Изучение темы "Объемы тел" с помощью формулы Симпсона в 11-м классе

Изучение темы "Объемы тел" с помощью формулы Симпсона в 11-м классе

· Нечаев Сергей Николаевич, учитель математики

Учителя, работающие по учебнику Л.С. Атанасяна, знают порядок вывода формул объемов для изученных в 10-11 классах тел. Знают также и о том, что формулы, начиная уже с формулы для объема наклонной призмы, выводятся с помощью интеграла. А сам интеграл изучается в курсе “Алгебры и начал анализа”. Причем в программах (составители Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк, Дрофа, 2000) основная цель изучения темы “Интеграл” формулируется так: “познакомить учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить применять первообразную для вычисления площадей криволинейных трапеций”. Все! А в геометрии – применяйте определенный интеграл для вывода формул объемов.

Работая в 11 классе, замечал, что учащиеся затрудняются применять интеграл для этих целей, спрашивают, нельзя ли по-другому. Конечно, можно. Один из вариантов – формула Симпсона. (Симпсон Томас (1710-1761) – английский математик)

Как? Приведу возможный порядок изучения теории:

1. Понятие объема. Свойства объемов. (Л.С. Атанасян).

2. Объем прямоугольного параллелепипеда (Л.С. Атанасян).

3. Формула вычисления объемов тел с помощью определенного интеграла (Л.С. Атанасян, но только ввести саму формулу, она пригодится только для следующего пункта).

4. Объем пирамиды.

а) Доказать, что треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики (это легко сделать, например, с помощью той самой формулы вычисления объемов тел с помощью определенного интеграла);

б) Формула объема треугольной пирамиды, имеющей три взаимно перпендикулярных ребра, выходящих из одной вершины (вывожу, “дополняя” треугольную пирамиду до прямоугольного параллелепипеда);

в) Формула объема произвольной треугольной пирамиды (опираясь на пункт а);

г) Формула объема произвольной пирамиды (разбиваем произвольную пирамиду на треугольные пирамиды).

5. Призматоид. Формула Симпсона.

Определение призматоида, несложное доказательство самой формулы с иллюстрациями, которые можно увеличить для работы на уроке, исторические сведения приведены, например, в книге И.И. Баврина, В.А. Садчикова “Новые задачи по стереометрии” Москва. Владос. 2000. Там же есть “оговорка” с доказательством на случай, если у учащихся возникнет вопрос, почему эту формулу можно применять, например, к шару. Ведь он – не призматоид. При изучении теории я специально не обратил внимание учащихся на это, применяя формулу Симпсона ко всем телам, но потом было дано задание: найти “слабое место” в этой теории. Такие ученики нашлись. На следующем уроке ими было сказано, что “формула Симпсона – только для призматоидов, а мы ее применили и к цилиндру, и к конусу, и к шару, и к частям шара” Вот здесь и потребовалась та “оговорка”, о которой речь шла выше.

6. Вывод формул объемов всех остальных тел с помощью формулы Симпсона, включая объемы частей шара.

К примеру, вывод формулы объема шарового сегмента:

Такое изучение теории высвобождает время для решения задач. Учащиеся с интересом относятся к тому, что одна формула позволяет выводить все остальные, что достаточно запомнить только ее. А уж если забыл какую-нибудь другую, то она легко получается из формулы Симпсона. Кстати, об этой формуле речь идет и в книге Я.И. Перельмана “Занимательная геометрия”.

Приведу отрывок из упоминавшейся выше книги И.И. Баврина, В.А. Садчикова “Новые задачи по стереометрии” с доказательством формулы Симпсона для призматоида.

“Призматоид - многогранник, все вершины которого расположены на двух параллельных плоскостях. Грани, расположенные на этих плоскостях, называются основаниями призматоида.

Не будет противоречием определению призматоида, если многогранник, у которого верхнее и нижнее основания являются разноименными многоугольниками, а боковые грани - треугольники, мы будем называть призматоидом.

На рисунке многоугольник А₁А₂А₃...А_n- верхнее основание призматоида, площадь этого основания обозначим S_в; многоугольник В₁В₂В₃…В_m- нижнее основание призматоида, площадь этого основания обозначим S_н; многоугольник С₁С₂С₃...С_k- среднее сечение призматоида площадь этого сечения обозначим S_ср; высоту призматоида обозначим Н.

Ясно, что плоскость среднего сечения призматоида пересечет боковые ребра в их серединах, то есть граница среднего сечения проходит по средним линиям боковых граней призматоида. Так как плоскость среднего сечения параллельна основаниям призматоида, то эта плоскость проходит и через середину высоты Н призматоида, что нашло отражение на рисунке в виде двух расстояний Н / 2.

Вывод формулы Симпсона. В плоскости среднего сечения С₁С₂С₃...С_kвыберем произвольную точку Р. Соединим эту точку со всеми вершинами призматоида. В результате точку Р можно рассматривать как общую вершину совокупности пирамид. Призматоид при этом можно рассматривать как совокупность трех видов пирамид:

1) пирамиды с вершиной Р и основанием А₁А₂А₃...А_n,

2) пирамиды с вершиной Р и основанием В₁В₂В₃…В_m,

3) (к-1) пирамид с вершиной Р и основаниями соответственно треугольники А₁В₁В₂, А₁В₂А₂, А₂В₂В₃,…, А₁В₁В_m.

Зная, что объем пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3)Sh, легко определить объемы каждого из трех видов пирамид, составляющих исходный призматоид:

3) Рассмотрим одну из боковых пирамид, например, пирамиду РА₁В₁В₂. Объем этой пирамиды

Аналогично можно представить объемы остальных “боковых” пирамид.

Остается найти сумму объемов всех “боковых” пирамид.

Суммируя объемы совокупности пирамид с вершиной в точке Р, мы находим объем призматоида:

Краткое описание материала

Статья была опубликована в рамках фестиваля "Открытый урок" издательства "Первое сентября" в 2005-2006 уч. году. Сейчас подход к изучению темы "Интеграл" изменился. Тема имеет отражение и в материалах ЕГЭ. Но, как альтернативу, можно рассмотреть и формулу Симпсона. Или хотя бы познакомить с ней учащихся.

Изучение темы "Объемы тел" с помощью формулы Симпсона в 11-м классе

Математика

Конспекты

DOCX

04.11.2014

1464

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Нечаев Сергей Николаевич

учитель

На сайте: 10 лет и 7 месяцев
Всего просмотров: 4693
Подписчики: 0
Всего материалов: 3

4693
просмотров
3
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Нечаев Сергей Николаевич.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.