Изучение показательной и логарифмической функций.

Изучение показательной и логарифмической функций

Изучение темы «Показательная функция» целесообразно начать с пункта «Степень с иррациональным показателем»: зафиксировать некоторое положительное числои поставив в соответствие каждому числучислои получить числовую функцию, определенную на множествеQ. При а=1 функция постоянна при любом рациональном.

Далее следует построить график частного случая, например, на каком-либо отрезке -с определенным шагом -. Уменьшать шаг и привести учащихся к мысли, что получившиеся точки можно соединить плавной кривой и считать ее графиком функции. Следующим шагом будет построение графика функциии убеждение учащихся в том, что она обладает теми же свойствами, что и. Учащиеся должны заметить, что функция- возрастает, а- убывает.

Нужно показать учащимся как определяется функция приa>1 показав, что чем ближе некоторые числаик, тем меньше отличаютсяи. По аналогии рассмотреть случай:.

Рассмотреть свойства показательной функции (без доказательства или с доказательством – в зависимости от подготовленности учащихся), начав с ее математического определения.

Определение.Функция, заданная формулой, гдеи, называется показательной функцией с основанием.

Свойства:

1. 
2. 
3. При функция возрастает наR, при- убывает.
4. При любых :,,,,.

Типовые задания:

1. Перечислите свойства функции и постройте ее график: .
2. Найдите область значения функций: .
3. Сравните числа: .
4. Вычислите: .
5. Упростите выражение: .
6. Определите, является ли функция возрастающей (убывающей): .
7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на R:
8. Решите графически уравнение:

Решение показательных уравнений и неравенств.

Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции, поэтому при решении упражнений по данной теме систематически проверяются эти свойства.

Для решения систем, содержащих одно или два показательных уравнения, применяются методы подстановки и замены переменных.

Изучение начинается с рассмотрения простейшего уравнения ,,. Т. к.имеем: если, то уравнение не имеет решений; в случаеесли(), то функция возрастает(убывает) на области определения и принимает положительные значения. По теореме о корне имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надопредставить в виде.- является решением уравнения.

Разобрать примеры: ;.

Решение заданий, аналогичных разобранным.

Логарифмы и их свойства

Необходимо вернуться к решению уравнения ,,и сказать, что приединственный корень называют логарифмом числапо основанию, который обозначают.

То есть: .

Определение. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Формулу называют основным логарифмическим тождеством.

Отработать понимание учащимися определения логарифма.

Типовые задания:

1. Найдите .
2. Найдите логарифм числа по основанию.
3. Найдите такое, что.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Для доказательства (3) и (4) пользуются основным логарифмическим тождеством ,:

3:Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

и по определению логарифма.

4:Логарифм частного равен разности логарифмов.

, следовательно по определению логарифма.

5:Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

. Значит по определению логарифма.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Далее целесообразно доказать формулу перехода от одного основания логарифма к другому: . По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получим:. Разделим обе части полученного равенства на, приходим к нужной формуле.

Важно отметить, что логарифмы с основаниями 10 и eназывают десятичными натуральными соответственно и обозначают.

Отработать понимание основных свойств логарифмов.

Типовые задания:

1. Известно, что . Выразитечерез.
2. Найдите , если.
3. Найдите значение выражения .

Логарифмическая функция

Пусть a– положительное число, не равное 1.

Определение.Функцию. Заданную формулой, называют логарифмической функцией с основаниемa.

Свойства.

1. 
2. 
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>0 и убывает при 0<a<1.

Докажем, что при a>0 функция возрастает. Пусть- произвольные положительные числа и. Надо доказать, что. Допустим противное. Так как функцияприa>1 взрастает, то. Но, т. е.- что противоречит условию.

Для построения графика необходимо заметить:

1. Значение 0 логарифмическая функция принимает точке 1; при любом, так как
2. Вследствие возрастания функции при получаем, что прилогарифмическая функция принимает положительные значения, а при- отрицательные.
3. Если , тоубывает на, поэтомуприипри

Графики показательной и логарифмической функции, имеющих одинаковое основание. Симметричны относительно прямоy=x.Отработать свойства, графики и определение логарифмической функции.

Типовые задания:

1. Найдите область определения функции .
2. Сравните числа: и.
3. Перечислите основные свойства и постройте график функции ,.

Решение показательных и логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений появляется настоятельная необходимость формирования понятий следствия и равносильности.

Изучение пункта начинается с рассмотрения простейшего логарифмического уравнения . Логарифмическая функция возрастает (или убывает) неи принимает на этом промежутке се действительные значения. По теореме о корне следует, что для любогоbданное уравнение имеет одно и притом только одно решение. Из определения логарифма следует, чтоявляется таким решением.

Рассмотреть примеры и отработать решение логарифмических уравнений.

Типовые задания:

1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение .
3. Решите уравнение .
4. ..
5. Аналогичные неравенства.

Понятие об обратной функции.

В ходе исследования различны функций, учащиеся неоднократно встречались с задачами:

1. Вычислить значение функции по данному значениюаргумента.
2. Найти значения аргумента, при которых функция принимает данное значение.

Разобрать пример: Пусть . Чтобы найти значения аргумента, при которых. Надо решить уравнение, т. е. уравнение. Решая его, находим, что при любомоно имеет, и при том только одно, решение.

Важно отметить, что функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Функция обратима, а функцияне является обратимой (При:).

Пусть - произвольная обратимая функция. Для любого числаимеется в точности одно значение, такое, что. Поставим в соответствие каждомузначение, тогда получим новую функциюс областью определенияи областью значения.

Пример: Докажем, что функция обратима, и выведем формулу, задающую функцию, обратную к.

1. Уравнение имеет единственное решение.
2. Функция обратима и обратной к ней является функция.

Свойство обратных функций:Графики функциии обратной к ней функциисимметричны относительно прямой.

Доказательство. Заметим, что по графику функции можно найти числовое значение обратной к ней функциив произвольной точке. Для этого нужно взять точку с координатойна вертикальной оси. Из определения обратной функции следует, что значениеравно.

Для того, чтобы изобразить график надо отразить графикотносительно прямой.

Если функция - обратная к функции. То функцияобратима и обратной к ней является функция. Поэтому говорят, что функциивзаимно обратные.

Теорема(об обратной функции). Если функциявозрастает (или убывает)на промежутке, то она обратима. Обратная кфункция, определенная в области значений, также является возрастающей.

Доказательство. Положим для определенности, что функция возрастающая. Обратимость функции- очевидное следствие из теоремы о корне. Поэтому остается доказать. Что функциявозрастает на множестве.

Пусть - произвольные значения из, такие, что, и пусть. По определению обратной функции.

Воспользовавшись условием. Что - возрастающая функция находим, что допущениеприводит к выводу, т. е.. Это противоречит условиюПоэтому, т. е. из условияследует, что.

Типовые задания:

1. Выведите формулу, задающую функцию , обратную к заданной функции. Укажите:.
2. Постройте график функции, обратной к :.