Изучение темы "Расстояние между скрещивающими прямыми" (решение задач)

ЗАДАЧИ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ЭТАПА

Задача 1 Доказать AA1║(BB1C1) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 1(ответ) Доказать AA1║(BB1C1)

Задача 2 Доказать DC║(ABD1C1) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 2 (ответ) Доказать DC║(ABD1C1) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 3 Доказать AC (BB1D1D) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 3 (ответ) Доказать AC (BB1D1D) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 4 Доказать DC1 (A1D1CB) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 4 (ответ) Доказать DC1 (A1D1CB) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 5 Доказать DB1 (AD1C) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 5(ответ) Доказать DB1 (AD1C) A B C D A1 B1 C 1 D1 B1 B D D1 O2 O A2 C2 O O2 α β а B1D1 - ? SIN α - ? B1D - ? COS α - ? OD1 - ? SIN β - ? COS β -?

Задача 6 Доказать A1C (BDC1) A B C D A1 B1 C 1 D1

Задача 6 (ответ) Доказать A1C (BDC1) A B C D A1 B1 C 1 D1 O A1 A C C1 O O2 α β а A1C1 - ? SIN α - ? A1C - ? COS α - ? OC1 - ? SIN β - ? COS β -?

Задача 7 Доказать (ACD1 ) ║(A1C1B1) B A D C B1 A1 D1 C1

Задача 7 Доказать (ACD1 ) ║(A1C1B1) B A D C B1 A1 D1 C1

Задача 7(ответ) Доказать (ACD1 ) ║(A1C1B1) B A D C B1 A1 D1 C1

Задача 8 Доказать (AD1C ) и (A1C1B) ДЕЛЯТ B1D НА 3 РАВНЫЕ ЧАСТИ B A D C B1 A1 D1 C1

Задача 8 (ответ) Доказать (AD1C ) и (A1C1B) ДЕЛЯТ B1D НА 3 РАВНЫЕ ЧАСТИ B A D C B1 A1 D1 C1 O1 O O2 O3 B1 D D D1 O O2 B1D1 = BD = ? B1O1 = O1D1=BO=OD =? Вспомните теорему Фалеса О1 О3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b : CD является общим перпендикуляром к a и b a b C M A D L B N

A B α α β ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАХОЖДЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b α║β, a b ϲ β, A α, B β, AB ⊥ β, AB = ρ ( a;b) А)

B C F D O α б) Проводим OF ⊥ CD, OF – общий перпендикуляр к AB и CD: OF = ρ ( AB;CD)

ЗАДАЧИ НА КУБЕ

1. Найти ρ (AB;CD ) A B C D A1 B1 C 1 D1

1. Найти ρ (AB;CD ) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

2. Найти ρ (A1B;C1D ) A B C D A1 B1 C 1 D1

2. Найти ρ (A1B;C1D ) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

3. Найти ρ (AB;C1D ) A B C D A1 B1 C 1 D1

3. Найти ρ (AB;C1D ) ответ

A B C D A1 B1 C 1 D1 4. Найти ρ (AA1;B1C)

A B C D A1 B1 C 1 D1 4. Найти ρ (AA1;B1C) ответ

5. Найти ρ (A1A;B1D) A B C D A1 B1 C 1 D1

5. Найти ρ (A1A;B1D) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

6. Найти ρ (AD;A1B) A B C D A1 B1 C 1 D1

6. Найти ρ (AD;A1B) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

7. Найти ρ (C1D;A1C) A B C D A1 B1 C 1 D1

7. Найти ρ (C1D;A1C) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

8. Найти ρ (B1D;AC) A B C D A1 B1 C 1 D1

8. Найти ρ (B1D;AC) ответ A B C D A1 B1 C 1 D1

9. Найти ρ (A1B;AC) B A D C B1 A1 D1 C1 O1 O O2 O3

9. Найти ρ (A1B;AC) ответ B A D C B1 A1 D1 C1 O1 O O2 O3

10. Найти ρ (B1A;BD) B A D C B1 A1 D1 C1 O1 O O3 O2

10. Найти ρ (B1A;BD) ответ B A D C B1 A1 D1 C1 O1 O O3 O2

11. Найти ρ (C1E;FD1) B D C B1 A1 D1 C1 O1 O O3 O2 A F E

11. Найти ρ (C1E;FD1)ответ B D C B1 A1 D1 C1 O1 O O3 O2 A F E

12. Найти ρ (O1M;BD),ЕСЛИ AM =MO A B C D A1 B1 C 1 D1 O 1 O M

12. Найти ρ (O1M;BD),ЕСЛИ AM =MO ответ A B C D A1 B1 C 1 D1 O 1 O M

13. Найти ρ (D1P;AD),ЕСЛИ DP =PC A B C D A1 B1 C 1 D1 K P

13. Найти ρ (D1P;AD),ЕСЛИ DP =PC ответ A B C D A1 B1 C 1 D1 K P

ЗАДАЧИ на правильных пирамидах, все ребра которых равны

A B C D S O L 1. Найти ρ (SO;AD)

A B C D S O L 1. Найти ρ (SO;AD) ответ

A B C D S O 2. Найти ρ (SC;BD)

A B C D S O 2. Найти ρ (SC;BD) ответ

A B C D S O L 3. Найти ρ (SK;AD),ЕСЛИ DP =PC K

A B C D S O L 3. Найти ρ (SK;AD),ЕСЛИ DP =PC ответ K

A B C D S O L 4. Найти ρ (SC;AD) K

A B C D S O L 4. Найти ρ (SC;AD) ответ K

A B C S O 5. Найти ρ (SO;AC)

A B C S O 5. Найти ρ (SO;AC) ответ

A B C S O 6. Найти ρ (SB;AC)

A B C S O 6. Найти ρ (SB;AC) ответ

A B C S O 7. Найти ρ (SF;AC), если OF =FB F

A B C S O 7. Найти ρ (SF;AC), если OF =FB ответ F

ЗАДАЧИ из вариантов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы

A B C S O N O1 P 1. Найти расстояние между апофемой и скрещивающейся с ней стороной основания правильной треугольной пирамиды, ρ (SN;AC)

A B C D F 2. Прямая AD перпендикулярна плоскости Δ ABC. Найти расстояние между стороной AB Δ ABC и наклонной DC, ρ (DC;AC)

A B C S O M Найти расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра с ребром a. Первое решение - ρ (SM;BD) D K E

1) Проведем ME||BD; тогда (SME)||BD 2) Построим 3) A B C D M O K o K S P α 4) 5) 6) 7) E

A B C S O Второе решение - ρ (CN;BD) N D H L O1

N O1 L F α 1) Проведем СH||BD, получим (SCH)||BD; 2) Строим и 3) 4) 5)

№ 527. Геометрия 10-11. Атанасян Л.С. и др. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус оснований цилиндра равен r, его высота равна h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найти: 1) h, если r = 10, d = 8, AB = 13. 2) d, если h = 6, r =5, АВ = 10 O1 A A1 B B1 D O

1. Проведем образующие АА1 и ВВ1, построим плоскость (А1ВВ1А). 2. Т.К. образующие параллельны оси цилиндра ОО1, то (А1ВВ1А)║ ОО1. (А1ВВ1А) и ОО1 перпендикулярны основаниям цилиндра. 3. Из точки О1 проведем O1D А1В, O1D – общий перпендикуляр к (А1ВВ1А) и ОО1. 4. Далее решается равнобедренный треугольник О1АВ1.

Подводим итоги

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми проще использовать частные случаи нахождения расстояния – ищем частный случай на чертеже.

2. Если нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b , то строим плоскость α, параллельную прямой а так, чтобы в лежала в этой плоскости и ищем длину перпендикуляра из любой точки прямой а на плоскость α, чаще всего это будет высота треугольника.

3. Расстояние между диагональю куба с ребром а и скрещивающейся с ней диагональю грани равно 4. Расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром а равно

5. Расстояние между скрещивающимися высотами правильного тетраэдра равно или