Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Изучение темы " Алгебраические уравнения " 9 класс

Изучение темы " Алгебраические уравнения " 9 класс


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Глава I

Алгебраические уравнения высших степеней в учебнике «Алгебра-9»

(Авторы учебника: Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра 9 кл., Просвещение, 2008) из опыта работы.


На изучение темы «Алгебраические уравнения высших степеней» в данном учебнике отводится 9 уроков, один из которых обобщающий урок. Прежде, чем приступить к изучению данной темы, я знакомлю учащихся с понятиями многочлена n-й степени. В общем случае, многочлен n-й степени записывают так: Pn(х) = a0xn+a1xn-1+…+ an-1x+an,

где a0, a1, a2, …,an-1, an– заданные числа, а00,

n – натуральное число. Здесь a0xn – старший член многочлена Pn(x), n – его степень, an– свободный член. Так как основным способом решения алгебраического уравнения выше второй степени является разложение его левой части на множители, то сначала я рассматриваю алгоритм деления многочленов «уголком», который использовался в арифметике при делении чисел.

  1. Деление многочленов нацело.

Разделить многочлен 8х2 + 10х – 3 на многочлен 2х + 3.

Выполняем деление уголком.

8hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_5951fc3b.gifх2 + 10х – 3 2x + 3

2 + 12х 4х – 1

hello_html_m9534073.gifhello_html_5951fc3b.gif2х – 3

hello_html_m441d7c7e.gif 2х – 3

0

здесь 8х2 + 10х – 3 – делимое, 2х + 3 – делитель, 4х – 1 – частное, 0 – остаток.

Остаток равен нулю, поэтому многочлен 8х2 + 10х – 3 делится нацело на многочлен 2х + 3, т.е. в результате деления многочленов также получился многочлен. Вообще, если многочлен Рn(x) степени n 1 делится нацело на ненулевой многочлен Qk(x) и в результате деления получается многочлен Мm(x), то имеет место равенство

Рn(x) = Мm(x) Qk(x) (1)

Это равенство называют формулой деления многочлена Рn(x) на многочлен Qk(x), а многочлен Мm(x) – частным от деления Рn(x) на Qk(x). Нужно отметить, что в формуле (1) обязательно выполняется равенство n = m + k.


  1. Деление многочленов с остатком.

Теперь нужно показать учащимся как выполняется деление многочленов в случаях, когда многочлены не делятся нацело.

Разделить многочлен P3(x) =x3x2 – 2x + 4

на многочлен Q2(x)=x2 – 3x + 1.


Выполняем деление.

xhello_html_438e1b6b.gifhello_html_m441d7c7e.gifhello_html_5951fc3b.gif3 x2 – 2x + 4 x2 – 3x + 1

хhello_html_m59492c59.gif3– 3х2 + х х + 2

hello_html_5951fc3b.gif2– 3х + 4

hello_html_m9534073.gif2– 6х + 2

3х + 2

Дальнейшее деление невозможно, т.к. степень последнего остатка – 1 меньше степени делителя – 2.

Ответ: Частное х + 2, остаток 3х + 2.

В этой задаче в результате деления получилось

hello_html_1ce63ae8.gif(2)

В этом равенстве обозначаем М1(х) = х + 2 – частное, R1(x) = 3x +2 – остаток и используем обозначения задачи, тогда равенство (2) примет вид:

hello_html_m28252cae.gif, откуда P3(x) = М1(х)Q2(x) + R1(x).

В общем случае формула деления многочлена Pn(x) степени n 1 на многочлен Qk(x) степени k 1, k n такова:

Pn(x) = Мm(х)Qk(x) + Rl(x),

где степень частного m = nk, степень остатка l < k.

Упражнения

  1. Выполнить деления:

    1. (6x4 + x3 – 6x2 + 1) : (2x2 + x – 1);

    2. (15x5 + 6x4 – 20x2 – 8x) : (3x3 – 4);

    3. (12x5 – 9x4 + 8x2 – 6x) : (4x2 – 3x).

  2. Выяснить, делится ли нацело многочлен P(x) на многочлен Q(x):

    1. P(x) = 8x5 + 12x4 – 10x3 – 15x2, Q(x) = 4x2 – 5;

    2. P(x) = x6 – 3x4 – x3 + 2x2 + x, Q(x) = x3 + 2x2 + x;

    3. P(x) = 3x5 + x4 – 6x3 + 7x, Q(x) = 3x2 + x.


  1. Решение алгебраических уравнений


Приступая непосредственно к решению алгебраических уравнений n – ой степени, я даю учащимся определение алгебраического уравнения.

Определение: Уравнение Pn(x) = 0, где

Pn(х)=a0xn+a1xn-1+…+ an-1x+an называется алгебраическим уравнением. Каждый корень уравнения Pn(x) = 0 называют также корнем многочлена Pn(x).

Как же решать такие уравнения? На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками Эпохи Возрождения (Кардано, Тарталье, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения более высоких степеней. Только в 1826г. норвежский математик Н.Абель доказал, что в общем случае алгебраические уравнения 5 – ой степени и более высоких степеней в радикалах неразрешимы. И все же некоторые «хорошие» уравнения высших степеней можно решать, используя разложение многочлена на множители.

Далее рассматривается уравнение х3 – 7х + 6 =0. Учащиеся предлагают 7х заменить суммой х и 6х, тогда уравнение примет вид: х3 – х – 6х + 6 =0, группируя и вынося за скобки общий множитель, получим:

(х – 1)(х2 + х – 6).

Корнями полученного уравнения будут х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.

Это уравнение можно решить с помощью деления многочленов «уголком». Но сначала учащимися доказывается теорема Безу.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Рn(x) на двучлен х – равен значению многочлена Рn(x) при х = .

Доказательство: При делении многочлена Рn(x) на х – имеем

Рn(x) = Qn-1(x)(x) + R, где R – остаток от деления, тогда при х = получим Рn() = Qn-1()( - ) + R, т.е. Рn() = R. Отсюда следует, что если Рn() = 0, то многочлен Рn(x) делится нацело на двучлен х – .

Теперь решим уравнение х3 – 7х + 6 =0.

Решение: Здесь видно, что х = 1 является корнем данного уравнения, т.к. 1 – 7 + 6 = 0. Чтобы найти остальные корни, обозначим левую часть этого уравнения Р3(х) и запишем, используя теорему Безу:

Р3(х) = Q2(x)(x – 1), x3 – 7x + 6 = (x – 1)Q2(x)

Нhello_html_m262ea49d.gifайдем Q2(x):

xhello_html_m441d7c7e.gifhello_html_5951fc3b.gif3 – 7x + 6 x– 1

хhello_html_m59492c59.gif3 – х2 х2 + х – 6

hello_html_5951fc3b.gif х2 – 7х + 6

hello_html_m9534073.gif х2 – х

hello_html_5951fc3b.gif - 6х + 6

hello_html_1cbd7991.gif - 6х + 6

0

Следовательно, x3 – 7x + 6 = (х2 + х – 6)(х – 1).

Решая уравнение х2 + х – 6 = 0, получим х2 = 2, х3 = – 3.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = – 3.

Итак, для решения данного уравнения мы применили теорему Безу. Зная один корень уравнения, с помощью этой теоремы можно свести задачу к решению уравнения степени n – 1, т.е. понизить степень уравнения.

Как решить уравнение 4x5 + 4x4 – 13x3 – 6x2 – 9х + 2 = 0?

Это уравнение с целыми коэффициентами. Применим теорему для таких уравнений.

Теорема: Если уравнение a0xn+a1xn-1+…+ an-1x+an = 0 с целыми коэффициентами a0, a1, a2, …,an-1, an, где а0 0, имеет корень, то этот корень является делителем числа аn.

Теперь решим уравнение 4x5 + 4x4 – 13x3 – 6x2 – 9х + 2 = 0. Находим все делители числа 2: 1, 2, среди них должны находиться целые корни уравнения, если они есть.

Обозначим Р5(х) = 4x5 + 4x4 – 13x3 – 6x2 – 9х + 2.

Проверяем Р5(1) = 0, Р5(-1) = 0, Р5(2) = 84 0, Р5(-2) = 0.

Поэтому Р5(х) = (х – 1)(х + 1)(х + 2) М2(х).

Делим Р5(х) на х3 + 2х2 – х – 2 столбиком, найдем М2(х) = 4х2 – 4х – 1, тогда Р5(х) = (х3 + 2х2 – х – 2)(4х2 – 4х – 1) = 0.

Корнями многочлена 4х2 – 4х – 1 = 0 являются hello_html_m23aaf74b.gif. Исходное уравнение имеет пять действительных корней.

Ответ: х1,2 = 1; х3 = -2, х4,5 = hello_html_m23aaf74b.gif

Значит, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения.

Упражнения

Решить уравнения

  1. x3x2 – 8x + 6 = 0;

  2. x4 + x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0;

  3. x4 + x3 – 5x2 + x – 6 = 0;

  4. 2x4 – 2x3 – 11x2x – 6 = 0;

  5. 9x6 + 6х5 – 17x4 – 12x3 + 7x2 + 6x + 1 = 0;

Не менее важно, чтобы учащиеся понимали, что уравнение

a0xn+a1xn-1+…+ an-1x+an = 0

при а0=1 называется приведенным, а при а0 1 называется неприведенным. Решим уравнение 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0.

Решение: Уравнение легко решается, если с помощью замены х =у/2, привести его к приведенному уравнению: у3 – 3у2 – 22x + 24 = 0, т.к. сумма коэффициентов равна 0, то корень легко подбирается. Это будет

у1 = 1, тогда у3 – 3у2 – 22x + 24 = (у – 1)М2(х).

Найдем М2(х).

уhello_html_5951fc3b.gifhello_html_438e1b6b.gif3 – 3у2 – 22у + 24 у– 1

уhello_html_m441d7c7e.gifhello_html_m59492c59.gif3 – у2 у2 – 2у – 24

hello_html_5951fc3b.gif2 – 22у + 24

hello_html_m59492c59.gif – 2у2 + 2у

hello_html_5951fc3b.gif 24у + 24

24у + 24

hello_html_m2823cef2.gif 0

у3 – 3у2 – 22x + 24 = (у – 1)(у2 – 2у – 24)

Решая уравнение у2 – 2у – 24 = 0, получим корни у2 = 6; у3 = – 4,

находим х2 = 3, х3 = – 2, х1 =1/2.

Ответ: х1 =1/2 х2 = 3, х3 = – 2.

Для самостоятельного решения предлагаю ученикам следующее уравнение 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0.

Решая уравнения выше второй степени, следует заострить внимание учащихся на то, что для них имеют место тоже формулы Виета. Рассмотрим на примере, когда а0 = 1, n = 3, т.е. приведенное кубическое уравнение

x3 + аx2 + bx + c = 0.

Пусть х1, х2, х3 – корни уравнения x3 + аx2 + bx + c = 0, тогда используя теорему Безу и разложение многочлена на множители, будем иметь:

x3 + аx2 + bx + c = (х - х1)( х – х2) ( х – х3).

Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях х1, получим

x3 + аx2 + bx + c = х3 – (х1 + х2 +х32 + (х1 х2 + х1 х3 + х2 х3)х - х1 х2 х3.

hello_html_mbbef6ae.gifПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, находим

х1 + х2 +х3 = - а

х1 х2 + х1 х3 + х2 х3 = b

х1 х2 х3 = -c

Формулируем теорему Виета для приведенного кубического уравнения.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного кубического уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, сумма произведений попарно взятых корней, равна третьему коэффициенту, а произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком.

Имеет место и обратная теорема Виета.

Пример

Докажем, что если х1, х2, х3 – корни уравнения x3 + аx + b = 0,

то hello_html_1de69988.gif

Доказательство.

Т.к. х1, х2, х3 – корни уравнения x3 + аx + b = 0,

hello_html_4c27f1f9.gifhello_html_m4182b669.gif

hello_html_1e74354b.gif

hello_html_c927d48.gif

Сложив почленно эти равенства, получим

hello_html_m456f69ea.gif+а(х1 + х2 +х3) + 3b = 0 (1)

Нhello_html_5b902363.gifо по теореме Виета для данного кубического уравнения x3 + аx + b = 0 имеем: х1 + х2 +х3 = 0

х1 х2 + х1 х3 + х2 х3 = а

х1 х2 х3 = -b

Подставляя в уравнение (1), получим

hello_html_2881830c.gif

Упражнения

Не решая уравнения x3 – 4x2 + 3x – 2 = 0, найдите

  1. х1 + х2 +х3;

  2. х1 х2 + х1 х3 + х2 х3;

  3. х1 х2 х3;

  4. hello_html_448b6f59.gif;

  5. hello_html_m495cb0f6.gif;

  6. hello_html_m456f69ea.gif


4. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Обращаю внимание учащихся на уравнение х4 – 2x3 – 22x2 – 2x + 1 = 0.

Для решения привлекаю учеников, выясняем, что уравнение не имеет целых корней, т.к. делители свободного члена (1) не являются корнями уравнения. Однако учащиеся замечают, что уравнение обладает своеобразной «симметрией»: коэффициент при х4 равен свободному члену, а коэффициент при x3 равен коэффициенту при х. Как же его решить? Замечаем, что х = 0, не является корнем данного уравнения. Поэтому делим уравнение на х2 (корни не теряются), получаем:

hello_html_mf08ef92.gif,

hello_html_193b208d.gif.

Делаем дальше замену неизвестного, обозначив х + 1/х = t,

тогда х2 + 2 + 1/х2 = t2, откуда х2 + 1/х2 = t2 – 2, уравнение будет иметь вид:

t2 – 2 – 2t – 22 = 0, t2 – 2t – 24 = 0; t1 = 6; t2 = -4.

Возвращаясь к неизвестному х, рассматриваем два случая:

1) hello_html_67de265b.gif, hello_html_2d25bf03.gif, hello_html_m5f9629f4.gif;

2) hello_html_m343a2dac.gif, hello_html_bfe7bf9.gif,hello_html_415a6ec7.gif

Ответ: hello_html_m5f9629f4.gif; hello_html_415a6ec7.gif

Закончив решение данного уравнения, нужно объяснить учащимся, что мы решали симметрическое уравнение четвертой степени, которое имеет вид

ах4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0

После решения этого уравнения учащимся предлагается уравнение

4 – 15x3 + 14x2 + 15x + 2 = 0

Выясняем, что коэффициент при х4 равен свободному члену, а коэффициент при х3 по модулю равен коэффициенту при х, но по знаку они противоположны. Как это уравнение решить?

Видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому делим уравнение на х2, получаем:

2 – 15x + 14 + 15/x + 2/х2 = 0

группируя члены, равноудаленные от концов, получим равносильное уравнение 2(х2 + 1/х2) – 15(х – 1/х) + 14 = 0.

Делаем замену неизвестного, обозначив hello_html_7daf3726.gif, тогда hello_html_m7b018e61.gif, hello_html_4b1c0c8.gif, hello_html_1fd05563.gif.

Уравнение будет иметь вид: 2(2 + t2) – 15t + 14 = 0

2t2 + 4 – 15t + 14 = 0, 2t2 – 15t + 18 = 0; t1 = 6, t2 = 3/2.

Возвращаясь к неизвестному х, рассмотрим 2 случая:

  1. hello_html_m23e05e4e.gif, х2 – 6х – 1 = 0; hello_html_7e229292.gif

  2. hello_html_6aae37fa.gif, 2х2 – 3х – 2 = 0; hello_html_m6b49a17c.gif; х3 = 2; х4 = -1/2

Ответ: hello_html_6904029d.gif, х3 = 2; х4 = - 1/2

Данное уравнение является кососимметрическим, в общем виде имеет вид

ах4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0, а 0.

Симметрические и кососимметрические уравнения – частные случаи возвратных уравнений, решение возвратных уравнений в общем виде рассмотрим на факультативных занятиях.

Упражнение

Решить уравнение:

  1. 4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0;

  2. х4 + 2x3 – 22x2 + 2x + 1 = 0;

  3. х4 – 4x3 – 2x2 + 4x + 1 = 0;

  4. х4 – 5x3 + 8x2 – 5x + 1 = 0;

Не менее интересными являются уравнения, членами которых являются алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены. Такие уравнения называются рациональными и имеют вид: hello_html_750cbde9.gif. Примером является уравнение hello_html_m5ee8384b.gif (1)

В результате преобразований это уравнение сведется к алгебраическому. Прежде чем решать это уравнение, нужно учащимся дать понятие равносильных уравнений.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

При преобразованиях уравнений следует руководствоваться следующими теоремами.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения hello_html_7991c8ca.gif прибавить одно и то же выражение hello_html_77786ef1.gif, не меняющее области определения данного уравнения, то полученное уравнение hello_html_m21d83e67.gif



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

На изучение темы "Алгебраические уравнения " в 9 классе отводится 9 уроков. Сначала знакомимся с делением многочленов. Для решения уравнений изучаем теорему Безу, доказываем теорему Виета для уравнений третьей степени. Подробно знакомимся с симметрическими и кососимметрическими уравнениями.

Уравнениям с параметрами тоже уделяем внимание, например,при каких  действительных значениях  параметра уравнение имеет два действительных корня, три действительных корня.

Примером алгебраических уравнений являются дробно - рациональные уравнения, при решении которых обязательно нужна 

Автор
Дата добавления 04.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1283
Номер материала 421382
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх