Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Физика / Статьи / Изучение механизмов рассеяния зарядов в полупроводниках
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Физика

Изучение механизмов рассеяния зарядов в полупроводниках

библиотека
материалов


УДК 537.311.33


Вклад резонансного рассеяния носителей заряда

в уширение кривой классического циклотронного резонанса в квазидвуХ - и трехмерных полупроводниках


Т.Т. Муратов1


Получены асимптотические формулы для уширения кривой поглощения классического циклотронного резонанса (ЦР) в условиях резонансного рассеяния электронов на атомах примеси. Расчеты проведены с учетом распределения Максвелла. Оценки показывают, что возможный резонансный уровень (~ 0,0067мэВ) в квазидвумерных полупроводниках на порядок и два меньше чем в объемных (порядка мэВ). Это указывает на то, что область преобладания резонансного рассеяния в квазидвумерных полупроводниках менее 0, 1 K. Зафиксировано температурное «плато» 10 ÷ 12 K в 2D спектре поглощения, соответствующее «области непрозрачности». Обсуждаются пре- делы применимости полученных результатов.

Ключевые слова: циклотронный резонанс; уширение; резонансное рассеяние; асимптотические формулы.


Введение

При очень низких (hello_html_m4697034b.gifK) температурах в полупроводниках часто реализуются условия, когда основным механизмом рассеяния свободных электронов (дырок) становится рассеяние на нейтральных атомах примеси. Мелкая примесь имеет целый спектр возбужденных hello_html_m14f28b9e.gifсостояний и если один отщепленный hello_html_m14f28b9e.gifуровень примыкает к дну зоны проводимости hello_html_28cda416.gif, то возможно резонансное рассеяние носителей тока [1]. В принципе, это позволяет заменить атом мелкой примеси некоторым модельным потенциалом. Для объёмных полупроводников таким модельным потенциалом может быть трехмерная прямоугольная потенциальная яма, для квазидвумерных – двумерная прямоугольная яма.

hello_html_m32d88f24.gifрезонансный уровень, локализованный вблизи hello_html_28cda416.gif, оказывает существенное влияние на процессы переноса энергии и заряда носителями при различных внешних условиях [2], например, при наличии слабого магнитного поля электронная проводимость невырожденного полупроводника достигает максимума (hello_html_2f82f7ff.gifK , hello_html_354ab26c.gif Э), причем слабое hello_html_m4e6aca7b.gifполе учитывается своеобразно – как приращение радиуса резонансного центра [3]. Подход, развитый в работе [3], в принципе позволяет исследовать влияние резонансного рассеяния носителей тока на электронные явления переноса и при условиях классического предела циклотронного резонанса (ЦР). Однако в работах [2 , 3] hello_html_m14f28b9e.gifрезонансный уровень строго фиксирован и имеет статичный характер, что затрудняет зондирование произвольных примесных глубин в условиях классического ЦР. Эта трудность устранена в работе [4], в которой получены формулы для полуширины кривой поглощения ЦР, причем они выражены через длину рассеяния и, следовательно, справедливы для произвольного потенциала примеси конечного радиуса действия. Формулы для времени релаксации также выражены через длины 2D- и 3D рассеяния.

В невырожденных полупроводниках длина волны электрона hello_html_m7530363.gif и при сверхнизких температурах существенны квантово-статистические поправки. В области температур, соответствующих резонансным глубинам примесного потенциала, можно ограничиться квазиклассическим рассмотрением (см. прим. 1), но и здесь следует учесть статистику. Дело в том, что время релаксации hello_html_m4bd40c4b.gif есть среднее время свободного пробега, т.е. время между двумя актами рассеяния. Оно определяется длиной свободного пробега и полной скоростью электрона, но не скоростью дрейфа в магнитном поле. Полная скорость зависит от hello_html_a5f0d11.gifкинетической энергии электрона. Тем самым hello_html_471e7c75.gif. Эта зависимость усложняется в том случае, когда длина свободного пробега также зависит от hello_html_5cbea12b.gif. Поэтому для нахождения hello_html_m3caaaa1b.gifуширения линии ЦР, как и множества других параметров, необходимо усреднять как hello_html_621b934d.gif, так и hello_html_m15df5d08.gif, а также и другие величины, с учетом функции распределения электронов по энергии. Однако в работе [4] время релаксации, а вслед за этим и полуширина линии поглощения hello_html_3e280990.gif, лишь оцениваются характерным параметром hello_html_642c6688.gif (hello_html_m381e9c62.gifэффективная масса электрона, hello_html_m1775d130.gifконстанта Больцмана). Такой подход, на наш взгляд, является не вполне корректным и требует проведения более детального расчета.

Как следует из классической статистики, нет необходимости, чтобы энергия электрона была близка к резонансному уровню модельного потенциала. Игнорирование этого факта [4] может привести к неточным выводам. Вывод о том, что hello_html_m69ab12f8.gif [4] сомнителен и требует тщательного анализа. Замена волнового числа тепловым параметром не позволяет учесть более быстрые и более медленные электроны, а ведь именно они формируют хвост распределения Максвелла в области очень низких и высоких температур. Представление о невзаимодействующих электронах также крайне упрощенное [4]. При таком подходе утрачивает сам смысл перераспределения энергии между степенями свободы при различных механизмах рассеяния носителей.

В предлагаемой работе производится расчет полуширины кривой поглощения при резонансном рассеянии электронов на нейтральных примесях в квазидвух - и трехмерных полупроводниках путем усреднения с максвелловским весом. Уточняются пределы применимости полученных формул. Частота внешнего электрического поля весьма близка к циклотронной частоте, так что влияние нейтральных примесей, ионов примеси и акустических фононов сводится, как правило, к нарушению (размытию) спектра поглощения, т.е. как если бы не было заряженных и нейтральных примесей, фононов и т.д., то и не было бы уширения. Ясно, что в рамках вычислений, проводимых с использованием формулы Эргинсоя [5], нельзя получить формулу для уширения кривой классического ЦР (hello_html_m4d26e68.gif ). Анализируются особенности в спектре поглощения.


1. Расчет асимптотики уширения линии циклотронного резонанса

Циклотронный резонанс имеет простой физический смысл. Электрон в hello_html_m4e6aca7b.gifполе движется по окружности с циклотронной частотой hello_html_4c85a4f5.gif. Если в плоскости этой окружности включить электрическое поле, причем изменять его направление так, чтобы оно совпадало с направлением движения электрона, то электрон все время будет забирать энергию от поля. В этом случае, как и при движении в постоянном hello_html_a5f0d11.gifполе, электрон ускоряется до тех пор, пока не столкнется с атомом примеси. Поэтому в обоих случаях частота соударения электрона с атомом порядка hello_html_6d968c34.gif. Если hello_html_2fb378cc.gif, т.е. оптимальные условия резонанса с полем не выполняются, проводимость значительно ниже. При точном резонансе с полем проводимость достигает статического режима. Именно в этом режиме существенно влияние резонансного рассеяния носителей на уширение ли- нии ЦР. Электроны, выбывшие из резонанса с hello_html_a5f0d11.gifполем, уже резонируют на примесных атомах. При этом предполагается, что мощности потенциала мелкой примеси недостаточно для образования связанного состояния, причем тепловое размытие примесных уровней на порядок и два меньше их кулоновских расстояний.

Рассмотрим q2D- и 3D-полупроводник, находящийся в скрещенных однородном магнитном hello_html_6e664d74.gifи резонансном электрическом hello_html_m58c94bfd.gif полях. Пусть невырожденный газ слабовзаимодействующих между собой электронов рассеивается на хаотически расположенных нейтральных центрах в условиях классического ЦР. Концентрацию примесей считаем малой, т.е. одновременное рассеяние носителей на двух и более центрах не учитываем, что соответствует обычному газовому приближению [6]. Амплитуды и сечения резонансного двух- и трехмерного рассеяния медленного электрона (hello_html_m4994cb69.gif) определяются стандартно [7, стр. 638 – 639]:

hello_html_64cb0198.gif, hello_html_m7b33e792.gif; (1)

hello_html_m10c6c58b.gif, hello_html_m41a0d665.gif . (2)

Здесь hello_html_m3772f99f.gif, (С – постоянная Эйлера), hello_html_mb88384c.gif, hello_html_1a935e17.gif и hello_html_m3bc8f7b1.gifдлины двух и трехмерного рассеяния. В области температур соответствующих резонансным глубинам: hello_html_m39146557.gif, hello_html_6c373c89.gif (это и есть размеры волновых функции резонансных уровней) [4], где hello_html_5903bcc8.gif – радиус 2D- и 3D модельного потенциала примеси; hello_html_m4d704e.gif, hello_html_m4d01ba87.gif – расстройка потенциала от hello_html_m1b98c150.gif, hello_html_7549261.gifглубина трехмерной (двумерной) ямы.

Если hello_html_me0230df.gif рассеяние происходит на резонансном уровне, при hello_html_m321c939c.gif – на виртуальном уровне. Тогда на основе формул (1) и (2) для полуширины линии поглощения ЦР hello_html_m1d85598f.gifhello_html_2a975d45.gif имеем

hello_html_36fee5e8.gif

hello_html_eb9d41f.gif

hello_html_3b4a065.gif

hello_html_3638d925.gif . (3)

Здесь hello_html_5a82e3ea.gifконцентрация атомов примеси, измерения показывают что hello_html_1d6453fd.gifсм – 3 [2], hello_html_2b999b83.gif, hello_html_4ad51b7a.gifэффективный резонансный уровень.

hello_html_5bc5cc84.gif , hello_html_mc06a137.gif.

Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для hello_html_m61cd702a.gifможно по- казать, что [1]

hello_html_m517e0a73.gif (hello_html_m4be70bda.gif) , (4)

hello_html_m6f0db41b.gif (hello_html_37168478.gif) . (5)

Подставляя (4) и (5) в точную формулу (3) получаем предельные формулы:

hello_html_10476be6.gif, (hello_html_m42152ec.gif) ; (6)

hello_html_4533a0dc.gif, (hello_html_84c5c4d.gif) . (7)

Как и следовало ожидать, в области «высоких температур» (hello_html_m2baf1a84.gif) влияние резонансных центров (на фоне других механизмов рассеяния) на уширение кривой поглощения ЦР, исчезающе мало. Аналогичные зависимости получаются и в квантовом пределе ЦР [8]. Отличие состоит лишь в том, что в работе [8] усреднение проводилось на основе равновесной функции распределения в квантующем магнитном поле. Дело в том, что в условиях квантующих hello_html_m4e6aca7b.gifполей невырожденные электроны расположены на нулевом уровне Ландау, в пределах которого плотность состояний hello_html_1798b19.gif; вследствие этой зависимости вместо формулы (3) мы получимhello_html_5041a0a3.gif. Соответственно, правомерны и зависимости (6) и (7). Примерно при 2 K на нулевом уровне Ландау можно наблюдать вполне четкий резонанс (hello_html_3d3a1d31.gif) (см. математическое дополнение). Следовательно, и в классическом пределе ЦР, в определенной области температур и глубин ямы, можно ожидать появления максимума полуширины линии поглощения.

Следует отметить, что под «высокими температурами» мы здесь понимаем область выше области температур, соответствующих резонансным глубинам. Таким образом, профиль полуширины линии поглощения: hello_html_m2e62597.gif. Эту асимптотику можно интерпретировать так: кривая поглощения резонансно уширяется за счет слишком «быстрых» или слишком «медленных» электронов, из-за распределения Максвелла. Из (6) следует, что окрестность абсолютного нуля якобы идеально соответствует ЦР (см. прим. 2). Именно из-за распределения Максвелла и учета слабого взаимодействия между электронами не происходит разогрева электронов. Они успевают дерезонировать, т.е. выбывать из резонанса только путем рассеяния друг на друге, до нарушения закона Ома. Ясно, что в промежутке между двумя ветвями: hello_html_79e3040a.gifи hello_html_m2dfd129b.gif, как уже отмечалось, где-то должен быть максимум, в противном случае мы просто не получим кривую, характерную для ЦР (рис. 1). В области температур hello_html_m450fc0e.gifK начинает также давать вклад в уширение рассеяние на акустических фононах hello_html_m34df0ef.gif [1]. Начиная с hello_html_107f9d7b.gifK необходим учет рассеяния на заряженных примесях, точечных дефектах, дислокациях, границах кристаллитов и т.д., так что полное уширение

hello_html_m1d03ea8.gif.

Здесь следует уточнить, что подразумевается под каждым слагаемым: первый член соответствует уширению за счет остатка резонансного рассеяния на нейтральных примесях (асимптотика (7)), второй – за счет рассеяния на ионах примеси, третий обусловлен акустическими фононами. При очень низких температурах достаточно ограничиться (в нашем случае) резонансным рассеянием электронов; асимптотика (6).

Учет акустических фононов (в рамках метода деформационного потенциала) вблизи абсолютного нуля не имеет смысла, так как формула для длины свободного пробега hello_html_m41a98e8c.gif [1] при температурах, близких к абсолютному нулю, неприменима. Соответствующий расчет [6] дает для hello_html_60fac2d9.gif две ветви:hello_html_68b2c4d9.gifи hello_html_65bf6fde.gif(рис.1), откуда доопределяется асимптотика (7):

hello_html_7508e8a8.gif, (7а)

hello_html_m76a39f5e.gif . (7б)

Оценки показывают, что уширение линии ЦР в объемных образцах можно наблюдать в ИК-диапазоне частот (субмиллиметровый диапазон, hello_html_1bb0503f.gifK (см. прим. 2)).

В том случае, когда столкновения носят мгновенный характер, в определенном интервале температур профиль контура поглощения приобретает характерную прямоугольную форму, края которой спадают по мере удаления от максимума hello_html_m633fd16.gif, что соответствует hello_html_2a7e7312.gif.

hello_html_m70a94dea.png

Рис. 1. Температурный ход полуширины линии поглощения ЦР при различных механизмах рассеяния. Сплошной кривой соответствует резонансное рассеяние на нейтральных примесях, штрихам и кружочкам, соответственно, рассеяние на тепловых колебаниях решетки и на ионах примеси. Окрестность нулевой температуры: 0 ÷ 0,05 K приближенно описывается формулой (16) (см. прим. 2).

В квазидвумерном случае (q2D)

hello_html_4967d85a.gif

hello_html_6c9af353.gif

hello_html_m3be5381a.gif. (8)

Здесь hello_html_a5f0d11.gifэнергия движения в плоскости hello_html_2fb7a070.gif, hello_html_1166c968.gifповерхностная концентрация при- месей, обычно hello_html_m16da4ef7.gifсм – 2. В формуле (8) под hello_html_m6ada6a85.gif подразумевается эффективный вир- туальный и/или резонансный уровень в зависимости от знака расстройки потенциала. Интеграл в формуле (8) выражается через специальные функции [9, стр. 588]:

hello_html_40f1f455.gif , (9)

где hello_html_6c7c83de.gif. Исследуем наиболее актуальный и интересный для ЦР случай – ушире- ние при низких температурах. Для этого выделим в hello_html_m7abcdf9d.gif асимптотическую экспоненту

hello_html_m6749a760.gif ,

(hello_html_m76f2d098.gif; hello_html_64738f98.gif), [10, стр. 117]. Тогда разность (с учетом множителя hello_html_12bfcd9.gif) в формуле (9) рав- на hello_html_11f3a6f3.gif, откуда hello_html_m58694298.gif. Оценку последнего интеграла нетрудно найти, предварительно сводя его к виду hello_html_6db13479.gif , ( с учетом hello_html_156250a5.gif):

hello_html_mc20cf79.gif , (hello_html_5461d4e7.gif).

В результате получаем низкотемпературную оценку уширения:

hello_html_m5e468d6b.gif , (hello_html_7c04394b.gif). (10)

Целесообразно обсудить вопрос о пределах применимости полученной формулы.

Для квазидвумерного образца число свободных электронов в приповерхностном атомном слое по порядку величины равно hello_html_m37b828fa.gifсм – 2hello_html_417d3428.gifсм – 2. Вырождение q2D электронного газа наступает при hello_html_m478c3b6d.gif, что соответствует температуре 0,04 K. Этим значением и определяется нижний предел применимости формулы (10). Из структуры формулы (10) никак не следует ограничение на высоту пика:hello_html_m5c2147cb.gifс – 1 (рис. 2), объясняется это тем, что асимптотический режим (10) формируется из числа электронов, энергия которых сильно зашкаливает от некоторого среднего значения. Хотя вероятность возникновения такого особого режима в ансамбле частиц, с максвелловским распределением по скоростям, весь- ма мала, но в принципе ею нельзя пренебречь. Она является следствием поглощения hello_html_a5f0d11.gifволны резонансными частицами, число которых при очень низких температурах пренебрежимо мало.

Очевидно, что в подобных ситуациях hello_html_1054219f.gif. Требуемое для наблюдения резо- нанса hello_html_m4e6aca7b.gifполе определяется из условия hello_html_1545fe8e.gif и составляет примерно hello_html_7eb77c64.gifЭ.

В области высоких температур процедура вычислений реализуется по схеме:

hello_html_m319f2e98.gif

hello_html_3e33093b.gif

hello_html_m1bdefa9e.gif.

Здесь hello_html_7a139119.gif, hello_html_m448f81a3.gif.

В результате для высокотемпературной асимптотики уширения получаем формулу

hello_html_50f74216.gif , (hello_html_m355fa74f.gif). (11)

Как видно, уширение в высокотемпературной области, слабо зависит от температуры. Физический смысл этого вывода очевиден: при высоких температурах (например, комнатных и выше) число быстрых электронов несравнимо больше чем медленных (резонирующих), число которых исчезающе мало, но опять же, из-за распределения Максвелла, они дают определенный вклад в уширение. Перефразируя, можно сказать так: особый режим (11) представляет собой «парциальный остаток» резонансного рассеяния в области высоких температур. Вероятность наблюдения такого режима всегда близка к нулю, так как он обычно быстро затушевывается другими механизмами уширения. Таким образом, в теоретическом отношении формула (11) представляет меньше интереса, чем (10). Для уточнения пределов оценки (10) необходимо оценить резонансный уровень.

hello_html_m7c3e5915.png

Рис. 2. Температурный ход полуширины линии поглощения ЦР при различных механизмах рассеяния. Сплошной линии соответствует резонансное рассеяние на нейтральных примесях [4], пунктирной линии – рассеяние на ионах примеси [11, стр. 62]. Кружочки соответствуют рассеянию на приповерхностных акустических фононах. Температурный интервал 0,04 ÷ 0,08 K – соответствует пределам выполнимости асимптотики (10). Приблизительно при температуре 10 K происходит плавная смена механизма рассеяния, в связи с включением рассеяния носителей на ионах примеси. Промежуток 0 ÷ 0,04 K соответствует вырождению электронного газа. В пределах 10 ÷ 12 K q2D – рассеяние носит столкновительный характер (плато): hello_html_mbf731f0.gif(q2D рассеяние учитывается в приближении медленных частиц; при более высоких температурах (hello_html_77c5d294.gifK) hello_html_m1f479fa6.gif и более строгое рассмотрение приводит к зависимости hello_html_m6039bd34.gif вместо hello_html_m3ba178c3.gif, где hello_html_659ab891.gifдиэлектрическая проницаемость кристалла).

hello_html_md5caf93.png

Рис. 3. 2D спектр поглощения. Окрестность максимума соответствует интервалу 10 ÷ 12 K.


2. Оценка резонансного уровня в двумерной яме

Для оценки резонансного уровня воспользуемся формулой hello_html_m3258be94.gif [4], которая достаточно хорошо аппроксимирует зависимость расстройки потенциала от глубины мелкой при- меси. Этой формулы вполне достаточно чтобы оценить порядок hello_html_m715d29bf.gif. Полагая, что hello_html_m3ddc1db0.gif порядка мэВ [2], из определения (3) т.е. из hello_html_m47a68840.gif, получаем hello_html_m3f8b9485.gifмэВ и hello_html_290f2ba8.gifмэВ.

Энергия резонансного hello_html_m14f28b9e.gifсостояния должна быть экспоненциально малой по сравнению с глубиной ямы [7, стр. 201], тогда следует выбрать убывающую ветвь определения (8) из двух

hello_html_m46e20904.gif.

Подставляя значения hello_html_506004f7.gif и hello_html_m8ef822f.gif в исходную формулу, находим что hello_html_m4cba870a.gifмэВ, что соответствует области температур hello_html_m5257c0d2.gifK. Данная оценка качественно согласуется с нижним пределом асимптотики (10). Радиус потенциала мелкой водородоподобной примеси примерно равен hello_html_12d56642.gifсм. С учетом значений hello_html_133e9cc7.gif иhello_html_m7f815d26.gifопределяем раз- меры волновых функции резонансных состояний: hello_html_4cbfc2de.gifсм, hello_html_45259a39.gifсм; которые фиксируют область локализации электронов проводимости. В условиях резонансного рассеяния hello_html_16ea295.gif и hello_html_7b79569f.gif, где hello_html_5ef2bc81.gif, откуда следуют значения hello_html_3e93b6f6.gifK и hello_html_5c41db69.gifK.

Если методами молекулярно-лучевой или металлоорганической газофазной эпитаксии «уменьшить» диаметр hello_html_2d2cdd10.gifq2D- и/или 3D образца до такой степени что hello_html_2d2e2b1c.gif (hello_html_m5acb1ebf.gif), то следует учитывать эффекты размерного квантования. Мы же предполагаем, что hello_html_ca1b8cb.gif см [3].


3. Расчет времени релаксации

В квазидвумерной ситуации hello_html_309138ad.gif и hello_html_m660a0abc.gif, тогда

hello_html_m1b804448.gif

hello_html_69f9f217.gif

hello_html_m4bf2c31d.gif

hello_html_3a5cda24.gif, (hello_html_6248c763.gif). (12)

hello_html_26800876.gif , hello_html_m63c0a541.gif. (13)

Температурная зависимость подвижности (13) имеет суперслабо выраженный минимум при

hello_html_m5028be00.gif, hello_html_5542de57.gif см 2 / В·с. (14)

Отметим, что значения подвижностиhello_html_m63ea2aeb.gif см 2 / В·с при hello_html_6f2f93a1.gifK вполне достижимы [11].

В отличие от объемного случая [2], минимум hello_html_c8aac.gif не зависит от резонансного уровня а, следовательно, и от расстройки потенциала. С учетом значения hello_html_28ba2edd.gifмэВ из (14) находим что hello_html_4d052b30.gifK (рис. 4). Минимум температуры локализован в пределах применимости (10) и вполне соответствует верхнему пределу выполнения асимптотики (10).Таким образом, как и ожидалось, особый режим уширения (10) имеет узкий интервал проявления 0,04 ÷ 0,08 K (рис. 2).

hello_html_3e34f6a.png

Рис. 4. Температурная зависимость 2D подвижности. Сплошной линией указана теоретическая зависимость (13). Штрихам соответствует рассеяние на ионах примеси, крестикам - рассеяние на акустических фононах [11, стр.62]. В окрестности 10 K происходит смена механизма рассеяния, который учитывается в приближении медленных частиц. В интервале 10 ÷ 12 K (плато) преобладает рассеяние на ионах примеси, сечение которого в низкоэнергетическом пределе имеет корневую зависимость от энергии: hello_html_m6074a455.gif. При hello_html_m3d56d8f1.gifK также преобладает рассеяние на ионах примеси, однако, сечение рассеяния hello_html_m506224bd.gif.


Как видно, подвижность квазидвумерного невырожденного электронного газа в области 0,04 ÷12 K, весьма слабо зависит от температуры, напротив, в окрестности абсолютного нуля имеет место резко выраженный рост (рис. 4). Графики на рисунках 2 и 4 находятся во взаимно обратной связи между собой, что является следствием взаимно обратной пропорциональности между уширением и подвижностью. Это важная деталь позволяет заключить, что пику уширения и минимуму подвижности примерно соответствует температура порядка 0,05 K (рис. 2).

Для определения температуры перехода следует рассмотреть двумерный аналог задачи о движении электрона в поле иона примеси. Как и в 3D случае смену механизма рассеяния будем учитывать в приближении медленных частиц. Известно что hello_html_m7707db41.gif [11, стр.61], где hello_html_554cacf0.gif числовой множитель порядка единицы, hello_html_m63c6211a.gifширина мелкой q2D ямы.

При hello_html_62ed80af.gifhello_html_19b05140.gif [6], в результате получим hello_html_14d3986f.gif.

Смена механизма уширения предполагает: hello_html_6d19b74f.gif, hello_html_f722cd7.gif. Ясно, что при очень низких (10), также как и при очень высоких (11), температурах, «переход» не может быть реализован, но с учетом формулы hello_html_42314b19.gif [4] и hello_html_5b8e8f1b.gif, находим что hello_html_39318476.gif(15).

Экспоненциальный множитель не может быть слишком велик, поэтому, не нарушая общ- ности, можно считать что hello_html_m4d9b9d3d.gifK (рис.4). Так как асимптотика (10) имеет верхним пределом значение 0,08 K, то остается предположить, что формула (11) работает в пределах 0,08 ÷ 10 K (рис. 4). Тогда значение hello_html_m3f8df1ff.gif0,08 K примерно соответствует пику уширенияhello_html_m3d435a06.gif (рис. 2).

Для инверсионных слоев [hello_html_4d48ba32.gif см ] формула (15) лучше соблюдается, чем для квазидвумерных структур, причем hello_html_38dfd471.gifсм – 2 , hello_html_381e78eb.gifсм – 3 , hello_html_m2e0a2bb8.gifсм. При этом размер двумерной волновой функции резонансного состояния на порядок превышает hello_html_60d2f2c2.gif и условие преобладания hello_html_m14f28b9e.gifволны, хорошо соблюдается. Во всяком случае, температура перехода весьма чувствительна к концентрации мелкой донорной примеси.

По мере разогрева (hello_html_741acb9a.gif) время релаксации начинает зависеть от энергии частиц и столкновительное (аналогичное столкновению упругих шаров) рассеяние сменяется рассеянием электронов в кулоновском поле иона примеси. Из равенства средней тепловой энергии и потен- циальной энергии можно оценит температуру смены специфики рассеяния. Оценка показывает, что смена происходит примерно при 12 K. Именно с этого значения кулоново поле ионов при- меси начинает эффективно влиять на процесс рассеяния электронов (рис. 4).


Выводы

В объемных образцах при очень низких температурах вдали от области температур со- ответствующих резонансному рассеянию электронов (левое крыло) кривая поглощения резо- нансно уширяется hello_html_15acc60f.gif, а при «высоких температурах» (правое крыло) hello_html_m3aaf28cc.gif. Асимптотика (6) эффективно работает в пределах 0,5 ÷ 10 K (в указанных пределах все ещё не нарушается квазиклассичность: hello_html_m57153ba4.gif), при более низких 0,05 ÷ 0,5 K температурах требуется учет частичного вырождения электронного газа (рис. 1). Асимптотики (7) и (11) по сути, являются парциальным остатком резонансного рассеяния в области «высоких температур», на фоне других доминирующих механизмов рассеяния: (7а), (7б).

Значение возможного резонансного уровня в q2D образцах примерно составляет 0,0067 мэВ.

Пределы применимости асимптотики (10): 0,04 ÷ 0,08 K. В интервале 10 ÷ 12 K двумерное рассе- яние электронов на ионах примеси, носит в основном, столкновительный характер (контур Лорен- ца, жесткая решетка, плато на рис. 2 и 4).


Примечание 1

Эксперименты показывают, что возможный резонансный уровень в ковалентных полу- проводниках порядка мэВ [2], что соответствует нескольким кельвинам. При этих условиях дли- на волны электрона гораздо меньше его длины свободного пробега: hello_html_m3bae14ed.gifсм [3]. Классический предел ЦР предполагает выполнение условия hello_html_381ee2a7.gif, а для наблюдения ЦР необходим по крайней мере один оборот, так что hello_html_628e6e61.gif и энергия электрического поля рас- ходуется на расширение циклотронной орбиты. Число квантовых состояний в кристаллах поряд- ка 1022. В типичных полупроводниках концентрация носителей заряда колеблется в пределах 1010 ÷1018см – 3, и соответственно чему энергия электрона hello_html_479f0b4c.gif (hello_html_m57153ba4.gif, hello_html_12f0d20b.gifсм – 3 ).

В дальнейшем, для упрощения различных оценок мы полагаем hello_html_42e6dc99.gifг и используем систему СГС, как предпочтительную.


Примечание 2

Границы применимости асимптотики (6) однозначно определяются температурным ходом химпотенциала в области примесной проводимости: при hello_html_m3f96d1a3.gifK уровень химпотенциала проходит посередине между дном hello_html_28cda416.gif и примесными уровнями, а затем начинает подниматься. С учетом того что hello_html_m2753f498.gifэВ, а hello_html_b1224a0.gif велико, то уровень химпотенциала может приблизиться к дну зоны проводимости и даже пересечь его, так что неравенство hello_html_548fb1b7.gif нарушится и все преж-ние выводы, основанные на нем, будут по крайней мере не точны. Учет частичного вырождения требует больших трудоемких вычислений, однако можно попытаться оценит нижний темпера-турный предел асимптотики (6): hello_html_6e7d37cb.gif; концентрация электронов в зоне проводимости (hello_html_m122570af.gifсм – 3; перебросы из hello_html_m6ebefd12.gifзоны в hello_html_m4b2b9c88.gifзону за счет межзонной подсветки; при концентрациях hello_html_mf253ad1.gifсм – 3 следует учитывать интерференцию от отдельных hello_html_4b3dfa3b.gif центров) сравнивается с эффективной плотностью состояний в последней при температуре 0,5 K. Примерно при 0,05 K уровень химпотенциала пересекает hello_html_28cda416.gif и газ становится полностью вырожденным. Для оценки верхнего температурного предела следует учесть смену механизмов рассеяния. Ясно, что при более высоких температурах (от возможного верхнего предела) сечение рассеяния не зависит от энергии рассеиваемых частиц: hello_html_38c9825b.gif (приближение медленных частиц), где hello_html_5ad6ae06.gifэффективный поперечник иона примеси, hello_html_mfb8d01a.gif концентрация ионов примеси. Смена механизма рассеяния предполагает hello_html_54e8b11a.gif. Оценка показывает что hello_html_m7d4e2a36.gifсм [3]. Примерно то же значение длины свободного пробега достигается при концентрации ионов hello_html_m505acb4a.gifсм – 3 , с учетом того что hello_html_54f3856b.gif, по- лучим hello_html_m405f4502.gifK. Пику уширения примерно соответствует температура hello_html_m53be6575.gifhello_html_61eaefb1.gifK (определение hello_html_641ebf9b.gif на основе точной формулы (3) требует решения сложного трансцен- дентного уравнения), именно при этой температуре нарушается аппроксимация hello_html_m4be70bda.gif.

Таким образом, в качестве верхнего предела асимптотики (6) целесообразно взять 10 K.

В окрестности hello_html_m3f96d1a3.gifK: hello_html_6ccd6b7.gif, hello_html_m737dcb39.gif. Из-за сильного перекрытия примес- ных волновых функции примесные уровни вырождаются в примесную полосу с шириной hello_html_143ad4d7.gif- при нулевой температуре. Соответствующий расчет на основе формулы Брейта-Вигнера приво- дит в этом случае к приближенной формуле (формально это соответствует случаю hello_html_m157d8543.gif)

hello_html_m2c7f7e5d.gif, (hello_html_m4c873edf.gifK). (16)

Здесь hello_html_5b8b2b66.gif, hello_html_3399aa12.gifрезонансный уровень, hello_html_11c8d401.gifэнергия связи hello_html_m12abb27b.gifуровня.

При отсутствии перекрытия (перехода Мотта) (hello_html_m27026497.gif, где hello_html_6c9975b2.gifрадиус локализации свободного электрона); hello_html_m3af4de61.gif, (hello_html_m4c873edf.gifK) .

Математическое дополнение

В промежутке между двумя асимптотиками (6) и (7) можно выделить переходную область:

hello_html_d070867.gif.

Данная аппроксимация удобна для общего анализа профиля уширения в окрестности пика

когда аппроксиманты (10) и (11) не вполне приемлемы (в пределах нулевой зоны Ландау).

Подставляяhello_html_55a44126.gifв hello_html_m74130401.gif автоматически полу- чим нуль, соответственно чему hello_html_m40b52dc7.gif. Разумеется, полученный результат следует рас- сматривать как некоторую hello_html_m70d3516b.gifсимволику более общих теоретических формул [8].


Литература

1. Ансельм, А.И. / А.И. Ансельм // ЖЭТФ. – 1953. – Т. 24. – Вып. 1. – С. 83 – 89.

2. Имамов, Э.З. / Имамов, Э.З., Колчанова Н.М., Крещук Л.Н., Яссиевич И.Н. // ФТТ. – 1985. – Т. 27, Вып. 1. – С. 69 76.

3. Муратов, Т.Т. // Вестн. НГУ. Серия: Физика. – 2013. – Т. 8, Вып. 3. – С. 142 – 158.

4. Андреев, С.П. / С.П. Андреев, Т.В. Павлова, В.АНебогатов // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. 2010. – Т. 3. Современные проблемы физики конденсированного состояния. – С. 89 – 92.

5. Erginsoy, C. // Phys. Rev. – 1950. – Vol. 75, № 6.P. 1013 – 1014.

6. Блатт, Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. – М., Мир, 1971. – 470 с.

7. Ландау, Л.Д. Квантовая механика: Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М., Наука, 1989. – 767 с.

8. Andreev, S.P. / S.P. Andreev, A.S. Andreev, Yu. A. Gurvich // Laser Physics. – 1998. – Vol. 8, № 1. – P. 159 – 163.

9. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.МРыжик. – М., Наука, 1971. – 1108 с.

10. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. М., Наука, 1978. – 376 с.

11. Борисенко, С.И. Физика полупроводниковых наноструктур / С.И. Борисенко. – Изд-во Томского политехнического университета, Томск, 2010. – 115 с.

Поступила в редакцию 19 мая 2014 г.


Bulletin of the South Ural State University

Series “Mathematics. Mechanics. Physics”

2014, vol. 6, no. 4, pp. 36 – 47


Contribution of charged carriers resonance scattering to the broadening of cyclotron resonance absorption curve in quasi-two- and three-dimensional semiconductors


T.T. Muratov1


Asymptotic formulas for the broadening of absorption curve of cyclotron resonance (CR) by the resonance scattering of electrons on atomic impurities were obtained with Maxwell’s distribution being taken into account. The estimations show that the possible resonance level (~ 0,0067 meV) in quasi two-dimensional semiconductors is one or two orders less than in three-dimensional semiconductors (~ 1 meV). This fact shows that the area of predominant resonance scattering in quasi-two-dimensional semiconductors is less than 0,1 K. The temperature plateau equal to 10 ÷ 12 K was found in 2D absorption spectrum. The applicability of the results obtained is under discussion.

Keywords: cyclotron resonance; broadening absorption curve; resonance scattering; asymptotic formulas.

References

1. Ansel'm A.I. ZhETF. 1953. Vol. 24, Issue 1. pp. 83 – 89. (in Russ.).

2. Imamov E.Z., Kolchanova N.M., Kreshchuk L.N., Yassievich I.N. FTT. 1985. Vol. 27, Issue 1. pp. 69 – 76. (in Russ.).

3. Muratov T.T. Vestn. NGU. Seriya: Fizika. 2013. Vol. 8, Issue 3. pp. 142 – 158. (in Russ.).

4. Andreev S.P., Pavlova T.V., Nebogatov V.A. Trudy nauchnoy sessii NIYaU MIFI (Proceedings of the scientific session of National Research Nuclear University «MEPHI»). T. 3. Sovremennye problemy fiziki kondensirovannogo sostoyaniya (Vol. 3. Modern problems of condensed matter physics). 2010. pp. 89 – 92. (in Russ.).

5. Erginsoy C. Phys. Rev. 1950. Vol. 75, 6. pp. 1013 – 1014.

6. Blatt F. Fizika elektronnoy provodimosti v tverdykh telakh (Physics of electronic conduction in solids). Moscow, Mir Publ., 1971. 470 p. (in Russ.).

7. Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantovaya mekhanika: Nerelyativistskaya teoriya (quantum mechanics: Nonrelativistic Theory). Moscow, Nauka Publ., 1989. 767 p. (in Russ.).

8. Andreev S.P., Andreev A.S., Gurvich Yu. A. Laser Physics. 1998. Vol. 8, no. 1. pp. 159163.

9. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy (Table of integrals, sums, series and compositions). Moscow, Fizmatlit Publ., 1962. 1100 p. (in Russ.).

10. Olver F. Vvedenie v asimptoticheskie metody i spetsial'nye funktsii (Introduction to Asymptotics and Special Functions). Moscow, Nauka Publ., 1978. 375 p. (in Russ.). [Olver F.W.J. Introduction to Asymptotics and Special Functions. N.Y., L: Academic press, 1974. 297 p. (in Eng.).]

11. Borisenko S.I. Fizika poluprovodnikovykh nanostruktur (Physics of semiconductor nanostructures). Tomsk, Izdatel'stvo Tomskogo politekhnicheskogo universiteta Publ., 2010. 115 p. (in Russ.).

Received 19 May 2014

1 Муратов Темур Ташкабаевич – соискатель, кафедра методики преподавания физики, Ташкентский государственный педагогический университет имени Низами, Узбекистан.

E-mail: tgpu_info@edu.uz, temur-muratov@yandex.ru

1 Muratov Temur Tashkabaevich is Candidate, Department of Teaching Methods in Physics, Tashkent State Pedagogical University, Tashkent , Uzbekistan.

E-mail: tgpu_info@edu.uz, temur-muratov@yandex.ru

36

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 08.07.2016
Раздел Физика
Подраздел Статьи
Просмотров134
Номер материала ДБ-140014
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх