Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Изучение теоремы о средней линии и сравнение рассматриваемых учебников
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Изучение теоремы о средней линии и сравнение рассматриваемых учебников

библиотека
материалов

Индивидуальное задание №1 по основаниям геометрии. Выполнил Куликов А. студент ПОМО132

Задание №3. Рассмотрим доказательство теоремы о средней линии трапеции

  1. Учебник. Геометрия 7 – 9. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равно их полусумме.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно строится на векторной основе.

Пусть MN – средняя линия трапеции ABDC. Докажем, что

а) MN || AB ,

б) MN = .

По правилу многоугольника получаем и

. Сложив эти равенства, получим:

. Но

M и N – середины сторон AC и BD, поэтому и . Следовательно, Отсюда получаем . Так как векторы сонаправлены, то векторы также сонаправлены, а длина вектора равна

. Отсюда следует, что MN || AB и MN = . Теорема доказана.

  1. Учебник. Геометрия 7 – 9. Автор: Погорелов А. В.

ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно строится на основе дополнительного построения.

Пусть ABCD – данная трапеция. Проведём через вершину B и середину P боковой стороны CD прямую. Она пресекает прямую AD в некоторой точке Е.













Треугольники PBC и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP=DP по построению, углы CPB и DPE равны как вертикальные, а углы PCD и PDE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: PB=PE, BC=ED.

Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника ABE. По свойству средней линии треугольника PQ || AE и отрезок

. Теорема доказана.



  1. Учебник. Геометрия 7 – 9 класс. Автор: Шарыгин И. Ф.

ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно основывается с помощью средней линии треугольника.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC.

Обозначим через K и M середины боковых сторон AB и CD.

Рассмотрим ещё одну точку – середину P диагонали BD.

Тогда KP – средняя линия треугольника ABD, а

PM – средняя линия треугольника BDC. По теореме о

средней линии треугольника KP и PM параллельны

соответственно AD и BC, а поскольку AD и BC

параллельны между собой, точки K, P и M лежат на одной

прямой, параллельной основаниям трапеции.

Кроме того,

. Теорема доказана.

Задание №1. Аксиоматика школьных учебников

Основные понятия: точка, прямая, плоскость

Основные отношения:

  1. Отношение принадлежности

  2. Отношение

  3. Отношение измерения отрезка

  4. Отношение равенства фигур

  5. Отношение симметрии

Аксиомы:

  1. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей

  1. Через любые две точки плоскости можно провести прямую линию и притом только одну

  2. Любая точка, лежащая на прямой делит её на две полупрямых

  3. Любая прямая плоскости делит её на две части – полуплоскости

  1. Аксиомы измерения отрезков

  1. Длина отрезка выражается положительным числом

  2. Отношение длин любых двух отрезков не зависит от выбора единицы длины

  1. Два отрезка называются равными, если при наложении совпадают их концы

  1. Аксиомы симметрии

IV.I. Любая точка O на прямой является центром её симметрии

IV.II Любая прямая плоскости является осью симметрии плоскости

  1. Аксиома параллельности

V.I. Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой этой же плоскости, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость

Основные отношения

  1. Отношение принадлежности

  2. Отношение измерения отрезков и углов

  3. Отношение откладывания отрезков и углов

  4. Отношение параллельности

Аксиомы

  1. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей

  1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей

  2. Через любые две точки можно провести прямую и только одну

  3. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими

  4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости

  1. Измерение отрезков и углов

  1. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

  2. Длина отрезка равна сумме частей, на которые он разбивается любой его точкой

  3. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля

  4. Развёрнутый угол равен 180о.

  5. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами

  1. Аксиомы откладывания

  1. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один

  2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180о, и только один

  3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой

  1. Аксиома параллельности

IV.I Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой параллельной данной

Основные понятия: точка, прямая, плоскость.

Основные отношения:

  1. отношения принадлежности

  2. отношение «лежать между»

  3. отношение наложения

  4. отношение равенства фигур

  5. отношение измерения отрезков

  6. отношение параллельности

Аксиомы:

  1. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей

  1. Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки

  2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой

  3. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна

  4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими

  5. Каждая точка O прямой разбивает её на две части (луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки O, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки O

  6. Каждая прямая a разделяет плоскость на две части (полуплоскости) так, чтобы две любые точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой a, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой a.

  1. Аксиомы равенства фигур

  1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки

  2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один

  3. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один

  4. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами:

  1. луч h совместится с лучом h1, а луч k – с лучом k1

  2. луч h совместится с лучом k1, а луч k – с лучом h1

  1. Любая фигура равна самой себе

  2. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф

  3. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, а фигура Ф1 равна фигуре Ф2, то фигура Ф равна фигуре Ф2.

  1. Аксиомы измерения отрезков

  1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом

  2. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом

  1. Аксиома параллельности прямых

IV.I Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной


322:03:41

Общая информация

Номер материала: ДБ-119785

Похожие материалы