ных постоянных hello_html_5a7de4e0.gif и 1 соответственно. Соответствующие интегралы hello_html_m424a065e.gif вычислялись чис- ленно. В работе [5] в рамках двухзонной модели проведены расчеты концентрационных за- висимостей кинетических коэффициентов для PbTeNa + Te › в диапазоне hello_html_m59d08633.gif. Рас- четы hello_html_m424a065e.gif с учетом межзонных переходов рассмотрены в работах [5-7]. В работе [6] для hello_html_m424a065e.gif полу- чены явные аналитические формулы.

Следует также отметить работу [8], где уточняется энергия примесных резонансных состо- яний с использованием скорректированного фактора Холла.

В [9] отмечается положительная корреляция между переходом в сверхпроводящее состо- яние и резонансным рассеянием, причем природа положительной корреляции до сих пор не- выяснена.

В предлагаемой работе в рамках простой модели изучается влияние резонансного рассеяния на кинетические эффекты в предельно слабом hello_html_m31ad0622.gifполе, и выводятся соответствующие форму- лы для кинетических коэффициентов.

Для достижения этой цели с помощью вспомогательной процедуры выводятся формулы в первом приближении. На основе качественного анализа полученных формул вскрывается спе-цифика резонансного рассеяния. Наличие поля учитывается во втором приближении, причем по развиваемому подходу автора, посредством замены hello_html_m5d7e16b9.gifв исходных формулах пер- вого приближения: (посредством hello_html_m2fd2630d.gif).

  1. Электропроводность и подвижность

При высоких температурах подвижность носителей заряда обусловлена взаимодействием электрона (дырки) проводимости с акустическими колебаниями решетки. Длину свободного пробега электрона в этом случае можно аппроксимировать формулой

hello_html_4a09ca66.gif.

Здесь hello_html_m1e831b55.gifпостоянная определяемая тепловыми флуктуациями решетки, где hello_html_m2a441d57.gifэнергия порядка атомной (или несколько больше), hello_html_8a328d.gif постоянна решетки (hello_html_7f839c6a.gif). Следует отметить, что hello_html_m62170625.gif от кинетической энергии hello_html_5cbea12b.gif электрона не зависит. Полагая hello_html_4839e04c.gif и hello_html_m24076941.gif, получим hello_html_568bf404.gif.

Длина свободного пробега, связанного с резонансным рассеянием, равна

hello_html_4b2b86c4.gif,

где hello_html_635d2a8c.gifконцентрация рассеивающих центров, hello_html_61233774.gifсечение hello_html_m6ecdaad5.gifрассеяния [1], hello_html_659ab891.gifэнергия связи hello_html_m3c2662be.gifцентра (резонансный уровень). Простые расчеты показывают, что (hello_html_m6564ac4f.gif) порядка мэВ [2]. Полагая, к примеру hello_html_m13635be0.gif (hello_html_7067606b.gif) находим, что hello_html_m158f89be.gif на два порядка превышает hello_html_m416a986b.gif уже при комнатных температурах (см. приложение 1.1).

Таким образом, есть основание полагать, что при низких температурах влияние резонанс- ного рассеяния может стать более существенным, чем рассеяние на акустических фононах.

Предполагая независимость обоих механизмов рассеяния, имеем

hello_html_b2ad0b8.gif, hello_html_m48dd3e6b.gif , (1)

где hello_html_2ae05f75.gifhello_html_77a24d9f.gif и hello_html_m5b341c4e.gif

Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статис- тике 1 (невырожденный газ невзаимодействующих между собой электронов), равна

hello_html_m1c3d3233.gif , (2)

где hello_html_m57ecb7e5.gifконцентрация носителей в зоне проводимости: hello_html_m93c19c8.gif.

Взяв квадратуру с учетом (1), находим

hello_html_m51fdb649.gif, (3)

где hello_html_m5efd1c9f.gif, а hello_html_m2dc5b9be.gif.

Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для hello_html_m6e69b8c8.gifможно показать, что [10]

hello_html_6292aac8.gif (hello_html_m7ab9db6e.gif), (4)

hello_html_571930ee.gif (hello_html_m61c0212d.gif). (5)

Для того чтобы исследовать поведение проводимости hello_html_22b9a2dd.gif и подвижности hello_html_m6fd18282.gifhello_html_450cc694.gif при раз- личных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависимость числа нейтральных ато- мов примеси от температуры. Если быть последовательным, то при этом надо было бы учиты- вать рассеяние на hello_html_m3cefd7ec.gif ионах примеси. Однако в большинстве полупроводников (кроме может быть Ge [2]) энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при низких тем- пературах столь мало, что они не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на длину сво- бодного пробега носителей заряда, так что в актуальном диапазоне температур hello_html_m47ef9aaf.gif мож- но положить hello_html_m33cd5189.gif полной концентрации примесных центров.

При hello_html_28bab5c7.gif (т.е.hello_html_66ad2542.gif) или высоких температурах hello_html_m5ed78663.gif, из (3) и (5) получим обыч- ный результат:hello_html_1d00e069.gif [11, стр. 83]. При очень низких температурах (hello_html_m7ab9db6e.gif), в пределах актуального интервала hello_html_m47ef9aaf.gif, из (3) и (4) получим (дополнительно см. приложение 1.2)


hello_html_5500edef.gif (6)


т.е. hello_html_m36ed183e.gif и hello_html_m4cce5430.gif.

hello_html_440069f7.png

Из рис.1 видно, что теоретическая кривая качественно верно передает ход эксперименталь- ных точек в окрестности hello_html_m7ca6fbbd.gif. Относительно слабый спад подвижности указывает на наличие резонансного рассеяния.

Качественное соответствие с данными эксперимента позволяют рассматривать hello_html_m3c2662be.gif центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей заряда. В этом смысле формулы (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников Si, Ge, AIIIBV [2].

Заметим, что разложения (4) и (5) не охватывают (теоретически) промежуточную область hello_html_m447dc217.gif, где рассеяние на заряженных (и других) центрах может быть существенным [13].


2. Теплопроводность и термоэлектродвижущая сила

В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу о том, что и процессы переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это предположение тре- бует соответствующего математического обоснования.

Для расчета электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой

hello_html_m5bed710d.gif, (7)

где hello_html_6b14320c.gifкоэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл:

hello_html_11b58730.gif. (8)

Здесь hello_html_m41034b51.gifэффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсииhello_html_m1819d146.gif определяется по формуле

hello_html_725a1a3b.gif. (9)

Подставляя в (7) hello_html_14cbf45e.gif с учетом формул (1) и (9), получим

hello_html_m316a2ff0.gif, hello_html_43d3e3b7.gif. (10)

Интегралы hello_html_m424a065e.gif выражаются через функциюhello_html_m1b9ef387.gif:

hello_html_m1e6a2236.gif

Аккуратный расчет на основе разложения (4) приводит в этом случае к формуле

hello_html_279bd16.gif. (11)

Видно, что электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональная hello_html_24a67842.gif и hello_html_m7cfe08be.gif что вполне естественно в области примесной проводимости: hello_html_m59ae7f45.gif. В отличие от вырожденных носителей в данном слу- чае число Лоренца hello_html_m759f298d.gif не отклоняется сколько-либо заметно от универсальных постоянных. Это связано с тем, что резонансное рассеяние в вырожденных полупроводниках имеет ярко выра- женный селективный характер: интенсивно рассеиваются только те носители (дырки), энергии которых лежат в пределах тонкого слоя hello_html_196feb17.gif. Это и проявляется на поведении hello_html_m759f298d.gif в виде харак- терных максимумов [4]. Напротив, в невырожденных резонансное рассеяние изотропно: рас- сеиваются все носители с энергиями hello_html_73c92e81.gif2. Сильное резонансное рассеяние носителей вблизи hello_html_m21144711.gif уровня Ферми в пределах слоя размытия и вследствие этого резкая зависимость hello_html_m7b7e54a3.gif от энергии усложняет вычисление кинетических коэффициентов. Выбор параметров (hello_html_4c6e1f81.gif) необходимых для расчета hello_html_m424a065e.gif, осуществляется только на основе текущих экспериментальных данных [8]! Привлекает получение аналитической формулы дляhello_html_m424a065e.gif. Трудность получения анали- тической формулы заключается в том, что функциюhello_html_78166885.gif нельзя разлагать в ряд Тейлора в окрестности уровня Ферми hello_html_73c92e81.gif. При невырожденных носителях подобное разложение было бы допустимо, и мы получили бы в принципе формулу (9) (так поступают, например, в теории колебаний, когда хотят получить формулу для периода малых колебаний механических систем, ограничиваясь квадратичным членом). Математическое требование сводится к тому, чтобы соблюдалась квадратичность спектра, тогда как формула Брейта-Вигнера для hello_html_m621d4e58.gif- ширины при- месной полосы не предполагает квадратичности.

В некоторых случаях всё же удаётся получить аналитическую формулу (для электропровод- ности, на основе уравнения электронейтральности) [14].

Таким образом, мы можем лишь констатировать, что резонансное рассеяние носителей в вырожденных полупроводниках имеет более специфичный и нетривиальный характер, нежели в невырожденных.

Отметим, что линейный закон возрастания электронной теплопроводности (hello_html_627b97c3.gif) [15, стр. 331] в диапазоне hello_html_53db25c4.gifсоответствует более быстрому росту (спаду) последней, чем это было бы при наличии резонансного рассеяния:

hello_html_m6214704f.gif ( рис. 2).

hello_html_51e9497e.png

Этот факт легко понять, если воспользоваться аналогией с «квазистационарными» состояни- ями. При резонансном рассеянии электрон не просто «натыкается» на примесь или «задевает» ее, но задерживается около нее на некоторое время. Уменьшение средней длины свободного пробега hello_html_m60165936.gif из-за задержки эквивалентно некоторому приросту примесного теплосопротив- ления (в расчете на единицу объема). При линейном законе спада мы имели бы соответственно более низкий прирост теплосопротивления.

Выведем формулу для hello_html_66b0d624.gifприменяя стандартную методику усреднения по энергиям.

Как известно для тепловых электронов:

hello_html_m66ccf64f.gifhello_html_md7575c2.gifhello_html_41cce987.gif . (12)

Подставляя сюда функцию hello_html_m54fc7fab.gif из (1) получим

hello_html_m7fa86585.gif. (13)

Интеграл в (13) выражается через интеграл ошибок:

hello_html_m4f01b9cf.gifhello_html_2b6552cc.gif. (14)

Для hello_html_m7ab9db6e.gif имеет место асимптотическое разложение:

hello_html_m39291388.gif . (15)

Подставляя разложение (15) в (14) после соответствующих вычислений получим

hello_html_810dc9d.gifhello_html_bc0f483.gif. (16)

Из (13) и (16) находим

hello_html_m41647544.gifhello_html_59efb66f.gif. (17)

Формула (17) позволяет оценит различные параметры: сечение рассеяния, среднее время пробега (квазизадержки).

Следует отметит, что теоретическая формула (7) получается в результате совместного реше- ния уравнений переноса энергии и заряда, так как в гамильтониане теории как известно отсутствует член, соответствующий электронной теплопроводности.

Для оценки термо-э.д.с. при преобладании резонансного рассеяния носителей примем, что hello_html_294454e0.gif, hello_html_226ab307.gif и hello_html_7b7b84a7.gif (что соответствует hello_html_m54f6de5.gif), используя асимптотику кинетических коэффициентов hello_html_md98c839.gif и hello_html_4f4426a6.gif при hello_html_m3ff6967f.gif получим hello_html_m33d7d1df.gif, что в три раза меньше термо-э.д.с. при рассеянии на ионах примеси (hello_html_7ebbd531.gif). Как и следовало ожидать, термосопро-

тивление при резонансном рассеянии оказалось больше, нежели при рассеянии на ионах приме- си. Учитывая на самом деле достаточно сложный характер зависимости hello_html_4f1308d1.gif в более широком интервале температур можно заключить, что hello_html_4f1308d1.gif слабо меняется в диапазоне hello_html_m826452e.gif. При температурах hello_html_m2d7e0583.gif носители преимущественно рассеиваются на тепловых колебаниях решетки вплоть до комнатных температур. Это оправдывает формулу (1), являющуюся цен-тральной (в нашем случае) при вычислении кинетических коэффициентов.

Таким образом, формулы (6), (11) и (17) представляют первое приближение (так называ- емую hello_html_3c8f4f4b.gif- аппроксимацию).

  1. Эффект Холла и магнетосопротивление

Для определения холловской подвижности hello_html_m7f8968c3.gif на опыте обычно измеряют, помимо удель- ной электропроводности hello_html_22b9a2dd.gif, постоянную Холлаhello_html_f8be07c.gif. Если имеются носители заряда только одного знака, и они подчиняются классической статистике, то произведение hello_html_m1e44a937.gif(hello_html_m4678c040.gif)

hello_html_3f620cdc.gif . (18)

Подставляя сюда hello_html_m54fc7fab.gif из (1), получим

hello_html_3b893260.gif . (19)

Интеграл знаменателя совпадает с интегралом в (2). Интеграл числителя равен

hello_html_63eb962b.gif , (20)

где

hello_html_m243b6198.gif.

Из (19), (3) и (20) получим

hello_html_4e375e4.gif. (21)

Для определения поведения hello_html_m63f94460.gif при низких температурах подставим разложения (4) и (15) в (21) (см. приложение 3.1)

hello_html_bf6f85c.gif, hello_html_m6bae5013.gif. (22)

Если известны hello_html_4e60bc9f.gif и hello_html_61a2f136.gif, то отсюда можно оценить hello_html_24a67842.gif.

Из (21) видно, что при hello_html_123b67da.gif (hello_html_m1d90fb88.gif), hello_html_769aa642.gif. При высоких температурах hello_html_544e9135.gif, поэтому также hello_html_5ce03d86.gif.

Применение разложений (4) и (15) (с учетом (17)) дает для поперечного магнетосопротив- ления (hello_html_1ed4ea66.gif) оценку (см. приложение 3.2) (по Эргинсою данный эффект отсутствует, так как если hello_html_3ab35e55.gif, тоhello_html_78c6808d.gif)


hello_html_6d842e38.gif. (23)


Здесь hello_html_7e4298ab.gifциклотронная частота, соответствующая эффективной массе на дне зоны прово- димости. Отсюда видно, что магнетосопротивление по асимптотике является эффектом «второ- го порядка» (hello_html_m4e68452c.gif) по сравнению с подвижностью, теплопроводностью и эффектом Холла.

Величину hello_html_4817c72a.gif можно интерпретировать как среднюю кинетическую энергию носителей, отклоненных в магнитном поле на фоне неупорядоченно расположенных hello_html_m3c2662be.gif центров. В промежутках между актами рассеяния частица движется под действием поля. Прежде чем рассеяться, частица проходит малую часть орбиты. Почти прямая линия между двумя центрами является очень малой частью орбиты. Двигаясь вдоль этой «линии» носитель приобретает относительно «точки наблюдения» на оси постоянного вектора hello_html_m106a6e00.gif кратковременный момент импульсаhello_html_m5b63b54e.gif(hello_html_253c27c3.gifциклотронная скорость), при- чем hello_html_m621ea388.gif является «радиусом кривизны» (hello_html_12b2b389.gif, hello_html_m39117452.gif радиус циклотронной орбиты).

При достаточно низких температурах hello_html_m11f04625.gif вполне является интегралом движения.

Как видно из (23) тепловое движение стремится стряхнуть частицу с орбиты. Критерий устойчивости на мгновенной орбите: hello_html_m38590341.gif, hello_html_5abe371a.gif.

К сожалению, неупорядоченность hello_html_m3c2662be.gifцентров не позволяет, представит их поле в виде периодической функции (теорема Фурье). Концентрация примесей hello_html_761f0e4.gif считается малой, т.е. одновременное рассеяние носителей на двух и более центрах не учитывается, что соответ- ствует обычному газовому приближению [12, 15, 16].

Следует указать на то, чтоhello_html_m4fe0e333.gif, и никакого «выигрыша», на первый взгляд, резонанс- ное рассеяние в среднем не получает (hello_html_m60b4464b.gif). Однако из-за «укорочения» hello_html_6e97c844.gif (вдоль hello_html_58b75764.gif) между актами рассеяния, hello_html_m60f9015a.gif (поперечник) как-бы получает (в квазиклассическом смысле 3 ) некоторое hello_html_m4e34ad33.gif малое (виртуальное) приращение, причем в качестве параметра малости выступает множитель hello_html_m2467a572.gif (см. приложение 3.3).

  1. Учет «рассеивающего» влияния hello_html_m31ad0622.gifполя

На основе формулы для магнетосечения hello_html_m5bd91b8.gif, где hello_html_m69edabc9.gif,

hello_html_43908f18.gif (см. приложение 3.3), можно сравнительно легко проанализировать влияние поля на тепло- и электропроводность. Качественно ясно, что оба типа проводимостей должны умень- шиться из-за укорочения hello_html_6e97c844.gif:

hello_html_64c9f211.gif, hello_html_m365627af.gif.

Из этой оценки нетрудно понять, что «точные» формулы для hello_html_47e6297.gifи hello_html_m7fe37ee0.gif должны иметь вид (в рамках правомерности формул (6) и (11))

hello_html_4d156153.gif, hello_html_m727f2e9c.gif. (24)

Следовательно, суперслабое магнитное поле не «возмущает» число Лоренца: hello_html_m6a52f351.gif.

Закон Видемана-Франца выполняется с достаточным запасом точности. Факт уменьшения hello_html_m38af86ee.gif и hello_html_4ab42f67.gif (в среднестатистическом аспекте) можно также выразит в терминах укорочения средней длины свободного пробега

hello_html_m40638cb2.gif

hello_html_m60f8331b.gif, hello_html_69c16eb.gif, (25)

где hello_html_m3ad457fe.gif задаётся формулой (17). Общая картина представлена на рис. 3.

hello_html_m4019b263.png


Зависимость (25) налагает ограничение на hello_html_m3ad457fe.gif: hello_html_3c60d455.gif. Вне предела hello_html_m6d703451.gifhello_html_277bf5e9.gifаппроксимация неправомерна (hello_html_27771a60.gif температура, соответствую-щая поперечному отклонению носителей, при которой «магнитный момент» орбиты hello_html_m7e12d6b7.gif

hello_html_21963b72.gif, hello_html_65c67db0.gif (рис.3)). Предельное значение поля hello_html_5ecfeeda.gif, (hello_html_m4077149a.gif).

На основании (24) и (25) можно сформулировать правило:

пусть известно усредненное сечение рассеяния электрона на hello_html_m3c2662be.gifцентре в отсутствие магнитного поля; сечение рассеяния в суперслабом магнитном поле hello_html_4a0bb81b.gifбудет таким же, как и сечение без поля но с поправкой hello_html_m2467a572.gif.

Влияние слабого поля на hello_html_7a00ba7d.gif определяется зависимостью (9), из которой после усреднения следует hello_html_7bc82820.gif, т.е. время свободного пробега для «медленных» электронов больше чем для «быстрых», а это значит что hello_html_m4a67bd03.gif.

Отметим, что если использовать стандартные методы расчета [11, 15] то объем различных вычислений возрос бы, а результаты были - бы почти те же. В этом основное преимущество данного подхода – учет влияния слабого магнитного поля осуществляется на основе замены hello_html_m2c994ea8.gif (образно гибридное сечение). Исходя из такого квазиклассического «расшире- ния» можно в принципе рассчитать всевозможные кинетические эффекты в слабом hello_html_m31ad0622.gifполе, число которых велико, при этом важно придерживаться схемеhello_html_3c8f4f4b.gif–аппроксимации (при одном превалирующем механизме рассеяния из двух).

Замена hello_html_m2c994ea8.gif не претендует на числовой множитель приhello_html_m68d20046.gif для hello_html_4ab42f67.gif, так как данная замена предполагает суперслабое поле и отражает лишь уменьшениеhello_html_4ab42f67.gif. В случае hello_html_m38af86ee.gifстандартный метод и hello_html_m2c994ea8.gif приводят к одному и тому же числовому множите- лю [11, стр. 96].

  1. Электропроводность тонких полупроводников

Если травлением или протяжкой уменьшить диаметр полупроводника hello_html_2d2cdd10.gif до такой степени, что hello_html_m667bc3bc.gif, то значительная часть электронов проводимости будет рассеиваться на поверхности. Отсюда следует, что поверхностное рассеяние будет существенной добавкой к объемным эф- фектам. Для полупроводников в отличие от металлов поверхностное рассеяние носит сугубо упругий характер: hello_html_14f27728.gif, hello_html_m22833be9.gif, т.е. электроны не чувствуют «интерферен-ционную» структуру поверхности. Получение соответствующих формул требует решения кине- тического уравнения Больцмана с подходящими граничными условиями на поверхности [16, стр. 210]. Наибольший практический интерес может представит формула [15, стр. 261] (hello_html_m20777a4.gif)

hello_html_34d66fb9.gif , hello_html_5822336a.gif , (26)

где hello_html_24f394be.gifобъемное сопротивление, hello_html_5d29a2ec.gif определяется выражением (6).

Подставляя в (26) формулу (17) получаем (для оценки:hello_html_m34151c4.gif, hello_html_1aa4feb4.gif)

hello_html_2c4971db.gif, hello_html_m2af2ca8f.gif . (27)

Как следует из числового интервала hello_html_3179f8c5.gif электроны не чувствуют наличие нейтральной при- меси вообще не говоря уже о hello_html_m3c2662be.gifцентрах. Поверхностное рассеяние затушевывает оста- точное примесное рассеяние: hello_html_75940433.gifhello_html_380e29e9.gif (см. приложение 1.1). В этом смысле можно сказать, что ковалентный кристалл ведет себя как квазиидеальный. Вопреки традицион- ному воззрению, что нейтральные примеси ответственны за остаточное сопротивление, полученный результат показывает, что это не всегда так: электрофизика образца во многом регламентируется именно тем, в каком отношении соотносятся диаметр hello_html_2d2cdd10.gif и средняя длина свободного пробега электронов hello_html_5b7bade3.gif, кроме того увеличение концентрации носителей, за счет фотовозбуждения hello_html_m3c2662be.gifцентров, может привести к уменьшению поверхностного рассеяния и проявлению других механизмов рассеяния.

По-видимому также обстоит ситуация и в случае обычного нерезонансного рассеяния носи- телей заряда на глубоких нейтральных примесях [13].

Выводы

Основное содержание настоящей работы можно свести к формулам (6), (11), (17), (22)-(25) и (27) которые имеют прямой физический смысл, раскрывая специфику резонансного рассеяния, которые необходимы для осмысленного изучения поведения температурных зависимостей различных кинетических коэффициентов при низких температурах и суперслабых hello_html_m31ad0622.gifполях.

Полученные формулы дают право, критически оспорит формулу Эргинсоя, согласно кото- рой подвижность носителей заряда в интервале hello_html_m41d57e7e.gifне зависит от температуры. Ведь совершенно ясно, что подвижностьhello_html_m239ad1d5.gif в отличие от термо-э.д.с. hello_html_m71e47aba.gif весьма чувствительна к тем- пературе. Формула Эргинсоя носит эмпирический характер и её нельзя конечно воспринимать буквально. На наш взгляд резонансное рассеяние на нейтральных примесях более физично во многих отношениях, что подтверждается конкретными числовыми оценками.

При высоких и низких температурах hello_html_3c883e5c.gif пропорционально hello_html_m6fd18282.gif и имеет различную темпера- турную зависимость. Если откладывать на графике зависимость hello_html_m1248366a.gif от hello_html_m6f997359.gif, то при высоких и низких температурах получаются прямые с угловыми коэффициентами hello_html_m2557573d.gif и hello_html_38aaa35c.gif. Для определения hello_html_477879f9.gifтемпературы перехода от одной температурной зависимости к другой, необ- ходимо, строго говоря, решить сложное трансцендентное уравнение. Для оценки hello_html_m27fff63c.gif положим

hello_html_m42bcbe7a.gifи hello_html_m26360e0c.gif; тогда

hello_html_m642b51e3.gif.

Необходимо различать два крайних случая. Если hello_html_m5ccef3f1.gif, то легко показать,

hello_html_m4db0f9a2.gif. (28)

В противоположном случае, когда hello_html_m93c5990.gif,

hello_html_62fc5344.gif. (29)

Когда hello_html_m72024aa9.gif, то по порядку величины приложим критерий (28), как это видно из критерия (29).

Выше мы оценили hello_html_mcb1e657.gif и hello_html_7fbbcaaf.gif. Таким образом hello_html_46b6e9f8.gifhello_html_m79ae038.gif(hello_html_3268d332.gif)hello_html_7ea52d6d.gif. Во всяком случае, мы можем отсюда предполо- жительно заключить, что переход может наблюдаться и при более высоких температурах в за-висимости от степени легирования.

Легко показать, что если в более общем случае hello_html_47d3bb3d.gif, то при низких температурах, когда можно пренебречь решеточным сопротивлением, hello_html_6db0f5d1.gif по-прежнему пропорционально hello_html_m1ac64541.gif.

При не слишком слабых полях (hello_html_m198e659a.gif) (когда разложение hello_html_m41c43624.gif не вполне право-мерно, например, вблизи значений 200 Э) hello_html_m5956668f.gif,

hello_html_m36f9e4f1.gif, hello_html_m6d0d71cb.gifhello_html_79b7babc.gif. (30)

Наличие максимума радикально отличается от случая hello_html_454f242e.gif [2].

Формулы (30) практически совпадают с формулами, полученными в работе [12], при этом hello_html_m5c75d8f4.gifрезонансно возрастает как hello_html_m2d67b72b.gif(рис. 1).

При очень низких температурах при наличии суперслабых hello_html_m31ad0622.gifполей реализуются весьма благоприятные условия для повышения эффективности термопар (из-за квазипостоянства hello_html_m43f664eb.gif) [14]

hello_html_m35d9e9cc.gif.

На основе (17) нетрудно оценить величину поля необходимую для туннелирования носи-телей. Для оценки hello_html_m50b97667.gif положим hello_html_m6a7bc767.gif; тогда

hello_html_m691d4032.gif.

Полученное значение напряженности соответствует области суперслабых полей. Коэффици-ент «просачивания» при этом практически равен единице. Так что говорит о наличии какого-либо потенциального барьера (ямы) при резонансном рассеянии особо не приходиться, и он

имеет в этом случае скорее формальный, нежели реальный смысл. Эффект «задержки» (аналог эффекта Рамзауэра) здесь выражается в том, что медленный электрон начинает при этом слегка спотыкаться, что качественно отражено на графиках (1) и (2).

Критически оценивая формулы (27) можно прийти к выводу, что джоулевы потери могут происходит только на поверхности, но тогда поверхностное рассеяние носителей не будет «абсолютно упругим» оно будет скорей квазиупругим (носители как-бы прилипают на короткое время к поверхности полупроводника).

Приложение 1.1

При высоких температурах hello_html_5785be32.gif: hello_html_m2b40ee2c.gif, hello_html_m1bc61f4d.gif, а се- чение hello_html_1a109cca.gif может проявиться лишь как одиночный «всплеск» на фоне акустического рас- сеяния, но так как число резонирующих носителей исчезающе мало, то резонансное рассеяние весьма маловероятно 2.

При низких температурах hello_html_4af395a1.gif, hello_html_m300e2b82.gif; число фононов: hello_html_m5548f547.gif, (hello_html_m62fa5bec.gifтемпература Дебая, hello_html_fe498f4.gifчисло атомов);

hello_html_m4538a732.gifhello_html_m683a631e.gif, hello_html_m1ebba05d.gif,

(hello_html_73687d94.gifскорость звука). Для точечных дефектов и примесных атомов (по Эргинсою) hello_html_787bf64a.gif,

hello_html_187b650a.gif. Кулоновское сечение: hello_html_m1ecd898a.gif, hello_html_2f8a34f1.gif.

Следовательно, резонансное рассеяние в указанном интервале полностью доминирует (рис. 4), причем вблизи 4 K длинноволновое фононное рассеяние сменяется резонансным.

hello_html_m793a02d.png

Приложение 1.2


При сильных магнитных полях отношение предельных значений электропроводности равно

hello_html_m14c62bf8.gif.

Первый интеграл hello_html_59455c1b.gif имеет классическую асимптотику hello_html_mbb73101.gif, второй равен hello_html_4e524593.gif

hello_html_4798ee7c.gif и имеет классическую асимптотику hello_html_m469deaa.gif. В результате имеем hello_html_26421474.gif в полном соответствии с результатом Давыдова-Шмушкевича [11, стр. 105]. В данном случае асимптотика hello_html_26421474.gif означает, что в пределе классически сильного магнитного поля, рассеяние носителя на атоме примеси, аналогично рассеянию последнего на высоковозбужденном акустическом фононе. При такой трактовке мы приходим к независимости hello_html_1ef3cfea.gif от скорости. К этому же выводу можно прийти и на основе теории Дебая [15].

Вывод справедлив и при произвольном hello_html_347a232a.gif.

Приложение 3.1


hello_html_m305b0c3e.gif


hello_html_m51fac057.gif.

Приложение 3.2

Общая теоретическая формула:

hello_html_6c68496a.gif

hello_html_m7befd7ac.gif.

Здесь hello_html_7dc05579.gif, а функция

hello_html_1aa5607a.gif определена интегралом (20). Из исходной формулы видно, что при hello_html_123b67da.gif (hello_html_m1d90fb88.gif) , hello_html_d0d2013.gif, hello_html_m365627af.gif.

При низких температурах на основе разложения (4) имеем

hello_html_6652cdc5.gif

hello_html_ma70d7f9.gif


hello_html_1c9fdb15.gif

hello_html_m1a9857ce.gif

hello_html_m5d210135.gif ,

кроме того

hello_html_m23ca7971.gif .


Следовательно

hello_html_45f50837.gif

hello_html_5ca0a33c.gif, т.е. получаем формулу (23), являющуюся свя-зующим звеном между первым и вторым приближением (hello_html_m4e68452c.gif).

Результат (23) требует качественного разъяснения: в актуальной области подавляющее большинство носителей (которые резонируют) лишь в среднем имеют энергию hello_html_3d6acbba.gifhello_html_3b181316.gifhello_html_24a67842.gif, и для них hello_html_1ef3cfea.gif не «укорачивается». Но носители с энергией меньше средней (hello_html_32a020a7.gif) будут от- клоняться в сторону «электрической» силы, а носители с энергией (hello_html_m77659605.gif) – в противо- положную сторону (рис.3). И для тех и для других hello_html_1ef3cfea.gif уменьшится, при этом число отклоняю- щихся носителей ничтожно мало: hello_html_m792c0995.gifhello_html_1fd768be.gifhello_html_73fbea77.gif, откуда следует что hello_html_255ee73e.gif.

Приложение 3.3

Усреднение сечения резонансного рассеяния 3


hello_html_m5e0c4315.gifhello_html_m75230961.gif


hello_html_1f0c3b15.gif.

В актуальном диапазоне:


hello_html_1ee1abdc.gif, hello_html_m1de1bd31.gif, hello_html_m4d204d39.gif, hello_html_m3571aaf0.gif,

hello_html_m39ba8f21.gif, hello_html_m368fb494.gif,

но hello_html_m44342519.gif, только поэтому hello_html_m18946675.gif,

тогда

hello_html_m3ba3c253.gif, hello_html_m365627af.gif.

Как видно из асимптотической оценки при очень низких температурах тепловой разброс не существенен для статистического сечения резонансного рассеяния. Среднее сечение рассеяния определяется только одним единственным параметром hello_html_24a67842.gif (hello_html_m3c2662be.gifцентра) и hello_html_m50317352.gif(носителя) (при этом нет необходимости, чтобы hello_html_5cbea12b.gif было близко к hello_html_24a67842.gif2 ). Однако тепловой разброс сущес- твенен при наличии поля! Существенно, что приращение сечения квадратично по полю.

В формуле для hello_html_17067f78.gif отражено результирующее влияние магнитного поля и «поля» hello_html_m3c2662be.gifцентра. Область в окрестности центра как-бы слегка набухает, радиус действия его «потенциала» слегка возрастает. Другими словами влияние слабого hello_html_m31ad0622.gifполя на резонансное рассеяние (как впрочем, и на другие механизмы рассеяния) эквивалентно (при нашем подходе) квазилокальному «растяжению» (hello_html_m4109d105.gif) поперечника центра. Растяжение поперечника лимитировано сменой температурной зависимости. Во избежание «дифракции» должно соблю- даться условие hello_html_25a0c42.gif, которое, как правило, хорошо соблюдается в суперслабых полях.

Рассеивающее действие hello_html_m31ad0622.gifполя наиболее эффективно на границе центра. В соответствии с «гипотезой локального равновесия», которое налагает, ограничение на hello_html_m3ba7abe5.gif, а именно hello_html_m2864c4d1.gif, мы предполагаем, что изменением температуры в hello_html_m6a3a1f26.gif – окрестности центра можно пренебречь.

Относительная доля носителей, преодолевающих заслон, пренебрежимо мало: hello_html_634fe352.gif, hello_html_m2a2aa5e2.gif, (hello_html_m448432c3.gif – угол отклонения) так что подавляющее большинство носителей интенсивно рассеиваются и в формулах кинетических коэффициентов не надо вводить попра- вок на hello_html_7382c650.gif (hello_html_m50087b1.gif).

Как видно, формула для сечения формально сходна с формулой Сезерленда для газокине- тического сечения рассеяния частиц.

Таким образом, магнитное поле столь слабоhello_html_165385a6.gif, что оно лишь слегка искривляет траек- торию носителей между актами рассеяния, между тем как можно не учитывать его влияние на специфику рассеяния: hello_html_35b8fa26.gif.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2001, Т-3, 803 с.

2. Имамов Э.З., Колчанова Н.М., Крещук Л.Н., Яссиевич И.Н. Роль рассеяния на мелких

нейтральных центрах в кинетических явлениях при низкой температуре // ФТТ, 1985, Т.

27, № 1, С. 69-76.

3. Батурин А.С., Горелкин В.Н., Соловьев В.Р., Черноусов И.В. Расчет подвижности

носителей заряда в алмазе при низких температурах // ФТП, 2010, Т. 44, вып. 7, С. 897 901.

4. Прокофьева Л.В., Шабалдин А.А., Корчагин В.А., Немов С.А., Равич Ю.И.

Число Лоренца и фактор Холла в вырожденных полупроводниках при резонансном

рассеянии носителей тока // ФТП, 2008, Т. 42, вып. 10, С. 1180 -1189.

5. Прокофьева Л.В., Пшенай-Северин Д.А., Константинов П.П., Шабалдин А.А.

Электронный спектр и рассеяние носителей тока в PbTeNa +Te› // ФТП, 2009, Т. 43,

вып. 9, С. 1195 -1198.

6. Коломоец Н.В. Влияние межзонных переходов на термоэлектрические свойства

вещества // ФТТ, 1966, Т. 8, № 4, С. 999-1003.

7. Пшенай-Северин Д.А., Федоров М.И. Влияние межзонного рассеяния на

термоэлектрические свойства полупроводников и полуметаллов // ФТТ, 2010, Т. 52, №

7, С. 1257-1261.

8. Немов С.А., Равич Ю.И., Корчагин В.И. Энергия примесных резонансных состояний в теллуриде свинца с различным содержанием примеси таллия // ФТП, 2011, Т. 45, вып.6, С. 740-742.

9. Немов С.А., Осипов П.А., Прошин В.И., Парфеньев Р.В., Шамшур Д.В., Шайнова Н.П.

Сверхпроводимость сплавов Sn 0.62 Pb 0.33 Ge 0.05 Te // ФТТ, 2000, Т. 42, № 7, С. 1180 -

1182.

10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977, 344 с.

11. Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. Л.: Наука, 1970, 302 с.

12. Андреев С.П., Павлова Т.В., Небогатов В.А. Уширение кривой классического

циклотронного резонанса нейтральными примесями в двух- и трёхмерных

полупроводниках // Труды Научной Сессии НИЯУ МИФИ - 2010, Т. III, Современные

проблемы физики конденсированного состояния, С.89 -92.

13. Петрикова Е.А., Симакин М.В. Рассеяние носителей заряда на глубоких нейтральных

центрах в высокоомных кристаллах арсенида галлия // Вестн. ЕНУ им. Л. Н. Гумилева,

2010, № 6, С. 136 -138.

14. Кайданов В.И., Немов С.А., Равич Ю.И. Резонансное рассеяние носителей тока в

полупроводниках типа АIVBVI // ФТП, 1992, Т. 26, вып. 2, С. 201 - 222.

15. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971, 472 с.

16. Фикс В.Б. Ионная проводимость в металлах и полупроводниках. М.: Наука, 1969, 296 с.

17. Erginsoy C. Neutral Impurity Scattering Semiconductors // Phys. Rev., 1950, Vol. 79, No. 6, P.

1013 -1014.



1. Применимость классической статистики при преобладании hello_html_m6ecdaad5.gifприближения при низких температурах (hello_html_4390ceb8.gif) оправдано тем, что тепловое размытие hello_html_m3c2662be.gifцентров примерно на порядок и два меньше среднего расстояния между уровнями мелкого донора. 2. Во избежание недоразумений следует отметить, что и при более высоких температурах (hello_html_794fff34.gif) возможно резонансное рассеяние, поскольку носители лишь в среднем имеют энергию hello_html_m2d2a1d88.gif. В соответствии с распределением Максвелла имеется некоторая часть медленных носителей, которые все же резонируют даже при hello_html_74059871.gif и более высоких температурах. 3. После усреднения (пригодного для квазистационарного состояния) hello_html_5123fd85.gif приобретает классические черты, к которому тогда уже приемлемо квазиклассическое рассмотрение.



T.T. Muratov


FORMALISM «MAGNETO CROSS-SECTIONS» OF hello_html_m3c2662be.gifCENTERS AT RESONANCE SCATTERING OF CHARGED CARRIERS IN ANGENERATED SEMICONDUCTORS


The new approach to study of kinetic effects in covalent semiconductors is developed. On example of the calculation kinetic coefficients at resonance scattering are demonstrated some particularities of the proposed approach. It is studied influence limited weak magnetic field on kinetic effects. Unlike standard method, taking into account presence of the hello_html_m31ad0622.giffield in the nonequilibrium distribution function with the following reception sought formulas for kinetic coefficients, in proposed approach presence (the influence) of the weak hello_html_m31ad0622.giffield is fixed as local (virtual) incrementation of cross-section of the concrete scattering, in is given event resonance. Formal change: hello_html_57733b52.gif allows relatively easy to analyze the influence of the hello_html_m31ad0622.giffield on kinetic effects. It is shown that at presence of the hello_html_m31ad0622.giffield electronic conductivity reached the maximum near 1K in the range of fields of the order 100 Gauss.

Generality result is revealed in process of the calculation at any mechanism of the scattering. The main requirement is reduced to low-temperature asymptotics: hello_html_7d80e632.gif of concrete mechanism of the scattering was constant.

Keywords: kinetic coefficients, resonance scattering, hello_html_m3c2662be.gifсenters, classical weak and strong magnetic fields, magneto cross-section.


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 08.07.2016
Раздел Физика
Подраздел Статьи
Просмотров70
Номер материала ДБ-140009
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх